Table Of ContentDieudonne . Grundzuge der modernen Analysis
Band 9
J. Dieudonne
Grundziige der modernen Analysis
Band 1 1. Anfangsgrunde der Mengenlehre
2. Reelle Zahlen
3. Metrische Raume
4. Weitere Eigenschaften der reellen Zahlengeraden
5. Normierte Raume
6. Hilbertraume
7. Raume stetiger Funktionen
8. Differentialrechnung
9. Analytische Funktionen
9'. Anwendungen analytischer Funktionen auf die Topologie der Ebene
10. Existenzsatze
11. Elementare Spektraltheorie
Band 2 12. Topologie und topologische Algebra
13. Integration
14. Integration auf lokal kompakten Gruppen
15. Normierte Algebren und Spektraltheorie
Band 3 16. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
17. Differentialrechnung auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit:
I. Distributionen und Differentialoperatoren
Band 4 18. Differentialrechnung auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit:
II. Elementare globale Theorie der Differentialgleichungen erster und zweiter
Ordnung. Elementare lokale Theorie differenzierbarer Systeme
19. Liesche Gruppen und Liesche Algebren
20. Hauptzusammenhange und Riemannsche Geometrie
Band 5/6 21. Kompakte Liesche Gruppen und halbeinfache Liesche Gruppen
22. Harmonische J,\.nalysis
Band 7 23. Lineare Funktionalgleichungen: I. Pseudodifferentialoperatoren
Band 8 23. Lineare Funktionalgleichungen: II. Randwertprobleme
Band 9 24. Algebraische Topologie und Differentialtopologie
J. Dieudonne
Grundziige
der Illodernen
Analysis
Band 9
Friedl'. Vieweg & Sohn Braunschweig JWieshaden
J. Dieudonne
Elements d' Analyse
Tome IX, Chapitre XXIV
@ Bordas, Paris 1982
Ubersetzung aus dem Franzosischen:
Horst Antelmann
1987
Aile Rechte an der deutschen Ausgabe vorbehalten
@ der deutschen Ausgabe
Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1987
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1987
ISBN 978-3-322-90010-4 ISBN 978-3-322-90009-8 (eBook)
DOl 10.1007/978-3-322-90009-8
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Inhalt
24. Aigebraische Topologie und Differentialtopologie 9
24.1. Kohomologie und Kohomologie mit kompakten Tragern einer differenzier-
baren Mannigfaltigkeit . . . 12
24.2. Die Homotopieformel. . . . 17
24.3. Die Mayer-Vietoris-Sequenzen 21
24.4. Kohomologie der Spharen 24
24.5. Der Satz von KUNNETH. . . 27
24.6. Die Poincare-Dualitat 35
24.7. Kohomologie kompakter Untermannigfaltigkeiten 44
24.8. Die Satze von BROUWER 49
24.9. Grad einer Abbildung ............ 53
24.10. Homologie der Strome . . . . . . . . . . . . 65
24.11. Homologie der Strome auf einer orientierten Mannigfaltigkeit 67
24.12. Die Regularisierung von Stromen 68
24.13. Der Schnittring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
24.14. Die Stokessche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . 89
24.15. Anwendungen: I. Die Anzahl der Wurzeln einer Gleichung. 101
24.16. Anwendungen: II. Schnitte von algebraischen Kurven auf einer algebrai-
schen Flache . . . . . . . . . . . . . . 107
24.17. Homologie zellularer Strome. . . . . . . . 117
24.18. Zellenzerlegungen und simpliziale Zerlegungen 119
24.19. Rander von simplizialen Strom en . . . . . 127
24.20. Formale simpliziale Ketten und singulare Homologie 128
24.21. Zerlegungslemma. . . . . . . . . . . . . . . . 132
24.22. Eigenschaften der singularen Homologie . . . . . 137
24.23. Die Satze von DE RHAM: I.. Zu einer simplizialen Zerlegung assoziierte
Strome . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
24.24. Die Satze von DE RHAM: II. Approximation eines Stromes durch die Strome
einer simplizialen Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . 157
24.25. Die Satze von DE RHAM: III. Fortsetzungen von p-Formen 161
24.26. Die Satze von DE RHAM: IV. SchluB des Beweises . . . . 164
24.27. Struktur der Homologiemoduln . . . . . . . . . . . . 168
24.28. Homologie der kompakten euklidischen simplizialen Komplexe 171
24.29. Die singulare Kohomologie 182
24.30. Struktur der Kohomologiegruppen . . . . . . 185
24.31. Der singulare Kohomologiering ...... 189
24.32. SinguIare Kohomologie kompakter euklidischer simplizialer Komplexe 192
24.33. Singulare Kohomologie einer differenzierbaren Mannighltigkeit 193
24.34. Die singulare Kohomologie mit kompakten Tragern . . . . . . 206
24.35. Relative singulare Homologie und Kohomologie . . . . . . . . 207
24.36. Relative Kohomologie und Kohomologie mit kompakten Tragern 216
6 Inhalt
24.37. Ausschneidung und relative Mayer.Vietoris-Sequenz . . . . . 222
24.38. Kohomologie von Produktmannigfaltigkeiten und Faserraumen 235
24.39. Gysinsche Sequenz und Eulersche Klasse . . . . 243
24.40. Kohomologie GraBmannscher Mannigfaltigkeiten . 261
24.41. Chernsche Klassen . . . . . . . . . 271
24.42. Eigenschaften der Chernschen Klassen . . . . . 274
24.43. Pontrjaginsche Klassen . . . . . . . . . . . . 284
24.44. Erganzungen zu vektorwertigen Differentialformen und Hauptzusammen-
hangen . . . . . . . . . . . 288
24.45. Der Weilsche Homomorphismus 290
24.46. Kriimmung und charakteristische Klassen. 29@
24.47. Stiefel-Whitneysche Klassen. . . . . 305
24.48. Die Theorie von HODGE ........ 308
24.49. Die Formel von ATIYAH-BoTT-LEFSCHETZ . 313
24.50. Anwendungen: I. Hopfsche Formel fiir Vektorfelder 321
24.51. Anwendungen: II. Die Bottschen Formeln fiir charakteristische Klassen 323
24.52. Kohomologie Liescher Gruppen 330
24.53. Primitive Elemente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 334
Anhang. Erganzungen aus der Algebra (Fortsetzung des Anhangs
zu Band 5/6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
A.27. Unendliche Produkte von Moduln 342
A.28. Tensorprodukte von Moduln. . 343
A.29. Exakte Sequenzen . . . . . . . 345
A.30. Kohomologie eines graduierten Differentialmoduls 347
A.31. Homologie und Kohomologie eines freien graduierten Kodifferential·Z-
Moduls . . . . . . . . . . . . . 352
A.32. Erganzungen zu den Vektorraumen . 356
A.33. Die Pfaffsche Determinante . . . . 356
A.34. Erganzungen zu den Z-Moduln endlichen Typs . 358
Bezeichnungen. 360
literatur .... 367
Sachverzeichnis 377
1. Mengenlehre
2. Reelle Zahlen
4. Die reelle
Zahlengerade
Riiume stetiger
Funktionen
Differentialrechnung
Analytische Funktionen
Existenzsiitze
Differenzierbare
und Faltung Mannigfaltigkeiten
Differenzierbare
23. Lineare Funktionalgleichungen
24. Elementare
Differentialtopologie
24. Aigebraische Topologie und Differentialtopologie
Die Entwicklung der algebraischen Topologie und der Differentialtopologie sowie
die immer fruchtbareren Anwendungen dieser beiden Theorien auf die verschieden
sten Fragen stellen zweifellos die wichtigsten Beitrage des 20. J ahrhunderts zur
Mathematik dar. Der ununterbrochene Zustrom an neuen Ideen seit 50 Jahren macht
es auch zum gegenwartigen Zeitpunkt unmoglich, eine Darstellung zu finden, die
aIle Aspekte dieser Theorien erfaBte (dazu bedtirfte es zweifellos vieler Bande) und die
nicht bereits am Erscheinungstag tiberholt ware.!) Damit ist schon gesagt, daB das
vorliegende Kapitel jedem Spezialisten in dieser Hinsicht nur als bescheidener Ver
such erscheinen kann; sein Ziel - um vieles anspruchloser - ist, die Analytiker
mit den einfachsten Aspekten des gewaltigen topologischen Gebaudes bekannt zu
machen, wobei versucht wird, der Gesamtanlage dieses Werkes entsprechend dem
Geist der Analysis so nahe wie moglich zu bleiben.
Der elementare Charakter des behandelten Stoffes sei durch die folgenden Hin
weise verdeutlicht:
10 Mehr und mehr setzt sich die Auffassung durch, daB in der algebraischen Topo
logie der Homotopiebegriff von grundlegender Bedeutung ist. Davon ist in diesem
Kapitel praktisch aber kaum die Rede; es baut vielmehr auf dem weniger wichtigen,
jedoch zuganglicheren Begriff der Homologie (bzw. Kohomologie) auf.
2° Die wirksamsten Werkzeuge der Homologietheorie (wie Steenrodsche Potenzen,
Garbenkohomologie, Spektralsequenzen) werden nicht behandelt; auBer der linearen
und der multilinearen Algebra sind exakte Sequenzen das einzige verwendete Hilfs
mittel aus der homologischen Algebra (vgl. (A.30.7)).
3° Da die moderne Analysis die Analysis auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten
ist, werden nahezu ausschliel3lich diese und ihre am haufigsten vorkommenden
Teilmengen (Untermannigfaltigkeiten sowie deren Komplemente) untersucht, und
das Hauptziel besteht in der Berechnung ihrer Homologie (vgl. das Verzeichnis am
SchluB dieser Einleitung). Systematisch wurden daher aIle Konstruktionen von all
gemeineren Raumen vermieden (wie Schleifenraume, induktive Limites von Raumen,
Postnikovsche Ttirme usw.), obwohl gerade diese Raume die spektakularsten Fort
schritte ermoglichten, und zwar auch bei der ausschliel3lichen Behandlung von
Mannigfaltigkeiten.
Das Kapitel ist so angelegt, daB die homologischen Begriffe, beginnend mit den
einfachsten, nach und nach sowie in naturlicher Wei8e eingefiihrt und die damit
jeweils erzielbaren Resultate beschrieben werden. Das macht Langen und Wieder
holungen unvermeidlich; aber so ist es wenistens auch nicht notig, 150 Seiten tiber
1) VgI. die Bibliographie zu diesem KapiteI.
10 24. AIgebraische Topologie und Differentialtopologie
Kategorien, homologische Algebra und simpliziale Komplexe durcharbeiten zu
miissen, um die Homologie der Spharen berechnen zu konnen.
Den Ausgangspunkt stellt, wie bei RIEMANN und POINCARE, die Absicht dar, den
"Exaktheitsdefekt" geschlossener p-Differentialformen auf einer von Rn verschie
denen Mannigfaltigkeit in gewisser Weise zu "messen"; hiervon wird oft als von der
de-Rhamschen Kohomologie (mit reellen Koeffizienten) gesproehen. Bemerkenswert
ist, daB man ohne die geringste "kombinatorische" Technik kompakten Mannig
faltigkeiten unabhangig von der Differenzierbarkeitsstruktur unmittelbar kohomolo
gisehe Invarianten zuordnen kann, sie fiir solche Mannigfaltigkeiten wie Sn, Tn
und P n(R) berechnen kann und die beriihmten Satze von BROUWER erhalt, welche
die Aufmerksamkeit der Mathematiker auf die algebraische Topologie lenkten -
und das alles auf weniger als 60 Seiten (vgl. die Abschnitte 24.1 bis 24.9).
Uber die kanonische Dualitat zwischen Differentialformen und Stromen (vgl.
Abschnitt 17.3) leitet man aus der de-Rharnschen Kohornologie unmittelbar den Begriff
der Homologie von Stromen her, auch dies frei von "kornbinatorischen" Konzepten.
AuBerdem gestattet es die Regularisierung von Strornen (vgl.Abschnitt 24.12) auf
einer orientierten Mannigfaltigkeit, wie bereits von DE RHAM gezeigt, den Schnitt
zweier geschlossener Strome (und sogar von gewissen nicht geschlossenen Stromen)
in ganz natiirlicher Weise zu definieren, frei von den sonst iiblichen peinlichen Ver
renkungen "vom allgemeinen Standpunkt aus" (vgl. Abschnitt 24.13).
Die Regularisierung von Stromen zeigt auch, daB die Kohomologie del' Formen
auf einer orientierten Mannigfaltigkeit tatsachlich zur Kohomologie der Strome mit
kornpaktem Trager dual ist (vgl. (24.12.10)), wobei es sich um eine Version del' Poin
care-Dualitat handelt. Es gibt aber noch manche andere interessanten Strome auBer
den durch Differentialformen definierten (siehe beispielsweise [208] und [259]);
diejenigen unter ihnen, welche in der jiingsten Entwicklung der Homologie die
wichtigste Rolle spielen, werden mit gewissen relativ kompakten offenen Mengen
in einer orientierten Mannigfaltigkeit identifiziert, namlich solchen mit einem Rand,
deren Punkte aIle regular sind (oder in dem die nichtregularen Punkte wenigstens auf
einer Untermannigfaltigkeit von einer Kodimension ~ 2 liegen). Die Bedeutung
dieser Strome resultiert aus der Tatsache, daB im Gegensatz zur Situation bei all
gemeinen Stromen, wo der Begriff des Randes keine intuitive geornetrische Inter
pretation zulaBt, der Rand hier mit dem Rand der betrachteten offenen Menge iden
tifiziert werden kann, versehen mit einer geeigneten Orientierung; das driickt gerade
die 8tokessche Formel aus (vgl. (24.14.4)).
Das Wesentliche an den beriihmten de-Rhamschen Satzen besteht darin, daB
man die Homologie der Strome mit Hilfe dieser spezieIlen Strome und ihrer Bilder
vermoge der Klasse Ceo angehorender Abbildungen berechnen kann (vgl. die Ab
sehnitte 24.23 bis 24.26). In diesem Zusammenhang kommt zum ersten Mal die
.singuliire Honwlogie ins Spiel, wobei die in "Ketten" linear kombinierten Elemente
die stetigen (oder differenzierbaren) Abbildungen eines festen "Standardsimplexes"
sind und nicht ihre Bilder und der dabei gebrauchte Begriff des "Randes" durch die
Stokessehe Formel festgelegt ist (vgl. Absehnitt 24.20).
Das Interesse an einer solchen traditioneIlen Herangehensweise an die Homologie
riihrt zumeinen daher, daB sie sich auf aIle Hausdorffschen Raume und nicht nur
auf differenzierbare Mannigfaltigkeiten anwenden laBt; zum anderen fiihrt sie filr die
Mannigfaltigkeiten selbst zu neuen topologischen Invarianten, die sich auf die
Kohomologie der Differentialformen iibertragen lassen, indem man "Ketten" mit
ganzzahligen Koeffizienten (oder allgemeiner mit Koeffizienten in einem kommu-
24. Algebraische Topologie und Di££erentialtopologie 11
tativen Ring) heranzieht und nicht nur Ketten mit reellen Koeffizienten betrachtet.
Selbstverstandlich werden hier solche klassischen Hilfsmittel wie simpIiziale Zerle
gung (vgl. Abschnitt 24.24) und simpIiziale Approximation (vgl. die Abschnitt 24.18
und 24.21) benutzt, jedoch werden diese nur im benotigen Umfang, als technische
Hilfsmittel eben, und nicht urn ihrer selbst willen behandelt.
Die singulare Homologie ftihrt ihrerseits zur singularen Kohomologie (vgl. die
Abschnitte 24.29 bis 24.33) und schlieBlich zu den relativen Homologien und Kohomo
logien (vgl. die Abschnitte 24.35 bis 24.37). Mit Hilfe dieser Werkzeuge kann man
nun wieder den zentralen Gegenstand dieses Kapitels, die Kohomologie der Mannig
faltigkeiten und einige ihrer Beziehungen zur Theorie der Zusammenhange sowie zur
Theorie der Iinearen partiellen Differentialgleichungen naher untersuchen: charak
teristische Klassen und die Methode von CHERN-WElL (vgl. die Abschnitte 24.40 bis
24.47), die Theorie von HODGE und die Formel von ATlY.AH-BOTT-LEFSCHETZ (vgl.
die Abschnitte 24.48 bis 24.51) sowie schlieBlich die Kohomologie Liescher Gruppen
(vgl. die Abschnitte 24.52 und 24.53).
Vbersicht uber Ergebnisse zur Homologie spezieller Riiume
(de-Rhamsche) Kohomologie: einer Stiefelschen Mannigfaltigkeit
Sn,k(R): 24.39, Aufgabe 6
einer kontrahierbaren Mannigfaltigkeit,
der kompakten Gruppen SO(n), U(n, C),
eines Vektorbiindels: 24.2.7
U(n, H): 24.50, Aufgabe 1
einer Uberlagerung einer Mannigfaltig
keit: 24.1.4, 24.6, Aufgabe 1 und 24.9,
Aufgabe 31 Singulare Homologie:
von Sn: 24.4.1 eines kontrahierbaren Raumes: 24.22.3
von P n(R): 24.4.2 von Sn: 24.22.9
von Rn (mit kompakten Tragern): 24.4.4 eines Bouquets von Mannigfaltigkeiten:
von Tn: 24.5.5
24.22.11
des Mobiusschen Bandes: 24.5, Aufgabe 2
einer Verheftung von Kuge1n: 24.22.12
der Kleinschen Flasche: 24.5, Aufgabe 3 von P (R): 24.22.13
2
des Komplements eines Torus in R3: von Pn(C): 24.22.14
24.5, Aufgabe 4 und 24.7, Aufgabe 2 einer Uberlagerung: 24.22.15
einer reellen projektiven Quadrik: 24.5,
eines Linsenraumes: 24.22, Aufgabe 6
Aufgabe 7
von P n(H): 24.22, Aufgabe 7
einer symplektischen Mannigfaltigkeit:
des Ikosaederraumes: 24.22, Aufgabe 14
24.6, Aufgabe 4 eines Faktorraumes der Einheitsscheibe:
von X" F (X eirie Mannigfaltigkeit, F
24.28, Aufgabe 3
eine endliche Menge): 24.7.9'
einer Phamschen Mannigfaltigkeit: 24.28,
einer zusammenhangenden Summe: 24.7,
Aufgabe 23
Aufgabe 1
einer Aufblasung: 24.37, Aufgabe 22
von Tn" TP: 24.7, Aufgabe 4
eines Zellenkomplexes: 24.37, Aufgabe 28
von Sn "Er (Er homoomorph zu einem
Kubus): 24.8.1
Singulare Kohomologie:
von S" "1:r (1:r homoomorph zu Sr):
24.8.2 torsionsfreier Raume: 24.30.4
von R" "D (D eine abzahlbare Menge): von Rn (mit kompakten Tragern):
24.7, Aufgabe 6 24.36.4
