Table Of ContentDieter Hofbauer
Ralf-Detlef Kutsche
Grundlagen des
maschinellen Beweisens
----Aus dem Programm Informatik----
W. Coy
Aufbau und Arbeitsweise von Rechenanlagen
T. Knieriemen
Rechneraufbau am Beispiel des Macintosh II
R. Schaback
Grundlagen der Informatik - FUr das
Nebenfachstudium
E. Borger
Berechenbarkeit, Komplexitat, Logik
M.Nag/
Einfiihrung in die Programmiersprache Ada
H. Pudlatz
Einftihrung in die Programmiersprache Modula-2
D. Cooper / M. Clancy
PASCAL
Lehrbuch fUr strukturiertes Programmieren
R. Esser/E. Feldmar
LISP
Fallbeispiele mit Anwendungen in der Kiinstlichen Intelligenz
R. Cordes / R. Kruse/H. Langendorfer / H. Rust
PROLOG
F. Bause/W. Toile
Einftihrung in die Programmiersprache C++
------------------'T1eweg-----------------/
Dieter Hofbauer
Ralf-Detlef Kutsche
Grundlagen des
maschinellen Beweises
Eine Einfdhmng fiir Informatiker und Mathematiker
Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig / Wiesbaden
CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Hofbauer, Dieter:
Grundlagen des maschinellen Beweises: eine
Einflihrung fUr Informatiker und Mathematiker I
Dieter Hofbauer; Ralf-Detlef Kutsche. -
Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1989
ISBN 3-528-04718-6
NE: Kutsche, Ralf-Detlef:
Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Verlagsgruppe Bertelsmann.
AIle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1989
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und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
ISBN-13: 978-3-528-04718-4 e-ISBN-13: 978-3-322-84223-7
DOl: 10.1007/978-3-322-84223-7
v
Vorwort
Dieses Buch ist entstanden aus einer Lehrveranstaltung, die wir in den Jahren 1987 und 1988
konzipiert und weiterentwickelt haben. Sie ist an der Technischen Universitlit Berlin unter dem
Namen "LOGIK II fUr Informatiker: Grundlagen des maschinellen Beweisens" Bestandteil des
Lehrangebots in Theoretischer Informatik und schlieBt direkt an die "WGIK fUr Informatiker:
F ormalisieren und Beweisen" an.
Das Buch richtet sich somit in erster Linie an fortgeschrittene Student(inn)en im Informatik
Hauptstudium, aber auch ganz allgemein an Wissenschaftler(innen) in Informatik und Mathematik,
die sich fUr die logischen Grundlagen des maschinellen Theorembeweisens und die ersten Schritte
zu deren Anwendung interessieren. Eine Reihe wichtiger englischsprachiger BUcher in diesem
Themenfeld -wenn auch mit sehr unterschiedlichen Schwerpunktsetzungen -ist seit dem Beginn
der 70er Jahre entstanden, U.a. Chang & Lee [CL73], Loveland [Lov78], Boyer & Moore [BM79],
Bibel [Bib82/87], Bundy [Bun83], Wos, Overbeek, Lusk & Boyle [WOLB84], Gallier [GaI86],
Genesereth & Nilsson [GN87] und Padawitz [Pad88]; in deutscher Sprache etwa Bllisius &
BUrckert [BB87] oder Richter [Rich89]. Wir verstehen unser Buch als Erglinzung solcher BUcher
fUr den deutschen Sprachraum mit dem Ziel, eine eher mathematisch orientierte Einflihrung in diese
Thematik zu geben.
Wir knUpfen an Grundkenntnisse der Logik an und stellen daher die spliter benotigten Begriffe in
Kapitell nur in gestraffter Form bereit.
Einen ersten Schwerpunkt bildet in Kapitel 2 die Resolution, ein handlicher AbleitungskalkUl, der
die Prlidikatenlogik erster Stufe prinzipiell dem Rechner zuglinglich macht.
In Kapitel 3 beschliftigen wir uns ausflihrlich mit verschiedenartigen Einschriinkungen des
Suchraums bei automatischen Beweisen. Wir klassifizieren dabei eine Vielzahl historisch wild
gewachsener Konzepte, beweisen oder widerlegen deren Vollstlindigkeit uitd problematisieren den
Aufwand dieser Verfeinerungen.
In Kapitel4 stellen wir exkursartig einige weitere Theorembeweiser-Verfahren vor, die eine andere
Repriisentation der Formeln und des Suchraums verwenden.
VI Vorwort
Danach leiten wir in Kapitel 5 iiber zur Paramodulation, die einen acUiquaten Umgang mit der
Gleichheitsrelation innerhalb des Resolutionskalkiils erlaubt.
SchlieBlich bilden die Kapitel 6 und 7 einen weiteren Schwerpunkt innerhalb des Buches: wir
schrlinken die Pradikatenlogik auf reine Gleichungen ein und benutzen darUr Termersetzung als
AbleitungskalkiiL Zunachst studieren wir Ersetzungssysteme und ihre Theorie in einem allgemei
neren Rahmen, lernen dann wichtige Techniken speziell fUr Terme kennen und behandeln damit
weitere Fragestellungen des Theorembeweisens: Entscheiden von Gleichheitstheorien, Beweisen
von induktiven Theoremen und LOsen von Gleichungen. Zuletzt geben wir noch einen Ausblick in
die Unifikationstheorie.
Besonders wichtig ist es uns, durch notationell einheitliches Aufspannen des Bogens Resolution
Paramodulation -Termersetzung die Ahnlichkeiten und Unterschiede zwischen diesen Kalkiilen
zu verdeutlichen; dasselbe gilt fiir die Systematisierung der Resolutions-Einschrlinkungen und
ihrer Vollstiindigkeitsbeweise. Wir wollen unsere Leserinnen 1 und Leser dazu befahigen, sich
das weite Feld des maschinellen Beweisens, aber auch verwandte Gebiete wie logisches und
funktionales Programmieren, Methoden zur Wissensreprasentation und -deduktion oder Theorem
beweisen in nichtklassichen Logiken kompetent erarbeiten zu konnen.
Zum SchluB der Vorrede mOchten wir sehr herzlich allen danken, die direkt oder indirekt zum
Entstehen dieses Buches beigetragen haben, ganz besonders Dirk Siefkes, in dessen Arbeitsgruppe
Algorithmik und Logik am Fachbereich Informatik der TU Berlin wir unsere Lehrveranstaltungen
entwickeln konnten, sowie unserem friiheren Kollegen Peter Padawitz fiir ihre fruchtbaren
Anregungen und ihre konstruktive Hilfestellung.
Unser Dank richtet sich aber auch an die vielen Studenten, die uns durch kritische Mitarbeit und
engagierte Diskussionen unterstiitzt haben. Besonders hervorheben mOchten wir dabei EIke
Altendorf, Christoph Brzoska, Frank Merken, Lars With und Peter Wuttke, die in un serer
FUNLOG-Forschungsgruppe und durch ihre Studien- und Diplomarbeiten wertvolle Beitriige
geleistet haben.
Weiter gilt unser Dank Reinald Klockenbusch yom Vieweg-Verlag fiir die konstruktive und ange
nehme Zusammenarbeit
Dieter Hofbauer
Ralf-Detlef Kutsche
Ein ganz speziellliebevoller Dank richtet sich an meine Frau Christine und meine Tochter Marissa
fUr die vielfiiltige Riicksichtnahme und hiiufigen persOnlichen Verzicht auf mich. RDK
1 Unsere Leserinnen mOgen verzeihen, daB wir in ZukunCt immer nur "den Leser" ansprechen werden. Wir meinen
diese Anrede aber "geschlechtsneuttal" und Crouen uns fiber mlInnliche und weibliche LeserInnen gleichermaBen.
vn
Inhalt
Kapitel 1 Grundbegriffe der Pridikatenlogik ................................... 1
1.1 Syntax der Pridikatenlogik ........................................................ 2
1.2 Semantik der Prlidikatenlogik ................................ ... ... ... ... ......... 9
1.3 Normierung der Syntax: Gentzenformeln und die Schnitttegel ............... 13
1.4 Normierung der Semantik: Herbrand-Strukturen ....... ........................ 17
1.5 Korrektheit und Vollstindigkeit ................................................... 20
1.6 Theorembeweisen durch Widerlegungen ........................................ 25
Kapitel 2 Resolution ....................................................................... 33
2.1 Unifikation ........................................................................... 34
2.2 Resolution und Faktorisierung .................................................... 41
Kapitel 3 Einscbrinkung des Sucbraums ........................................ 47
3.1 Der Suchraum ........... .......... ................ .................... ... ...... ..... 48
3.2 Allgemeine Konzepte ............................................................... 51
3.3 Strukturelle Konzepte ......................................................... ..... 60
3.4 Ordnungskonzepte .... ..... ....... ........ ......... ..... ....... ..... ....... ... ...... 68
3.5 Semantische Konzepte ............................................................. 72
3.6 Kombination von Konzepten ...................................................... 17
Kapitel 4 Reprisentation des Sucbraums ........................................ 85
4.1 Connection-Graph-Resolution .................................................... 86
4.2 Matrix-Verfahren .................................................................... 90
4.3 Tableau-Verfahren .... ...... ... ... ....... ... ....... ...... ... ... ....... ...... ........ 95
VIII InhaIt
Kapitel 5 Paramodulation ................................................................ 103
5.1 Gleichheit ........ ..... ....... ....................... ...... .... ... ..... ... ... ... ...... 104
5.2 Paramodulation ........ ................. ........ ........ ............ ........ .... ..... 106
Kapitel 6 Termersetzung: Grundlagen ............................................ 113
6.1 Termersetzungssysteme ............................................................ 114
6.2 Ersetzungssysteme: Termination und Konfluenz ............................... 120
6.3 Lokale Konfluenz und kritische Paare ............................................ 124
Kapitel 7 Termersetzung: Spezielle Techniken .............................. 129
7.1 Terminationskriterien ............................................................... 130
7.2 Knuth-Bendix-Vervollstlindigung ................................................ 138
7.3 Induktive Beweise .................................................................. 142'
7.4 L6sen von Gleichungen: Narrowing ............................................. 146
7.5 Beweisen in speziellen Gleichheitstheorien ...................................... 150
Schlu8bemerkungen .............................................................................. 155
Literatur ................................................................................................ 159
Symbolverzeichnis ................................................................................ 165
Sachwortverzeichnis .............................................................................. 169
Kapitel 1
Grundbegriffe
der Pradikatenlogik
Zu Beginn dieses Buches stellen wir in sehr kompakter Fonn die fUr uns wichtigsten Begriffe und
Ergebnisse aus der Prlidikatenlogik dar. Da es nicht das Ziel eines Buches tiber die theoretischen
Grundlagen des maschinellen Beweisens sein kann, ein vollstlindiges Logik-Lehrbuch zu sub
sumieren, beschrlinken wir uns dabei ganz zielgerichtet auf den Ausschnitt der Logik, den wir
spilter ben6tigen werden.
Unsere "Dramaturgie" ist es, einen m6glichst runden Bogen zu spannen ausgehend von Beweis
methoden fUr die volle PrlIdikatenlogik tiber die besondere Behandlung der Gleichheit innerhalb der
Priidikatenlogik bis bin zu Spezialtechniken fUr reine Gleichheitskalkiile. Dadurch sind gewisse
(fUr ein klassisches Logik-Verstlindnis vielleicht untypische) Schwerpunktsetzungen unvermeidbar
oder auch durchaus gewollt, wie etwa die besondere Betonung des Umgangs mit Termen und
Substitutionen oder auch die konsequente Begrenzung pridik:atenlogischer Ableitungskalkiile auf
Widerlegungsverfahren auf der Basis der Schnittregel.
Da es keinen Mangel sowohl an umfassenden als auch an einfiihrenden Logik-Lehrbiichern gibt,
erlauben wir uns, das erste Kapitel eher in Form eines Nachschlage-Verzeichnisses unserer
Bezeichnungen und Notationen zu priisentieren als didaktisch aufbereitet und zum Selbststudium
geeignet. Wir nennen hier exemplarisch nur einige deutschsprachige Bticher: Asser [Ass72],
Bergmann & Noll [BN77], BOrger [BOr85], Ebbinghaus, Flum & Thomas [EFT78], Hennes
[Herm76], Richter [Rich78], Sch6ning [Sch687/89] und -last but not least -das in Kiirze ebenfalls
bei Vieweg als Buch erscheinende Vorlesungs-Skriptum unseres langjiihrigen Lehrers Prof.
Siefkes [Sief89].
2 1 Gnmdbegriffe der P!Ikfikatenlogi
1.1 Syntax der Pradikatenlogik
In diesem Abschnitt fiibren wit Symbole und Zeichenketten ein. die wit fUr eine Formalisierung
von Theoremen benOtigen und auf denen wit spitei' im Sinne maschinellen Beweisens operieren
wollen. Dazu ben6tigen wit neben den reinen Zeichenvorrilten und den aus ihnen gebildeten
Bausteinen (Terme und Formeln) auch Darstellungsweisen (Baume) und Transformations
m6glichkeiten (Ableirungsregeln).
1.1.1 Terme ond Formeln
Definition (1.1) (Signatur)
= (
Eine Signatur 1; S. F. P) ist durch drei paarweise disjunk:te Symbolmengen gegeben:
(i) die Menge S der Sortensymbole.
(ii) die Menge F der Operationssymbole (oder: Funktionssymbole) und
(iii) die Menge P der Priidikatensymbole.
wobei jedes Operationssymbol f E Fund jedes PrIldikatensymbol PEP eine Stelligkeit und
Sortigkeit (zusammen kurz: Arital) besitzt. notiert durch 1
f( s10 52 ..... So ) -+ s
fUr n-stelliges f zu den (Argument-)Sonen slo 52 .... sn und der Ziel-Sorte s sowie durch
P( sl. 52 ..... sn)
fUr n-stelliges P zu den Sorten sl. 52 ..... So •
FUr n = 0 hei.6t f Konstante(nsymbol) hzw. P Aussagensymbol. _
FUr die nun folgenden Definitionen von Termen und Formeln nehmen wit stets eine Signatur 1;
sowie eine -zu allen Mengen der Signatur disjunkte -Menge(nfamilie) V = (VS >se s von Variablen
zu den Sonen von 1; als gegeben an.
Definition (1.2) (Terme)
DieMenge T~(V) der 1;-TermemitVariablenaus V istinduktivdefiniertdurch:
(i) Jedes Konstantensymbol c -+ s aus 1; ist ein Term zur Sone s.
(ii) Jede Variable aus Vs ist ein Term zur Sorte s.
(iii) 1st f( sl. 52 ..... So) -+ s Operationssymbol aus 1; und sind weiterhin tl. t2 ..... to
Terme zu den Sorten sl. 52 ..... sn. so ist f( tl' t2' .... to) Term zur Sorte s. _
Definition (1.3) (quantorenfreie Formeln. offene Pridikatenlogik)
• 1st P( sl. s2 ..... So) Priidikatensymbol aus 1; und sind weiterhin tl. t2 ..... to Terme aus
Tl;(V) zu den Sorten sl. 52 ..... So. so ist P( tl' t2."" to) atomare Formel zur Sorte s.
1 FUr die Operationssymbole in unseren Beispielen werden wir spiller in Ublicher Weise PrIIfIX-. POStflX-oder bei
zweistelligen Operationssymbolen oft auch Infix-Notation verwenden.
