Table Of ContentORUNDZOOE
DER TENSORRECHNUNO
IN ANALyTISCHER
DARSTELLUNG
VON
DR. PHIL. ADALBERT DUSCHEK
WEILAND O. PROFESSOR DER MATHEMATIK
AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE WIEN
UND
DR. TECHN. AUGUST HOCHRAINER
A. O. PROFESSOR AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE WIEN
DlREKTOR DES HOCHSPANNUNGSINSTITUTES UND DER HOCHSPANNUNGS
SCHALTGERATEFABRIK DER AEG 1. R.
HONORARPROFESSOR UND DlREKTOR DES INSTITUTES
FOR HOCHSPANNUNGSTECHNIK
DER RHEINISCH-WESTFALISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE AACHEN
IN DREI TEILEN
II. TElL: TENSORANALYSIS
MIT 61 TEXTABBILDUNGEN
DRITTE, UNVERANDERTE AUFLAGE
1970
SPRINGER.VERLAG
WIEN· NEW YORK
Alle Rechte vorbehalten
Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftliche Genehmigung
des Springer-Verlages iibersetzt oder in irgendeiner Form
vervielfiiltigt werden
© 1950, 1961, and 1970 by Springer-VerlagfWien
Softcover reprint of the hardcover 3rd edition 1970
Library of Congress Catalog Card Number 68-8602
ISBN-13: 978-3-211-80574-9 e-ISBN-13: 978-3-7091-8074-7
001: 10.1007/978-3-7091-8074-7
Titel-NT. 8183
Vorwort zur zweiten Auflage
Unsere eben begonnene Erorterung tiber die Gestaltung dieser
zweiten Auflage des zweiten Bandes der "Tensorrechnung" fand
1957 durch das plotzliche Ableben von A. DUSCHEK ihr Ende, so
daB ich die Bearbeitung nun ohne seine Mitarbeit durchftihren
muBte; was urn so mehr zu bedauern ist, als gerade dieser Band
die mit der Differentialgeometrie, dem Spezialgebiet von
A. DUSCHEK, zusammenhangenden Kapitel enthalt. Ich habe
daher an diesen Teilen wenig geandert, weil ich nicht glaube,
daB sich leicht eine bessere Darstellung als die von A. DUSCHEK
gegebene finden laBt. Lediglich die Abschnitte tiber krummlinige
Koordinaten sind erweitert worden, und zwar im Sinne einer
starkeren Veranschaulichung des geometrischen Inhalts. Vielleicht
tragt diese Betonung der Tatsache, daB die Tensoranalysis ein
Teil der Geometrie ist, dazu bei, den leider noch immer anzu
treffenden irrttimlichen Gebrauch dieses Wortes bei nicht geo
metrischen Zusammenhangen zurtickzudrangen und die Tensor
analysis von der Analysis irgendwelcher anderer durch Matrizen
darstellbarer Erscheinungen deutlich zu trennen. In den Kapiteln,
die sich mit der Feldtheorie befassen, sind nur wenige Erganzungen
vorgenommen worden und es wurden auch die sachlich zur
Tensoralgebra gehorigen Abschnitte tiber ebene Tensoren, so wie
bei der erst en Auflage, in diesem Band belassen, urn die Zuordnung
zu dem nunmehr in vierter Auflage vorliegenden Band lund
dem 1955 erschienenen Band III nicht zu storen.
Die verwendeten Bezeichnungen sind die gleichen wie in der
ersten Auflage mit Ausnahme der bereits im Band III benutzten
Darstellungen der partiellen Ableitungen nach den Koordinaten
und der Christoffelklammern, wie auf den Seiten VI und 60
angegeben.
Besonderen Dank bin ich Herrn Dipl.-Ing. F. EISERLO fUr
seine Mithilfe nicht nur beim Korrekturlesen schuldig, ebenso
wie dem Verlag ftir die angenehme Zusammenarbeit und die
vorbildliche Ausstattung des Werkes.
Kassel, im Mai 1961 A. Hochrainer
Aus dem Vorwort zur ersten Auflage
... Der erste Teil hat eine sehr beWillige Aufnahme gefunden .
. .• Wir hoffen, daB dem vorliegenden zweiten Teil, in dem
die analytische Methode erst richtig ihre Kraft erweist, eine gleich
gute Aufnahme beschieden ist ... Er enthalt die sogenannte Tensor
analysis, also die Differentiation und Integration veranderlicher
Tensoren, und behandelt zwei ziemlich scharf getrennte Gebiete:
Das eine ist die Differentialgeometrie, die in den §§ 16 bis 22
und 33 bis 38 entwickelt wird und die Theorie der Kurven und
Flachen des euklidischen Raums sowie die Grundbegriffe der
Riemannschen Geometrie umfaBt, das zweite ist die Theorie der
Felder in den restlichen §§ 23 bis 32, die zugleich eine EinfUhrung
in die Potentialtheorie und ihre Randwertaufgaben darstellt.
Beide Gebiete uberschneiden sich gelegentlich, insbesondere in
den §§ 30, 33 und 38. Erwahnt sei, daB die Differentialgeometrie
im wesentlichen von A. DUSCHEK, die Theorie der Felder im
wesentlichen von A. HOCH~AINER bearbeitet wurde .
. . . Zu danken haben wir den Herren Dr. ERICH BUKOVICS,
Dr. WALTER EBERL und Dr. LEOPOLD PECZAR fUr ihre verdienst
volle Mithilfe bei der sauren Arbeit des Korrekturlesens und
dem Verlag fur sein immer wieder unter Beweis gestelltes Ent
gegenkommen und fUr die vorzugliche Ausstattung des Buches.
Wien, im Januar 1950 A. Duschek, A. Hochrainer
Vorwort zur dritten Auflage
Ahnlich wie bei der funften Auflage des ersten Bandes der
"Tensorrechnung" bestanden auch bei der nunmehr dritten Auf
lage des zweiten Bandes keine Bedenken, diese - von gering
fugigen Korrekturen abgesehen - als photomechanische Wieder
gabe der zweiten Auflage herauszubringen. Ich hoffe, daB dieser
Band zusammen mit den beiden anderen auch weiterhin dazu
beitragen moge, der Verbreitung der analytischen Schreibweise
zu dienen.
Aachen, Fruhjahr 1970 A. Hochrainer
Inhaltsverzeichnis
Zweiter Teil
Tensoranalysis
Seite
§ 16. Veranderliche Vektoren und Raumkurven................... I
§ 17. Das begleitende Dreibein und die Formeln von FRENET. . . . . . 7
§ 18. Kriimmung und Windung. Die natiirlichen Gleichungen einer
Kurve ................................................... 16
§ 19. Raumkurven und Torsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22
§ 20. Die erste Grundform der FHichentheorie. Messung von Langen,
Winkeln und Flacheninhalten auf einer Flache .............. 29
§ 21. Die zweite Grundform der Flachentheorie. Die Kriimmung einer
Flache................................................... 37
§ 22. Weiteres iiber die Kriimmung der Flache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
§ 23· Tensorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55
Die Darstellung der Felder .............................. 55
Die Differentiation von FeldgroBen....................... 59
§ 24. Die Integration der FeldgroBen. Kurvenintegrale............ 70
Kurven- oder Linienintegrale. . . . .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... ... 71
§ 25. Flachenintegrale. Der Stokessche Satz ..................... 82
Der Integralsatz von STOKES ............................ 85
§ 26. Raumintegrale. Die Integralsatze von GAUSS und GREEN .. . . 94
Der Satz von GAUSS.................................... 95
Die Integralsatze von GREEN............................ 102
Unstetigkeiten im Feld .................................. 103
§ 27. Das quellen- und wirbelfreie Feld (Laplace-Feld) ............. 104
Eindeutigkeit und Randbedingungen...................... 104
Symmetrische Felder.................................... II3
Das kugelsymmetrische Feld ....................... , ... II3
Das zylindersymmetrische Feld ........................ 118
Das homogene Feld ................................... 120
Das Feld mit meridianebenen Niveauflachen (Feld einer
geraden Wirbelachse) .................................. 120
Randwertaufgaben und Greensche Funktion.. . . . . . . . . . . . .. 124
§ 28. Das Poissonsche oder wirbelfreie Feld ...................... 135
Eindeutigkeit und Randbedingungen...................... 135
Felder von Quellpunkten und Quellflachen ............... 141
Dipol Felder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 148
Randwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 156
VI Inhaltsverzeichnis
Seite
§ 29. Das quellenfreie oder Wirbelfeld ............................ 162
Eindeutigkeit und Randbedingungen ...................... 162
Die Felder isolierter Wirbellinien (Wirbelfaden) ............ 168
Wirbelschichten und Doppelwirbel ........................ 182
Randwertaufgaben ...................................... 186
§ 30. Die geometrischen Eigenschaften der Vektorfelder. . . . . . . . . . .. 191
Die Einteilung der Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 191
Das allgemeine Feld .................................... 195
Die flachennormalen Felder........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 200
Das Laplacesche Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 206
§ 31. Das ebene Feld I ......................................... 212
Ebene Tensoren ........................................ 213
Der Zusammenhang mit der komplexen Rechnung ......... 221
§ 32. Das ebene Feld II .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 226
Differentiation und Integration .......................... 226
Die Integrals1itze ....................................... 229
Das allgemeine ebene Vektorfeld ......................... 231
Das ebene Quellenfeld ................................... 233
Das ebene Wirbelfeld ................................... 246
Das ebene Laplacesche Feld .............................. 247
§ 33. Allgemeine (krummIinige) Koordinaten ...................... 251
§ 34. Vektoren und Tensoren in allgemeinen Raumen . . . . . . . . . . . .. 270
§ 35. Absolute Differentiation und Parallelverschiebung im Riemann-
schen Raum ............................................. 282
§ 36. Der Riemannsche Kriimmungstensor........................ 292
§ 37. Anwendungen auf die Flachentheorie ....................... 297
§ 38. Spezielle Koordinaten .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 308
Anhang. Uisungen der Aufgaben ............................... 314
Sachverzeichnis ................................................ 330
Zur Bezeichnung
Die partiellen Ableitungen irgendwelcher Funktionen (Tensorkoordinaten)
q>(xSl) nach den Koordinaten Xi und nur diese sind. wo kein MiBverstandnis
zu befiirchten ist. mit "
Ui q>
an Stelle von
aq>
aXi
geschrieben. Ferner sind die Christoffelklammern erster und zweiter Art mit
[ii. k] und {~}
an Stelle von
[t) {t}
und
bezeichnet.
Inhaltsiihersicht des ersten und dritten Teiles
Tensoralgebra
Der Gegenstand der Tensorrechnung. - Punkte. Strecken und Vektoren.
- Addition von Vektoren. Produkt eines Vektors mit einem Skalar. -
Lineare Ahhii.ngigkeit von Vektoren. - Lange eines Vektors. - Das
innere oder skalare Produkt. - Beispiele aus der Geometrie. - Lineare
Vektorfunktionen. Tensoren. - Orthogonale Transformationen und Be
wegungsgruppe. - Tensoren und einfachste Tensoroperationen. - Der
e-Tensor und das ii.uBere Produkt von Vektoren. - Reziproke Dreibeine.
- Tensoren zweiter Stufe. - Symmetrische Tensoren zweiter Stufe. -
Flii.chen zweiten Grades.
Anwendungen in Physik und Technik
Mechanik des Massenpunktes. - Mechanik des Punktsystems. - Mechanik
des starren Korpers. - Spezielle Bewegungen. - Elastizitii.tstheorie I. -
Elastizitii.tstheorie II. - Mechanik der Fliissigkeiten I. - Mechanik der
Fliissigkeiten II (Hydrodynamik). - Vektorielle Doppelfelder I. - Vekto
rielle Doppelfelder II. - Das Wii.rmefeld. - Das elektrostatische Feld. -
Das magnetische Feld. - Das elektrische Feld. - Das elektromagnetische
Feld. - Quasistationii.re elektromagnetische Vorgii.nge. - Schnell ver
ii.nderliche elektromagnetische Felder. - Spezielle Relativitii.tstheorie I. -
Spezielle Relativitii.tstheorie II. - Allgemeine Relativitii.tstheorie.
Spezielle LOsungen der Gravitationsgleichungen.
Zweiter Teil
T ensoranalysis
§ I6. Vedinderliche Vektoren und Raumkurven
Wir haben bisher die Vektoren und Tensoren im allgemeinen
als konstante Gr6Ben behandelt. Vektoren und Tensoren k6nnen
aber auch Funktionen irgendwelcher Parameter (unabhangige
Variable) sein. Diese Parameter k6nnen Tensoren beliebiger Stufe
und insbesondere auch Skalare sein.
Wir beschaftigen uns zunachst mit dem einfachsten Fall, daB
ein Vektor A. von einem Skalar abhangt, was wir durch
Ai = Ai(t) (16,01)
zum Ausdruck bringen. Die Gleichungen besagen, daB die Ko
ordinaten des Vektors Funktionen des Parameters t sind.
Es gibt viele Beispiele solcher Vektoren, denn zu ihnen geh6ren
alle vektoriellen Gr6Ben, die sich mit der Zeit andern, also z. B.
zeitlich veranderliche Krafte, Geschwindigkeiten oder Beschleu
nigungen. Der Parameter hat hier die spezielle physikalische Be
deutung der von einem Anfangswert t = to gemessenen Zeit (Zeit
spanne von to bis t). Es sei darauf hingewiesen, daB ein Vektor
der Form (16, 01) im allgemeinen nicht nur seinen Betrag, sondern
auch seine Richtung andert.
50 hat z. B. ein Vektor, der in der (I, 2)-Ebene liegt und dessen 5pitze
bei festgehaltenem Anfangspunkt eine Ellipse beschreibt, die Form
A =acost,
1
Az = b sin t,
As = o.
SolI nur der Betrag des Vektors variabel sein, aber nicht seine
Richtung, so miissen die Verhaltnisse
At: A2: A3
Duschek-Hochrainer - Tensorrechnung II, 3. Auf!.
2 II. Tensoranalysis
unabhangig von der Zeit sein. Das ist dann der Fall, wenn der
Vektor Ai mit einem festen Vektor Bi kollinear ist, also
Ai = Bit(t) (r6,02)
gilt.
SolI anderseits der Betrag (die Lange) konstant und nur dip
Richtung variabel sein, dann muB der Vektor sich in der Fon
Ai = A COSlXi(t) (r6,03)
darstellen lassen, wobei A die konstante Lange und die 1Xi, die
variablen Winkel zwischen dem Vektor und den Koordinaten
achsen sind. Zu dieser Sorte gehoren veranderliche Einsvektoren,
die also von der Form
ei = cos lXi(t) (r6,04)
sind.
Wir wollen hier zunachst von der Annahme ausgehen, daB
die Koordinaten Xi eines Punktes Funktionen eines Parameters t
sind, also
(r6,os)
Das heiBt in der uns schon gelaufigen Redeweise nichts anderes,
als daB der Ortsvektor Xi von t abhangt. Die Gleichungen (r6, 05)
sind eine Parameterdarstellung einer Raumkurve <r:,' deren ver
schiedene Punkte sich eben fUr die verschiedenen Werte des
Parameters t ergeben. Bedeutet t die Zeit, so· bekommt <r: die
Bedeutung der Bahnkurve eines bewegten Punktes, die Gleichungen
(r6, 0S) geben uns dann vollstandigen AufschluB darliber, wie sich
die Bewegung des Punktes im Laufe der Zeit abspielt.
Wir wollen zunachst an der Bedeutung von t als Zeit festhalten.
Von den drei Funktionen Xi(t) setzen wir voraus, daB sie in einem
< <
gemeinsamen Intervall a t b definiert und stetig sind und
- hochstens mit Ausnahme einzelner Punkte - auch stetige
Ableitungen haben. Die Kurve <r: bezeichnen wir dann als stuck
weise glatt.
Mit dem Fall, daB <r: eine gerade Linie ist, haben wir uns bereits in § 7
beschaftigt. Wenn wir noch annehmen, daB der dort beniitzte Parameter u
eine Funktion u = u(/) der Zeit I ist, so haben wir in
+
Xi = ai bi u(t)
die Darstellung einer geradlinigen Bewegung eines Punktes vor uns, wobei
durch u(t) das Bewegungsgesetz gegeben ist. Die Bewegung ist gleichformig,
wenn u(t) eine lineare Funktion ist.
§ 16. Veranderliche Vektoren und Raumkurven 3
Eine elliptische Bewegung laBt sich in der Form
xi = ai + bi ),(t) + ci VI - ),2(t) (16,06)
geben, wobei (Abb. 1) ai der Ortsvektor des Mittelpunkts ist, wahrend bi
und ci die Ebene bestimmen, in der die Bewegung vor sich geht. Sind bi
und ci aufeinander senkrecht und gleich
lang, so geht die Ellipse in einen Kreis
Q
uber.
Abb. I Abb.2
Urn die Geschwindigkeit des bewegten Punktes auf seiner Bahn
zu finden, betrachten wir die Wegstrecke, die der Punkt in einer
Zeitspanne ,dt zurucklegt. Der Punkt befinde sich zur Zeit t
im Punkt P mit dem Ortsvektor
Xi = Xi(t)
und sei zur Zeit t +,dt in einem Punkt Q mit dem Ortsvektor
+ +
Xi ,d Xi = Xi(t ,dt)
angelangt. Die Strecke P Q ist dann die Differenz der beiden
Ortsvektoren, also der Vektor
+
,d Xi = xi(t ,dt) - Xi(t)
(Abb. 2). Ais mittlere Geschwindigkeit des Punktes wiihrend der
Zeitspanne ,dt bezeichnet man den Vektor
+
,d Xi Xi(t ,dt) - Xi(t)
Lfi ,dt
UiBt man die Zeitspanne ,dt zur Grenze Null gehen, so erhalt
man die M omentangeschwindigkeit oder kurz Geschwindigkeit zur
Zeit t:
v. = x. = dXi = lim Xi(t + ,dt) - Xi(t) . (r6,07)
• • dt L1t ....... o ,dt
Die Geschwindigkeit ist somit der Differentialquotient des Orts
vektors nach der Zeit. Sie ist selbst ein Vektor, der in die Richtung
der Tangente an die Bahnkurve Hi.1lt. Hinsichtlich der Bezeichnung
bemerken wir, daB wir Ableitungen nach der Zeit in der Regel
