Grundlagen der Differentialgeometrie und Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie

48 Pages·2013·2.32 MB·German

by  Frank Loose

KurveninderEbene
Fl¨achenimRaum
Mannigfaltigkeiten
AllgemeineRelativit¨atstheorie
Grundlagen der Differentialgeometrie und
Einfu¨hrung in die Allgemeine Relativit¨atstheorie
Frank Loose
4. Theoretiker-Workshop
der jungen Deutschen Physikalischen Gesellschaft
auf dem Du¨rerhof in Waldkappel-Gehau
Vortrag am 05. Januar 2013
FrankLoose GrundlagenderDiff.-geometrieundEinfu¨hrungindieART
KurveninderEbene
Fl¨achenimRaum Definition(ebeneKurve)
Mannigfaltigkeiten Kru¨mmungeinerebenenKurve
AllgemeineRelativit¨atstheorie
1. Kurven in der Ebene
Definition. Eine (regul¨ar parametrisierte) ebene Kurve ist eine
glatte (d.i. C∞-) Abbildung α: I → R2 mit α˙(t) 6= 0, ∀t ∈ I. I ist
ein Intervall. C = α(I) ⊆ R2 heißt Spur der Kurve.
[Abb. 1]
α heißt nach der Bogenl¨ange parametrisiert, wenn |α˙(t)| = 1 ist,
∀t ∈ I. (Fu¨r 0 ∈ I ist dann die Bogenl¨ange des Kurvenstu¨cks
α([0,t]) gerade t:
t
′
L[α|[0,t]] = |α(s)|ds = t.)
Z
0
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KurveninderEbene
Fl¨achenimRaum Definition(ebeneKurve)
Mannigfaltigkeiten Kru¨mmungeinerebenenKurve
AllgemeineRelativit¨atstheorie
Bemerkung
(a) Ist α: I → R2 eine ebene Kurve, so existiert eine
Umparametrisierung τ: J → I, so dass α◦τ: J → R2 nach
Bogenl¨ange parametrisiert ist.
(b) Der Bogenl¨angenparameter ist bis auf Verschiebung eindeutig.
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KurveninderEbene
Fl¨achenimRaum Definition(ebeneKurve)
Mannigfaltigkeiten Kru¨mmungeinerebenenKurve
AllgemeineRelativit¨atstheorie
Sei α: I → R2 nach der Bogenl¨ange parametrisiert, t ∈ I,
p = α(t) ∈ C = α(I) und e (t) := α˙(t). Sei weiter e (t) so, dass
1 2
(e (t),e (t)) positiv orientierte ON-Basis von R2 ist. Da
1 2
1
·
hα¨,α˙i = hα˙,α˙i = 0
2
ist, folgt: ∃ κ(t) ∈ R: α¨ = κ·e .
1 2
[Abb. 2]
Definition. Sei α: I → R2, C = α(I), t ∈ I und p = α(t). Dann
heißt
κ(t) := hα¨(t),e (t)i
2
die Kru¨mmung von C in p.
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KurveninderEbene
Fl¨achenimRaum Definition(ebeneKurve)
Mannigfaltigkeiten Kru¨mmungeinerebenenKurve
AllgemeineRelativit¨atstheorie
Es gilt: Der Kru¨mmungskreis von C in p, d.i. der Kreis mit
Mittelpunkt
1
M = p+ e
2
κ
und Radius
1
r =
κ
beru¨hrt C in p von h¨oherer als 2. Ordnung.
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Definition(Fl¨ache)
Beispiel
KurveninderEbene
Definition(Tangentialraum)
Fl¨achenimRaum
Definition(1.Fundamentalform)
Mannigfaltigkeiten
InnereGeometrie
AllgemeineRelativit¨atstheorie A¨ußereGeometrie
TheoremaegregiumvonC.F.Gauß
2. Fl¨achen im Raum
Definition. Sei U ⊆ R3 offen und f: U → R glatt. Dann heißt
M = f−1(0) = {p ∈ U : f(p) = 0}
eine (regul¨are) Fl¨ache, wenn fu¨r alle p ∈ M gilt:
∂f ∂f
grad(f)(p) := ( ,..., )(p) 6= 0.
∂x1 ∂xn
[Abb. 3]
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Definition(Fl¨ache)
Beispiel
KurveninderEbene
Definition(Tangentialraum)
Fl¨achenimRaum
Definition(1.Fundamentalform)
Mannigfaltigkeiten
InnereGeometrie
AllgemeineRelativit¨atstheorie A¨ußereGeometrie
TheoremaegregiumvonC.F.Gauß
Beispiel
(i) Die 2-Sph¨are
M = S2 = {x ∈ R3 : (x1)2+(x2)2+(x3)2 = 1}
[Abb. 4]
(ii) Das einschalige Hyperboloid
M = H2 = {x : (x1)2+(x2)2−(x3)2 = 1}
[Abb. 5]
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Definition(Fl¨ache)
Beispiel
KurveninderEbene
Definition(Tangentialraum)
Fl¨achenimRaum
Definition(1.Fundamentalform)
Mannigfaltigkeiten
InnereGeometrie
AllgemeineRelativit¨atstheorie A¨ußereGeometrie
TheoremaegregiumvonC.F.Gauß
Definition. Sei M = f−1(0) Fl¨ache und p ∈ M.
(i) Dann heißt
TM = ker(Df : R3 → R) = (grad(f)(p))⊥
p p
= {α˙(0) ∈ R3 : α: (−ε,ε) → M Kurve mit α(0) = p}
heißt Tangentialraum von M in p. [Beachte: α(t) ∈ M ⇒
f ◦α(t) = 0 ⇒ 0 = (f ◦α)·(0) = hgrad(f)(p),α˙(0)i ⇒
α˙(0) ∈ TM ]
p
(ii) Es heißt
grad(f)(p)
N =
p
k grad(f)(p) k
die Normale von M in p.
[Abb. 6]
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Definition(Fl¨ache)
Beispiel
KurveninderEbene
Definition(Tangentialraum)
Fl¨achenimRaum
Definition(1.Fundamentalform)
Mannigfaltigkeiten
InnereGeometrie
AllgemeineRelativit¨atstheorie A¨ußereGeometrie
TheoremaegregiumvonC.F.Gauß
Definition. Sei M = f−1(0) eine Fl¨ache und p ∈ M. Dann heißt
g : TM ×TM → R, g := h·,·i|TM ×TM
p p p p p p
die 1. Fundamentalform (1. FF) von M in p.
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Definition(Fl¨ache)
Beispiel
KurveninderEbene
Definition(Tangentialraum)
Fl¨achenimRaum
Definition(1.Fundamentalform)
Mannigfaltigkeiten
InnereGeometrie
AllgemeineRelativit¨atstheorie A¨ußereGeometrie
TheoremaegregiumvonC.F.Gauß
Gr¨oßen, die nur von der 1. Fundamentalform auf M abh¨angen,
nennt man innere Gr¨oßen auf M oder intrinsisch. Z.B. ist der
Abstand zwischen zwei Punkten p,q ∈ M intrinsisch,
d(p,q) = inf{L[α] : α: [0,1] → M Kurve mit
α(0) = p, α(1) = q}
(und
1
L[α] = |α˙(t)|dt mit |α˙(t)| = g (α˙(t),α˙(t).)
α(t)
Z0 q
[Abb. 7]
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