Table Of ContentHalbringe
Aigebraische Theorie und
Anwendungen in der Informatik
Von Prof. Dr. rer. nat. Udo Hebisch
Bergakademie Freiberg
und Prof. Dr. phil. et rer. nat. habil. Hanns Joachim Weinert
Technische Universitiit Clausthal
B.G.Teubner Stuttgart 1993
Prof. Dr. rer. nat. Udo Hebisch
Geboren 1954 in Welver/Soest. Studium der Mathematik und Informatik ab 1974
in ClaListhal, Diplom 1979, Promotion 1984, Habilitation 1990. Von 1979 bis 1993
Assistent bzw. Oberassistent an der TU Clausthal. Seit 1993 Professor an der
Bergakademie Freiberg.
Prof. Dr. phil. et rer. nat. habil. Hanns Joachim Weinert
Geboren 1927 in Leipzig. Studium der Mathematik, Physik und Philosophie ab
1946 in Leipzig, Diplom 1951, Promotion 1952, Habilitation 1963. Professuren an
der Pădagogischen Hochschule Potsdam, der University of Florida in Gainesville,
der Universităt Mainz, der Universidad de 105 Andes in Bogotâ/Kolumbien und
der Technischen Universităt Clausthal.
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Hebisch, Udo:
Halbringe : algebraische Theorie und Anwendungen
in der Informatik / von Udo Hebisch und Hanns Joachim Weinert. -
Stuttgart : Teubner, 1993
(Teubner-StudienbOcher : Mathematik)
ISBN 978-3-519-02091-2 ISBN 978-3-322-94682-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-94682-9
NE: Weinert, Hanns Joachim:
Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschOtzt. Jede
Verwendung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne
Zustimmung des Verlages unzulăssig und strafbar. Das gilt besonders fOr Verviel
făltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Ver
arbeitung in elektronischen Systemen.
© B. G. Teubner Stuttgart 1993
Gesamtherstellung: Druckhaus Beltz, Hemsbach/BergstraBe
Einband: Tabea u. Martin Koch, Ostfildern/Stuttgart
Vorwort
Der Begriff des Halbringes entsteht aus dem des Ringes, indem man auf die
Gruppeneigenschaft (und seltener auch auf die Kommutativitiit) der Addition
verzichtet. So bilden die natiirlichen Zahlen einen Halbring, die sicherlich
iilteste algebraische Struktur, in der Menschen gerechnet haben. Zahlreiche
Arbeiten tiber Halbril1ge sind seit etwa 50 Jahren erschienel1. AniaB dazu war,
jedenfalls teilweise, das Auftretel1 von Halbringen als Positivbereiche partiell
geordneter Ringe und Korper, bei topologischen Fragestellungen, und nicht
zuletzt beim Aufbau der Arithmetik im Zusammenhang mit entsprechenden
Fragen des Schulunterrichts. Besonderes Interesse verdienen Halbringe da
durch, daB sie unterdessen in wachsendem MaBe, oft ohne Bezug auf die
bereits vorhandene Literatur, als Hilfsmittel in verschiedenen Gebieten der
Informatik verwendet werden.
In dieser Situation mochten wir eine Einfiihrung in die algebraische Theorie
der Halbringe vorlegen, in der auch einige Anwendungen in der Theoretischen
Informatik ausfiihrlich behandelt werden. Dabei haben wir uns inhaltlich
weitgehend auf die allgemeinen Grundlagen einer algebraisehen Halbringtheo
rie und auf solche Teilgebiete dieser Theorie besehriinkt, die ftir die eben
genannten Anwendungen benotigt werden. Weiterhin legen wir hier, wie ja
aueh bei der Behandlung von Ringen iiblieh, einen Halbringbegriff zugrunde,
der die Kommutativitiit der Addition einsehlieBt (vgl. Definition 2.1 im ersten
Kapitel). Damit haben wir die gelegentlich in der Literatur auch auftreten
den Halbril1ge mit nichtkollllllutativer Addition ausgeklammert, deren Unter
suchung zwar fiir sieh reizvoll, dartiber hinaus jedoch von weit geringerem
Interesse ist und oft erheblich mehr Aufwand erfordert. Ubrigens gelten viele
Resultate tiber Halbringe nur, wenn man die Kommutativitiit der Addition
oder wenigstens eine Abschwachung dieser Kommutativitiit voraussetzt.
Ais Leser dieses Buches stellen wir uns einerseits Studenten der Mathema
tik oder Informatik mittlerer Semester vor, die sieh im Zusammenhang mit
entsprechenden Lehrveranstaltungen oder ill1 Selbststudium in die algebrai
sehe Theorie der Halbringe und in die genannten Anwendungen einarbeiten
moehten. Aus diesell1 Grunde haben wir uns um eine iibersiehtliehe Glie
derung bemiiht und zahlreiehe Erliiuterungen, Hinweise und Querverweise
gegeben. Aueh sind aIle Beweise, von einigen einfaehen und naheliegenden
Folgerungen abgesehen, vollstiindig und ll1eist sehr ausfiihrlieh angegeben.
Trotz dieser Ausfiihrliehkeit hoffen wir, daB sich andererseits auch der fort
gesehrittene Mathematiker oder Inforll1atiker mit geringell1 Zeitaufwand iiber
IV
die hier dargestellten Gebiete und Anwendungen der Halbringtheorie infor
mieren kann. An ihn haben wir insbesondere bei der Auswahl der relativ
umfangreichen Literaturangaben gedacht, wobei uns die Korrespondenz mit
Herrn Professor Dr. K. Glazek und seine Literaturzusammenstellung [Gla85]
eine groBe Hilfe war.
1m Hinblick auf den zuerst genannten Leserkreis wurden auch die verwendeten
Hilfsmittel aus anderen mathematischen Gebieten weitgehend in unsere Dar
stellung einbezogen. So setzen wir zwar einige element are Begriffsbildungen
und Bezeichnungen der Mengenlehre als bekannt voraus, erliiutern sie aber
meist bei ihrem ersten Auftreten. Die von uns benatigten Begriffe und Aus
sagen iiber Relationen, partiell und linear geordnete Mengen und Verbiinde
stellen wir in Paragraph 6 von Kapitel I zusammen. Lediglich fiir das Rech
nen mit Kardinalzahlen verweisen wir auf entsprechende Lehrbiicher. Ebenso
haben wir die jeweils verwendeten Begriffsbildungen und Aussagen iiber Halb
gruppen in unsere Darstellung aufgenommen, teils in Form gesonderter Para
graphen, teils im laufenden Text oder in einigen Aufgaben. Ahnliches gilt fiir
die Aussagen iiber Ringe und Karpel', die den hier behandelten iiber Halb
ringe entsprechen oder Spezialfiille ihrer hier untersuchten Verallgemeinerun
gen sind. Insbesondere haben wir, soweit sich die jeweiligen Anwendungen auf
Ringe nicht von selbst verstehen oder uns als Analogien oder Verschiirfungen
erwiihnenswert erschienen, den Ringfall in unsere Formulierwlgen und Beweise
mit aufgenommen.
Fiir eine Orientierung iiber die behandelten Gegenstiinde verweisen wir auf
das Inhaltsverzeichnis und die Ubersichten, die jedem der fiinf Kapitel voran
gestellt sind.
An dieser Stelle machten wir ganz besonders Frau Edith Weber-Hebisch fiir die
sorgfiiltige und ziigige Erstellung der Druckvorlage zu diesem Buch danken.
Ebenso gilt unser Dank den Mitarbeitern des Verlages B. G. Teubner fiir ihr
verstiindnisvolles Entgegenkommen bei der Entstehung unseres Buches und
seine Aufnahme in die Studienbuchreihe.
Clausthal, im August 1993 U. Hebisch, H. J. Weinert
Inhaltsverzeichnis
Kapitel I. Allgemeine Aussagen iiber Halbringe 1
1.1. Halbgruppen 2
1.2. Halbringe 10
1.3. Homomorphismen und Isomorphismen 25
1.4. Multiplikativ kiirzbare Halbringe 36
1.5. Halbkorper 43
1.6. Relationen, partiell geordnete Mengen, Verbiinde 51
1.7. Kongruenzen und Homomorphiesiitze 67
1.8. Halbringideale und k-Ideale 83
Kapitel II. Erweiterungen von Halbringen 96
ILl Polynomhalbringe 97
Il.2 Quotientenhalbkorper 110
11.3 Quotientenhalbgruppen 116
Il.4 Quotientenhalbringe 123
11.5 Differenzenhalbringe und Differenzenringe 129
Il.6 N acheinanderanwendung von Quotienten- und
Differenzenerwei terungen 140
Il.7 Kongruenzen und Ideale in Halbringen
und ihren Differenzenringen 147
Kapitel III. Partiell geordnete Halbringe 152
IlLl Partiell geordnete kommutative Halbgruppen 153
III.2 Partiell geordnete Halbringe 161
IlL3 Quotientenhalbringe partiell geordneter Halbringe 177
IlI.4 Differenzenhalbringe partiell geordneter Halbringe 192
Kapitel IV. Halbringe mit unendlichen Summen 203
IV.l ~-Algebren 203
IV.2 Neutrale und absorbierende Elemente 220
IV.3 ~-Halbmoduln und ~-Halbringe 226
IV.4 Die Sternoperation 236
IV.5 Freie Halbgruppen und formale Sprachen 244
IV.6 Das algebraische Pfadproblem 256
VI
v.
Kapitel Halbalgebren, Halbgruppen-Halbringe und
Potenzreihenhalbringe 273
V.l. Operatorhalbmoduln tiber Halbringen 273
V.2. Halbalgebren tiber Halbringen 285
V.3. Verallgemeinerte Halbalgebren und Halbgruppen
Halbringe 299
V.4. Potenzreihenhalbringe und formale Sprachen 309
Losungen zu ausgewahlten Aufgaben 320
Literaturverzeichnis 336
Symbolverzeichnis 352
Sachverzeichnis 355
Hinweise fur den Leser
Entsprechend dem Inhaltsverzeichnis gliedern wir unseren Stoff in Kapitel
und Paragraphen, mit deren Numerierung wir in jedem Kapitel gemaB 1.1,
1.2, ... ,11.1,... neu beginnen. Innerhalb eines Paragraphen werden aile Defi
nitionen, Satze, Beispiele, Bemerkungen etc. fortlaufend z. B. gemaB Defi
nition 3.1, Beispiel 3.2,... durchnumeriert. Innerhalb des gleichen Kapitels
zitieren wir dann ohne Kapitelangabe, und sonst unter EinschluB der Kapitel
nummer, also z. B. Definition 1.3.1. Entsprechend verfahren wir mit wiederholt
gebrauchten Formeln und den Aufgaben. Das Ende eines Beweises kennzeich
nen wir durch das Zeichen •. Die zahlreichen Aufgaben dienen zur Ubung und
Verstandniskontroile und sind groBtenteils leicht zu losen. Sie enthalten aber
auch Erganzungen zum laufenden Text, Beispiele und Gegenbeispiele sowie
mitunter (stets kursiv hervorgehobene) weitere Begriffsbildungen. Ftir eine
Auswahl von (meist etwas schwierigeren) Aufgaben haben wir die Losungen
am Ende dieses Buches zusammengestellt.
Kapitel I
Allgemeine Aussagen iiber Halbringe
Gegenstand dieses Kapitels sind solche Begriffsbildungen und Aussagen, die
bei den verschiedensten Untersuchungen iiber Halbringe immer wieder auftre
ten und daher als allgemeine Grundlage einer algebraischen Theorie der Halb
ringe angesehen werden konnen. Jedoch kann man beim ersten Studium einige
der in 1.2 angegebenen Beispiele fiir Halbringe (etwa die Beispiele 2.8, 2.9 und
insbesondere 2.11) und auch das erst spater gebrauchte Lemma 2.20 zunachst
iibergehen. Das gleiche gilt fiir den letzten Teil von 1.3 ab Lemma 3.11 und
fiir die technisch etwas aufwendigeren Beweise der Struktursatze 4.6, 5.5 und
5.6 fiir multiplikativ kiirzbare Halbringe bzw. fUr Halbkorper. Die in 1.6 zu
sammengestellten Aussagen iiber Relationen und partiell geordnete Mengen
werden bereits fiir die Behandlung von Kongruenzen in I. 7 und auch spater im
mer wieder gebraucht. Die in 1.8 eingefiihrten Halbringideale stehen in engem
Zusammenhang mit Kongruenzen, doch konnen fiir Halbringe diese Ideale (im
Gegensatz zu der Situation bei Ringen) die explizite Verwendung von Kon
gruenzen nicht ersetzen. Das Studium der ersten Paragraphen von Kapitel II
und auch von Kapitel IV kann aber schon im AnschluB an 1.5 erfolgen.
Allgemein wei sen wir noch darauf hin, daB halbringtheoretische Begriffsbil
dungen in der Literatur teilweise noch recht unterschiedlich definiert und be
nannt werden. Wir haben daher die hier verwendete Terminologie moglichst
neutral gewahlt und z. B. vermieden, fiir Halbringe mit unterschiedlichen Ei
genschaften jeweils verschiedene spezielle Bezeichnungen einzufiihren. Beson
ders wichtig war uns dabei folgendes: Da jeder Ring erst recht ein Halbring
ist, haben wir, bis auf eine Ausnahme, aIle Begriffsbildungen fiir Halbringe
so gefaBt und bezeichnet, daB sie in die iiblichen ringtheoretischen Begriffs
bildungen iibergehen, wenn man sie auf einen Ring anwendet. Die Ausnahme
betrifft den Idealbegriff, wo wir ausdriicklich zwischen Halbringideal und Ring
ideal unterscheiden, die in der Literatur beide als Ideal bezeichnet werden.
Ein Halbringideal eines Ringes braucht namlich kein Ideal dieses Ringes im
iiblichen ringtheoretischen Sinne zu sein.
Da jeder Halbring aus zwei Halbgruppen besteht (vgl. Definition 2.1), begin
nen wir mit einer Zusammenstellung einiger Hilfsmittel iiber Halbgruppen.
2 Halbgruppen
1.1. Halbgruppen
Wir bezeichnen mit IN bzw. IN 0 die Menge der positiven bzw. der nichtne
gativen ganzen Zahlen. Einfache Begriffsbildungen und Bezeichnungen der
Mengenlehre setzen wir als bekannt voraus, doch erlautern wir sie oft bei
ihrem ersten Auftreten.
Definition 1.1. Es sei S =1= 0 eine nichtleere Menge. Unter einer zweiJtelligen
Operation p. auf S versteht man eine Abbildung p. von der Produktmenge S x S
in S, d. h. p. ordnet jedem Paar (a, b) E S x S genau ein Element p.( a, b) E S
zu. Ublicherweise schreibt man statt p.( a, b) meist ap.b und ersetzt p. durch
+
gelaufige Operationssymbole, also etwa a . b, a b, a 1\ b usw.
Fiir die folgenden Aussagen iiber Halbgruppen verwenden wir ohne Be
schriinkung der Allgemeinheit die multiplikative Schreibweise. Geringfiigige
Abweichungen von der sonst iiblichen Terminologie erkliiren sich daraus, dafi
wir in Halbringen eine multiplikativ geschriebene und eine additiv geschrie
bene Halbgruppe gleichzeitig zu betrachten haben.
Definition 1.2. Es sei S =1= 0 eine Menge und . eine zweistellige Operation
auf S. Dann heiBt (S,') eine Halbgruppe, wenn diese Operation aJsoziativ ist,
d. h. wenn
a·(b·c)=(a·b)·c fiir aIle a, b, c E S
gilt. Insbesondere heiBt eine Halbgruppe (S, .) kommutativ, wenn
a·b=b·a fiir alle a, b E S
erfiiIlt ist. Allgemein bezeichnen wir mit IAI die Kardinalzahl einer Menge A
und nennen lSI die Ordnung einer Halbgruppe (S, .). Man sagt auch, dafi
die Ordnung von (S,') endlich bzw. unendlich ist, je nachdem ob lSI eine
endliche Kardinalzahl (also eine natiirliche Zahl n E IN) oder eine unendliche
(transfini te) Kardinalzahl ist.
Bekanntlich folgt aus dem Assoziativgesetz, dafi in jeder Halbgruppe (S,·)
auch Produkte al . a2 ..... an von n ~ 3 (n E IN) Elementen a" E S durch
Zuriickfiihrung auf n -1 Produkte von je zwei Elementen definiert und beliebig
beklammert werden konnen. Man schreibt dann
n
II
(Ll) al . a2 ..... an = a" fiir n E IN
,,=1
= = ... = =
mit der naheliegenden Interpretation rr~=1 a" al. Fiir al an a
definiert (1.1) die n-te Potenz an eines Elementes a von (S, .). Dabei gelten
Halbgruppen 3
an. am = an+m und (an)m = an·m fur alle a E S und alle n, mE IN, wahrend
(a· b)n = an. bn die Vertauschbarkeit a· b = b· a von a, bE S voraussetzt. 1m
Falle einer kommutativen Halbgruppe (S, .) kann in (1.1) auch die Reihenfolge
der Faktoren all E S beliebig abgeandert werden.
Definition 1.3. Es sei (S,·) eine Halbgruppe.
a) Eine Element e, E S heiBt linksneutral in (S, .), wenn e, . a = a fur alle
a E S gilt.
b) Ein Element 0, E S heiBt linksabsorbierend in (S, .), wenn 0, . a = 0, fur
alle a E S gilt.
c) Ein Element a E S heiBt linkskurzbar in (S, .), wenn a· x = a· Y ==> x = Y
fur alle x, yES gilt. Trifft dies fur alle Elemente a E S zu, so nennt man
(S, .) eine linkskurzbare H albgruppe.
d) Ein Element a E S heiBt idempotent, wenn a . a = a gilt. Haben alle
Elemente a E S diese Eigenschaft, so nennt man (S,') eine idempotente Halb
gruppe.
Bemerkung 1.4. i) Mit jedem "linksseitigen" Begriff, wie den unter a), b)
und c) definierten, betrachtet man auch den entsprechenden "rechtssei tigen"
Begriff als definiert. So heiBt z. B. ein Element er E S rechtsneutral, wenn
a . er = a fur alle a E S gilt. Man nennt solche Begriffe zueinander links
rechts-dual, im Gegensatz zu selbst-dualen Begriffen, wie z. B. den unter d)
definierten.
ii) Analog kann man zu jeder Aussage uber Halbgruppen die ihr entsprechende
links-rechts-duale Aussage bilden; letztere stimmt mit der ursprunglichen Aus
sage genau dann uberein, wenn diese selbst-dual ist. Da die Begriffsbildung
der Halbgruppe selbst-dual ist, folgt aus der Richtigkeit jeder Aussage die
Richtigkeit der zu ihr dualen Aussage. Von jedem Paar zueinander links
rechts-dualer A ussagen braucht also jeweils nur eine formuliert und bewiesen
zu werden.
Die folgende Feststellung und die in Beispiel 1.6 enthaltenen Behauptungen
sind leicht zu beweisen. Zum Verstandnis der eben beschriebenen Dualitat
sollte man beide (und uberfliissigerweise auch die Beweise) dualisieren.
Fakt 1.5. a) Ein Element e, einer Halbgruppe (S,') i,~t genau dann linksneu
tral, wenn e, idempotent und linkskurzbar ist.
b) Gilt ae, = a fur ein in (S, .) linkskurzbares Element a E S, so i,~t e, links
neutral in (S,·).
4 Halbgruppen
Beispiel 1.6. Jede Menge S i- 0 wird zu einer Halbgruppe (S, .), indem
man a . b = a fur alle a, b E S definiert. Diese Halbgruppe ist idempotent
und rechtskurzbar, und jedes Element c E S ist rechtsneutral und linksabsor
bierend in (S,·). Man nennt sie die linksabsorbierende H albgruppe uber der
Menge S.
Fakt 1.7. Enthiilt eine Halbgruppe (S,·) ein linksneutrales Element el und
= =
ein rechtsneutrales Element er, so stimmen be ide wegen el q . er er
uberein. Das gleiche gilt fur links- und rechtsabsorbierende Elemente wegen
01 = 01 . Or = Or.
Definition 1.8. Es sei (S,·) eine Halbgruppe.
a) Ein Element e E S, welches sowohl links- als auch rechtsneutral in (S,·)
ist, also e· a = a· e = a fur alle a E S erfullt, heiBt neutral in (S, .).
b) Analog heiBt ein Element 0 E S absorbierend in (S,·), wenn 0 sowohl
links- als auch rechtsabsorbierend in (S, .) ist.
Aus Fakt 1.7 folgt unmittelbar:
Fakt 1.9. Eine Halbgruppe (S,·) enthiilt entweder kein oder genau ein neu
trales Element e. 1m zweiten Faile gibt es keine weiteren einseitig neutralen
Elemente in (S, .). Ent,~prechend enthiilt eine Halbgruppe (S,·) entweder kein
oder genau ein absorbierendes Element 0, und in dies em Falle keine weiteren
einseitig absorbierenden Elemente.
Bemerkung 1.10. i) Fur kommutative Halbgruppen stimmen links-rechts
duale Begriffe (und Aussagen) ersichtlich uberein. In diesem Falle ist dann
z. B. die Unterscheidung von "linksneutral" und "rechtsneutral" uberflussig,
da beides auf "neutral" hinauslauft.
ii) Eine Halbgruppe mit neutralem Element wird auch als Monoid bezeichnet.
Definition 1.11. Es sei (S,·) eine Halbgruppe mit neutralem Element e. Ein
Element a E S heiBt linksinvertierbar in (S, .), wenn es ein Element a' E S
mit a' . a = e gibt. Man nennt dann a' ein Linksinverses von a.
Q ($I v(>n ((/IKS (r>verfrcr.:.)c",
Es gibt Beispiele von Monoiden, in denen Elemente mit mehreren Linksinver
sen und Elemente mit mehreren Rechtsinversen auftreten. Dagegen gilt fur
(von beiden Seiten) invertierbare Elemente:
