Table Of ContentP. S. Novikov
Gr u ndzuge der
mathematischen Logik
Logik und Grundlagen der Mathematik
Herausgegeben von
Prof. Dr. Dieter Redding, Munster
Band 14
Band 1
L. Felix, Elementarmathematik in moderner Darstellung
Band 2
A. A. Sinowjew, Ober mehrwertige Logik
Band 3
J. E. Whitesitt, Boolesche Algebra und ihre Anwendungen
Band 4
G. Choquet, Neue Elementargeometrie
Band 5
A. Monjallon, Einfuhrung in die moderne Mathematik
Band 6
S. W. Jablonski / G. P. Gawrilow / W. B. Kudrjawzew
Boolesche Funktionen und Postsche Klassen
Band 7
A. A. Sinowjew, Komplexe Logik
Band 8
J. Dieudonne, Grundzuge der modernen Analysis
Band 9
N. Gastinel, Lineare numerische Analysis
Band 10
W. V. O. Quine, Mengenlehre und ihre Logik
Band 11
J. P. Serre, Lineare Darstellung endlicher Gruppen
Band 12
I. R. Schafarewitsch, Grundzuge der algebraischen Geometrie
Band 13
A. I. Malcew, Algorithmen und rekursive Funktionen
Band 14
P. S. Novikov, Grundzuge der mathematischen Logik
P. S. Novikov
GrundzOge
der mathematischen
Logik
+
Friedr. Vieweg Sohn . Braunschweig
Vbersetzung: Dr. K. Rosenbaum, Erfurt
Verantwortliche Verlagslektoren: Dipl.·Math. E. Arndt, Dipl.-Math. B. Mai
Titel der russischen Originalausgabe:
TI. C. HOBHHOB
a~eMeHThl MaTeMaTHQeCHOH ~orHHH
<l>H3MaTrH3, MocRBa 1959
1973
Copyright © 1973 der deutschen Ausgabe by Friedr. Vieweg + Sohn GmbH, Braunschweig
softcover reprint of the hadcover 1s t edition 1973
AIle Rechte an der deutschen Ausgabe vorbehalten
No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system or transmitted,
mechanical, photocopying, recording or otherwise, without prior permission of the Copyright holder.
Satz: Friedr. Vieweg + Sohn, Braunschweig
Buchbinder: W. Langeliiddecke, Braunschweig
ISBN-13: 978-3-528-08319-9 e-ISBN: 978-3-322-88787-0
DOl: 10.1007/978-3-322-88787-0
Vorwort zur deutschen Ausgabe
In der Entwicklung der mathematischen Logik und der mathematischen Grundlagen
forschung lassen sich zwei Abschnitte unterscheiden. Nach gewissen Vorlaufen im alten
Griechenland und bei Leibniz wurde in der zweiten Halfte des 19. J ahrhunderts die Ma
thematik neu begriiodet. Hierbei gelang es, wesentlich durch C. S. Peirce, E. Schroder,
R. Dedekind, G. Frege, die Mathematik auf die Theorie der Relationen zuruckzufiihren.
Eine zusammenfassende Darstellung hieruber liegt in dem bekannten Werk "Principia
Mathematica" von B. Russell und A. N. Whitehead vor. Diese Entwicklung erreichte
ihren Hohepunkt und in einem gewissen Sinne ihren vorlaufigen AbschluB, als es gelang,
die Theorie der mehrstelligen Relationen auf die allgemeine Mengenlehre von G. Cantor
zuruckzuflihren. Seitdem bildet die Mengenlehre oder, logisch ausgedruckt, die Theorie
der Eigenschaften beliebiger Stufe das Fundament, auf dem alle mathematischen Gebiete
sich einheitlich mit den Methoden der mathematischen Logik darstellen lassen.
Das Programm fur den zweiten Abschnitt wurde von D. Hilbert in seinem beriihm
ten Vortrag tiber mathematische Probleme auf dem Internationalen Mathematiker-Kon
greB 1900 in Paris entwickelt. Da sich bei allen bisherigen Begriiodungen durch einen zu
unkontrollierten Gebrauch des Begriffs der Menge bzw. der Relation Widerspruche erge
ben hatten, wurde von Hilbert das Problem formuliert, einen Widerspruchsfreiheitsbeweis
fUr moglichst weite Gebiete der Mathematik mit der auch sonst in dieser Wissenschaft tib
lichen Strenge zu entwickeln. Urn dieses Problem tiberhaupt behandeln zu konnen, war es
erforderlich, die Mathematik zu formalisieren. Hierbei wird die Mathematik und die Logik,
auf der sie beruht, selbst zum Gegenstand der Untersuchung gemacht. Deshalb ist die heu
tige mathematische Logik nicht mehr nur eine mathematische Disziplin im tiblichen Sinne
des Wortes. Vielmehr ist sie selbst Gegenstand einer mathematischen Theorie. Diese Unter
suchungen ftihrten dann zu der heutigen mathematischen Logik, die sich fur die Mathema
tik als auBerordentlich bedeutungsvoll erwiesen hat. Durch sie wurden alte Gebiete der
Mathematik neu begriiodet, neue Gebiete der Mathematik entwickelt, und schlieBlich bil
det sie in der modernen Rechentechnik die mathematische Grundlage fUr die Theorie der
elektronisch gesteuerten Rechenautomaten.
Die mathematische Logik liiBt sich in vier Abschnitte einteilen: (1) Aussagenlogik,
(2) Pradikatenlogik der ersten Stufe, (3) Logik der Eigenschaften und Relationen beliebi
ger Stufe, (4) Theorie formalisierter mathematischer Disziplinen, die auch haufig, etwas
speziell und einseitig, Modelltheorie genannt wird. Zu allen Teilen der mathematischen
Logik wurden Beitrage von Mathematikern vieler Nationen geliefert. Besonders wichtig
sind die Arbeiten der polnischen Mathematiker und Logiker nach dem ersten Weltkrieg in
dem wiedererstandenen polnischen Staat. Hervorragende Beitrage wurden von Hilbert und
seinen Schtilern geleistet. Entscheidende Resultate stammen von den Mathematikern der
sogenannten Wiener Schule, insbesondere von K. Godel. Ferner spielen etwa ab 1936 die
amerikanischen Mathematiker eine groBe Rolle. Und schlieBlich haben auch russische
bzw. sowjetische Mathematiker in allen Perioden bedeutende Leistungen aufzuweisen.
Seit dem Ende des zweiten Weltkrieges hat die mathematische Grundlagenforschung
in der Sowjetunion einen bedeutenden Aufschwung genommen. Es sind besonders drei
Forschungsgruppen zu nennen. A. A. Markov hat zunachst in Leningrad, heute in Moskau,
eine Gruppe von Mathematikern geleitet, die sich das Ziel gesetzt haben, die Mathematik,
insbesondere die Analysis, mit konstruktiven Mitteln zu begrunden. A. L Mal'cev ist schon
friihzeitig mit Forschungen zur Modelltheorie hervorgetreten. Von ibm wurde eine For
schungsgruppe in Novosibirsk gegrundet, die hervorragende Beitrage zur "Logik und Alge
bra" liefert, wie der Titel einer von ihr herausgegebenen Zeitschrift lautet. P. S. Novikov
hat an einer padagogischen Hochschule in Moskau, an der Lomonosov-Universitat und an
der Akademie der Wissenschaften der UdSSR eine umfassende Lehr-und Forschungstatig
keit entfaltet. Besonders bekannt wurden seine Ergebnisse tiber die algorithmische Unl6s
barkeit des Wortproblems fUr Gruppen, fUr die er den Leninpreis erhalten hat.
Entsprechend ihrer Bedeutung gibt es viele lehrbuchartige Darstellungen der mathema
tischen Logik: von den bedeutenden Originalwerken von Hilbert und Ackermalln sowie
Hilbert und Bemays tiber viele fUr das mathematische Studium bestimmte Lehrbticher bis
zu halbpopularen Darstellungen, die sich an einen groBen Kreis, insbesondere an Techniker,
wenden. In der Sowjetunion waren bisher nur Monographien tiber einzelne Teilgebiete er
schienen. Das erste zusammenfassende Lehrbuch "Grundztige der mathematischen Logik"
stammt von Novikov. Es ist auBerordentlich zu begriiBen, daB nun eine Dbersetzung dieses
Werkes in deutscher Sprache vorliegt. Das Werk enthalt den gesamten klassischen Stoff.
Es sind auBerdem viele neuere Resultate eingearbeitet, die bisher in die Lehrbticher noch
nicht aufgenommen wurden. Es solI an dieser Stelle das Buch von Novikov nicht etwa im
einzelnen gewiirdigt werden. Es ~oll abschlieBend nur betont werden, daB diese tlber
setzung einen hervorragenden Beitrag zur internationalen Kommunikation liefert, der
von allen auf dem Gebiet der mathematischen Logik Arbeitenden begriiBt werden wird.
Karl SchrOter
Berlin, Oktober 1972
Inhalt
Einleitung 1
1. Aussagenalgebra
1.1. Logische Operationen 19
1.2. Logische Gleichwertigkeit von Formeln 22
1.3. Das Dualitatstheorem 27
1.4. Das Entscheidungsproblem 28
1.5. Darstellung von beliebigen zweiwertigen Funktionen durch Formeln
der Aussagenalgebra 33
1.6. Kanonische Normalformen 35
2. Aussagenkalkiil
2.1. Der Formelbegriff 40
2.2. Definition wahrer Formeln 44
2.3. Das Deduktionstheorem 50
2.4. Einige aussagenlogische Schlu~regeln 53
2.5. Monotonie 56
2.6. Xquivalente Formeln 58
2.7. Einige Ableitbarkeitssatze 65
2.8. Formeln in der Aussagenalgebra und im Aussagenkalkill 70
2.9. Widerspruchsfreiheit des Aussagenkalkills 72
2.10. Vollstlindigkeit des Aussagenkalkills 74
2.11. Unabhangigkeit der Axiome des Aussagenkalkills 75
3. Pradikatenlogik
3.1. Pradikate 84
3.2. Quantoren 87
3.3. Mengentheoretische Deutung der Pradikate 90
3.4. Axiome 93
3.5. Widerspruchsfreiheit und Unabhangigkeit der Axiome 95
3.6. Eineindeutige Abbildung von Individuenbereichen 97
3.7. Isomorphie von Individuenbereichen und Vollstandigkeit des
Axiomensystems 99
3.8. Axiome der nattirlichen Zahlen 102
3.9. Normalformeln und Normalformen 106
3.10. Das Entscheidungsproblem 108
3.11. Einstellige Prlidikatenlogik 109
3.12. Endliche und unendliche Individuenbereiche 114
3.13. Entscheidungsfunktionen (Skolemsche Funktionen) 117
3.14. Der Satz von Lowenheim 121
4. Der Priidikatenkalkill
4.1. Formeln des Prlidikatenkalkills 125
4.2. Variablenumbenennung in Formeln 130
4.3. Axiome des Prlidikatenkalkills 131
4.4. Regeln zur Bildung wahrer Formeln 132
4.5. Widerspruchsfreiheit des Prlidikatenkalktils 139
4.6. Vollstlindigkeit im engeren Sinne 144
4.7. Einige Slitze des Prlidikatenkalkills 146
4.8. Das Deduktionstheorem 149
4.9. Weitere Slitze des Prlidikatenkalkills 152
4.10. Aquivalente Formeln 160
4.11. Das Dualitlitstheorem 164
4.12. Normalformen 167
4.13. Deduktive Aquivalenz 170
4.14. Skolemsche Normalformen 171
4.15. Beweis des Satzes von Skolem 175
4.16. Der Satz von Mal'cev 177
4.17. Das Vollstlindigkeitsproblem des Prlidikatenkalkills im weiteren Sinne 182
4.18. Bemerkungen zu quantorenfreien Formeln des Prlidikatenkalkills 183
4.19. Der Satz von Godel 184
4.20. Axiomensysteme im Prlidikatenkalkill 190
5. Axiomatische Arithmetik
5.1. Terme. Der erweiterte Prlidikatenkalkill 195
5.2. Eigenschaften des Gleichheitsprlidikats und der Funktionsterme 196
5.3. Die Aquivalenzrelation 200
5.4. Das Deduktionstheorem 201
5.5. Die Axiome der Arithmetik 202
5.6. Beispiele fUr ableitbare Formeln 204
5.7. Rekursionsterme 207
5.8. Eingeschrlinkte Ari thmetik 208
5.9. Rekursive Funktionen 212
5.10. Axiomatische und semantische Ableitbarkeit von Eigenschaften
arithmetischer Funktionen 213
5.11. Rekursive Pradikate 217
5.12. Andere Methoden zur Bildung rekursiver Pradikate.
Eingeschrankte Quantoren 219
5.13. Verfahren zur Bildung neuer Rekursionsterme 220
5.14. Einige zahlentheoretische Pradikate und Terme 224
5.15. Berechenbare Funktionen 227
5.16. Einige Satze der axiomatischen Arithmetik 230
6. Elemente der Beweistheorie
6.1. Widerspruchsfreiheit und Unabhangigkeit von Axiomen 237
6.2. Primfaktoren und prime Summanden 238
6.3. Prirnitiv wahre Formeln 239
6.4. Die Operationen 1, 2, 3 241
6.5. Regulare Formeln 243
6.6. Einige Hilfssatze tiber regulare Formeln 249
6.7. Duale Operationen zu 1,2,3 260
6.8. Eigenschaften der Operationen 1* , 2*, 3* 262
6.9. Regularitat von innerhalb der Arithmetik ableitbaren Formeln 267
6.10. Die Widerspruchsfreiheit der eingeschrankten Arithmetik 270
6.11. Die Unabhangigkeit des Axioms der vollstandigen Induktion
in der Arithmetik 270
6.12. Ein verscharfter Satz tiber die Unabhangigkeit des Axioms
der vollstandigen Induktion 272
Literatur 282
Namen-und Sachregister 284
Einleitung
In der modernen Mathematik ist die sogenannte axiomatische Methode weit verbreitet;
die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie durch Lobatschewski ist eine ihrer
Quellen. Bis heute hat die axiomatische Methode durch Beriihrung mit anderen Ideen
eine gewaltige Evolution erlebt und nicht nur neue Methoden, sondern auch neue Prinzi
pien des physikalischen und des mathematischen Denkens hervorgebracht. Die axiom a
tische Methode hat sich in zwei Etappen entwickelt. Die erste reicht von der Entdeckung
durch Lobatschewski bis zu den Arbeiten Hilberts tiber die Grundlagen der Mathematik;
die zweite von die sen Arbeiten Hilberts bis heute. Die zweite Etappe stellt eine Zusarn
menfassung von Ideen aus der Geometrie mit der sich parallel entwickelnden Theorie dar,
die uns als "symbolische" oder "mathematische" Logik bekannt ist. Als Ergebnis ent
stand eine neue Disziplin, fiir welche die Bezeichnung mathematische Logik beibehalten
wurde.
Bevor wir auf die mathematische Logik selbst zu sprechen komrnen, betrachten wir
kurz den ihr vorausgehenden Stand der axiomatischen Methode und versuchen, wenig
stens in den allgemeinsten Ziigen die Griinde fiir die Entstehung dieser Methode und die
vor ihr stehenden Aufgaben zu klaren. Das Wesen der axiomatischen Methode besteht in
einer spezifischen Weise, mathematische Objekte und Relationen zwischen ihnen zu defi
nieren. Beim Studium eines Systems von Objekten irgendwelcher Art verwenden wir be
stimrnte Termini, welche die Eigenschaften dieser Objekte und die Relationen zwischen
ihnen ausdrticken. Dabei definieren wir weder die Objekte selbst noch ihre Eigenschaften
und die Relationen zwischen ilLnen, sondern formulieren eine Reihe von Aussagen, welche
fUr sie erftillt sein miissen. Offen bar wahlen diese Aussagen aus allen moglichen Systemen
von Objekten und Relationen zwischen ihnen diejenigen aus, fUr die sie erftillt sind.
Damit konnen wir die vereinbarten Aussagen als Definitionen eines Systems von
Objekten einer bestimrnten Klasse und deren Eigenschaften sowie von Relationen zwischen
ihnen ansehen.
Dazu betrachten wir ein einfaches Beispiel, auf das wir auch spater oft zuruckgreifen
werden. Es sei ein beliebiges System von Objekten gegeben, die wir mit lateinischen Buch
staben bezeichnen. Zwischen ihnen bestehe eine Relation, die wir mit ,,komrnt vor" be
zeichnen. Ohne jetzt die Objekte und die Relation ,,komrnt vor" zu definieren, formulieren
wir fiir sie die folgenden Aussagen:
1. Kein Objekt komrnt vor sich se1bst.
2. Wenn x vor y komrnt und y vor z, so komrnt x vor z.
Wie man leicht sieht, gibt es Systeme von Objekten mit solchen Relationen zwischen
ihnen, da~ unsere Aussagen wahr sind, wenn wir unter "x komrnt vor y" die gegebene
Relation verstehen.
Die Objekte x, y, ... seien zum Beispiel Menschen, und die Relation zwischen x und
y sei "x ist alter als y". Dann bedeutet "x komrnt vor y" einfach "x ist alter als y", und
die Aussagen lund 2 sind wahr.
