Halbgruppen und Automaten

204 Pages·1971·5.46 MB·German

by  Dr. Peter Deussen (auth.)

HHeeiiddeellbbeerrggeerr TTaasscchheennbbüücchheerr 9999
SSaammmmlluunngg IInnffoorrmmaattiikk
HHeerraauussggeeggeebbeenn vvoonn FF.. LL.. BBaauueerr uunndd MM.. PPaauull
PPeetteerr DDeeuusssseenn
HHaallbbggrruuppppeenn
uunndd AAuuttoommaatteenn
SSpprrii nnggeerr--VVeerrllaagg
BBeerrlliinn·· HHeeiiddeellbbeerrgg .. NNeeww YYoorrkk 11997711
DDrr.. PPeetteerr DDeeuusssseenn
DDoozzeenntt ffüürr IInnffoorrmmaattiikk uunndd MMaatthheemmaattiikk aann ddeerr
TTeecchhnniisscchheenn UUnniivveerrssiittäätt MMüünncchheenn
IISSBBNN--1133::997788--33--554400--0055660066--55 ee--IISSBBNN--1133::997788--33--664422--6655227755--22
000011:: 1100__11000077//997788--33--664422--6655227755--22
DDaass WWeerrkk iisstt uurrhheebbeerrrreecchhttlliicchh ggeesscchhüüttzztt.. DDiiee ddaadduurrcchh bbeeggrrüünnddeetteenn RReecchhttee,,
iinnssbbeessoonnddeerree ddiiee ddeerr ÜÜbbeerrsseettzzuunngg,, ddeess NNaacchhddrruucckkeess,, ddeerr EEnnttnnaahhmmee vvoonn AAbb
bbiilldduunnggeenn,, ddeerr FFuunnkksseenndduunngg,, ddeerr WWiieeddeerrggaabbee aauuff pphhoottoommeecchhaanniisscchheemm ooddeerr
äähhnnlliicchheemm WWeeggee uunndd ddeerr SSppeeiicchheerruunngg iinn DDaatteennvveerraarrbbeeiittuunnggssaannllaaggeenn bblleeiibbeenn,,
aauucchh bbeeii nnuurr aauusszzuuggsswweeiisseerr VVeerrwweerrttuunngg,, vvoorrbbeehhaalltteenn.. BBeeii VVeerrvviieellffäällttiigguunnggeenn
ffüürr ggeewweerrbblliicchhee ZZwweecckkee iisstt ggeemmääßß §§ 5544 UUrrhhGG eeiinnee VVeerrggüüttuunngg aann ddeenn VVeerrllaagg zzuu
zzaahhlleenn,, ddeerreenn HHööhhee mmiitt ddeemm VVeerrllaagg zzuu vveerreeiinnbbaarreenn iisstt.. ©© bbyy SSpprriinnggeerr--VVeerrllaagg
BBeerrlliinn .. HHeeiiddeellbbeerrgg 11997711.. LLiibbrraarryy ooff CCoonnggrreessss CCaattaalloogg CCaarrdd NNuummbbeerr 7711--
117755113333.. DDiiee WWiieeddeerrggaabbee vvoonn GGeebbrraauucchhssnnaammeenn,, HHaannddeellss--
nnaammeenn,, WWaarreennbbeezzeeiicchhnnuunnggeenn uussww.. iinn ddiieesseemm WWeerrkk bbeerreecchhttiiggtt aauucchh oohhnnee bbee
ssoonnddeerree KKeennnnzzeeiicchhnnuunngg nniicchhtt zzuu ddeerr AAnnnnaahhmmee,, ddaaßß ssoollcchhee NNaammeenn iimm SSiinnnnee
ddeerr WWaarreennzzeeiicchheenn-- uunndd MMaarrkkeennsscchhuuttzz--GGeesseettzzggeebbuunngg aallss ffrreeii zzuu bbeettrraacchhtteenn
wwäärreenn uunndd ddaahheerr vvoonn jjeeddeerrmmaannnn bbeennuuttzztt wweerrddeenn ddüürrfftteenn.. GGeessaammtthheerrsstteelllluunngg::
JJuulliiuuss BBeellttzz,, HHeemmssbbaacchh//BBeerrggssttrraaBBee..
IInnhhaallttssvveerrzzeeiicchhnniiss
OO.. EEiinnlleeiittuunngg
II.. KKaappiitteell:: HHaallbbggrruuppppeenn uunndd RReellaattiioonneenn 44
11.. HHaallbbggrruuppppeenn 44
22.. HHoommoommoorrpphhiissmmeenn vvoonn HHaallbbggrruuppppeenn 1144
33.. IIddeeaallee iinn HHaallbbggrruuppppeenn 2211
44.. ZZwweeiisstteelllliiggee RReellaattiioonneenn 3333
55.. KKoonnggrruueennzzrreellaattiioonneenn iinn HHaallbbggrruuppppeenn 4444
1111.. KKaappiitteell:: HHaallbbggrruuppppeenn uunndd SSeemmiimmoodduullnn 5544
66.. SSeemmiimmoodduullnn 5544
77.. HHoommoommoorrpphhiissmmeenn vvoonn SSeemmiimmoodduullnn 6622
88.. EEnnddlliicchhkkeeiittssbbeeddiinngguunnggeenn 8811
99.. ZZuussaammmmeennhhaanngg zzwwiisscchheenn SSeemmiimmoodduullnn uunndd HHaallbbggrruuppppeenn 9944
1100.. IIrrrreedduuzziibbllee SSeemmiimmoodduullnn 110033
1111.. KKoonnssttrruukkttiioonn vvoonn KKoonnggrruueennzzeenn iinn SSeemmiimmoodduullnn 111144
1122.. DDaarrsstteelllluunnggeenn vvoonn SSeemmiimmoodduullnn 112211
IIIIII.. KKaappiitteell:: AAuuttoommaatteenn 112288
1133.. EEiinnlleeiittuunngg uunndd MMoottiivviieerruunngg 112288
1144.. HHoommoommoorrpphhiissmmeenn vvoonn AAuuttoommaatteenn 113377
1155.. WWoorrttffuunnkkttiioonneenn 115577
1166.. RReeaalliissiieerruunngg vvoonn AAuuttoommaatteenn 116611
1177.. RReegguull äärree EErreeii ggnniissssee 117733
HHääuuffiigg vveerrwweennddeettee SSyymmbboollee 119955
LLiitteerraattuurrvveerrzzeeiicchhnniiss 119966
SSaacchhvveerrzzeeiicchhnniiss 119977
OO.. EEiinnlleeiittuunngg
DDiiee TThheeoorriiee ddeerr AAuuttoommaatteenn ggeehhöörrtt zzuumm tthheeoorreettiisscchheenn TTeeiill ddeerr
IInnffoorrmmaattiikk,, oobbgglleeiicchh ssiiee iinn iihhrreenn AAnnffäännggeenn vvoonn dduurrcchhaauuss
pprraakkttiisscchheenn PPrroobblleemmsstteelllluunnggeenn aauussggiinngg,, nnäämmlliicchh ddeerr UUnntteerrssuu
cchhuunngg ddeess ffuunnkkttiioonneelllleenn VVeerrhhaalltteennss mmeehhrr ooddeerr mmiinnddeerr uummffäänngg
lliicchheerr VVeerrbbiinndduunnggeenn vvoonn SScchhaalltteelleemmeenntteenn,, ddeerr SScchhaallttwweerrkkee..
DDiiee TThheeoorriiee jjeeddoocchh eennttffaalltteettee iihhrr EEiiggeennlleebbeenn uunndd eess eerrggaabbeenn
ssiicchh iimm LLaauuffee ddeerr ZZeeiitt vviieellffäällttiiggee BBeezziieehhuunnggeenn zzuu aannddeerreenn
GGeebbiieetteenn.. SSoo iisstt hheeuuttee ddiiee AAuuttoommaatteenntthheeoorriiee eebbeennssoo iimm ZZuussaamm
mmeennhhaanngg mmiitt ddeerr TThheeoorriiee ddeerr BBeerreecchheennbbaarrkkeeiitt uunndd EEnnttsscchheeiidd
bbaarrkkeeiitt zzuu sseehheenn,, wwiiee mmiitt ddeerr TThheeoorriiee ddeerr ffoorrmmaalleenn SSpprraacchheenn,,
uunndd ggeerraaddee hhiieerr hhaatt ddaass MMooddeellll ddeess AAuuttoommaatteenn aauucchh pprraakkttiisscchhee
BBeeddeeuuttuunngg ddaadduurrcchh eerrllaannggtt,, ddaaßß mmiitt sseeiinneerr HHiillffee eeiinnee RReeiihhee
vvoonn AAllggoorriitthhmmeenn eeffffiizziieenntt ffoorrmmuulliieerrtt wweerrddeenn kkoonnnntteenn..
NNeebbeenn ddiieesseerr AAuuffffaassssuunngg ddeess AAuuttoommaatteenn aallss eeiinnee KKllaassssee vvoonn
AAllggoorriitthhmmeenn iisstt ddeerr AAuuttoommaatt iinn eerrsstteerr LLiinniiee eeiinn aallggeebbrraaiisscchheess
GGeebbiillddee,, eeiinnee AAllggeebbrraa iimm wweeiitteerreenn SSiinnnnee.. AAuussssaaggeenn aallggee
bbrraaiisscchheerr AArrtt wweerrddeenn iinn aalllleenn AAnnwweenndduunnggssbbeerreeiicchheenn vvoonn AAuuttoo
mmaatteenn bbeennööttiiggtt,, aauucchh llääßßtt ssiicchh ddiiee VVeerrwwaannddttsscchhaafftt zzwwiisscchheenn
AAuuttoommaatteenn uunndd SScchhaallttwweerrkkeenn iinn nnaattüürrlliicchheerr WWeeiissee dduurrcchh ddeenn
aallggeebbrraaiisscchheenn BBeeggrriiffff ddeerr DDaarrsstteelllluunngg aauussddrrüücckkeenn..
DDiieesseerr BBeettrraacchhttuunnggsswweeiissee ddeess AAuuttoommaatteenn wwiiddmmeett ssiicchh ddaass vvoorr
lliieeggeennddee BBuucchh aauusssscchhlliieeßßlliicchh..
DDeerr üübblliicchheenn aallggeebbrraaiisscchheenn MMeetthhooddiikk ffoollggeenndd eerrggaabb ssiicchh ddiiee
FFoorrddeerruunngg nnaacchh eeiinneerr bbaassiissffrreeiieenn,, dd..hh.. oohhnnee BBeezzuuggnnaahhmmee aauuff
EErrzzeeuuggeennddeennssyysstteemmee aauusskkoommmmeennddeenn DDeeffiinniittiioonn ddeess AAuuttoommaatteenn,,
ddiiee iinn AAbbsscchhnniitttt 1133 mmoottiivviieerrtt wwiirrdd.. MMiitt ddeerr BBaassiissffrreeiihheeiitt
wweerrddeenn nniicchhtt nnuurr vviieellee ZZuussaammmmeennhhäännggee dduurrcchhssiicchhttiiggeerr,, ssiiee
lleeggtt ddaarrüübbeerrhhiinnaauuss eeiinnee nnaattüürrlliicchhee VVeerraallllggeemmeeiinneerruunngg ddeess
AAuuttoommaatteenn aauuff bbeelliieebbiiggee EEiinn-- uunndd AAuussggaabbeehhaallbbggrruuppppeenn nnaahhee..
MMaann kkaannnn zzwwaarr üübbeerr ddeenn NNuuttzzeenn vvoonn VVeerraallllggeemmeeiinneerruunnggeenn ggeerraa
ddee ddeess AAuuttoommaatteennbbeeggrriiffffss,, ddeerr jjaa eeiinneerr sseehhrr kkoonnkkrreetteenn PPrroobb
lleemmsstteelllluunngg eennttsspprraanngg,, vveerrsscchhiieeddeenneerr MMeeiinnuunngg sseeiinn,, gglleeiicchh
wwoohhll wwuurrddee ddiieessee VVeerraallllggeemmeeiinneerruunngg uunntteerrssuucchhtt,, nniicchhtt nnuurr
aauuss mmaatthheemmaattiisscchheemm IInntteerreessssee,, ssoonnddeerrnn aauucchh ggeelleeiitteett vvoonn ddeerr
AAnnssiicchhtt,, ddaaßß ddiiee VVeerraallllggeemmeeiinneerruunnggssffäähhiiggkkeeiitt vvoonn SSäättzzeenn ddeerr
AAuuttoommaatteenntthheeoorriiee eeiinn MMaaßß ddaaffüürr iisstt,, wwiiee uunnssppeezziiffiisscchh ddiieessee
SSäättzzee ffüürr ddiiee kkoonnkkrreetteenn SScchhaallttwweerrkkee ssiinndd..
AAllss wweesseennttlliicchhee TTeeiillssttrruukkttuurr ddeess AAuuttoommaatteenn iinn ddiieesseerr vveerr--
11
aallllggeemmeeiinneerrtteenn FFoorrmm ttrriitttt ddeerr SSeemmiimmoodduull aauuff,, ddeerr ddaass ZZuu
ssttaannddssüübbeerrggaannggssvveerrhhaalltteenn ddeess AAuuttoommaatteenn bbeesscchhrreeiibbtt.. DDiiee NNaa
mmeennssggeebbuunngg eennttsspprriinnggtt ddeerr ÄÄhhnnlliicchhkkeeiitt mmiitt ddeerr TThheeoorriiee ddeerr
RRiinnggee uunndd MMoodduullnn,, uunndd vvoonn ddiieesseerr SSeeiittee hheerr iinnssppiirriieerrtt ggiibbtt
eess bbeerreeiittss eeiinnee RReeiihhee iinntteerreessssaanntteerr UUnntteerrssuucchhuunnggeenn üübbeerr SSee
mmiimmoodduullnn ((ddoorrtt aauucchh SS--SSyysstteemmee ggeennaannnntt)),, ddoocchh ssiinndd ssiiee eeiinneerr
aannddeerreenn RRiicchhttuunngg ddeerr AAllggeebbrraa eennttssttaammmmeenndd ddeemm AAuuttoommaatteenntthheeoo
rreettiikkeerr mmeeiisstt uunnbbeekkaannnntt..
AAnn VVoorraauusssseettzzuunnggeenn ffüürr ddeenn LLeesseerr iisstt eeiinnee ggeewwiissssee VVeerrttrraauutt
hheeiitt iimm UUmmggaanngg mmiitt GGrruuppppeenn uunndd eelleemmeennttaarreenn BBeeggrriiffffeenn ddeerr
VVeerrbbaannddsstthheeoorriiee,, ssoowwiiee mmiitt ddeerr DDeennkkwweeiissee uunndd NNoottaattiioonn ddeerr
AAllggeebbrraa zzwweecckkmmääßßiigg,, wweennnngglleeiicchh nniicchhtt nnoottwweennddiigg.. AAuuss GGrrüünnddeenn
ddeerr üübbeerrssiicchhttlliicchhkkeeiitt ssiinndd lleeiicchhtt zzuu dduurrcchhsscchhaauueennddee SScchhllüüss
ssee uunndd BBeewweeiissee aabbggeekküürrzztt wweennnn nniicchhtt wweeggggeellaasssseenn wwoorrddeenn..
BBeeiimm eerrsstteenn DDuurrcchhlleesseenn kköönnnneenn ddiiee AAbbsscchhnniittttee 88,,99 uunndd 1100
üübbeerrsscchhllaaggeenn wweerrddeenn.. DDiiee jjeeddeemm AAbbsscchhnniitttt bbeeiiggeeggeebbeenneenn üübbuunn
ggeenn ddiieenneenn aauucchh zzuurr EErrggäännzzuunngg ddeess SSttooffffeess,,ggeebbeenn AAuussbblliicckkee
uunndd wweerrddeenn hhiinn uunndd wwiieeddeerr aann wweenniiggeerr zzeennttrraalleenn SStteelllleenn iimm
TTeexxtt hheerraannggeezzooggeenn.. FFoorrmmeellnn,, DDeeffiinniittiioonneenn uunndd SSäättzzee ssiinndd aabb
sscchhnniittttsswweeiissee ffoorrttllaauuffeenndd nnuummeerriieerrtt,, ddiiee NNuummeerriieerruunngg ddeerr
üübbuunnggeenn eerrffoollggtt ddaaggeeggeenn ggeettrreennnntt,, aabbeerr eebbeennffaallllss aabbsscchhnniittttss
wweeiissee..
DDaass eerrssttee KKaappiitteell bbrriinnggtt iinn ddeenn AAbbsscchhnniitttteenn 11 uunndd 22 eeiinniiggee
ggrruunnddlleeggeennddee DDeeffiinniittiioonneenn ddeerr HHaallbbggrruuppppeenntthheeoorriiee.. IInn AAbb
sscchhnniitttt 33 wwiirrdd ddiiee IIddeeaalltthheeoorriiee ffüürr HHaallbbggrruuppppeenn ssoowweeiitt eenntt
wwiicckkeelltt,, wwiiee ssiiee ffüürr ddeenn wweeiitteerreenn VVeerrllaauuff uunndd ssppeezziieellll ffüürr
ddiiee AAbbsscchhnniittttee 99 uunndd 1100 nnoottwweennddiigg iisstt.. AAbbsscchhnniitttt 44 uunndd 55
bbeehhaannddeelltt zzwweeiisstteelllliiggee RReellaattiioonneenn bbzzww.. KKoonnggrruueennzzrreellaattiioonneenn
iinn HHaallbbggrruuppppeenn..
DDaass zzwweeiittee KKaappiitteell iisstt ddeerr TThheeoorriiee ddeerr SSeemmiimmoodduullnn ggeewwiiddmmeett..
NNaacchh ggrruunnddlleeggeennddeenn DDeeffiinniittiioonneenn uunndd SSäättzzeenn ((AAbbsscchhnniittttee 66 uunndd
77)) wweerrddeenn ddiiee ZZuussaammmmeennhhäännggee vvoonn HHaallbbggrruuppppeenn mmiitt ddeenn SSeemmiimmoo
dduullnn uunntteerrssuucchhtt ((AAbbsscchhnniittttee 88,,99 uunndd 1100)).. IInn AAbbsscchhnniitttt 1111
wwiirrdd aauuff eeiinneenn WWeegg eeiinnggeeggaannggeenn,, ddeerr eess iimm eennddlliicchheenn FFaallll ggee
ssttaatttteett,, aallllee KKoonnggrruueennzzeenn uunndd AAuuttoommoorrpphhiissmmeenn eeiinneess SSeemmiimmoo
dduullss ssyysstteemmaattiisscchh zzuu bbeessttiimmmmeenn,, wwaass bbeessoonnddeerrss iimm HHiinnbblliicckk
aauuff ddiiee AAnnwweenndduunnggeenn ddeess ssppäätteerreenn AAbbsscchhnniittttss 1166 vvoonn BBeeddeeuu
ttuunngg iisstt.. AAbbsscchhnniitttt 1122 sstteelllltt ddiiee SSeemmiimmoodduullnn iinn ZZuussaammmmeenn
hhaanngg mmiitt GGrraapphheenn uunndd mmiitt ddeerr SScchhaallttwweerrkktthheeoorriiee.. DDaass ddrriittttee
22
KKaappiitteell bbeehhaannddeelltt ddiiee AAuuttoommaatteenn.. IInn AAbbsscchhnniitttt 1133 wwiirrdd,, wwiiee
bbeerreeiittss ggeessaaggtt,, ddeerr ddeemm BBäännddcchheenn zzuu GGrruunnddee ggeelleeggttee aallllggeemmeeii
nnee AAuuttoommaatteennbbeeggrriiffff ddeeffiinniieerrtt.. AAbbsscchhnniitttt 1144 bbrriinnggtt eeiinniiggee
wwiicchhttiiggee DDeeffiinniittiioonneenn uunndd bbeekkaannnnttee SSäättzzee,, wwiiee eettwwaa ddeenn RRee
dduukkttiioonnssssaattzz ffüürr AAuuttoommaatteenn.. DDiiee dduurrcchh AAuuttoommaatteenn ddeeffiinniieerrtteenn
AAbbbbiilldduunnggeenn vvoonn HHaallbbggrruuppppeenn iinn HHaallbbggrruuppppeenn wweerrddeenn iinn AAbb
sscchhnniitttt 1155 bbeesspprroocchheenn.. UUnntteerr ddeemm SSttiicchhwwoorrtt RReeaalliissiieerruunngg wwiirrdd
iimm AAbbsscchhnniitttt 1166 ddiiee DDeekkoommppoossiittiioonnsstthheeoorriiee vvoonn AAuuttoommaatteenn uunn
tteerrssuucchhtt.. DDeerr AAbbsscchhnniitttt 1177 sstteelllltt eeiinnee ggeewwiissssee VVeerrbbiinndduunngg zzuu
ddeenn ffoorrmmaalleenn SSpprraacchheenn hheerr,, eess wweerrddeenn hhiieerr ddiiee vvoonn AAuuttoommaatteenn
aakkzzeeppttiieerrtteenn wwoorrttmmeennggeenn bbzzww.. TTeeiillmmeennggeenn vvoonn HHaallbbggrruuppppeenn uunn
tteerrssuucchhtt..
MMiitt RRüücckkssiicchhtt aauuff ddeenn UUmmffaanngg ddiieesseess TTaasscchheennbbuucchheess wwuurrddee aauuff
ddeettaaiilllliieerrttee QQuueelllleennaannggaabbeenn vveerrzziicchhtteett,, ddeennnnoocchh ssoollll vveerr
mmeerrkktt wweerrddeenn,, ddaaßß ddeerr VVeerrffaasssseerr ddeenn AAnnssttooßß zzuurr BBeesscchhääffttiigguunngg
mmiitt ddeerr AAuuttoommaatteenntthheeoorriiee dduurrcchh eeiinnee VVoorrlleessuunngg eerrhhiieelltt,, ddiiee
JJ..RR..BBüüCCHHII iimm JJaahhrree 11996622 aallss GGaasstt aann ddeerr UUnniivveerrssiittäätt MMaaiinnzz
hhiieelltt uunndd ddeerr wweesseennttlliicchhee BBeewweeiissiiddeeeenn ddeess AAbbsscchhnniittttss 1177 eenntt
nnoommmmeenn ssiinndd.. DDaass LLiitteerraattuurrvveerrzzeeiicchhnniiss ssoollll ddeemm LLeesseerr eeiinnee
HHiillffee zzuumm wweeiitteerreenn EEiinnddrriinnggeenn iinn ddiiee AAuuttoommaatteenntthheeoorriiee uunndd
ddeerreenn AAnnwweenndduunnggeenn ggeebbeenn..
AAbbsscchhlliieeßßeenndd mmööcchhttee iicchh aallll ddeenneenn ddaannkkeenn,, ddiiee mmiirr hhaallffeenn
ddiieesseess BBüücchhlleeiinn zzuu sscchhrreeiibbeenn::
HHeerrrr PPrrooff..DDrr..MM..PPAAuuLL sstteellllttee mmiirr ddeenn IInnhhaalltt uunndd ddiiee EErrffaahhrruunngg
sseeiinneerr VVoorrlleessuunngg üübbeerr AAuuttoommaatteenntthheeoorriiee zzuurr VVeerrffüügguunngg;; HHeerrrr
UU..SSCCHHAAMMPPEELL hhaallff mmiirr bbeeii ddeerr VVoorrlleessuunngg uunndd ddeenn üübbuunnggeenn uunndd
ttrruugg vviieelleess zzuurr BBeerreeiinniigguunngg vvoonn UUnnssttiimmmmiiggkkeeiitteenn bbeeii,, aauucchh
llaass eerr eebbeennssoo wwiiee HHeerrrr MM..SSooMMMMEERR KKoorrrreekkttuurreenn;; FFrraauu AA..KKEETTssccHH
eennddlliicchh üübbeerrnnaahhmm ddiiee mmüühheevvoollllee AAuuffggaabbee,, ddiiee MMaannuusskkrriippttee vvoonn
ddeerr RRoohhffaassssuunngg bbiiss zzuurr rreepprroodduukkttiioonnssffäähhiiggeenn EEnnddffaassssuunngg zzuu
sscchhrreeiibbeenn..
JJuunnii 11997711 PP.. DDeeuusssseenn
33
II.. KKaappiitteell::
HHaallbbggrruuppppeenn uunndd RReellaattiioonneenn
11.. HHaallbbggrruuppppeenn
EEiinnee HHaallbbggrruuppppee iisstt,, wwiiee ssiicchh zzeeiiggeenn wwiirrdd,, eeiinnee rreecchhtt aallll
ggeemmeeiinnee aallggeebbrraaiisscchhee SSttrruukkttuurr.. IInnffoollggee iihhrreerr AAllllggeemmeeiinnhheeiitt
ffiinnddeett ssiiee ssiicchh hhääuuffiigg iinn ddeerr MMaatthheemmaattiikk uunndd wweeiisstt zzaahhll
rreeiicchhee VVeerräässtteelluunnggeenn aauuff.. WWiirr wweerrddeenn ddiieesseenn vviieellffäällttiiggeenn
FFaalllluunntteerrsscchheeiidduunnggeenn nniicchhtt nnaacchhggeehheenn,, ddaarrüübbeerr AAuusskkuunnfftt zzuu
ggeebbeenn ssiinndd ddiiee BBüücchheerr üübbeerr ddiiee TThheeoorriiee ddeerr HHaallbbggrruuppppeenn bbee
rruuffeenneerr.. IInn ddiieesseemm eerrsstteenn AAbbsscchhnniitttt wweerrddeenn eeiinniiggee ggrruunnddllee
ggeennddee BBeeggrriiffffee ddeeffiinniieerrtt,, ddiiee iinn aalllleenn ffoollggeennddeenn AAbbsscchhnniitt
tteenn iimmmmeerr wwiieeddeerr hheerraannggeezzooggeenn wweerrddeenn..
BBeettrraacchhtteenn wwiirr ddiiee MMeennggee IINN ddeerr nnaattüürrlliicchheenn ZZaahhlleenn zzuussaamm
mmeenn mmiitt ddeerr MMuullttiipplliikkaattiioonn.. DDaass PPrroodduukktt jjee zzwweeiieerr ZZaahhlleenn
iisstt wwiieeddeerr eeiinnee ZZaahhll,, aabbeerr eess ggiilltt aauucchh nnoocchh ddaass AAssssoozziiaa
ttiivvggeesseettzz:: ((nnoomm))ooll == nnoo((mmooll)).. DDaammiitt iisstt bbeerreeiittss eeiinn PPrroo
ttoottyypp eeiinneerr HHaallbbggrruuppppee aamm BBeeiissppiieell aauuffggeewwiieesseenn:: cchhaarraakkttee
rriissttiisscchh ffüürr ddiiee HHaallbbggrruuppppeenn iimm UUnntteerrsscchhiieedd zzuu ddeenn GGrruuppppeenn
iisstt,, ddaaßß nniicchhttss üübbeerr ddiiee AAuuffllöössbbaarrkkeeiitt ddeerr GGlleeiicchhuunnggeenn
nnooxx == mm bbzzww.. xxoonn == mm nnaacchh xx aauussggeessaaggtt wwiirrdd..
44
((11..11)) DDeeffiinniittiioonn.. EEiinnee HHaallbbggrruuppppee iisstt eeiinnee MMeennggee FF zzuussaamm
mmeenn mmiitt eeiinneerr zzwweeiisstteelllliiggeenn VVeerrkknnüüppffuunngg
<<//ll:: FFxxFF++FF,,
ddiiee üübblliicchheerrwweeiissee aallss ""PPrroodduukktt"" ggeesscchhrriieebbeenn wwiirrdd::
ffgg ::== <<//ll{{ff ,,gg))
uunndd ffüürr ddaass ggiilltt
((ffgg))hh ff((gghh)) .. ((ff,,gg,,hh ee FF))
BBeeiissppiieellee ssiinndd:: ddiiee nnaattüürrlliicchheenn ZZaahhlleenn mmiitt ddeerr AAddddiittiioonn;; ddiiee
MMeennggee aalllleerr nn--zzeeiilliiggeenn qquuaaddrraattiisscchheenn MMaattrriizzeenn mmiitt ddeerr MMaa
ttrriixxmmuullttiipplliikkaattiioonn bbzzww.. mmiitt ddeerr AAddddiittiioonn;; ddiiee MMeennggee aalllleerr
AAbbbbiilldduunnggeenn eeiinneerr MMeennggee iinn ssiicchh mmiitt ddeerr FFuunnkkttiioonnsskkoommppoossii
mm
ttiioonn;; ddiiee MMeennggee aalllleerr iinntteeggrriieerrbbaarreenn FFuunnkkttiioonneenn ff:: ++~~
mmiitt ddeerr FFaallttuunngg..
((11..22)) DDeeffiinniittiioonn.. EEiinnee HHaallbbggrruuppppee FF hheeiißßtt kkoommmmuuttaattiivv ooddeerr
aabbee~~88aahh.. wweennnn ggiilltt
ffgg ggff
ffüürr aallllee gg,,ff ee FF ..
IInn ddeenn zzuulleettzztt ggeennaannnntteenn BBeeiissppiieelleenn iisstt lleeddiigglliicchh ddaass eerrssttee
eeiinnee kkoommmmuuttaattiivvee HHaallbbggrruuppppee..
SSiinndd UU,,VV ccFF TTeeiillmmeennggeenn,, ssoo bbeezzeeiicchhnneett mmaann aallss ddaass KKoomm
pplleexxpp~~oodduukktt ddiiee MMeennggee
UUVV ::== {{uuvv uu ee UU,,vv ee VV}}
55
uunndd sscchhrreeiibbtt iinnssbbeessoonnddeerree
uuVV ::== {{uu}}VV bbzzww.. UUvv::== UU{{vv}} ,,
wweennnn eeiinnee ddeerr MMeennggeenn eeiinneelleemmeennttiigg iisstt..
((11..33)) DDeeffiinniittiioonn.. EEiinnee nniicchhttlleeeerree TTeeiillmmeennggee UU cc FF hheeiißßtt
UUnntteerrhhaaZZbbggrruuppppee,, wweennnn ggiilltt
UUUU cc UU
UUnntteerrhhaallbbggrruuppppeenn ssiinndd aallssoo ggeerraaddee ddiieejjeenniiggeenn TTeeiillmmeennggeenn vvoonn
FF ,, ddiiee ggeeggeennüübbeerr ddeerr HHaallbbggrruuppppeennmmuullttiipplliikkaattiioonn aabbggee
sscchhlloosssseenn ssiinndd..
((11..44)) DDeeffiinniittiioonn.. EEiinn EElleemmeenntt nnllllnnrrll vvoonn FF hheeiißßtt LLiinnkkss--
nnuuZZZZ IIRReeaahhttssnnuuZZZZll,, wweennnn ffüürr jjeeddeess ff ee FF ggii 11 tt::
nnllff == nnll IIffnnrr == nnrrll ..
EEiinn EElleemmeenntt eelllleerrll vvoonn FF hheeiißßtt LLiinnkksseeiinnss IIRReeaahhttss
eeiinnssll,, wweennnn ffüürr jjeeddeess ff ee FF ggiilltt:: eellff == ff IIffeerr == ffll..
EEiinnee HHaallbbggrruuppppee kkaannnn mmeehhrreerree LLiinnkkssnnuulllleenn ooddeerr mmeehhrreerree
RReecchhttssnnuulllleenn hhaabbeenn,, jjeeddoocchh kköönnnneenn nniicchhtt zzuugglleeiicchh mmeehhrreerree
LLiinnkkss-- uunndd RReecchhttssnnuulllleenn aauuffttrreetteenn,, ddeennnn nnllnnrr == nnrr == nnll ..
AAnnaalloogg ffoollggtt aauuss eeIIeerr == eell == eerr ,, ddaaßß nniicchhtt zzuugglleeiicchh mmeehh
rreerree LLiinnkkss-- uunndd RReecchhttsseeiinnsseennaauuffttrreetteenn kköönnnneenn..
((11..55)) DDeeffiinniittiioonn.. EEiinn EElleemmeenntt 00 ee FF hheeiißßtt NNuuZZZZeeZZeemmeenntt
ooddeerr NNuuZZZZ,, wweennnn ffüürr jjeeddeess ff ee FF ggiilltt
OOff == ffOO == 00
EEiinn EElleemmeenntt 11 ee FF hheeiißßtt EEiinnsseeZZeemmeenntt ooddeerr EEiinnss,,
wweennnn ffüürr jjeeddeess ff ee FF ggiilltt
llff==ff11==ff..
66