Table Of ContentGrundzüge der
Ausgleichungsrechnung
nach der Methode der kleinsten Quadrate
nebst Anwendungen in der Geodäsie
Von
Dr.-lng. Walter Großmann
o. Professor an der Technischen Hochschule Hannover
Mit 54 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1953
ISBN 978-3-662-35397-4 ISBN 978-3-662-35396-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-35396-7
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Copyright 1953 by Springer-Verlag Berlin Heidelberg
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag OHG., BerlinjGöttingenjHeidelberg 1953
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1953
Vorwort.
Dieses Buch ist, wie meine bei der Wissenschaftlichen Verlags
anstalt Hannover im Jahre 1949 erschienenen "Rrchnungen und Ab
bildungen in der Landesvermessung", auf der einen Seite als Vorlesungs
hilfe grdacht, zum anderen will es den Praktiker, der für den Einzelfall
Belehrung sucht, instard setzen, sich schndl und möglichst vollständig
zu unterrichten. Da ich die Kenntnis der Matrizenrechnung noch nicht
allgemein glaube voraussetzen zu dürfen, habe ich die klassische GAuss
sche Schreibweise beibrhalten urd mich brmüht, in diesem Rahmen für
alle in der breiteren Praxis benutzten AuEgleichungsverfahren leicht
verständliche Formelentwicklungen und übersichtliche Rechenanlei
tungen zu geben. Die Bei8pide behandeln in den ersten 4 Abschnitten
vorwiegend die gängigen Aufgaben aus der Vermessungspraxis, wobei,
wie es der Praxis entspricht, die Winkelwerte teils in alter, teils in
neuer Teilung gegeben sind. Im 5. Abschnitt werden Ansätze allgemeiner
Art gebracht, deren Anwendung auf andere Wissensgebiete nicht schwer
fallen wird. In Zweifelsfällen ist nicht der knappsten, sondern der
durchsichtigsten Lösung der Vorzug gegeben. Die Texterläuterungen
sir:d so ausführlich gehalten, daß sie auch ein Selbststudium erlauben.
Einen Überblick über Stoff und Gliederung des Inhalts findet man auf
den Seiten 4 ur:d 5.
In der vorliegenden Form ist dieser Band die Erweiterung einer
im Jahre 1952 erEchienenen Autographie, die über den Kreis meiner
Hörer hinaus freundliche Aufnahme gefunden hat. Gegenüber jener
Darstdlung hat das Buch vor allrm durch den dem Verlag und seinen
geEchulten Mitarbeitern zu dankruden ansprechenden Satz und den
klaren Druck grwonnen. Hinzugekommen sind neben kleinen Ergän
zungen die HAGENfehe Brgründung des GAussschen Fehlergesetzes, das
BoLTZEche Entwicklungsverfahren, eine kurze Darstellung der ver
mittelnden Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen, der Gebrauch
von äquivalenten Fehlergleichungen, die Darstellung von Funktionen
durch Potenzreihen und ein Überblick über die mittleren Fehler der
Genauigkeitsmaße. Das Buch hält damit etwa die Mitte zwischen den
von HEGEMANN, WEITBRECHT, WERKMEISTER u. a. herausgebrachten
Kurzdarstellungen und den umfassenderen Werken von JoRDAN und
HELMERT.
IV Vorwort.
In der Zusammenstellung und Zurichtung des Stoffes haben mich
die Herren Dr.-Ing. HöPCKE und Dipl.-Ing. WANDELT sehr wesentlich
unterstützt. Für die Neugestaltung sind mir aus dem In- und Auslande
wertvolle Anregungen zugegangen, für die ich an dieser Stelle meinen
Dank ausspreche.
Hannover, im September 1953.
W. Gro.Bmann.
Inhaltsverzeichnis.
Seite
§ 1. Überblick über die Methode der kleinsten Quadrate . 1
I. Grundzüge der Fehlerlehre. . . . . . . . . . . . . . . 6
§ 2. Fehlerarten und Genauigkeitsmaße . . . . . . . . . 6
Grobe, regelmäßige und unregelmäßige Fehler. S. 6-Durchschnitt
licher, mittlerer und wahrscheinlicher Fehler. S. 8. - Der Grenz
oder Maximalfehler. S. 10. - Der relative Fehler. S. 10.
§ 3. Das Fehlerfortpflanzungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . 11
Die Fortpflanzung wahrer Fehler. S. 11.-Die Fortpflanzung mitt
lerer Fehler. S. 11.
§ 4. Berechnung des mittleren Fehlers aus scheinbaren Fehlern gleich
gerrauer Beobachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Wahre und scheinbare Fehler. S. 19. - Mittlerer Fehler einer ur
sprünglichen Beobachtung. S. 20. - Mittlerer Fehler des arith
metischen Mittels. S. 21.
§ 5. Berechnung des mittleren Fehlers aus Beobachtungen verschiede-
ner Genauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Einführung der Gewichte. S. 23. - Gewicht und mittlerer Fehler.
S. 24. - Gewicht einer Funktion beobachteter Größen. S. 26. -
Mittlerer Fehler der Gewichtseinheit. S. 27.
§ 6. Berechnung des mittleren Fehlers aus Doppelmessungen. . . . . 31
Beobachtungspaare gleichen Gewichtes. S. 31. - Beobachtungs
paare ungleichen Gewichtes. S. 32.
§ 7. Das Gaußsehe Fehlergesetz und die Genauigkeitsmaße . . . . . 35
Fehlerhäufigkeit und Fehlerwahrscheinlichkeit. S. 35. - Die
Fehlerwahrscheinlichkeitsfunktion. S. 36. - Die graphische Dar
stellung von IP (e). S. 38.-Die Beziehungen zwischen t, m, rund h. S.41.
- Zur Theorie des Maximalfehlers. S. 44. - Hagens Ableitung des
Fehlergesetzes. S. 44.
II. Ausgleichung von direkten Beobachtungen. . . . . . . . . 48
§ 8. Grundprinzip und Formen der Ausgleichungsaufgabe 48
Die Aufgabe der Ausgleichungsrechnung. S. 48. - Das Ausglei
chungsprinzip. S. 48. - Ausgleichungsverfahren. S. 49.
§ 9. Ausgleichung direkter Beobachtungen gleicher Genauigkeit. (Arith
metisches Mittel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
§ 10. Ausgleichung direkter Beobachtungen ungleicher Genauigkeit.
(Allgemeines arithmetisches Mittel.) 54
§ 11. Beobachtungen mit Summengleichung . . . . 56
111. Ausgleichung von vermittelnden Beobachtungen. 59
§ 12. Einführung in die Methode der vermittelnden Beobachtungen 59
§ 13. Aufstellen der Fehlergleichungen . . . . . . . . . . . . . . 61
Wahl der Unbekannten. S. 61. -Lineare Fehlergleichungen. S. 62.
- Nichtlineare Fehlergleichungen. S. 62.
\'I Inhaltsverzeichnis.
Seite
§ 14. Aufstellen und Auflösen der Normalgleichungen nebst Summen-
proben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Das Aufstellen der N ormalgleichungen. S. 65. - Die Auflösung
der Normalgleichungen. S. 66. - Summenproben. S. 68.
§ 15. [vv]-Proben, Schlußprobe und Rechenschema . . . . . . . . . 70
Berechnung der v mit v-Proben. S. 70.-Berechnung von [vv] nebst
[vv)-Proben. S. 70. -I-Proben und [ll]-Proben. S. 71. - Schluß
probe. S. 73. - Anordnung der Zahlenrechnung. S. 73.
§ 16. Gewichtsreziproken und mittlere Fehler der Unbekannten . . . . 76
Herleitung der Gewichtsreziproken. S. 76. - Die Berechnung der
Gewichtsreziproken im Gaußsehen Algorithmus. S. 79. - Gewichts
berechnung durch Umstellen der Normalgleichungen. S. 80. - Ge
wichtsreziproken bei zwei Unbekannten. S. 81. - Zahlenbeispiel
s.
81. .
§ 17. Mittlerer Fehler einer beobachteten Größe . . . . . 83
§ 18. Vermittelnde Beobachtungen ungleicher Genauigkeit . 87
§ 19. Gewicht einer Funktion der Unbekannten . . . . . 90
Berechnen des Funktionsgewichtes mit Hilfe der Gewichtsrezi
proken. S. 90. - Berechnen des Funktionsgewichtes durch Er
weitern des ursprünglichen N ormalgleichungssystems. S. 92. -
Berechnen des Funktionsgewichtes mit symbolischen Gewichts
koeffizienten. S. 93.
§ 20. Übersicht über die Ausgleichung von vermittelnden Beobachtungen 97
§ 21. Gemeinsame Berechnung der Unbekannten und ihrer Gewichts
reziproken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Normalgleichungen und Gewichtsgleichungen. S. 99. - Berechnen
der Unbekannten und Gewichtsreziproken durch fortgesetzte Re
duktion. S. 100. - Bilden der Endgleichungen ohne Zwischen
stufen. S. 101.
§ 22. Ausgleichung von Höhennetzen . . . . . . . . . . . . . . . 104
§ 23. Reduzierte Fehlergleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Elimination einer Unbekannten mittels Summengleichung. S.106. -
Die Schreibersehe Regel. S. 107.
§ 24. Stationsausgleichungen . . . . . . . . . 109
§ 25. Trigonometrisches Einschneiden . . . . . 117
IV. Ausgleichung von bedingten Beobachtungen. 142
§ 26. Einführung in die Methode der bedingten Beobachtungen 143
§ 27. Aufstellen der Bedingungsgleichungen . . . . . . . . 144
Ursprüngliche und umgeformte Bedingungsgleichungen. S. 144. -
Das Aufstellen der Bedingungsgleichungen. S. 145. - Linear
machen von Bedingungsgleichungen. S. 146.
§ 28. Korrelatengleichungen, Normalgleichungen und Proben 147
Aufstellen und Auflösen der Korrelatengleichungen und der Nor
malgleichungen. S. 147. - Die [vv]-Proben. S.149. - Summen
proben und Schluß probe. S.150.
§ 29. Mittlerer Fehler einer beobachteten Größe . . . . . . . . . . 151
Zurückführung bedingter auf vermittelnde Beobachtungen. S. 151.
- Die Berechnung des mittleren Fehlers einer beobachteten Größe.
s. 152.
§ 30. Bedingte Beobachtungen mit ungleichen Gewichten . . . . . . 153
§ 31. Mittlerer Fehler von Funktionen der ausgeglichenen Beobachtungen 154
Berechnung des Funktionsgewichtes mit Hilfe von Übertragungs-
Verzeichnis der Beispiele und Aufgaben. VII
Seite
koeffizienten. S, 154. - Berechnen des Funktionsgewichtes durch
Erweitern des ursprünglichen Normalgleichungssystems. S. 157:
- Das Gewicht einer Funktion von Funktionen der ausgeglichenen
Beobachtungen. S. 159.
§ 32. Übersicht über die Ausgleichung von bedingten Beobachtungen . 160
§ 33. Einfache Anwendungen der Ausgleichung nach bedingten Beob
achtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
§ 34. Bedingungsgleichungen in Dreiecksnetzen . . . . . . . . . . . 170
Einführen von Seitengleichungen. S. 170. - Bedingungen bei Win
kelbeobachtungen in freien Netzen. S. 173. - Bedingungen in an
geschlossenen Netzen. S. 177. - Behandlung von Richtungssätzen.
s. 179.
§ 35. Reduzierte Bedingungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . 183
§ 36. Das Boltzsche Entwicklungsverfahren . . . . . . . . . . . . 192
Gruppenweise Ausgleichung. S. 192. - Die Entwicklung der Kor
relaten nach den Widersprüchen. S. 193. - Berechnung der Kor
relaten in zwei getrennten Gruppen. S. 195.
§ 37. Vermittelnde Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen ... 202
§ 38. Bedingungsgleichungen mit Unbekannten . . . . . . . . . . . 209
Allgemeinste Form der Ausgleichungsaufgabe. S. 209. - Fehler
gleichungen mit verschiedenartigen Beobachtungsgrößen. S. 211.
§ 39. Äquivalente Fehlergleichungen . 216
V. Anhang. . . . . . . . . . . . . . 221
§ 40. Ausgleichung durch schrittweise Annäherung 221
§ 41. Genäherte Darstellung von Funktionen 231
Bestimmen der ausgleichenden Geraden. S. 231. - Darstellung
einer Funktion durch eine Potenzreihe. S. 235. - Darstellung
einer Funktion durch trigonometrische Reihen. S. 239.
§ 42. Mittlere Fehler der Genauigkeitsmaße . . . . . . . . . . . . 248
Die mittleren Fehler des durchschnittlichen und mittleren Fehlers.
S. 248. - Der mittlere Fehler des mittleren Fehlers aus scheinbaren
Fehlern. S. 251.
Schrifttum (Auswahl) , . . . 254
Namtn- und S .chlerze:chnis 255
Verzeichnis der Beispiele und Aufgaben.
I. Grundzüge der Fehlerlehre.
Zu § 2 Beispiel 1 zur Berechnung der Genauigkeitsmaße aus wahren Fehlern 9
Zu § 3 Beispiele 2 bis 9 zum Fehlerfortpflanzungsgesetz . . . . . . . . 14
Zu § 4 Beispiel 10 zur Berechnung des mittleren Fehlers aus scheinbaren
Fehlern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Zu § 5 Beispiele 11 bis 15 zur Gewichtsberechnung . . . . . . . . . . 29
Zu § 6 Beispiele 16 bis 18 zur Berechnung des mittleren Fehlers aus Doppel-
messungen 33
II. Ausgleichung von direkten Beobachtungen.
Zu § 9 Aufgabe 1. Mehrfache Bestimmung eines Winkels . . 53
Zu § 10 Aufgabe 2. Mehrfache Bestimmung einer Höhenmarke 55
VIII Verzeichnis der Beispiele und Aufgaben.
Seite
Zu § 11 Aufgabe 3. Winkelmessung mit Horizontschluß (I) . . . 56
Aufgabe 4. Ausgleichung einer Nivellementsschleife . . . 57
lll. Ausgleichung von t•ermittelnden Beobachtungen.
Zu § 12 Aufgabe 5. Winkelmessung mit Horizontschluß (II) 59
Zu § 13 Aufgabe 6. Maßstabsvergleich (I) . . . . . . . . 63
Aufgabe 7. Punktbestimmung durch Bogenschlag . 64
Zu § 18 Aufgabe 7. Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . 89
Zu § 19 Aufgabe 8. Mittlere Fehler der ausgeglichenen Strecken bei der
Punktbestimmung durch Bogenschlag . . . . . . . . . 95
Zu § 22 Aufgabe 9. Ausgleichung geometrischer Nivellements (I) 104
Aufgabe 10. Ausgleichung trigonometrischer Höhenmessungen {I) 105
Zu § 23 Aufgabe 11. Maßstabsvergleich (II) . . . . . . . . . . 109
Zu § 24 Aufgabe 12. Bereehnung vollständiger Richtungssätze . . 110
Aufgabe 13. Vereinigung unvollständiger Richtungssätze 113
Aufgabe 14. Winkelmessung in allen Kombinationen (I) . 116
Zu § 25 Aufgabe 15. Bere<:hnung der Richtungskoeffizienten . 118
Aufgabe 16. Vorwärtseinschneiden mit Winkeln 120
Aufgabe 17. Vorwärtseinschneiden mit Richtungen . 121
Aufgabe 18. Rückwärtseinschneiden mit Richtungen 125
Aufgabe 19. Vereinigtes Vor- und Rückwärtseinschneiden 128
Aufgabe 20. Doppelpunkteinschaltung . . . . . . . . . 133
Aufgabe 21. Die Fehlerellipse und der mittlere Punktfehler 137
IV. Ausgleichung von bedingten Beobachtungen.
Zu § 26 Aufgabe 22. Winkelmessung mit Horizontschluß (III) 143
Zu § 29 Aufgabe 23. Winkelausgleichung im Dreieck . . . . 151
Zu § 33 Aufgabe 24. Winkelmessung in allen Kombinationen {li) 163
Aufgabe 25. Ausgleichung geometrischer Nivellements (II) 164
Aufgabe 26. Ausgleichung trigonometrischer Höhenmessungen (II) 165
Zu § 34 Aufgabe 27. Ausgleichung eines Diagonalenvierecks mit beobachte-
ten Winkeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Aufgabe 28. Ausgleichung einer sphärischen Kette mit Richtungs-
beobachtungen ....................... 180
Zu § 35 Aufgabe 29. Strenge Ausgleichung eines Polygonzugs . . . . . . 185
Zu § 36 Aufgabe 30. Korrelatenentwicklung einer einfach gestörten Drei
eckskette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Zu § 37 Aufgabe 31. Winkelmessung nach der Schweizer Sektorenmethode 204
Zu § 38 Aufgabe 32. Bestimmung der inneren Orientierung einer Meßkammer 213
V. Anlw,ng.
Zu § 40 Aufgabe' 33. Schrittweise Ausgleichung unvollständiger Richtungs-
sätze ............................ 222
Aufgabe 34. Stufenweise Ausgleichung eines Nivellementsnetzes . 224
Aufgabe 35. Ausgleichung trigonometrischer Höhenmessungen durch
wiederholte Mittelbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Zu § 41 Aufgabe 36. Bestimmen der Standkorrektion und des Temperatur
koeffizienten eines Federbarometers . . . . . . . . . . . . . . 234
Aufgabe 37. Bestimmen von Stand und Gang einer Pendeluhr 237
Aufgabe 38. Heuvelinks Verfahren zur Bestimmung der regelmäßi-
gen Teilungsverbesserungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
§ 1. Überblick über die Methode der kleinsten Quadrate1•
Die Methode der kleinsten Quadrate ist zu Beginn des 19. Jahrhunderts
von A. M. LEGENDRE und CARL FRIEDRICH GAuss unabhängig von
einander ungefähr gleichzeitig gefunden worden. LEGENDRE hat sie erst
malig im Jahre 1806 am Schluß eines kleinen Werkes über die Berech
nung der Kometenbahnen entwickelt und eine zweite Abhandlung im
Jahre 1810 veröffentlicht. Von ihm stammt der Name "methode des
moindres carres" (englisch "method of the least squares"). ÜAUSS hat
von 1809 bis 1826 eine Anzahl von Abhandlungen meist in lateinischer
Sprache erscheinen lassen, von denen die wichtigsten die Theoria motus
corporum coelestium (1809) und die Theoria combinationis observatio
num erroribus minimis obnoxiae, pars prior (1821), pars posterior (1823)
und supplementum (1826) sind.
Den ersten bedeutenden Erfolg bei der Anwendung seines, wie er
selbst angibt, von ihm bereits seit 1794 gebrauchten Prinzips erzielte
GAuss im Jahre 1802. Im Jahre zuvor hatte der italienische Astronom
PrAzzr den kleinen Planeten Ceres entdeckt und ihn an 41 Tagen über
nur 9° seiner Bahn beobachten können. Als PrAzzr seine Entdeckung
einige Monate später hekanntgab, machten sich namhafte Astronomen,
darunter der junge Dr. GAuss in Göttingen, daran, aus den spärlichen
Beobachtungsdaten die Bahnelemente zu ermitteln. Die Wiederent
deckung gelang dem Astronomen v. ZACH in Gotha auf Grund der An
gaben von GAuss, dem es mit Hilfe seines Ausgleichungsprinzips gelungen
war, alle Beobachtungen gleichmäßig zu berücksichtigen und damit, wie
ZACH. schrieb, eine "zur Bewunderung genaue" Ellipse zu berechnen.
Die Methode der kleinsten Quadrate ist zuerst :.mr Ausgleichung
astronomischer Beobachtungen benutzt worden. Sie wurde jedoch bald
auch auf geodätische Messungen angewandt. Insbesondere hat sich
GAuss ihrer bei seiner hannoverschen Gradmessung bedient. Um den
Ausbau der Methode hat sich u. a. F. W. BESSEL verdient gemacht.
Für den allgemeinen Gebrauch waren jedoch die GAussschen und
BESSELschen Abhandlungen zu schwierig. Von entscheidender Bedeu
tung für die Verbreitung der Methode war das Lehrbuch der "Ausglei
chungsrechnungen in der praktischen Geometrie oder die Methode der
I V gl. Schrifttum.
