Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung

474 Pages·1989·17.799 MB·German

by  Prof. Dr. rer. nat. Josef Hoschek, Dr. rer. nat. Dieter Lasser (auth.)

Teubner-Ingenieurmathematik
Burg/Haf/Wille
Hohere Mathematik fUr Ingenieure
Band 1: Analysis
2. Auf!. 732 Seiten. OM 46,-
Band 2: Lineare Algebra
448 Seiten. OM 44,-
Band 3: Gewohnliche Dlfferentlalglelchungen, Dlstrlbutlonen,
Integraltransformatlonen
405 Seiten. OM 42,-
Band 4: Vektoranalysls und Funktlonentheorle
ca. 280 Seiten. ca. OM 42,-
Dorninger/MUlier
Allgemeine Algebra und Anwendungen
324 Seiten. OM 48,-
v. Finckenstein
Grundkurs Mathematik fUr Ingenieure
461 Seiten. OM 48,-
HeuserlWolf
Algebra, Funktionalanalysls und Codierung
168 Seiten. OM 36,-
Kamke
Differentialglelchungen
Losungsmethoden und Losungen
Band 1: Gewohnllche Dlfferentlalglelchungen
10. Auf!. 694 Seiten. OM 88,-
Band 2: Partlelle Dlfferentlalglelchungen erster Ordnung
fUr eine gesuchte Funktlon
6. Auf!. 255 Seiten. OM 68,-
Krabs
EinfUhrung in die lineare und nichtlineare
Optimierung fUr Ingenieure
232 Seiten. OM 38,-
Schwarz
Numerische Mathematik
2. Auf!. 496 Seiten. OM 48,-
Preisanderungen vorbehalten
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Grundlagen
der geometrischen
Datenverarbeitung
Von Prof. Dr. rer. nat. Josef Hoschek
und Dr. rer. nat. Dieter Lasser
Technische Hochschule Darmstadt
Mit zahlreichen Figuren
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1989
Prof. Dr. rer. nat. Josef Hoschek
Geboren 1935 in Littitz/CSSR. Von 1956 bis 1961 Studium der Mathe
matik und Physik, 1964 Promotion und 1967 Habilitation an der Tech
nischen Hochschule Darmstadt. Seit 1970 Professor an der TH Darm
stadt, von 1981 bis 1983 Vizeprasident der TH Darmstadt.
Dr. rer. nat. Dieter Lasser
Geboren 1954 in Wiesbaden. Von 1976 bis 1981 Studium der Mathe
matik und Physik an der Technischen Hochschule Darmstadt, seit 1983
wiss. Mitarbeiter im Fachbereich Mathematik an der TH Darmstadt.
1985 Lehrbeauftragter der FH Pforzheim, 1987 Lehrbeauftragter der
Universitat Kaiserslautern, 1987 Promotion an der TH Darmstadt.
1987 Postdoctoral Award des National Research Councils, Washing
ton, D. c., verbunden mit einem einjahrigen Postdoctoral Forschungs
stipendium an der Naval Postgraduate School, Monterey, CA.
CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Hoschek, Josef:
Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung
von Josef Hoschek u. Dieter Lasser.
Stuttgart: Teubner, 1989
ISBN 978-3-519-02962-5 ISBN 978-3-322-99494-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-99494-3
NE: Lasser, Dieter:
iDas Werk einschliel3lich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede Ver
wertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustim
mung des Verlages unzulassig und strafbar. Das gilt besonders fiir Vervielfliltigungen,
Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in
elektronischen Systemen.
© Springer Fachmedien Wiesbaden 1989
Urspriinglich erschienen bei B. G. Teubner Stuttgart 1989
Gesamtherstellung: Zechnersche Buchdruckerei GmbH, Speyer
Umsch1aggestaltung: M. Koch, Reutlingen
Vorwort
Die geometrische Datenverarbeitung liefert die mathematischen Grundlagen für
die graphische Datenverarbeitung. Die graphische Datenverarbeitung hat, seit
schnelle Rechner und billige Speicher zur Verfügung stehen, einen Siegeszug
ohnegleichen angetreten. Sie ist heute aus dem täglichen Leben nicht mehr
wegzudenken und wird in zahlreichen Bereichen eingesetzt:
große Datenmengen können in Diagrammen besser und übersichtlicher dar
gestellt werden,
"schöne" Darstellungen und Funktionsbilder rücken ein Produkt ins rechte
Licht,
Schnittzeichnungen stellt der Rechner und Plotter (fast) automatisch her,
im Anlagenbau (Großchemie) sorgen dreidimensionale Modelle auf dem
Rechner für die "richtige" Anordnung der Leitungssysteme,
im Automobilbau, Schiffsbau, Flugzeugbau werden die Oberflächen der Pro
dukte mit Methoden der graphischen Datenverarbeitung beschrieben und
gestaltet,
Produkterzeugung und Qualitätssicherung in verschiedenen Industrieberei
chen wie Nähmaschinenindustrie, Webindustrie, Schuhindustrie benötigt
graphische Datenverarbeitung,
in der Kartographie werden Landkarten, Stadtpläne, Reliefkarten mit Me
thoden der graphischen Datenverarbeitung entwickelt,
die Medizin benötigt zur Planung von Operationen und zur Überwachung
von Operationsergebnissen die graphische Datenverarbeitung,
die Werbung und das Fernsehen nutzen vielfältig graphische Datenverarbei
tung,
die Bahnen von Robotern und Bewegungsabläufe werden mit Methoden der
graphischen Datenverarbeitung beschrieben,
die graphische Datenverarbeitung ist Grundlage der Erzeugung von Produk
ten mit Hilfe von rechnergesteuerten Fräsern.
Diese Liste läßt sich beliebig verlängern, in der Zukunft werden sicher weitere
Einsatzfelder der graphischen Datenverarbeitung erschlossen werden.
IV Vorwort
Das Buch führt in die mathematischen Grundlagen der graphischen Datenverar
beitung, der sogenannten geometrischen Datenverarbeitung ein. Es werden die
mathematischen Methoden entwickelt, die benötigt werden, um mathematische
Module zur Erzeugung, Beschreibung, Veränderung von Freiformkurven und
Freiformflächen in Softwaresystemen zu entwickeln. Der "normale" Anwender
betrachtet ein Programmsystem zur graphischen Datenverarbeitung als b/ack
box, die er bis an ihre Grenzen ausnutzt. In dem Buch wollen wir kennenlernen,
"wie es da drin aussieht", d.h. welche mathematische Verfahren eingesetzt
werden müssen, um bestimmte Funktionen, Ziele, Problemlösungen in einem
Softwarepaket erreichen zu können. Nicht diskutiert werden Grundlagen aus
dem Bereich der Informatik wie Hardwaretechnologie, Softwaretechnologie,
graphische Softwaresysteme usw.
Im Mittelpunkt des Buches stehen die Bezier- und B-Spline-Methoden zur
Erzeugung von Freifonnkurven und Freiformflächen. Während Kapitell in die
Projektions lehre einführt, liefert Kapitel 2 geometrische Grundlagen zur
Darstellung von Kurven und Flächen sowie numerische Grundlagen, Kapitel 3
beschäftigt sich mit verschiedenen Splinetypen. In Kapitel 4 und 6 werden
Bezier-, B-Spline-Kurven bzw. Bezier-, B-Spline-Flächen <Tensor-Produkt-,
Dreiecksflächen, allgemeine Parametergebietel umfassend dargestellt, während
Kapitel Sund 7 den Fragen der geometrischen Übergangsbedingungen zwischen
verschiedenen Splinekurven und Splineflächen nachgehen und daraus verallge
meinerte Splines wie ß- und y-Splines entwickeln. Andere FlächendarsteIlungen
werden in Kapitel 8 {Gordon-Coons-Flächenl und Kapitel 9 (scattered data)
diskutiert, während im Kapitel 10 der für Datentransfer wichtigen Frage der
Transformation zwischen verschiedenen Kurven- und FlächendarsteIlungen nach
gegangen wird. Kapitel 11 führt Volumendarstellungen ein, in Kapitel 12 werden
Algorithmen für das Verschneiden von Kurven und Flächen diskutiert und in
Kapitel 13 Methoden zum Glätten von Kurven und Flächen dargestellt. Beweise
der geometrischen Eigenschaften werden nur dann ausführlich ausgeführt,
wenn der Beweisweg neue nutzbare Eigenschaften erschließt, sonst wird auf die
Original literatur verwiesen. Ergänzt wird der Stoff durch zahlreiche Hinweise
auf Anwendungen wie Darstellung von Parallelkurven und Parallelflächen, Über
tragungen auf die Finite-EI ement- Methoden, geometrische Kriterien für
Erkennen unerwünschter Flächenbereiche, Parametrisierung von Punktmengen
zu Kurven- und Flächenerzeugung, Sichtbarkeitstests, Ray-tracing, Blending
von Flächen usw.
Das Gebiet der geometrischen Datenverarbeitung {Computer Aided Geometrie
Design - CAGDl hat sich in den letzten Jahren sehr rasch entwickelt - wir haben
daher versucht, auch neueste Entwicklungen einzufangen. Ein umfangreiches
Literaturverzeichnis mit sehr vielen Quellen aus der Original literatur ergänzt
die Stoffauswahl und erlaubt dem Leser, sich auch in Bereiche einzuarbeiten, die
im Buch nur gestreift werden konnten. Im Literaturverzeichnis werden zunächst
einmal die wichtigsten Lehrbücher aufgeführt, anschließend folgen Quellen aus
der Original literatur.
Vorwort v
Das Buch ist aus einer Vorlesung entstanden, die seit vielen jahren an der Tech
nischen Hochschule Darmstadt gehalten wird, sowie aus Kursen für Anwender
des CAGD in der Industrie und einer Samml ung von Lehrbriefen, die beide
Verfasser für die Fernuniversität Hagen entwickelt haben. Auf Aufgabenma
terial wurde verzichtet - Interessenten können sehr viele Aufgaben in den
genannten Lehrbriefen der Fernuniversität Hagen finden (s. [HOS 87b]>'
Die Verfasser danken vor allem Frau S. Drexler und Frau E. Kniffki für ihren
unermüdlichen Einsatz beim Erstellen des Manuskriptes und dem Zeichnen der
Figuren, einige Textteile wurden dankenswerterweise von Frau L. Cosulich, Ch.
Leinen und G. Semler geschrieben. Danken möchten wir auch den Herren M. Eck,
F.-j. Schneider, G. Schmeltz und P. Wassum für zahlreiche kritische Hinweise
und das Lesen der Korrekturen.
Darmstadt, im Mai 1989
josef Hoschek
Dieter Lasser
Inhal tsverzeichnis
Vorwort I
Inhaltsverzeichnis IV
1. Transformation räumlicher Objekte, Projektionen
1.1 Einleitung 1
1.2 Koordinatentransformationen 2
1.2.1 Koordinatentransformationen in der Ebene 2
1.2.2 Koordinatentransformationen im lRa 5
1.3 Projektionen 9
1.3.1 Parallelprojektion 10
1.3.2 Vorgabe der Verzerrungen 11
1.3.3 Vorgabe der Projektionsrichtung 15
1.3.4 Zentralprojektion 17
1.4 Stereobilder, Anaglyphen 19
1.5 Visibilitätsverfahren 24
1.6 Schattierungen, Reflexionen 31
2. Grundlagen aus Geometrie und Numerik 36
2.1 Parameterdarstellungen von Kurven und Flächen 36
2.1.1 Parameterdarstellung von Kurven 36
2.1.2 Parameterdarstellung von Flächen 38
2.1.3 Spezielle Flächen 44
2.1.4 Umriss linien glatter Flächen 46
2.2 Parallelkurven und Parallelflächen 47
2.2.1 Parallelkurven 48
2.2.2 Parallelflächen 50
2.3 Interpolation von Kurven und Flächen 51
2.3.1 Interpolation von Kurven mit Monomen 52
2.3.2 Interpolation von Kurven mit Lagrange-Polynomen 53
2.3.3 Interpolation von Kurven mit Newton-Polynomen 55
2.3.4 Andere Lösungen des Interpolationsproblems für Kurven 56
2.3.4.1 Hermite-Interpolation 56
2.3.4.2 Rationale Interpolation 58
2.3.5 Interpolation von Flächen 60
2.3.6 Fehlerabschätzung für die Approximation von Kurven 61
über Interpolation
2.3.7 Beurteilung der verschiedenen Interpolationsmethoden 62
2.4 Approximation von Kurven und Flächen 63
2.4.1 Diskrete Fehlerquadratmethode von Gauss für Kurven 66
(Ausg leichsverfahrenl
Inhaltsverzeichnis VII
2.4.2 Diskrete Fehlerquadratmethode von Gauss für 68
Funktionen des !R3
2.4.3 Diskrete Fehlerquadratmethode von Gauss für 70
parametrisierte Flächen
2.5 Parameterwahl bei Interpolation und Approximation 71
3. Allgemeine Splinekurven 80
3.1 Idee der Splinefunktion 81
3.2 Kegelschnitte als Subsplines 84
3.3 Kubische Splinekurven 90
3.4 Splines 5. Grades 97
3.5 Hermite-Splines 102
3.6 Splines in Tension 104
3.6.1 Exponentialsplines 104
3.6.2 Polynomiale Splines in Tension 109
3.7 Nichtlineare Splines 113
3.8 Gestalt erhaltende Splines 118
4. Bezier- und B-Spline-Kurven 119
4.1 Bezier-Kurven 119
4.1.1 Geometrische Eigenschaften der Bezier-Kurven 130
4.1.2 Bezier-Spline-Kurven 134
4.1.3 Kubische Bezier-Splines 140
4.1.4 Rationale Bezier-Kurven 143
4.2 Anwendung der Bernstein-Bezier Technik auf finite Elemente 152
4.3 B-Spline-Kurven 157
4.3.1 B-Spline-Funktionen 157
4.3.2 B-Spline-Kurven 164
4.3.2.1 Offene B-Spline-Kurven 165
4.3.2.2 Geschlossene B-Spline-Kurven 168
4.3.3 De Boor-Algorithmus 171
4.3.4 Einfügen weiterer De Boor-Punkte 175
4.3.5 Eigenschaften der B-Spline-Kurven 178
4.3.6 Rationale B-Spline-Kurven 180
4.4 Interpolation und Approximation 183
4.5 Schlußbemerkungen
5. Geometrische Splinekurven 185
5.1 Tangenten-, krümmungs- und torsions stetige Kurven 186
5.2 Ger-stetige Splinekurven 189
5.3 Geometrische Splinekurven mit Minimierungseigenschaft 192
5.4 Tangentenstetige Splinekurven 193
5.5 Krümmungsstetige Splinekurven 194
5.5.1 Bezier-Darstellung krümmungsstetiger Splinekurven 194
5.5.2 B-Spline-Bezier-Darstellung krümmungs stetiger 197
Splinekurven
VIII Inhaltsverzeichnis
5.5.3 Manning's Splinekurven 200
5.5.4 v-Splines 201
5.5.5 ß-Splines 202
5.5.6 Wilson-Fowler Splines 204
5.6 Torsionsstetige Splinekurven 205
5.6.1 Bezier-Darstellung torsions stetiger Splinekurven 205
5.6.2 B-Spline-Bezier-Darstellung torsions stetiger Splinekurven 208
5.6.3 GC3-stetige Splinekurven 210
5.6.4 t-Splines 211
5.7 Rationale Geometrische Splinekurven 213
5.7.1 Rationale tangenten-, krUmmungs- und torsions stetige 214
Splinekurven
5.7.2 Rationale GCr -stetige Splinekurven 217
6. Spline-Flächen 220
6.1 Einleitung 220
6.2 Tensor-Produkt-Flächen 220
6.2.1 Bikubische Monomsplines 221
6.2.2 Tensor-Produkt- Bezier-Fl ächen 226
6.2.2.1 Ubergangs bedingungen 231
6.2.3 Bezier-Spline-Flächen 235
6.2.4 Tensor-Produkt-B-Spline-Fläche 239
6.3 Bezier-Flächen über dreieckigem Parametergebiet 241
6.3.1 Baryzentrische Koordinaten 243
6.3.2 Verallgemeinerte Bernstein-Polynome und 244
Dreiecks-Bezier-Flächen
6.3.3 Anschlußbedingungen für Dreiecks-Bezier-Flächen 251
6.3.4 Splines über Dreiecken 257
6.4 Allgemeine Parametergebiete 260
6.5 Rationale Tensor-Produkt-Flächen 265
6.6 Rationale Dreiecksflächen 276
7. Geometrische Splineflächen 277
7.1 GCr -stetige Flächen 278
7.2 GC1-stetige Flächen 282
7.3 GCLstetige Flächen 285
7.4 N-Eck und N-segmentige Ecken-Konfiguration 286
7.4.1 N-Eck Konfiguration 286
7.4.2 N-segmentige Eckenkonfiguration 288
7.5 B-Sp line-Darste 11 ungen 292
8. Gordon-Coons-Flächen 294
8.1 Gordon-Coons-Flächen über Vierecken 295
8.1.1 CO-stetige Pflaster 295
8.1.2 CLstetige Pflaster 300
8.1.3 Bikubische Pflaster 306
Inhaltsverzeichnis IX
8.1.4 Gordon-Flächen 307
8.2 Gordon-Coons-Flächen über Dreiecken 308
9. Scattered Data Interpolation und Approximation 312
9.1 Shepard Methoden 313
9.2 Radiale Basisfunktions-Methoden 317
9.2.1 Hardy's Multiquadrik 318
9.2.2 Duchon's Thin Plate Splines 318
9.2.3 Franke's Thin Plate Splines in Tension 319
9.3 FEM-Methoden 319
9.3.1 Triangullerung von Punktmengen 320
9.3.1.1 Triangu Iierungsmethoden 320
9.3.1.2 Optimale Triangullerungen 322
9.3.2 Dreiecks-Interpol anten 327
9.3.2.1 9-Parameter Interpolant 327
9.3.2.2 Cr -stetiger Hermite Interpolant 327
9.3.2.3 Clough-Tocher Interpolant 329
9.3.2.4 Powell-Sabin Interpolant 330
9.3.2.5 Rationale Interpolanten 331
9.3.2.6 Transfinite Interpolanten 332
9.3.3 Konstruktion von Ableitungsdaten 332
9.3.3.1 Gewichtete Mittelwertbildung 332
9.3.3.2 Lokale Interpolation bzw. Approximation 333
9.3.3.3 Nielson's Minimum Norm Network 333
9.3.3.4 Alfeld's Funktional Minimierung 334
9.3.3.5 Konstruktion von Krümmungsdaten 334
9.4 Multistage Methoden 334
9.5 Ein Beispiel 336
9.6 Affine Invarianz 338
10. Basistransformationen f"ür Kurven- und FlächendarsteIlungen 341
10.1 Exakte Basistransformation 341
10.1.1 Basistransformationen von Monomen und 342
Bernsteinpolynomen
10.1.2 Basistransformation von B-Spline-Segmenten 343
und Bezier-Segmenten
10.2 Approximative Basistransformation 351
10.2.1 Approximative Basistransformation für Kurven 352
10.2.2 Approximative Basistransformation für Flächen 354
10.3 Basistransformation für Dreieckspatches 357
11. Multivariate Darstellungen 358
11.1 Bezier Darstellungen 359
11.1.1 Tensor-Produkt-Bezier-Volumina 359
11.1.2 Tetraeder-Bezier-Volumina 362
11.1.3 Pentaeder-Bezier-Vol umina 367