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RUNDLAGEN DER LGEBRA
NotizenzurVorlesungimSommersemester2010
Universita¨tStuttgart,StudiengangMathematik
Rohfassung
compiliertam10.Januar2011
Copyright2010MichaelEisermann
www.igt.uni-stuttgart.de/eiserm
Fu¨rdieMitteilungvonUnklarheitenundFehlernallerArt
sowiefu¨rVorschla¨geundKritikbinichstetsdankbar!
ii
Inhaltsverzeichnis
Kapitel0. Vorwort i
Kapitel1. KonstruktionmitZirkelundLineal 1
§1A.Wasko¨nnenwirmitZirkelundLinealkonstruieren?–§1B.VonderGeometriezur
Algebra. – §1C. Algebraische Antworten auf geometrische Fragen. – §1D. Wie geht es
weiter?–§1E.U¨bungenundErga¨nzungen.
I GrundlagenderRingtheorie
Kapitel2. MonoideundGruppen 15
§2A.Einfu¨hrungundU¨berblick.–§2B.Verknu¨pfungen.–§2C.Monoide.–§2D.Grup-
pen.–§2E.Kommutativita¨t.–§2F.DerSatzvonCayley.–§2G.Quotientenstrukturen.–
§2H.FreieMonoideundfreieGruppen.–§2I.U¨bungenundErga¨nzungen.
Kapitel3. RingeundKo¨rper 47
§3A.RingeundKo¨rper.–§3B.Homomorphismen.–§3C.Integrita¨tsringeundBruchko¨rper.
–§3D.IdealeundQuotientenringe.–§3E.NeueRingeausalten.–§3F.Derchinesische
Restsatz.–§3G.Monoidringe.–§3H.U¨bungenundErga¨nzungen.
Kapitel4. Polynomringe 79
§4A.DefinitionunduniverselleEigenschaft.–§4B.GradfunktionundeuklidischeDivi-
sion.–§4C.FaktorisierungvonNullstellen.–§4D.U¨bungenundErga¨nzungen.
Kapitel5. TeilbarkeitstheorieinIntegrita¨tsringen 89
§5A.Motivation.–§5B.Grundbegriffe.–§5C.EuklidischeRinge.–§5D.Hauptidealrin-
ge. – §5E. Faktorielle Ringe. – §5F. Teilerfremdheit und Invertierbarkeit. – §5G. Prim-
idealeundmaximaleIdeale.–§5H.U¨bungenundErga¨nzungen.
Kapitel6. PrimfaktorzerlegunginPolynomringen 111
§6A.MotivationundU¨berblick.–§6B.Primfaktorzerlegung.–§6C.Exponentenbewer-
tung und Normierung. – §6D. Inhalt und Normierung von Polynomen. – §6E. Der Satz
von Gauß. – §6F. Fortsetzung des ggT von einem Ring R auf den Polynomring R[X]. –
§6G.Irreduzibilita¨tskriterien.–§6H.U¨bungenundErga¨nzungen.
Kapitel7. MatrizenringeundderElementarteilersatz 135
§7A. Einfu¨hrung und Motivation. – §7B. Matrizenringe. – §7C. Die Determinante. –
§7D.DerAlgorithmusvonGauß–Be´zout.–§7E.EindeutigkeitderElementarteiler.
iii
Kapitel8. ModulnundVektorra¨ume 153
§8A.MotivationundU¨berblick.–§8B.Modulnu¨bereinemRing.–§8C.Quotientenmo-
dulnundIsomorphiesa¨tze.–§8D.BasenundfreieModuln.–§8E.Modulnu¨berHaupt-
idealringen.–§8F.Vektorra¨ume.–§8G.Beispiele,Anwendungen,U¨bungen.
II GrundlagenderGruppentheorie
Kapitel9. GrundbegriffederGruppentheorie 175
§9A. Der Satz von Lagrange. – §9B. Normale Untergruppen und Quotientengruppen. –
§9C.Kommutieren.–§9D.ZyklischeGruppen.–§9E.KonjugationundinnereAutomor-
phismen.–§9F.Operationen.–§9G.U¨bungenundErga¨nzungen.
Kapitel10. SymmetrischeundalternierendeGruppen 197
§10A.DiesymmetrischeGruppe.–§10B.Zykelzerlegung.–§10C.DieSignatur.–§10D.Die
alternierendeGruppe.–§10E.EinfacheGruppen.–§10F.SemidirekteProdukte.–§10G.U¨bungen
undErga¨nzungen.
Kapitel11. Sylow–Sa¨tzeundAnwendungen 221
§11A.Einfu¨hrungundU¨berblick.–§11B.DieSylow-Sa¨tze.–§11C.EinfacheKlassifi-
kationssa¨tze.–§11D.Auflo¨sbareGruppen.–§11E.U¨bungenundErga¨nzungen.
III GrundlagenderKo¨rpertheorie
Kapitel12. Ko¨rpererweiterungen 233
§12A.EinleitungundU¨berblick.–§12B.Ko¨rpererweiterungen.–§12C.AlgebraischeEr-
weiterungen.–§12D.Zerfa¨llungsko¨rper.–§12E.AlgebraischerAbschluss.–§12F.U¨bungen
undErga¨nzungen.
Kapitel13. EndlicheKo¨rper 253
§13A.Einfu¨hrungundU¨berblick.–§13B.KlassifikationendlicherKo¨rper.–§13C.Kon-
struktionendlicherKo¨rper.–§13D.U¨bungenundErga¨nzungen.
Kapitel14. DerHauptsatzderGalois-Theorie 265
§14A. Einleitung und U¨berblick. – §14B. Separable Erweiterungen. – §14C. Normale
Erweiterungen.–§14D.Galois-GruppeeinerGleichung.
Kapitel15. AnwendungenderGalois-Theorie 283
§15A.KonstruierbarkeitmitZirkelundLineal.–§15B.Auflo¨sbareErweiterungen.
iv
KAPITEL0
Vorwort
WasistundwassolldieAlgebra?
Mathematik ist die Lehre von Zahlen und Figuren. U¨ber die Jahrhunderte hat sich
eine Erfahrung herausgebildet und erha¨rtet: mathematische Methoden lassen sich erstaun-
lich erfolgreich auf eine Fu¨lle von natu¨rlichen Pha¨nomenen und menschlichen Aktivita¨ten
anwenden.EinetypischeAnwendungensindGleichungen,unddieAlgebraist,grobgesagt,
die mathematische Theorie zum Lo¨sen von Gleichungen. Sie untersucht dazu die Struktur
derRechenoperationenundderzugeho¨rigenObjekte.
DieAlgebraistdiemathematischeTheoriezumLo¨senvonGleichungen. Wirwer-
denunsdiesesSemestervorallemmitpolynomiellenGleichungenbescha¨ftigen:
a X+a =0
1 0
a X2+a X+a =0
2 1 0
a X3+a X2+a X+a =0
3 2 1 0
a X4+a X3+a X2+a X+a =0
4 3 2 1 0
a X5+a X4+a X3+a X2+a X+a =0
5 4 3 2 1 0
etc...
Das einfachste Beispiel sind Gleichungen der Form a·x+b=0. Fu¨r a(cid:54)=0 hat diese
GleichungdieLo¨sungx=−b/a.Diehierzuno¨tigenOperationen+und·undihreInversen
− und / fu¨hren unmittelbar zum algebraischen Begriff des Ko¨rpers. Lineare Gleichungs-
systemeu¨bereinemKo¨rperwerdeninderlinearenAlgebrauntersucht.
In dieser Vorlesung werden wir uns mit nicht-linearen, und zwar polynomiellen Glei-
chungen bescha¨ftigen. Das einfachste und bekannteste Beispiel ist die quadratische Glei-
chung ax2+bx+c=0. Fu¨r a(cid:54)=0 hat diese Gleichung zwei Lo¨sungen, und diese ko¨nnen
√
durch die beru¨hmte Formel x= −b± b2−4ac ausgedru¨ckt werden. Diese Formel nutzt ne-
2a
ben den Ko¨rperoperationen nur das Ziehen von Quadratwurzeln. In diesem Sinne ist die
quadratischeGleichungalso“durchWurzelnauflo¨sbar”.
A¨hnliche Lo¨sungen fu¨r Gleichungen dritten Grades wurden von den italienischen Ma-
thematikernNicoloTartaglia(1499–1557)undGerolamoCardano(1501–1576)gefunden,
i
ii Kapitel0.Vorwort
und Gleichungen vierten Grades wurden von Cardanos Schu¨ler Lodovico Ferrari (1522–
1565) gelo¨st. Diese Lo¨sungsformeln sind zwar zunehmend kompliziert, benutzen aber nur
dieKo¨rperoperationenunddasWurzelziehen.
Nach solchen Lo¨sungsformeln fu¨r Gleichungen fu¨nften und ho¨heren Grades wurde
mehrereJahrhundertelangvergeblichgesucht.DannkamdiegroßeU¨berraschung:dernor-
wegischeMathematikerNielsHenrikAbel(1802–1829)bewies,dassesderartigeallgemei-
ne Formeln nicht geben kann. Die tieferen Gru¨nde hierfu¨r wurden von dem franzo¨sischen
MathematikerE´varisteGalois(1811–1832)aufgedeckt.DieEntwicklungdernachihmbe-
nanntenGalois-TheorieistdasHauptzieldieserVorlesung.
DieGrundideeisteinfach:zujederGleichungbetrachtetmandieSymmetrien,diezwi-
schenihrenWurzelnbestehen.Diesfu¨hrtzumBegriffderGruppe:dieGalois-Gruppemisst
die Kompliziertheit einer Gleichung, und eine auflo¨sbare Gleichung erkennt man daran,
dassihreGalois-Gruppeauflo¨sbarist.
DieGalois-TheorieisteinfaszinierendesBeispieldafu¨r,dassmanchmalkonkretePro-
blemeerstlo¨sbarwerden,wennmansiemitderno¨tigenAbstraktionbehandelt.Soentsteht
aus der klassischen Algebra (u¨ber den reellen und komplexen Zahlen) durch Abstrakti-
on undVereinheitlichung die moderne Algebra(u¨ber allgemeinerenRingen und Ko¨rpern).
Die Vorlesung wird sich hierzu mit dem no¨tigen Handwerkszeug der Gruppen, Ringe und
Ko¨rperbefassen,dieauchu¨berallsonstinderAlgebraunerla¨sslichsind.
Algebra ist das Studium von Verknu¨pfungen. Viele konkrete Rechnungen weisen
A¨hnlichkeiten und Gesetzma¨ßigkeiten auf. Diese ko¨nnen gewinnbringend im Rahmen all-
gemeinener Strukturen untersucht werden und tragen so wohlklingende Namen wie Ring
oderKo¨rper.DieseKonzeptetretenschonbeimAufbaudesZahlensystemsnatu¨rlichauf:
(N,+,·)⊂(Z,+,·)⊂(Q,+,·)⊂(R,+,·)⊂(C,+,·)
SolcheStrukturen,insbesondereRinge,findetmanaberinvielenSituationen:
• Die Menge Q[X] der Polynome (zum Beispiel u¨ber dem Ko¨rper Q der rationa-
len Zahlen) mit ihrer Addition +: Q[X]×Q[X]→Q[X] und ihrer Multiplikation
·: Q[X]×Q[X]→Q[X]bildeteinenkommutativenRing.
• Die Menge M =Cn×n der n×n-Matrizen (zum Beispiel u¨ber dem Ko¨rper C der
komplexen Zahlen) mit ihrer Addition +: M×M → M und ihrer Multiplikation
·: M×M→M bildeteinennicht-kommutativenRing.
DasVersta¨ndnisderallgemeinenGesetzma¨ßigkeitenerweistsichalsungemeineffizient
beimLo¨senkonkreterProbleme.DieEntwicklungderhierzuno¨tigenTheoriewirdunsdas
ganzeSemesterbescha¨ftigen—undwirddochnureinbescheidenerAnfangseinko¨nnen.
Algebra ist Koordinatisierung. Sie kennen hierzu aus dem ersten Studienjahr die li-
neareAlgebraundanalytischeGeometrie.DiefolgendeEinfu¨hrungpra¨sentierteinkonkre-
tesundhistorischbedeutsamesBeispiel:dieKonstruktionmitZirkelundLineal.
MichaelEisermann(cid:104)www.igt.uni-stuttgart.de/eiserm(cid:105)
KAPITEL1
Konstruktion mit Zirkel und Lineal
IndiesemerstenKapitelstu¨rzenwirunsineinklassischesProblemderebenenGeometrie:
dieKonstruktionmitZirkelundLineal.DieseEinfu¨hrungisteinhorsd’œuvre;siezeigtei-
nerseits,dassmanmitSchulmathematikundeinwenigAusdauerschonrechtweitvordrin-
genkann.AndererseitszeigtsieauchdieNotwendigkeittiefergehenderBegriffsbildungen.
DerensystematischerAufbauistdasZielderAlgebra.
§1A. Wasko¨nnenwirmitZirkelundLinealkonstruieren?
Konstruktionen mit Zirkel und Lineal sind seit der Antike sowohl von praktischem
als auch von theoretischem Interesse, und bis heute in der mathematischen Schulbildung
pra¨sent. Aus praktischer Sicht mo¨chte man wissen, wie man gewisse Figuren konstruiert.
Aus theoretischer Sicht stellt sich die Frage, welche Konstruktionen u¨berhaupt mo¨glich
sind,oderumgekehrt,welchenichtundwarum.
§1Aa. Grundkonstruktionen. Beginnen wir mit drei einfachen Fragen der ebenen
Geometrie,wiesiedenmeistenausderSchulevertrautseindu¨rfte:
1. ZugegebenenLa¨ngena,bkonstruieremandieLa¨ngena+bunda−b.
2. ZugegebenenLa¨ngen1,a,bkonstruieremandieLa¨ngena·bunda/b.
√
3. ZugegebenenLa¨ngen1,akonstruieremandieLa¨nge a.
Hier und im Folgenden heiße konstruieren (ohne weiteren Zusatz) stets konstruieren
mitZirkelundLineal.DieFormulierungdieserFragenverweistbereitsaufdieVerbindung
vonGeometrieundAlgebra,diesichalsa¨ußerstglu¨cklichundfruchtbarerweisenwird.
Fu¨rjedeernsthafteUntersuchungistesunerla¨sslichgenauzudefinieren,waswirunter
der Konstruktion mit Zirkel und Lineal verstehen. Hierzu sei M eine vorgegebene Menge
von Punkten in der Ebene. Wir bezeichnen mit G(M) die Menge aller Geraden, die durch
zwei verschiedenen Punkte von M laufen, und mit K (M) die Menge aller Kreise, deren
Mittelpunkt in M liegt und deren Radius der Abstand zweier verschiedener Punkte aus M
ist.EinPunktPheißtineinemSchrittausM konstruierbar,wennerSchnittpunktistvon
• zweiverschiedenenGeradenausG(M)oder
• zweiverschiedenenKreisenausK (M)oder
• einerGeradenausG(M)undeinemKreisausK (M).
1
2 Kapitel1.KonstruktionmitZirkelundLineal
EinPunktPheißtinnSchrittenausMkonstruierbar,wenneseineFolgeP ,P ,...,P =
1 2 n
Pgibt,sodassjederPunktP ineinemSchrittausM∪{P ,...,P }konstruierbarist.
k 1 k−1
Definition1A1. EinPunktPheißtausMkonstruierbar,wenneseinenatu¨rlicheZahln∈N
gibt,sodassPinnSchrittenausM konstruierbarist.
Diese Definition pra¨zisiert, wie man mit Zirkel und Lineal neue Punkte aus alten kon-
struiert. Die mo¨glichen Konstruktionen ha¨ngen davon ab, welche Punkte vorgegeben sind;
imeinfachstenFallnimmtmanan,dassanfa¨nglichnurzweiPunktevorgegebensind.Eine
La¨nge oder (positive) reelle Zahl ist der Abstand zweier Punkte. Eine bestimme Zahl zu
konstruierenbedeutetzweiPunktezukonstruieren,diedengewu¨nschtenAbstandhaben.
U¨bung1A2. Manlo¨sedieerstendreiFragendurchAngabegeeigneterKonstruktionen.
§1Ab. VierklassischeProblemederGeometrie. AusgehendvondenobigenGrund-
konstruktionen mo¨chten wir die Frage der Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal erkun-
den.AlsLeitfadendienenunshierzudiefolgendenvierProbleme:
1. Welcheregelma¨ßigenn-EckelassensichmitZirkelundLinealkonstruieren?
2. La¨sstsichzujedemWinkelθ derWinkelθ/3konstruieren?(Winkeldreiteilung)
√
3. La¨sstsich 3 2mitZirkelundLinealkonstruieren?(VerdopplungdesWu¨rfels)
4. La¨sstsichzueinemgegebenenKreiseinfla¨chengleichesQuadratkonstruieren?
(Diesistdiesprichwo¨rtlichgewordeneQuadraturdesKreises.)
Wir werden in diesem einfu¨hrenden Teil zuna¨chst einen vollkommen elementaren Zu-
gangwa¨hlen,deralleinmitSchulmathematikauskommt,unddocheinenbeachtlichenTeil
lo¨sen ko¨nnen. Wie immer bedeutet elementar nicht unbedingt einfach. Nehmen wir also
unserenMutzusammenundseienwirkreativ!
Mit den entsprechenden Werkzeugen der Algebra werden sich viele Fragen spa¨ter wie
von selbst lo¨sen. In Ermangelung dieser Werkzeuge werden wir es in diesem Kapitel mit
bloßen (wenn auch geschickten) Ha¨nden versuchen. Wer sich hierbei ein paar Schwielen
geholthat,wirddiespa¨tereBequemlichkeitumsomehrzuscha¨tzenwissen.
§1B. VonderGeometriezurAlgebra
§1Ba. VomProblemzumModell:analytischeGeometrie. Modellierenbedeutet,ein
ProblemineinegeeigneteSprachezuu¨bersetzen,indersichdasWesentlichedesProblems
beschreiben und – soweit mo¨glich – lo¨sen la¨sst. Fu¨r die Konstruierbarkeit mit Zirkel und
LinealfolgenwireinereinfachenaberradikalenIdee:derKoordinatisierung.
Kurzgesagt:wiridentifizierendieEbenemitdemRaumR2.
Etwasausfu¨hrlicher:GegebenseienzweiverschiedenePunkteOundPderEbene.Durchdiesebei-
denPunkteverla¨uftgenaueineGerade.Dieseko¨nnenwirdurchdenKo¨rperRparametrisieren,wobei
0(cid:55)→Ound1(cid:55)→P,sodassdieKo¨rperoperationena+b,a−b,ab,a/bunddieAnordnungderPunkte
respektiertwerden.(Hierzuwa¨renochwesentlichmehrzusagen,aberwirverzichtenaufeineaxio-
matischeHerleitungzugunsteneineraschenSkizze.)AnschließendkonstruierenwirdieSenkrechte
durchOundwa¨hlenhieraufeinenPunktQmitAbstand|OQ|=|OP|.AuchdieGeradedurchOund
QparametrisierenwirddurchR.DieorthogonaleProjektionaufdiesebeidenAchsenordnetjedem
PunktX derEbeneeinPaarreellerZahlen(x,y)∈R2zu;diesewerdendieKoordinatendesPunktes
Xgenannt.(ZumBeispielgeltendieEntsprechungenO↔(0,0),P↔(1,0),Q↔(0,1).)Umgekehrt
MichaelEisermann(cid:104)www.igt.uni-stuttgart.de/eiserm(cid:105)
§1B.VonderGeometriezurAlgebra 3
entsprechenjezweiKoordinaten(x,y)∈R2genaueinemPunktderEbene.(Gewo¨hnlichnenntman
danndieGeradeOPdiex-AchseunddieGeradeOQdiey-Achse.)AufdieseWeiseko¨nnenwirdie
EbenemitdemRaumR2identifizieren.
Washabenwirsogewonnen?MitKoordinatenko¨nnenwirrechnen!
Satz 1B1. Sei M ⊂R2 eine Menge von Punkten und sei K :=Koord(M)⊂R die Menge
ihrerKoordinaten.SeiM¯ ⊂R2 dieMengederausM mitZirkelundLinealkonstruierbaren
Punkte.SeiK¯ ⊂RdieMengederausK konstruierbarenZahlendurchAnwendungderfu¨nf
√
Operationena+b,a−b,ab,a/bfu¨rb(cid:54)=0,und afu¨ra>0.DanngiltKoord(M¯)=K¯.
BEWEIS. DieInklusionK¯ ⊂Koord(M¯)folgtausU¨bung1A2:DiereellenZahleninK
ergeben sich aus M durch Projektion auf die Koordinatenachsen, und die fu¨nf genannten
OperationensindkonstruierbarmitZirkelundLineal.(Manfu¨hrediesexplizitaus.)
Fu¨rdieumgekehrteInklusionKoord(M¯)⊂K¯ mu¨ssenwirzeigen,dassdieKoordinaten
der mit Zirkel und Lineal aus M konstruierbaren Punkte sich durch Anwendung der fu¨nf
Operationenberechnenlassen.HierzufassenwirdiegeometrischenObjektealgebraisch:
DieGeradeGdurchzweiverschiedenePunkte(x ,y )und(x ,y )inM istdieMenge
0 0 1 1
G={(x,y)∈R2|(x−x )(y −y )−(y−y )(x −x )=0}.
0 1 0 0 1 0
(cid:112)
Der Kreis K um (x ,y )∈M mit Radius r= (x −x )2+(y −y )2, gegeben durch
0 0 1 2 1 2
denAbstandzweierverschiedenerPunkte(x ,y )und(x ,y )inM,istdieMenge
1 1 2 2
K ={(x,y)∈R2|(x−x )2+(y−y )2=r2}.
0 0
GeradenG∈G(M)undKreiseK ∈K (M)sinddemnachPunktmengenderForm
G={(x,y)∈R2|ax+by+c=0} und
K ={(x,y)∈R2|x2+y2+ax+by+c=0}.
HierbeiergebensichdieKoeffizientena,b,c∈RausdenKoordinatenKoord(M)durch
dierationalenOperationen+,−,·,/.
Betrachten wir schließlich die Schnittpunkte solcher Mengen. Der Schnitt von zwei
Geraden fu¨hrt auf ein System von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten; ihre
Lo¨sungberechnetsichdurchdierationalenOperationenausdenKoeffizienten.DerSchnitt
von zwei Kreisen, oder einem Kreis und einer Geraden, fu¨hrt auf eine quadratische Glei-
chung; ihre Lo¨sungen berechnen sich durch die rationalen Operationen und eine Quadrat-
wurzel.Damitistdiegeometrisch-algebraischeA¨quivalenzbewiesen. (cid:3)
U¨bung1B2. Fu¨hrenSiedieimBeweisgenanntenRechnungenexplizitaus.
§1Bb. Teilko¨rper der reellen Zahlen. Wir beginnen mit einer einfachen Beobach-
tung: Sei K die Menge aller Zahlen, die sich aus 1 durch wiederholte Anwendung der
rationalen Operationen +,−,·,/ konstruieren lassen. Dann ist K = Q genau die Menge
der rationalen Zahlen. Ausgehend von 1 erha¨lt man na¨mlich N⊂K durch Addition, damit
Z⊂K undschließlichQ⊂K.Fu¨rdieumgekehrteInklusionQ⊃K genu¨gtesfestzustellen,
dassQabgeschlossenistunterrationalenOperationen.
Da die rationalen Operationen eine herausragende Rolle spielen, heben wir sie durch
diefolgendeDefinitionbesondershervor:
Rohfassungcompiliertam10.Januar2011
4 Kapitel1.KonstruktionmitZirkelundLineal
Definition1B3. EineTeilmengeK ⊂RheißtKo¨rper (genauerTeilko¨rperderreellenZah-
len)wennsiedieZahl1entha¨ltundmitjezweiZahlena,b∈K auchderenSummea+b,
Differenza−b,Produktab,undQuotienta/b.(Beiletzteremb(cid:54)=0wirdvorausgesetzt.)
Wir werden spa¨ter allgemein definieren, was ein Ko¨rper ist. Fu¨rs Erste genu¨gt uns je-
dochdieseDefinition,dawirindiesemKapitelmitTeilko¨rpernvonRauskommen.
Beispiel1B4. DiegesamteMengeRisteinKo¨rper.WederdieTeilmengeNdernatu¨rlichen
Zahlen noch die Teilmenge Z der ganzen Zahlen sind Ko¨rper. Die Teilmenge Q der ratio-
nalen Zahlen ist hingegen ein Ko¨rper. und zwar der kleinste Teilko¨rper von R: wir haben
geradegesehen,dassjederTeilko¨rperQentha¨lt.
DiefolgendeKonstruktionliefertunendlichvieleweitereBeispiele:
Proposition1B5. SeiK ⊂ReinKo¨rperundseic∈K,c>0.DannistdieMenge
√ √
K[ c]:={a+b c|a,b∈K}
einTeilko¨rpervonR.
√
Genauer gesagt ist K[ c] der kleinste Teilko¨rper von R der sowohl den Ko¨rper K als
√
auchdasElement centha¨lt.WirnennendieseinequadratischeErweiterungvonK.
√ √ √
BEWEIS. InFalle c∈K gilttrivialerweiseK[ c]=K.Nehmenwiralso c∈/ K an.
√ √ √
Seienx=a+b cundy=a(cid:48)+b(cid:48) cinK[ c].Dannfindenwir
√
• x+y=(a+a(cid:48))+(b+b(cid:48)) c,
√
• x−y=(a−a(cid:48))+(b−b(cid:48)) c,
√
• x·y=(aa(cid:48)+bb(cid:48)c)+(ab(cid:48)+a(cid:48)b) c,
√ √ √ √
• x/y= a+b√c = a+b√c ·a(cid:48)−b(cid:48)√c = aa(cid:48)−bb(cid:48)c+ a(cid:48)b−ab(cid:48) c.
a(cid:48)+b(cid:48) c a(cid:48)+b(cid:48) c a(cid:48)−b(cid:48) c a(cid:48)2−b(cid:48)2c a(cid:48)2−b(cid:48)2c
Da K ein Ko¨rper ist, sind alle so aus a,b,a(cid:48),b(cid:48),c∈K berechneten Koeffizienten wieder in
√
K, und x+y, x−y, xy, x/y liegen demnach in K[ c]. Notwendige Pra¨zisierung: Wann ist
derNennera(cid:48)2−b(cid:48)2cgleichNull?Ausa(cid:48)2−b(cid:48)2c=0undb(cid:48)(cid:54)=0folgtc=a(cid:48)2/b(cid:48)2,entgegen
√
unsererAnnahme c∈/ K.Daherkanna(cid:48)2−b(cid:48)2c=0nurfu¨ra(cid:48)=b(cid:48)=0alsoy=0gelten.
Fu¨ralley(cid:54)=0liegtx/yinK. (cid:3)
Definition 1B6. Eine Familie K ⊂ K ⊂ K ⊂ ... von Ko¨rpern nennen wir einen Turm
0 1 2 √
quadratischerErweiterungenwennjeweilsK =K [ c ]fu¨reinc ∈K gilt.
k+1 k k k k
DamithabenwirdaspassendeVokabulargeschaffen,umdiegeometrisch-algebraische
A¨quivalenzausSatz1B1bequemformulierenzuko¨nnen:
Satz1B7. Fu¨rjedereelleZahlx∈RsindfolgendeAussagena¨quivalent:
• xla¨sstsichmitZirkelundLinealausdemTeilko¨rperK ⊂Rkonstruieren.
0
• xliegtineinemTurmK ⊂K ⊂···⊂K quadratischerErweiterungeninR.
0 1 n
DieNeuerungliegthierindersprachlichenundkonzeptuellenEleganz.Inhaltlichtief-
liegenderistfolgendesBeispiel,daswirhiernurzitierenabernichtbeweisenwollen:
MichaelEisermann(cid:104)www.igt.uni-stuttgart.de/eiserm(cid:105)
