Heronis Alexandrini opera quae supersunt omnia: Vol. IV Heronis definitiones cum variis collectionibus Heronis quae feruntur geometrica

480 Pages·1976·60.551 MB·Latin

by  Heron Alexandrinus, Iohan Ludvig Heiberg (editor)

HERONIS ALEXANDRINI
OPERA QVAE SVPERSVNT OMNIA
VOLVMEN IV
HERONIS DEFINITIONES CVM VARIIS
COLLECTIONIBVS
HERONIS QVAE FERVNTVR GEOMETRICA
COPIIS GVILELMI SCHMIDT VSVS
EDIDIT
J. L. HEIBERG
CVM LXII FIGVRIS
STVTGARDIAE IN AEDIBVS B.G.TEVBNERI MCMLXXVI
Editio stereotype editionis anni MCMXII
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Hero <Alexandiinus>
(Sammlung)
Heronis Alexandrini opera quae supersunt omnia.
- Nachdr. - Stutgardiae [Stuttgart! : Teubner.
Vol. 4. Heronis definitiones cum variis collec-
tionibus. Heronis quae feruntur geometrica /
copiis Guilelmi Schmidt usus edj. L. Heiberg.
-Ed.ster. 1912.- 1976.
(Bibliotheca scriptorum Graecorum et Romano-
rum Tcubncrionu)
ISBN 3-519-01416-5
Dae Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten
Rechte, besondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, der
Bildentnahme, der Funksendung, der Wiedergabe auf photoraecha-
scfaem oder ähnlichem Wege, der Speicherunp und Auswertung in
Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei Verwertung von Teilen
des Werkes, dem Verlag vorbehalten.
Bei gewerblichen Zwecken dienender Vervielfältigung ist an den
Verlag gemäß § 54 UrhC eine Vergütung zu zahlen, deren Höhe mit
dem Verlag zu vereinbaren ist.
© B. G. Teubner, Stuttgart 1976
Printed in Germany
Drude: Julius Beltz, Hemsbach/Bergstr.
PRAEFATIO.
Chun Gnilelmus Schmidt morbo mortifero impedi-
tus esset, quo minus opus inceptum ad finem perduceret,
eo consentiente editionem opusculorum mathematicorum,
quae Fridericus Hultsch in uolumine notissimo (Berolini
MDCCCLXlV) coniunxerat, instituendam suscepi, et ab
Academia Berolinensi omnis materia, quam collegerat ille,
milii tradita est. Deinde codices, quos contulerat, inspexi,
ubicunque de scriptura dubitaueram, alios, qui alicuius mo-
menti ir»ibi esse uidebantur, aut totos aut ex parte ipse con-
tuli, omnes denique, de quibus quae enotata erant non suf-
ficiebant, denuo examinaui, ut stemma codicum non usurpa-
torum efnceretur. Definitiomtm quidem et recensio et interpre-
tatio a Guilelmo Schmidt prope finita erat, sed constitui eas a
itariis collectionibus, ut titulo Hultschiano utar, non dirimere,
quibuscum una traditae sunt. In ceteris praeter collationes
adnotationesque nonnullas nihil a Guilelmo Schmidt relictum
erat. Cum codices partim eadem partim diuersa praeberent,
opportunum esse duxi, omnia geometrica et omnia stereo-
metrica in duas quasi moles congerere. Quae huic disposi-
tioni necessario insunt incommoda, quod, quae inter se re-
spondent, non semper iuxta se collocari possunt, ne turbetur
codicis ordo, et quod qui editione utuntur imaginem singu-
lorum codicum sine difficultate animo sibi effingere non
possunt, ea ita adtenuare conatus sum, ut singulis partibus
sigla codicum in margine adponerem numerorumque serie
uiolata capitula inter se respondentia eodem numero signa-
rem (u. uerbi gratia p. 334—38), et ut hie singulos codices
plane et copiose describerem. Ex opusculis ab Hultschio
a*
IV PRAEFATIO.
editis Geeponicum librum qui uocatur prorsus omisi, quippe
qui ex errore ortus sit (u. Festschrift Moritz Cantor anl l.
seines achtzigsten Geburtstages gewidmet, Leipzig 1909,
p. 118sqq.); quae continet ex Heronianis eicerpta, suis locis
collata sunt. Ne Geodaesiam quidem recepi, quae nihil
praebet nisi excerpta tenuia Geometriae Heronianae; in pro-
legomenis uoluminis V codices eius diligenter describam et
quae continent indicabo. Didymum omisi, quia comperi,
alium in eo occupatum esse. Kursus metrologica quaedam
(p. 402, 26 sqq.) in meis codicibus obuia adiunxi, quae
Hultschius inter Metrologicorum scriptorum reliquiae (I fr. 5,
95, 81) posuerat. Non pauca additamenta inedita suppedi-
tauit codex Constantinopolitanus (u. uol. ΠΙ ρ. ΥΠ sqq.),
cuius imaginem lucis ope expressam beneficio Hermanni
Sch ne possideo. Figuras eius plerasque reddendas curaui
propter codicis antiquitatem, quas reliqui codices praebent,
omnes fere omisi ut inutiles ad uerba scriptoris intellegenda;
genus eorum et ex iis, quas cum Hultschio speciminis causa
recepi, et ex Cnopolitanis satis cognosci potest.
Codicibus igitur usus sum his:
DEFINITIONS.
Hoc opusculum, quod Heroni tribuere non dubito, nobis
traditum est ut pars prima collectaneorum mathematicorum,
quae homo doctus nescio quis Byzantinus fortasse saeculo XI
e uariis auctoribus excerpserat (1—132 Definitiones, 133 ex
Beronis Geometria, 134 exEuclidis Elementis, 135 exGemino,
136—137 ex Procli Commentario in Elem. I siue potius ex
collectione aliqua scholiorum Euclidianorum, 138 ex Ana-
tolio et Theone Smyrnaeo), quorum partes aliae etiam se-
paratim in aliis codicibus seruatae sunt. Ab iis incipiam, qui
totam collectionem praebent.
C = cod. Paris, suppl. Gr. 387, 4to, bombyc.1) saec. XIV,
prius Georgii Vallae, apud quern eum Venetiis uidit lanus
Lascaris a. 1490—91 (u. K. K. M ller, Centralbl. f. Bi-
1) H. e. ex Charta orientali, in Oriente ecriptus.
PRAEFATIO. V
bliothekswesen I p. 383 f.51b 10, cfr. Beihefte ?.. Centralbl.
f. Bibl. XVI p. 128), turn Alberti Pii principis Carpensis,
cuius libriMutinam in Bibliothecam Estensem migrauerunt;
inde a. 1796 Parisios transportatus est nee a. 1814 cum
ceteris in patriam rediit (u. Certni storici della R. Bi-
blioteca Estense p. 78 nr. 7). cfr. Omont, Inv. ΙΠ p. 254 sq.
quae continet hie codex unicus, haec sunt:
f. 1 — 4r notae astronomicae, medicae, eimilia, manu poste-
riore, quae ad finem bis eubscripeit: ω χε βοή&ει μοι τω
δω Sovi.a> Γεωργίω: — fTO χονμνο.
f. 4ν Αλβέρτου Πίου Καρηαύον άρχοντος κτήμα.
Γεωργίου ον τ Εάΐλα έατί το ύοτ το βιβίίον (deletum).
f. δ — 12 περί ουραίου, inc. ουρανός έ"ατιν περιοχή (astrologica).
f. 12V m. poet, ϊτονς ,ςοοχγ (1315) μ,ηνΐ τ.οαμ ϊςΝϊγ
χνριαχφ ίΰπέρας, ην t τ&ν βαΐων, έκοιμήζ&η δ) δούλος
του <θ ^8θϋ ό^> ιερομόναχος κνρίς (νι)χηφορος ο αν&έντης
ου μ ό ηρ ττ μου.
f. 13r— 14V Geometric. 22, l p. 390b 1— 392b 17, α) άςχή ανν
9e<5 της γεωμετρίας, Euclidia Elem. I deff. 1 — 23 (u. p. A! n. 1),
Geometr. 3, 22 p. 180, 11—25 p. 182, 16 (O);2) 2 p. 176,
l— 13.1)
f. 14V— 15r Definit. 136, 1 p. 108, 10— 25.1)
f. 15r— 61r Geometr. 3 p. 176, 14—4, 16 p. 200, 9; 5, 1—6;
5, 7—6,2; 6, 4—8,1; 9, 1—12,62; 12,73—13,6; 14,2—11;
14, 13—15, 19; 16, 1—8, 20—28, 9—10, 14—19,29—46; 17,
1—36; 21, 1—2, 8—13; 18, 1—14; 19,1—4; 20,1—14
p. 374, 2;8) 21, 8 p. 380, 4 — 13 p. 382, 16; 21, 3 p. 874,
25—4 p. 376" 21; 21, 5 p. 376b 30— 378* 12; 21, 11 p. 382,
1-14 p. 382, 21; 21, 17 p. 382, 17—23 p. 886, 10; 21, 26
p. 386, 16—30 p. 390, 14. »)
f. 6lr— 62r de tegulie et hydriie quaedam, quae inter stereo-
metrica recepi; u. uol. V.
f. 62r olxoxvQfvsi δε κατ' ivtaveitv ξφδιον iv ων τ ιβ'· «οίον
Ss τοΰτό »ιιτβί ; το εφ' ω ή C βύρίόχεται τά ακ ην τ *β' ουτ
/τραμον μηνός, αρχβται ύε ή &τ ν ζωδίων οίκοκνςια καΐ
δίαιτα &itb α8 ου τ όκτοβςίον μηνός, ενρίακεται δε το οίκο-
κυςενον ζωδιον aiti> του μβτά τύν όκτώβςιον μαρτίον.
1) Huiue editioniB, ut etiam in eequentibus.
2) Cb = Defl1. 133, 1—3 (C fol. 80r).
3) Fol. 63V praeter p. 362b l—2 (fvqelv} nihil continet niei
notulam aetronomicam m. poet.; f. 54r rureus incipit p. 362b l
το *όέ λ.τκ
VI PEAEFATIO.
f. 62T—63Γ u. infra appendix 1.
f. 63Γ—96T Definitionea p. 2, 1—166, 9 ρητορική, deinde 3
folia reciea.1)
f. 96r—IDS' Stereometrica; Q. uol. V.
f. 105*—107T Didymus Μέτρα μαρμάρων καϊ παντοίων ξύλων.
f. 107T— 110r Geometr. 23, 1 p. 398, 12 — 66 p. 412, 27 (om.
p. 406, 3—408, 13).
f. 110r—117* Stereometrica; u. uol. V.
f. 118' notulae.
f. 118T—140T κά ιροφηφηψ ζητήματα καϊ προβλήματα, α δη
καϊ μετά τ&ν οίκείων με&όδων ίκαβτον ϋύγκειται.*)
f. 141Γ—142r m. post. (&) arithmetica quaedam, inc. πας δε
&ρι&μος η περιττός ίβτιν η άρτιος, des. eha δ έφέβδομος
καϊ οί εφεξής κατά το άκόλον&ον.
f. 142Γ alia manu (c) 9 uereus de numero ciiculari.
f. 142T—147r hac manu (c) astronomica.
f. 147T notulae.
f. 148'—149T manu post, (δ) computatinnculae.
f. 160'—161' poet deleta nonnulla: τα εύρωκόμΜα κατά Ια-
τίνους ϊτι aitb τον χν ατγ χατα το ένβαταις εν ήμίν ςωια
ίτος (1303) λ.τκ
f. 161ν το Έρατοδ&ένειον χοβχινον.
ί. 162'—167' ίτέρα ψηφιφορία πβρί τε ων κότ νομισμάτων α-Λ
φορ&ς τβ ν,αΐ φυραΰΐας, καΐ ίβτιν etnslv οΰτ<ος «ερί τόκων
νομιβμάτων.
f. 167'—159' ψηφίφορία περί vv&fasatg μορίων εκβολής δι-
αιρέοβώς τε καϊ πολλαπλαΰκχβμον,
f. 169'—161Τ ιρηφιφορικά προβλήματα πάνυ όφέίημα.
f. 162' εκ των ίπάρχον (catalogue stellarum).
f. 162T notulae, uelut haec: εγώ Γεώργιος ομολογώ δια του
παρόντος κτλ.
f. 163'—180r αρχή ης τ μεγάλης αϊ κ Ινδικής ψηφιφορίας (cum
numeria Aiabicie).
f. 181' u. appendix 2.
f. 181T—208' αρχή ΰνν &εω άγΐω της νοταρικής επιστήμης.
inc. πρώτον μ^ν είπωμεν περί της καταλακτικης ήγουν των
τρικέφαλων, f. 196' αρχή ανν 9·εο> της ον τ πενταρίον -η-ψ
φιφορίας. f. 202V ψηφιφορία του κεντιναρίον εΆηφεν αρ-
χήν ΰνν frei άγίω; des. ήγονν έξάγια $'. τα, τερματούργω
χω τον τέλους χάρις,
f. 208' u. appendix 3.
f. 208V u. appendix 4.
1) De fol. 76T—76' u. p. 71, 22.
2) Hue eadem manu praeter foil. 5 —12, quae manu b
ecripta eunt, ut f. 150—210.
PEAEFATIO. ΥΠ
f. 209r—210* αρχή evv 9"βω των παραπέμπτων. inc. teQ-i
οπόταν έρωτ-ηδ^ς εις τα παράηβμπτα, des. χαΐ μέλλεις ύ-ε
ρΐΰχΐΐν. τέλος ΰυν Φεω τον οίον ψηφαρίον αΐ κ τ·ής itQccy-
ματ^ντικής έπιβτίμης. dein de duae notulae manu c deletae.
f. 2llr~T nota chronologica (manu &), cuiue initium del.
f. 212r—219Γ αρχή τ^ς τ&ν χριβτιανών βαΰιλέων χωνδταντινον-
πόλεως (mann c) a Constantino Magno ad Michael em IV
(f 1040). f. 219V (ult.) uacat.
— contulit Guilelmus Schmidt praeter p. 92—168; ego
haue partem contuli plurimosque locos inspexi.1)
B = cod. Paris. Gr. 2475, chart, saec. XVI. continet:
f. 1 — 53 Definitiones p. 2 —166, 9 ρητορική, f. 64 uacat.
f. 66—71r Stereometrica, u. nol. V; f. 71T uacat. f. 72—
76r Didymum. f. 76r—80r Geometr. 23, 1 p. 398, 12—66
p. 412, 27 (om. p. 406, 3—408,13). f. 80T—94 (ult.) Stereo-
metrica, u. uol. V. a codice C pendet. contulit Fridericus
Hultech; nonnulloa locos inepeximus Guilelmus Schmidt
et ego. paucas scripture« memorabiles in adparatum re-
cepi, ceteras neglexi.
P = cod. Paris. Gr. 2385, chart, saec. XV—XVI. continet:
f. 1—18 Geminum. f. 19—39 Pediasimi commentarinm in
Cleomedem. f. 40—48r aetronomica «ερί του τετραγώνου
(u. Th. H. Martin 1. c. p. 237); f. 48T uacat. f. 49—63' De-
finitiones p. 2—166, 9 ρητορική. & codice C pendet, sed
emendationes aliquot obuias habet; quare totam fere discre-
pantiam scriptuxae recepi. contulit Fridericua Hultech,
inspeximus Guilelmus Schmidt et ego.
M = cod. Monacensis Gr. 165, chart, saec. XVI (scr. Andreas
Dannarius). continet:
f. 2—27 Heronis Belo«otwa. f. 28—65r Stereometrica. f. 66'
—70r Geometrica 23, l p. 398,12—66 p. 412, 27 (om. p. 406,
3—408, 13). f. 70T—76T Didymum. f. 76r—79r Deff. 138
p. 160, 8—168, 12. f. 79T—87r Damiani Optica. a codice
C pendet, aed impudenter interpolatus est. contulit Fri-
dericue Hultsch; ego locos nonnullos inspexi et p. 166,
9—168, 12, quam partem solus seruauit, sine dubio a G
desumptam ante folia tria post f. 96 reciea, iterum con-
tuli; ibi omnem scripturae discrepantiam dedi, reliquam
neglexi.
1) De uerbo γίνεται uel γίνονται, utrnm omnibus litterie
au compendio scriptum sit, ea tantrum praestare possum, quae
diserte indicaui. sed u. infra Corrigenda.
VIII PEAEFATIO.
V = cod. Vatic. Gr. 215, bombyc. saec. XIV, de cuius genere
uniuerso u. Festschr. Moritz Cantor anl. sein, achtz. Ge-
burtstages gewidmet p. 119 sq. est codex Geeponicorum,
quae habet f. 24Γ—191T. Deinde addita sunt acta quae-
dam ad possessiones rusticas pertinentia f. 192—195
(nunc numerantur 193—96, quia insertum est l folium
recens uacuum). Praemittuntur excerpta Heroniana rei
rusticae utilia f. l—24r, scilicet haec:
Deff. 25—34, 39—53, 55—61, 65—72, 98—99; deinde (f. 4r)
Geometr. 3, 1-25; 4, l, 6; 5, l p. 200b l—S; 5, l p. 200·
1—3 p. 202, 31; 6, l p. 206* 1—2 p. 208· 27; 7, l p. 210*
1 — 212· 10; 7, 6 p. 212· 30 — 214' 21; 11, l p. 228· 1—2
p. 230' 3; 24, 31 p. 434, 20—36 p. 438, 19; 17, 4 p. 332·
1—338· 13; 18, 4 p. 852· 1 — 11; 18, 6 p. 354" 1—9; ατού
u. Stereometr.; 18, 15—16 p. 366, 12—22; de pyramidibue,
u. uol. V; Diophantue ed. ^Tannery Π ρ. 18, 7—23 (f. 10Γ
μέ&οδοι ων τ πολυγώνων όντως);1) Geometr. 24, 1 ρ. 414,
28—2 ρ. 418, 2; Stereometrica, u. uol. V; Geometr. 13, 6
p. 272,25—274,4; Stereometrica, u. uol. V; Deff. 130—132
(f. 12T—13T); Geometr. 2; Geometr. 23, 67 p. 412, 28—414,
12; Μετςήϋεις 64—59 (u. uol. V); Geometr. 23, 68 p. 414,
13—27; Mtttfeetg 2—3, 16—23, 54—59, 1—10,12,14—16,
18, 20—23, 26, 29—31, 35—36, 38 (u. uol. V); Diophan-
tus Π p. 24, 15-27, 19 (f. 19V—21r); Geometr. 22, l p. 390·
1—24 p. 398, 11 (f. 81r—22r); Stereometr., u. uol. V; ε-Μ
τρήδεις 49; Stereometr., u. uol. V; Stereometr.; Μβτρήβεις
52; Stereometr. (f. 22r—24r). in prima pagina postea adr
ditum: ηρω^νος) γεηπο-; ς-νικό» t Uov et supra scri-
•\ - - l f
ptum manu recenti: Ironie Agricultura; in folio anteposito:
•ήρωνος γεωμετρικής ν,αϊ ΰτΐριωμετριχής πράξεως βιβλίον.
τον «ντον γαωργιχ&ν εκλογών βιβλία ν. (cui adecripsit An-
gelue Mai: nempe sunt eaiem quae Constantini Caeearis).
Eine originem duxit „Heronis liber geeponicus" Hultschii.
In Definitionibus Mensurisque sui generis est et haud
spernendae auctoritatis; reliqua paucis capitulis exceptis e
codice S descripta esse, iam Guilelmus Schmidt intellexerat.
Contulit ille, inspexi ego.
G = cod. Paris. Gr. 2342, chart, saec. XIV. u. Omont, Inv. II
p. 243; Apollon. Perg. ed. Heiberg II p. XII. habet f. 114r
1) De bis Pseudo-Diophanteis u. appendix 6.
PEAEFATIO. IX
—115r Deff. 135, 10 p. 102, 9—13 p. 108, 9. Contulit
Richardus Schöne (Damianos Schrift über Optik, Berlin
1897, p. 22 sqq.).
J = cod. Vatic. Gr. 192, bomh. saec XIV; u. Heiberg, Om
Scholierne til Euklids Elementer (Vidensk. Selsk. Skr., 6.
Eaekke, hist, philos. Afd. II3, Hauniae 1888) p. 34. habet
f. I2orsq. Deff. 135, 10—13 ut G. Contuli, sed pleras-
que scripturas ut inutiles omisi.
H = cod. Vatic. Gr. 193, chart, saec. XIV.—XV (Heiberg,
Om Scholierne p. 59, Hermes XXXVIH p. 71 not.), habet
f. lr—3V Deff. 136, 1 p. 108, 10—57 p. 154, 23. Con-
tuli ipse.
N = cod. Bonon. Bibl. comm. 18, membr. saec. XI. u. Eucli-
dis opp. edd. Heiberg et Menge- V p. XXXIII. habet
f. 35r—44T Deff. 136, l p. 108, 10—58 p. 156, 5. Con-
tuli ipse.
Definitiones l—131 primus edidit Cunr. Dasypodius,
Euclidis Elem. lib. primus. Heronis Alexandrini vocabula
geometrica, Argentorati 1570 (in aliis exemplaribus est
1571). Deinde Hasenbalg, Heronis Alexandrini defini-
tiones geometricae, Stralsundiae 1826. Cfr. etiam May-
ring, Des Heron aus Alexandrien geometrische Definitionen
übersetzt u. commentirt, ISeuburg 1861.
Deff. l —132 edidit G. Friedlein, De Heronis quae
feruntur definitionibus, Bullettino di bibliografia e di storia
delle scienze matematiche e fisiche IV, Bomae 1871.
Deff. 138 edidit Pabricius, Bibliotheca Graeca, Ham-
burgi 1707, p. 275sqq. Praeterea nonnulla excerpserunt
M. Letronne, Eecherches critiques, historiques et geogra-
phiques sur les fragments d'Heron d'Alexandrie, Paris 1851,
p. 59sqq., et Th. Henri Martin, Recherches sur la vie et
les ouvrages d'Heron d'Alexandrie (Memoires presentes par
divers savants a l'Acad&nie des inscriptions et belles-lettres,
le serie, IV), Paris 1854, p. 405 sqq. Deff. 135, 10—13
saepius cum Opticis Damiani uel Heliodori editae sunt,
X PRAEFATIO.
nouissimum a Richarde Sch ne 1. c. p. 22sqq., et prae-
terea ab Henrico Martin 1. c. p. 414 sqq. cum Deff. 138 (ib.
p. 427 sqq.).
GEOMETRICA.
Ex Geometria fragmenta nonnulla sub nomine Didymi
ediderunt Angelus Mai, Iliadis fragmenta et picturae,
Mediolani 1819, et Th. Henri Martin 1. c. p. 437 sqq.,
plenius deinde J. L. Sirks, Specimen litterarium exhibens
Heronis mathematici Alexandrini Metrica nunc primum edita,
Lugduni Batav. 1861, codicibus recentibus usus. Denique
Fridericus Hultsch (Heronis Alexandrini Geometriconim
et Stereometricorum reliquiae, Berolini 1864), qui edi-
tionem Sirksii non nouerat, unum saltern codicem antiquum
(A) nactus sanum fundamentum recensionis iecit; sed co-
dicem C iniuria neglexit (1. c. p. VI—VII). In hac editione
codices usurpati sunt hi:
A = cod. Paris. 1670, membr. saec. XII.1) u. Omont, Inv. II
p. 118. Continet:
f. 1 = f. 60, mg. „duplex exemplar folii 50 infra reperiendi'1.
f. 2 = f. 43, mg. „duplex exemplar folii 43 infra reperien-
di". f. 3*)—13r αρχή συν εώ Φ ης τ παλαι&ς λογαριχής οντ
Ανγονΰτον Καίΰαρος. f. 13Γ τέλος βνν &εω ης τ παλαιάς
λογαριχής τον Ανγονβτον Καίΰαρος καΐ αρχή. της νέας της
νυν απαιτουμένης δια προατάξεως τον άοιδίμον βαβιλέως
χνροϋ Άλικου τον Κομνηνού\ sequuntur duo deer eta regia;
des. f. 18V; deinde: τά ακ γονν τας περιλήψεις ί.ακ δννάμεις
των άναγεγραμμένων &εία>ν καίπροαχννητ&ν βαΰίλιχ&ν προΰ-
τάξ,ΐων οφείλεις ποιεί ν την άπαίτηαιν εχάΰτου ψηφίον όντως
.λτκ, des. f. 21T (^τ )ςο .
f. 21Τ—33Τ αρχή ΰυν δεω των λιτςιαμάν. f. 33V—34V π ρί
6
των λεπτών της λίτρας, ΐ. 3 r—46ν αρχή ΰνν &e& των λεπ-
τών, f. 46ν—61ν αρχή βνν &εφ της ψήφου των πααχαλίων
1) In schedula aiitefixa: acr. eet a. m. 6691 i. Christi 1183.
fol. l in mg. inf.: λογιδτικη των επί Ανγονβτον Καίΰαρος. \ λο-
γΐΰτιν,τ] των επί τον βαβιλέως άλεζίον τον Κομνηνον. \ ιρήφηοις
τ&ν παΰχαλίων καί ετέρων διαφόρων ζητημάτων. \ Ενκλείδου καΐ
"Ηρωνος αΐ κ Πλάτωνος καΐ Άρχιμήδονς γεωμετρικά διάφορα, εν
οίς Υ.α.1 η βίβλος τελεντα. Ν° 13.
2) fol. 3r mg. inf. numerus quaternionis a legitur, et sie
deinceps. sunt quaterniones iustae ις praeter foil. 1, 2, 132.