Table Of ContentDieudonne . Grundzüge der modemen Analysis
Band 5/6
J. Dieudonne
Grundzüge
der modernen
Analysis
Band 5/6
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
J. Dieudonne
Elements d'Analyse
Tome V, Chapitres XXI/ToIlle VI, Chapitres XXII
Gaut hier-Villars, Editcur
Paris/Bruxelles/Montreal 1975
Übersetzung aus dem Französischen:
Ludwig Boll
CIP-Kurztitelaufnahmc der Deutschen Bibliothek
Dieudonne, Jean A.
Grundzüge der modernen Analysis. - Braunschweig: Vieweg.
Einheitssacht. : Elements d'analyse <dt.>
Bd. 5/6. - 1. Aufl. - 1979.
(Logik und Grundlagen der Mathematik; Bd. 21)
ISBN 978-3-663-07768-8 ISBN 978-3-663-07767-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-07767-1
1979
Alle Rechte an der deutschen Ausgabe vorbehalten
® Springer Fachmedien Wiesbaden 1979
Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn. Verlagsgesellschaft mbR, Braunschweig 1979
Softcover reprint ofthe hardcover 1st edition 1979
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einer Gebühr für die Nutzung fremden geistigen Eigentums entschieden werden. Das
gilt für die Vervielfältigul1g durch alle Verfahren einschließlich Speicherung und jede
Übertragung auf Papier, Transparente, Filme, Bänder, Platten und andere Medien.
ISBN 978·3·663·07768-8
Inhalt
21. Kompakte liesche Gruppen und halbeinfache liesche Gruppen. . . . . .. 9
21.1. Stetige unitäre Darstellungen lokal kompakter Gruppen . . . . . . . . . .. 10
21.2. Die Hilbertalgebra einer kompakten Gruppe ..................... 20
21.3. Charaktere einer kompakten Gruppe ........... . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
21.4. Stetige unitäre Darstellungen der kompakten Gruppen ............ 35
21.5. Invariante Bilinearformen; die Killingform ...................... 44
21.6. Halbeinfaehe Liesehe Gruppen; ein Kriterium für die Halbeinfachheit
einer kompakten Lieschen Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
21.7. Maximale Toroide der zusammenhängenden kompakten Lieschen
Gruppen.................................................... 55
21.8. Wurzelformen und fast einfache Untergruppen vom Rang 1 ........ 63
21.9. Lineare Darstellungen von S U(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68
21.10. Eigenschaften der Wurzelformen einer halbeinfaehen kompakten
Gruppe..................................................... 72
21.11. Basen eines Wurzelformensystems .............................. 78
21.12. Beispiele: klassische kompakte Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 94
21.13. Lineare Darstellungen der zusammenhängenden kompakten Lieschen
Gruppen .................................................... 103
21.14. Anti-invariante Elemente ..................................... 107
21.15. Die Formeln von H. WEYL .................................... 114
21.16. Zentrum, Fundamentalgruppe und irreduzible Darstellungen der halb
einfachen zusammenhängenden kompakten Gruppen . . . . . . . . . . . . .. 127
21.17. Komplexifizierungen der halbeinfachen zusammenhängenden kom-
pakten Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 150
21.18. Reelle Formen der Komplexifizierungen der halbeinfachen zusammen-
hängenden kompakten Gruppen und symmetrische Räume ........ 157
21.19. Wurzelformen einer komplexen halbeinfachen Lieschen Algebra .... 174
21.20. Weylsche Basen .............................................. 179
21.21. Die lwasawasche Zerlegung .................................... 186
21.22. Das Auflösbarkeitskriterium von E. CARTAN ..................... 198
21.23. Der Satz von E. E. LEVI ...................................... 205
22. Harmonische Analysis ........................................... 217
22.1. Stetige Funktionen von positivem Typus ........................ 219
22.2. Maße von positivem Typus .................................... 226
22.3. Induzierte Darstellungen ...................................... 232
22.4. Induzierte Darstellungen und Einschränkungen von Darstellungen
auf Untergruppen ............................................ 253
22.5. Teilspuren und induzierte Darstellungen anf den kompakten Gruppen 254
6 Inhalt
22.6. Gelfandsehe Paare und Kugelfunktionen ........................ 261
22.7. Planehereltransformation und Fouriertransformation .............. 272
22.8. Die Räume P(G) und P (Z) ................................... 282
22.9. Kugelfunktionen von positivem Typus und irreduzible Darstellungen 288
22.10. Kommutative harmonische Analysis und Pontrjaginsche Dualität . .. 296
22.11. Die duale Gruppe einer Untergruppe und die duale Gruppe einer Fak-
torgruppe ................................................... 312
22.12. Die Poissonsche Formel ....................................... 318
22.13. Die zu einem Produkt duale Gruppe ............................ 323
22.14. Beispiele für Dualität ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 325
22.15. Stetige unitäre Darstellungen der lokal kompakten kommutativen
Gruppen .................................................... 334
22.16. Rasch fallende Funktionen auf Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 345
22.17. Temperierte Distributionen .................................... 350
22.18. Faltung der temperierten Distributionen und der Satz von PALEY-
\VIE~ER . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 372
22.19. Periodische Distributionen und Fourierreihen .................... 394
22.20. Die Sobolevräume ............................................ 412
Anhang. Ergänzungen aus der Algebra (Fortsetzung des Anhangs zu
Band 4) 417
A.22 Einfache Moduln ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 417
A.23. Halbeinfache Moduln ......................................... 417
A.24. Beispiele .................................................... 419
A.25. Kanonische Zerlegung eines Endomorphismus .................... 421
A.26. Z-Moduln endlichen Typs ..................................... 422
Literatur 425
Bezeichnungen ..................................................... 431
Sachverzeichnis ..................................................... 439
1. Mengenlehre
2. Ree[e Zahlen
4. Die reelle
Zahlengerade
Differentialrechnung
9. Analytische Funktionen
16. Differenzierbare
Mannigfaltigkeiten
21. Kompakte
Liesche Gruppen
24. Elementare
Differentialtopologie
25. Nichtlineare Probleme
21. Kompakte liesche Gruppen
und halbeinfache liesche Gruppen
Es kommt in der Mathematik selten vor, daß man alle Objekte explizit beschreiben
kann, die eine durch wenige einfache Axiome charakterisierte Struktur besitzen.
Ein klassisches Beispiel, bei dem dies leicht gelingt, bilden die endlichen kommuta
tiven Gruppen (vgl. (A.26.4)); dagegen ist man trotz einer mehr als ein Jahrhundert
andauernden Forschung und einer ungeheuren Anhäufung von Einzelresultaten
immer noch weit davon entfernt, die nichtkommutativen endlichen Gruppen be
schreiben zu können, selbst wenn man sie zusätzlichen einschränkenden Bedin
gungen (etwa einfach oder nilpotent zu sein) unterwirft.
Um so bemerkenswerter ist es, daß man in der Theorie der Lieschen Gruppen
alle diejenigen explizit kennt, die kompakt und einfach zusammenhängend sind, und
daß man, ausgehend von diesen Gruppen, die Struktur der kompakten und zu
sammenhängenden Lieschen Gruppen auf ein einfaches Problem der kommu
tativen Gruppen endlichen Typus zurückführen kann (vgl. (16.30.2) und (21.6.9)).
Die kompakten und einfach zusammenhängenden Lieschen Gruppen sind Produkte
endlich vieler Gruppen, die zu den universellen Überlagerungen der "klassischen
Gruppen" SO(n), SU(n) und U(n, H) (vgl. Abschnitt 16.11) gehören (also von
einem ganzzahligen Parameter abhängen) oder zu den fünf "Ausnahmegruppen"
der Dimension 14,52,78, 133 und 248. Bis zu diesem endgültigen Ergebnis werden
wir zwar nicht vordringen, aber wir werden die Methoden entwickeln, die dahin
führen, und zwar bis zu dem Punkt, wo das wesentliche, was noch zu tun bleibt,
in einer Aufzählung (durch aufeinanderfolgende Aussonderung) von algebraischen
Objekten besteht, die mit der euklidischen Geometrie (beliebiger Dimension) ver
knüpft und sehr einschränkenden Bedingungen arithmetischer Natur unterworfen
sind, welche nur eine kleine Zahl von Möglichkeiten zulassen (vgl. (21.10.3)). Eine
vollständige Darlegung findet man in den Werken [111] oder [1l7] des Literatur
verzeichnisses.
Diese Methoden beruhen einerseits auf der in Kapitel 19 durchgeführten elemen
taren Untersuchung der Lieschen Gruppen, andererseits auf einem grundlegenden
neuen Begriff, der dieses und das folgende Kapitel beherrscht und dessen Bedeu
tung für die moderne Mathematik kaum überschätzt werden kann, dem Begriff
der linearen Darstellung einer Gruppe. Eine wesentliche Tatsache besteht darin,
daß man, wenn man sich auf kompakte (nicht notwendig Liesche) Gruppen be
schränkt, nur die endlichdimensionalen linearen Darstellungen zu untersuchen
braucht (vgl. (21.2.3)). Das zweite unerwartete Phänomen ist das Ergebnis, daß
in bezug auf die zusammenhängenden kompakten Lieschen Gruppen tatsächlich
alles darauf beruht, daß man die linearen Darstellungen von nur zwei Typen von
Gruppen explizit kennt: die der Toroide Tn und die der Gruppe SU(2) (vgl. Ab
schnitt 21.9). Man kann im großen und ganzen sagen, daß gerade dies die "Einzel-
10 21. Kompakte Liesche Gruppen und halbe in fache Liesche Gruppen
teile" sind, aus denen durch Kombination alle anderen zusammenhängenden kOlll
pakten Lieschen Gruppen "konstruiert" werden können; man erhält so nicht nur
die explizite Struktur dieser Gruppen, sondern kann auch ihre sämtlichen linearen
Darstellungen aufzählen (vgl. (21.15.5)).
Das Interesse an den zusammenhängenden kompakten Lieschen Gruppen ergibt
sich nicht nur aus dem ästhetischen Reiz, den ihre Theorie ausübt, die eine der
schönsten und am meisten zufriedenstellenden Theorien der gesamten Mathe
matik ist; es beruht auch auf der zentralen Stellung, die sie im Rahmen der mo
dernen Disziplinen einnehmen. Zunächst einmal sind sie mit einem äußerst wich
tigen Begriff der Theorie der Lieschen Gruppen, dem der (nicht notwendig kom
pakten) halbeinfachen Gruppe, eng verknüpft, und tatsächlich ergibt sich, daß man.
wenn man die kompakten halbeinfachen Gruppen kennt, alle anderen erhalten
kann (vgl. Abschnitt 21.18). Bekanntlich weiß man seit F. KLEIN, daß die klassische
"Geometrie" im wesentlichen die Untersuchung gewisser halbeinfacher Gruppen
ist. Mit Hilfe der Begriffe Faserbündel und Zusammenhang hat E. CARTAN ge
zeigt, daß diese Gruppen keine geringere Rolle in der Differentialgeometrie spielen
(vgl. Kapitel 20), und von hieraus übertrug sich ihr Einfluß auf die Differential
topologie und die homologische Algebra. In Kapitel 22 werden wir zeigen, wieder
nach E. CARTAN, wie man seit etwa 1950 bemerkt hat, daß die Untersuchung der
linearen Darstellungen der halbeinfachen Gruppen (diesmal über unendlichdimen
sionalen Räumen) für zahlreiche Probleme der Analysis von grundlegender Be
deutung ist, von ihren Anwendungen in der Quantenmechanik ganz zu schweigen.
Völlig unvorhergesehen war das Eindringen der Theorie der halbeinfachen Gruppen
in diejenigen Gebiete, die weitab zu liegen schienen, in die "abstrakte" algebraische
Geometrie, die Zahlentheorie und die Theorie der endlichen Gruppen. Seit S. LIE
und E. CARTAN wußte man, daß die halbeinfachen Gruppen algebraisch sind (d. h.
durch Polynomgleichungen definiert werden können); aber erst seit 1950 hat man
sich davon überzeugt, daß dies keineswegs zufällig ist und daß die Theorie der halb
einfachen Gruppen tatsächlich zwei Aspekte von gleieher Wiehtigkeit besitzt: den
analytischen Aspekt, der sie hervorgebracht hat, und den rein algebraischen
Aspekt, der sich zeigt, sobald man einen von R oder C verschiedenen "Basis
körper" wählt. Leider konnte dieser zweite Aspekt hier nicht behandelt werden;
wir mußten uns darauf beschränken, seine stets zahlreicher werdenden Auswir
kungen zu betonen. Im einzelnen verweisen wir den Leser auf die Werke [112].
[113], [106], [109], [110] des Literaturverzeichnisses.
21.1. Stetige unitäre Darstellungen lokal kompakter Gruppen
21.1.1. Es seien G eine topologische Gruppe, E ein hausdorffscher topologischer
Vektorraum über dem Körper C der komplexen Zahlen. In Verallgemeinerung der
Definition (16.9.7) verstehen wir unter einer stetigen linearen Darstellung von G
über E eine Abbildung s ~ U(s) von G in die Gruppe GLlE) der Automorphismen
des topologischen Vektorraumes E, welche den folgenden Bedingungen genügt:
a) U(st) = U(s) U(t) für alle s, t E; G;
b) für jedes xE E ist die Abbildung s ~ U(s) . x von Gin E stetig.
21.1. Stetige unitäre Darstellungen lokal kompakter Gruppen 11
Aus a) ergibt sich: Ist e das neutrale Element von G, so ist U(e) = 1E, und für
jedes s E G gilt
21.1.1.1. U(S-l) = (U(s)) -1.
Hat E die endliche Dimension d, so sagen wir, die Darstellung U habe die Di
mension (oder den Grad) d; dies wird gelegentlich mit d = dim U notiert.
Die Abbildung Uo, die jedem sE G die Abbildung 1E zuordnet, ist eine stetige
lineare Darstellung von G über E, die sogenannte triviale Darstellung.
Ein Vektorteilraulll F von E wird 1·nvariant bezüglich einer stetigen linearen
Darstellung U von G über E genannt, wenn U(s) F c F für jedes s E G gilt. Dann
ist die Abbildung s -+ Urs) I P eine stetige lineare Darstellung von G über F, die
sogenannte dem Teilraulll P entsprechende Teildarstellung von U.
Wir nennen eine stetige lineare Darstellung U von G über E irreduzibel (oder
auch topologisch irreduzibel). wenn kein von {O} und von E verschiedener abge
schlossener Vektorteilraum P von E existiert, der bezüglich U invariant ist. Für
jedes von 0 verschiedene XE E ist dann die Menge der U(s) . x - wobei s die
Gruppe G durchläuft - in E total (vgI. Abschnitt 12.13).
21.1.2. In diesem und dem folgenden Kapitel betrachten wir insbesondere den
Fall, daß E ein separabler Hilbertraum ist. Unter einer stetigen unitären Darstellung
von G über E verstehen wir dann eine stetige lineare Darstellung U von G über E,
für welche für jedes sE G die Operatoren "G(s) unitär, mit anderen Worten (vgl.
Abschnitt 15.5) also Automorphislllen der Hilbertraumstruktur von E sind. Dies
bedeutet, daß die U(s) neben den Bedingungen a) und b) von (2l.l.1) noch der fol
genden Bedingung genügen:
I I
c) Für jedes SE G ist die Beziehung (U(s) . x U(s) . y) = (x y) für alle x, y E E
erfüllt.
Insbesondere ist für jedes s E G der Operator U(s) eine Isometrie von E auf sich,
und es gilt
21.1.2.1. U(S)-l = ("G(s))* für jedes SE G.
21.1.3. Bemerkungen. (i) Ist E endlichdimensional, so ist die Bedingung b)
von (2l.1.1) der Aussage äquivalent, s -+ U(s) sei eine stetige Abbildung von G in
die normierte Algebra :t(E) (bezüglich jeder Norm, welche die Topologie von E
definiert). Die Bedingung b) ist nämlich mit der folgenden Aussage äquivalent: Ist
(Ujk(S)) die Matrix von U(s) bezüglich einer Basis von E, so sind die Funktionen Ujk
auf G stetig. Ist dagegen E ein unendlichdimensionaler separabler Hilbertraum und
U eine stetige unitäre Darstellung von G über E, so braucht U keine stetige Abbil
dung von G in die normierte Algebra :t(E) zu sein (vgl. Aufgabe 3).
(ii) Ist E endlichdimensional, so ist eine stetige lineare Darstellung U von G
über E nicht bezüglich jedes Skalarproduktes (vgl. Abschnitt 6.2) auf E eine stetige
unitäre Darstellung. Ist beispielsweise G = B, so ist die stetige lineare Darstellung
12 21. Kompakte Liesche Gruppen und halbeinfache Liesche Gruppen
VOn G über C2 für kein Skalarprodukt auf C2 unitär, da eine unitäre Matrix einer
Diagonalmatrix ähnlich ist (vgl. (15.11.14»); (vergleiche dazu auch Abschnitt
21.18, Aufgabe 1).
21.1.4. V on nun an betrachten wir in diesem Kapitel nur separable metrisierbare
lokal kompakte Gruppen, und wie in Kapitel 14 sprechen wir der Kürze halber von
lokal kompakten (bzw. kompakten) Gruppen, wenn wir separable metrisierbare lokal
kompakte (bzw. metrisierbare kompakte) Gruppen untersuchen.
Es seien G eine lokal kompakte Gruppe, p, ein beschränktes komplexes Maß (vgl.
Absehnitt 13.20) auf G, ferner U eine stetige unitäre Darstellung von G über einem
separablen Hilbertraum E. Wegen IIU(s) . xii = Ilxll ist dann für jedes Paar VOn
I
Vektoren x, y E E die Funktion s --+ (U(s) . x y) auf G stetig und beschränkt;
daher ist sie p,-integrierbar, und es ist (vgl. (13.20.5»)
21.1.4.1. 11 (U(s) . x I y) d/l(s) 1: s II/lll . Ilxll . Ily! I .
Da E mit dem zu E dualen Raum identifiziert werden kann, ergibt sich hieraus, daß
in E genau ein Vektor U(p) . x existiert derart, daß für jedes y E E die Beziehung
1 (U(s) . x I y) dp(s) = (U(p,) . x I y)
erfüllt ist. Daher können wir
1
21.1.4.2. U(p)' x = (U(s). x) dp(s)
schreiben (vgl. (13.10.6»). Offenbar wird auf diese Weise ein aufgrund von (21.1.4.1)
stetiger Endomorphismus U(p) von E definiert. Daher ist
21.1.4.3. IIU('u)11 ~ Ilpll .
Insbesondere gilt
21.1.4.4. U(S8) = U (s) für jedes s E G .
Zur Abkürzung schreiben wir (21.1.4.2) manchmal in der Gestalt
21.1.4.5. U(p,) = 1 U(s) dp,(s) .
21.1.5. Nach (15.4.9) ist bekanntlich die Menge Mh(G) der beschränkten kom
plexen Maße auf G eine involutive Banachalgebra über C bezüglich der Faltung von
Maßen und der Involution p,--+ ~. Hat man ein linksinvariantes Haarsches Maß ß
auf G gewählt, so kann man den normierten Raum LHG) kanonisch mit einem
abgeschlossenen Vektorteilraum VOn Mh(G) identifizieren, indem man die Klasse]
einer ß-integrierbaren Funktion I mit dem beschränkten Maß I· ß identifiziert;
denn nach (13.20.3) gilt ja 111· ßII = NI(/). Nach Definition der Faltung zweier
Funktionen aus l'h(G) (vgl. (14.10.1») ist Lh(G) eine Unteralgebra VOn Mh(G),
wenn man als Produkt der Klassen zweier Funktionen I, gE l'h(G) die Klasse VOn
1* g nimmt. Ist überdies G unimodular (vgl. Abschnitt 14.3), so ist Lh(G) ein zwei
seitiges Ideal von Mh(G), und die Transformierte des :Maßes I· ß vermöge der In-
1·
volution p,--+ ~ ist ß (vgl. (14.3.4.2»). Man kann also Lh(G) als involutive abge-
