Handbuch der Laplace-Transformation: Band 3: Anwendungen der Laplace-Transformation

293 Pages·1973·6.98 MB·German

by  Gustav Doetsch (auth.)

GUSTAV DOETSCH
HANDBUCH DER LAPLACE-TRANSFORMATION
BAND III
LEHRBÜCHER UND MONOGRAPHIEN
AUS DEM GEBIETE DER
EXAKTEN WI SSEN SCHAFTEN
MATHEMATISCHE REIHE
BAND 19
HANDBUCH DER
LAPLACE-TRANSFORMATION
BAND III
ANWENDUNGEN DER LAPLACE-TRANSFORMATION
2. ABTEILUNG
VON
GUSTAV DOETSCH
ORD. PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT FREIBURG I. BR.
V erbesserter Nachdruck der ersten A ujlage 1956
1973
Springer Basel AG
ISBN 978-3-0348-5970-7 ISBN 978-3-0348-5969-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5969-1
Nachdruck verboten. Alle Rechte, insbesondere
das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion
auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten.
© 1956, 1973 by Springer Basel AG
Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel 1973.
Softcover reprint of the hardcover 2nd edition 1973
5
Vorwort
Der vorliegende Band III bildet mit dem früher erschienenen Band II ein
Ganzes, was auch äusserlich dadurch zum Ausdruck kommt, dass die Teile und
Kapitel anschliessend an die von Band II weiternumeriert sind. Gegenüber der
früheren Darstellung in meiner Monographie ~Theorie und Anwendung der
Laplace-Transformation» von 1937 hat sich auch in diesem. Band der Stoff auf
allen Gebieten stark ausgeweitet. Manches ist ausführlicher dargestellt, anderes
ganz neu hinzugekommen, wie die Kapitel über partielle Differentialgleichungen
mit variablen Koeffizienten, Kompatibilitätsbedingungen für Randwertprobleme,
Differenzengleichungen, Integralgleichungen im unendlichen Intervall, verschie
dene mit Laplace-Transformation lösbare Integralgleichungen und ganze Funk
tionen vom Exponentialtypus. Letztere bieten ein schier unerschöpfliches Feld
für Anwendungen der Laplace-Transformation, und die dargestellten Unter
suchungen möchten zu weiteren Forschungen auf diesem Gebiet anregen.
Bei den Funktionalgleichungen sei besonders auf die Differenzengleichungen
verwiesen, deren Behandlung mit Laplace-Transformation hier zum erstellmal
in Buchform vollständig dargestellt ist. An Hand der Theorie der Kettenleiter,
der Schrittregler und ähnlicher Probleme ist in letzter Zeit in der Technik
ein neu es Interesse an den Differenzengleichungen erwacht, und für die hier
vorliegenden Fragen dürfte insbesondere das 22. Kapitel brauchbare Methoden
liefern.
Bei den partiellen Differentialgleichungen ist die Distributionstheorie noch
nicht verwendet. Einerseits lagen bei Abfassung des Manuskripts die grund
legenden Arbeiten von L. SCHWARTZ und J. L. LIONS über die Benutzung der
Distributionstheorie in dem Gebiet (cLaplace-Transformation und partielle Dif
ferentialgleichungen) noch nicht vor, andererseits haben gerade diese Arbeiten
gezeigt, dass die Durchführung nicht ohne einen beträchtlichen Apparat möglich
und keineswegs so einfach ist, wie manche Bearbeiter des Grenzgebiets zwischen
Mathematik und Physik sich das vorzustellen scheinen. Wie schon im Vorwort
zum II. Band angekündigt, hoffe ich die Laplace-Transformation und die Diffe
rentialgleichungen auf dem Boden der Distributionstheorie in einem gesonderten
Band darstellen zu können, wenn diese Dinge hinreichend ausgereift sind und es
sich herausgestellt hat, welche der heute vorliegenden Begründungen der Distri
butionstheorie sich am besten für diesen Zweck eignet.
Zu dem Stil des nunmehr fertig vorliegenden Werkes möchte ich bemerken,
dass ich mich immer bemüht habe, sowohl dem reinen Mathematiker (hinsichtlich
der Strenge) als auch dem Praktiker (hinsichtlich der Verwendbarkeit der Resul
tate) gerecht zu werden. Besonders mit Rücksicht auf den letzteren sind alle
Ergebnisse so formuliert, dass sie ohne zeitraubendes Nachschlagen auf vorher
gehenden Seiten unmittelbar benützt werden können.
Am Schluss von Band III sind in einem Nachtrag zu Band I einige seit dem
Erscheinen dieses Bandes gefundene theoretische Eigenschaften der Laplace
Transformation zusammengestellt, von denen es wünschenswert erschien, dass
sie möglichst bald allgemein bekannt würden. Teilweise werden sie bereits in
Band III verwendet.
6 Vorwort
Das Literaturverzeichnis bringt die in Band II und III zitierten Arbeiten,
aber auch inzwischen erschienene Beiträge zu dem Stoff von Band I. Arbeiten
von Autoren, die bereits in Band I genannt wurden, sind anschliessend weiter
numeriert. Die Literaturverzeichnisse von Band I und III zusammen umfassen
über 500 Titel.
Bei Abschluss des ganzen Werkes möchte ich meinem Verleger, Herrn Dr. h.c.
Albert Birkhäm'er, nochmals für seine Bereitwilligkeit, ein so umfangreiches Un
ternehmen durchzuführen, und für die sorgfältige Drucklegung und vorzügliche
Ausstattung meinen Dank aussprechen.
Freiburg i. B., GUSTAV DOETscH
Riedbergstrasse 8
Im April 1956.
Bezeichnun~en und Verweise
Die in Band I, S. 13, 14 angeführten Bezeichnungen werden auch in Band III
benutzt.
Da die Kapitel von Band II und III durchnumeriert sind, wird bei Verweisen
auf Paragraphen dieser Bände die Bandnummer nicht angegeben. Band II ent
hält das 1. bis 16. Kapitel, Band III das 17. bis 32. Kapitel der .Anwendungem.
Daher ist z. B. 6.3 (= 6. Kap., § 3) in Band II, 26.2 (= 26. Kap., § 2) in Band III
zu finden.
Bei Verweisen auf Band I und auf einzelne Seiten von Band II wird die
Bandnummer durch eine römische Zahl gekennzeichnet. Satz 2 [16.3] bedeutet
also Satz 2 in Band I, 6. Kap., § 3, und II, S. 79 bedeutet Band II, S.79.
7
Inhaltsverzeichnis
IV. TEIL
Partielle Differentialgleichungen
17. Kapitel. Allgemeines über partielle Differentialgleichungen und ihre
Integration vermittels Laplace-Transformation. . . 13
§ 1. Rand- und Anfangswertprobleme und der Sinn der Randbedingungen . .. 13
§ 2. Die der Laplace-Transformation zugänglichen Probleme. . . . . . . .. 16
§ 3. Allgemeine Richtlinien für die Lösung eines Rand-und Anfangswertproblems
vermi~tels ß-Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17
18. Kapitel. Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstan-
ten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22
§ 1. Die Wärmeleitungs- oder Diffusionsgleichung (Parabolischer Typ) 22
1. Der Wärmeleiter ohne in~ere Quellen und mit verschwindender Anfangs-
temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2. Der Wärmeleiter mit verschwindenden Randtemperaturen . . . . . 27
3. Der unendlich lange Wärmeleiter. . . . . . . . . . . . . . . . 29
§ 2. Die Ein- oder Vieldeutigkeit der Lösung der Wärmeleitungsgleichung . 31
§ 3. Die Wellengleichung und die Telegraphengleichung (Hyperbolischer Typ) 38
1. Einschaltvorgang . . . . . . . . . . 41
2. Ausschwingvorgang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49
§ 4. Die Potentialgleichung (Elliptischer Typ) . . . . . . . . . . . . .. 51
§ 5. Eine Differentialgleichung mit gebietsweise verschiedenen konstanten Koef-
fizienten. . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
§ 6. Die Verwendung der komplexen Umkehrformel. . . . . . . . . . .. 58
19. Kapitel. Partielle Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten. 62
§ 1. Eine Gleichung mit Koeffizienten, die von den nichttransformierten Vari-
ablen abhängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62
§ 2. Eine Gleichung mit Koeffizienten, die von der transformierten Variablen
abhängen (Singuläre Fokker-Plancksche Gleichung). . . . . . . 64
20. Kapitel. Eindeutigkeitssätze und Kompatibilltätsbedingungen für die
Rand- und Anfangswerte . . . . . . . . . . 70
§ 1. Die in der ß-Transformation liegenden Möglichkeiten zur Ableitung von
Eindeutigkeitssätzen und Kompatibilitätsbedingungen . . . . . . . 70
§ 2. Eindeutigkeitssatz und Lösbarkeitsbedingungen für ein Randwertproblem
in einer speziellen Klasse von Lösungen . . . . . . . . 71
§ 3. Kompatibilitätsbedingungen für den elliptischen Typ. . 75
§ 4. Kompatibilitätsbedingungen für den parabolischen Typ. 76
§ 5. Kompatibilitätsbedingungen für den hyperbolischen Typ 77
8 Inhaltsverzeichnis
21. Kapitel. Huygenssches und Eulersches Prinzip 79
§ 1. Das Huygenssche Prinzip . . . . . . . . . . 79
§ 2. Das Eulersche Prinzip. . . . . . . . . . . . ' 82
§ 3. Die Beziehung zwischen der Erzeugung transzendenter Relationen durch das
Huygenssche und Eulersche Prinzip und der Erzeugung durch die 2-Trans-
formation. Der Zusammenhang mit der Theorie der Halbgruppen . . . .. 84
V. TEIL
Differenzengleichungen
22. KapiteL Gewöhnliche Differenzengleichungen im Originalraum 91
§ 1. Allgemeines über Differenzengleichungen . . . . . .' . . 91
§ 2. Die lineare Differenzengleichung unter Anfangsbedingungen . . . 93
Beispiel: Elektrischer Kettenleiter . . . . . . . . . . . . . . 103
§ 3. Die Differentialdifferenzengleichung in einer unabhängigen Variablen 105
23. Kapitel. Gewöhnliche Differenzengleichungen im Bildraum 107
§ 1. Analytische Lösungen einer Differenzengleichung . . . . . . 107
§ 2. Die Differentialdifferenzengleichung in einer unabhängigen Variablen 113
24. Kapitel. Partielle Differenzengleichungen . . . . . . . . . . . . 116
§ 1. Ein Randwertproblem für eine partielle Differenzengleichung 116
§ 2. Ein Randwertproblem für eine Differentialdifferenzengleichung in mehreren
Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
VI. TEIL
Integralgleichungen und Integralrelationen
25. Kapitel. Integralg1eichunl1en vom reellen Faltungstypus im endlichen
Intervall. . . . . . . . . . . . 133
§ 1. Die lineare Integralgleichung zweiter Art 133
§ 2. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . 144
1. Das Erneuerungsproblem der Statistik 144
2. Die Entzerrung der Anzeige bei physikalischen Messinstrumenten. Der
Zusammenhang zwischen übergangsfunktion und Frequenzgang . 146
§ 3. Die lineare Integralgleichung erster Art . . . . . . . . . 151
§ 4. Beispiele . . . . . . ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
1. Die Abelsche Integralgleichung und Verallgemeinerungen . . . . 157
2. Integration und Differentiation ~ichtganzer Ordnung im Raum der Ori-
ginalfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
§ 5. Integral- und Integrodifferentialgleichungen höherer Ordnung. . . . . . 169
26. Kapitel. Integralgleichungen vom reellen Faltungstypus im unendlichen
Intervall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
§ 1. Die lineare Integralgleichung zweiter Art . . . . . . . . . . . . . . . 172
§ 2. Die lineare Integralgleichung erster Art (Umkehrung der Integraltransforma
tionen vom Faltungstypus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Inhaltsverzeichnis 9
27. Kapitel. Funktionalrelationen mit reellen Faltungsintegralen, insbeson-
dere transzendente Additionstheoreme . . . . . . . . 187
§ 1. Allgemeine Prinzipien ................... 187
§ 2. Funktionen, deren E-Transformierte vom Typus 5 - (J e -O<'I'(s) sind 188
§ 3. Thetafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
§ 4. Besselsche Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
§ 5. Konfluente hypergeometrische Funktion, Hermitesche und Laguerresche
Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
28. Kapitel. Integralgleichungen vom komplexen Faltungstypus. . . . . . 199
§ 1. Die Integralgleichung erster Art in speziellen Funktionsräumen. Die Deri-
vierte beliebiger Ordnung im Raum der E-Transformierten. . . . . . 199
§ 2. Differentialgleichungen unendlich hoher Ordnung . . . . . . . . . . . 204
29. Kapitel. Korrespondenz zwischen komplexen Faltungsintegralen von
Bildfunktionen und Produkten ihrer Originalfunktionen . 209
§ 1. Funktionalrelationen mit komplexen Faltungsintegralen 209
J00 J00
§ 2. Auswertung von e-st P2(t) dt und P2(t) dt durch ein komplexes Faltungs-
o 0
integral über 1(5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
30. Kapitel. Verschiedene mit Laplace-Transformation lösbare Typen von
Integralgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
§ 1. Transformation einer Integralgleichung erster Art in eine Integralgleichung
mit bekannter Lösung. . . . . . . . . . . . . . . . . 215
§ 2. Kerne, deren E-Transformierte Exponentialfunktionen sind . . . . . . . 217
§ 3. Involutorische Kerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218·
§ 4. Integralgleichungen, die eine Funktionaloperation darstellen, deren Abbild
eine elementare Substitution ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Vrf.TEIL
Ganze Funktionen vom Exponentlaltypus und endliche
Laplace-Transformation
31. Kapitel. Die endliche Laplace-Transformation. 225
§ 1. Die endliche Er-Transformation . . . . . . . . . 225
§ 2. Die endliche Eu-Transformation . . . . . . . . . 229
32. Kapitel. Ganze Funktionen vom Exponentialtypus . 233
§ 1. Darstellung einer ganzen Funktion vom Exponentialtypus als endliche En-
Transformierte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
§ 2. Der quadratische Mittelwert m(x) für die endlicheErrT ransformierte mit einer
Originalfunktion der Klasse L2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
§ 3. Der Zusammenhang zwischen dem Wachstum einer ganzen Funktion vom
Exponentialtypus und dem ihrer Ableitung . . . . . . . . . . . . . . 249
Nachträge zu Band I . . . . . . . . . . 253
Literarische und historische Nachweise . 261
Bücher über die Laplace -Transformation 277
Literaturverzeichnis. . . . 279
Sachregister . . . . . . . 297
Berichtigungen zu Band II 299