Grundkurs Theoretische Physik 2: Analytische Mechanik

310 Pages·2006·1.92 MB·German

by  Wolfgang Nolting

Springer-Lehrbuch
GrundkursTheoretischePhysik
Band1 Band5/1
KlassischeMechanik Quantenmechanik–
7.Auflage Grundlagen
ISBN:3-540-21474-7 6.Auflage
ISBN:3-540-40071-0
Band2
AnalytischeMechanik Band5/2
7.Auflage Quantenmechanik–
ISBN:3-540-30660-9 Methoden
undAnwendungen
Band3 5.Auflage
Elektrodynamik ISBN:3-540-40072-9
7.Auflage
ISBN:3-540-20509-8 Band6
StatistischePhysik
Band4 5.Auflage
SpezielleRelativitätstheorie, ISBN:3-540-20505-5
Thermodynamik
6.Auflage Band7
ISBN:3-540-24119-1 Viel-Teilchen-Theorie
6.Auflage
ISBN:3-540-24117-5
Wolfgang Nolting
Grundkurs
Theoretische Physik 2
Analytische Mechanik
7.Auflage
Mit77Abbildungen
und54AufgabenmitvollständigenLösungen
123
ProfessorWolfgangNolting
Humboldt-UniversitätzuBerlin
InstitutfürPhysik
Newtonstraße15
12489Berlin
Deutschland
[email protected]
Umschlagabbildung:sieheSeite110
Die4.AuflagedesBucheserschienimVerlagVieweg,Braunschweig/Wiesbaden
BibliografischeInformationderDeutschenBibliothek
DieDeutscheBibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschen
Nationalbibliografie;detailliertebibliografischeDatensindimInternet
über<http://dnb.ddb.de>abrufbar.
ISBN-10 3-540-30660-9 7.Auflage SpringerBerlinHeidelbergNewYork
ISBN-13 978-3-540-30660-3 7.Auflage SpringerBerlinHeidelbergNewYork
ISBN 3-540-20263-3 6.Auflage SpringerBerlinHeidelbergNewYork
DiesesWerkisturheberrechtlichgeschützt.DiedadurchbegründetenRechte,insbesonderediederÜbersetzung,des
Nachdrucks,desVortrags,derEntnahmevonAbbildungenundTabellen,derFunksendung,derMikroverfilmung
oderderVervielfältigungaufanderenWegenundderSpeicherunginDatenverarbeitungsanlagen,bleiben,auchbei
nurauszugsweiserVerwertung,vorbehalten.EineVervielfältigungdiesesWerkesodervonTeilendiesesWerkesist
auchimEinzelfallnurindenGrenzendergesetzlichenBestimmungendesUrheberrechtsgesetzesderBundesrepublik
Deutschlandvom9.September1965inderjeweilsgeltendenFassungzulässig.Sieistgrundsätzlichvergütungs-
pflichtig.ZuwiderhandlungenunterliegendenStrafbestimmungendesUrheberrechtsgesetzes.
SpringeristeinUnternehmenvonSpringerScience+BusinessMedia
springer.de
©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2002,2004,2006
PrintedinGermany
DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesemWerkberechtigtauch
ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und
Markenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermannbenutztwerdendürften.
Innentypografie:deblik,Berlin
SatzundUmbruch:LE-TEXJelonek,Schmidt&VöcklerGbR,Leipzig
Einbandgestaltung:design&productionGmbH,Heidelberg
GedrucktaufsäurefreiemPapier 56/3141/YL-543210
AllgemeinesVorwort
Die sieben Bände der Reihe „GrundkursTheoretischePhysik“ sind als direkte Be-
gleiter zum Hochschulstudium Physik gedacht. Sie sollen in kompakter Form das
wichtigstetheoretisch-physikalischeRüstzeugvermitteln,aufdemaufgebautwerden
kann, um anspruchsvollere Themen und Probleme im fortgeschrittenen Studium
undinderphysikalischenForschungbewältigenzukönnen.
DieKonzeptionistsoangelegt,dassderersteTeildesKurses,
KlassischeMechanik(Band1)
AnalytischeMechanik(Band2)
Elektrodynamik(Band3)
SpezielleRelativitätstheorie,Thermodynamik(Band4),
alsTheorieteileines„IntegriertenKurses“ausExperimentalphysikundTheoretischer
Physik,wieerinzwischenanzahlreichendeutschenUniversitätenvomerstenSemes-
teranangebotenwird,zuverstehenist.DieDarstellungistdeshalbbewusstausführ-
lich,manchmalsicheraufKosteneinergewissenEleganz,undinsichabgeschlossen
gehalten,sodassderKursauchzumSelbststudiumohneSekundärliteraturgeeignet
ist. Es wird nichts vorausgesetzt, was nicht an früherer Stelle der Reihe behandelt
wordenist.DiesgiltinbesondereauchfürdiebenötigteMathematik,dievollstän-
digsoweitentwickeltwird,dassmitihrtheoretisch-physikalischeProblemebereits
vom Studienbeginn an gelöst werden können. Dabei werden die mathematischen
Einschübeimmerdanneingefügt,wennsiefürdasweitereVorgehenimProgramm
derTheoretischenPhysikunverzichtbarwerden.Esverstehtsichvonselbst,dassin
einemsolchenKonzeptnichtallemathematischenTheorienmitabsoluterStrenge
bewiesenundabgeleitetwerdenkönnen.DamussbisweileneinVerweisaufentspre-
chendemathematischeVorlesungenundvertiefendeLehrbuchliteraturerlaubtsein.
IchhabemichabertrotzdemumeinehalbwegsabgerundeteDarstellungbemüht,so-
dassdiemathematischenTechnikennichtnurangewendetwerdenkönnen,sondern
demLeserzumindestauchplausibelerscheinen.
DiemathematischenEinschübewerdennatürlichvorallemindenerstenBänden
derReihenotwendig,diedenStoffbiszumPhysik-Vordiplombeinhalten.Imzweiten
Teil des Kurses, der sich mit den modernen Disziplinen der Theoretischen Physik
befasst,
Quantenmechanik:Grundlagen(Band5/1)
Quantenmechanik:MethodenundAnwendungen(Band5/2)
StatistischePhysik(Band6)
Viel-Teilchen-Theorie(Band7),
sind sie weitgehend überflüssig geworden, insbesondere auch deswegen, weil im
Physik-Studium inzwischen die Mathematik-Ausbildung Anschluss gefunden hat.
Der frühe Beginn der Theorie-Ausbildung bereits im ersten Semester gestattet es,
dieGrundlagenderQuantenmechanikschonvordemVordiplomzubehandeln.Der
StoffderletztendreiBändekannnatürlichnichtmehrBestandteileines„Integrierten
Kurses“sein,sondernwirdwohlüberallinreinenTheorie-Vorlesungenvermittelt.
Dasgiltinsbesonderefürdie„Viel-Teilchen-Theorie“,diebisweilenauchunteran-
derenBezeichnungenwie„HöhereQuantenmechanik“etwaimachtenFachsemester
angebotenwird.Hierwerdenneue,überdenStoffdesGrundstudiumshinausgehen-
deMethodenundKonzeptediskutiert,dieinsbesonderefürkorrelierteSystemeaus
vielenTeilchenentwickeltwurdenundfürdenerfolgreichenÜbergangzuwissen-
schaftlichemArbeiten(Diplom,Promotion)undfürdasLesenvonForschungslite-
raturinzwischenunentbehrlichgewordensind.
In allen Bänden der Reihe „GrundkursTheoretischePhysik“ sollen zahlreiche
Übungsaufgaben dazu dienen, den erlernten Stoff durch konkrete Anwendungen
zu vertiefen und richtig einzusetzen. Eigenständige Versuche, abstrakte Konzepte
der Theoretischen Physik zur Lösung realer Probleme aufzubereiten, sind absolut
unverzichtbarfürdenLernenden.AusführlicheLösungsanleitungenhelfenbeigrö-
ßerenSchwierigkeitenundtesteneigeneVersuche,solltenabernichtdazuverleiten,
„ausBequemlichkeit“eigene Anstrengungen zu unterlassen. Nach jedemgrößeren
KapitelsindKontrollfragenangefügt,diedemSelbsttestdienenundfürPrüfungs-
vorbereitungennützlichseinkönnen.
Ichmöchtenichtvergessen,andieserStelleallendenenzudanken,dieinirgend-
einerWeisezumGelingendieserBuchreihebeigetragenhaben.DieeinzelnenBände
sindletztlichaufderGrundlagevonVorlesungenentstanden,dieichandenUniver-
sitäteninMünster,Würzburg,Osnabrück,Valladolid(Spanien),Warangal(Indien)
sowieinBerlingehaltenhabe.DasInteresseunddiekonstruktiveKritikderStuden-
ten bedeuteten für mich entscheidende Motivation, die Mühe der Erstellung eines
dochrechtumfangreichenManuskriptsalssinnvollanzusehen.InderFolgezeithabe
ichvonzahlreichenKollegenwertvolleVerbesserungsvorschlägeerhalten,diedazu
geführthaben,dasKonzeptunddieAusführungderReiheweiterauszubauenund
aufzuwerten.
DieerstenAuflagendieserBuchreihesindimVerlagZimmermann-Neufangent-
standen. Ich kann mich an eine sehr faire und stets erfreuliche Zusammenarbeit
erinnern.DanacherschiendieReihebeiVieweg.DieÜbernahmederReihedurch
den Springer-Verlag im Januar 2001 hat dann zu weiteren professionellen Verbes-
serungenimErscheinungsbilddes„GrundkursTheoretischePhysik“geführt.Herrn
Dr.KölschundseinemTeambinichschonjetztfürvieleVorschlägeundAnregungen
sehrdankbar.MeineManuskriptescheineningutenHändenzuliegen.
Berlin,imApril2001 WolfgangNolting
VorwortzuBand2
Das Anliegen der Klassischen Mechanik besteht in dem Aufstellen und Lösen von
Bewegungsgleichungenfür
Massenpunkte,SystemevonMassenpunkten,StarreKörper
aufderGrundlagemöglichstweniger
AxiomeundPrinzipien.
Letzteresindmathematischnichtstrengbeweisbar,sondernstellenlediglichbislang
widerspruchsfreie Erfahrungstatsachen dar. Man könnte natürlich fragen, warum
mansichheutenochmitKlassischerMechanikbeschäftigt,obwohldiesedochwohl
indenseltenstenFällennocheinendirektenBezugzuraktuellenForschungaufweist.
SiebildetjedochdieunerlässlicheBasisfürdiemodernenRichtungenderTheore-
tischenPhysik,d.h.,diesebauenaufderKlassischenMechanikaufundsindohne
sienichtverständlichzumachen.FernergestattetsieimZusammenhangmitrelativ
vertrautenFragestellungeneinegewisse„Gewöhnung“anmathematischeLösungs-
verfahren.SohabenwirimerstenBanddieses„GrundkursTheoretischePhysik“im
Zusammenhang mit der Newton-Mechanik den Einsatz der Vektoralgebra intensiv
geübt.
Warum befassen wir uns in diesem zweiten Band nun aber noch einmal mit
KlassischerMechanik?Die„AnalytischeMechanik“desvorliegendenzweitenBandes
behandelt die Formulierungen nach Lagrange,Hamilton und Hamilton-Jacobi, die
gegenüberderNewton-Mechanikzwarkeine„neuePhysik“beinhalten,methodisch
jedoch eleganter sind und, was viel entscheidender ist, einen direkteren Bezug zu
weiterführendenDisziplinenderTheoretischenPhysik,wiederQuantenmechanik,
erkennenlassen.
DieZielsetzungdesvorliegendenBandes2entsprichtderdesgesamtenGrundkur-
ses:TheoretischePhysik.EssollsichumeinendirektenBegleiterdesGrundstudiums
zumPhysik-Diplom(bzw.Bachelor/Master)handeln,deresermöglicht,Techniken
undKonzeptederTheoretischenPhysikzunächstohneaufwendigeSekundärliteratur
verstehenzulernen.ZumVerständnisdesTexteswirdlediglichdasinBand1Erar-
beitetevorausgesetzt.MathematischeEinschübewerdenimmerdanninkompakter
undzweckgerichteterFormgebrachtundgeübt,wennesfürdieweitereEntwicklung
derTheorieunerlässlicherscheint.
DasManuskriptzudiesemBuchistausmehrerenVorlesungenentstanden,dieich
inderVergangenheitanderUniversitätMünsterundderHumboldt-Universitätzu
Berlingehaltenhabe.NachseinemErscheinen,zunächstimVerlagZimmermann-
Neufang,dannspäterundbisheuteimSpringer-Verlag,habenmirzahlreicheStu-
dierendeundDozentendurchVorschlägezurVerbesserungeinzelnerPassagensehr
geholfen.Dafürmöchteichmichganzherzlichbedanken.EinganzbesondererDank
gebührtdenMitgliedernmeinesLehrstuhlsanderHumboldt-UniversitätzuBerlin,
diesichdurchkonstruktiveKritikundtatkräftigeHilfebeiredaktionellenundorga-
nisatorischenProblemeneingebrachthaben.Diejetztvorliegende7.Auflagebesitzt
gegenüber den früheren Auflagen ein stark erweitertes Aufgabenangebot. Die Zu-
sammenarbeitmitdemSpringer-Verlag, insbesondere mitHerrnDr.T.Schneider,
warstetsfairundkonstruktivunddeshalbsehrerfreulich.
Berlin,imFebruar2006 WolfgangNolting
Inhaltsverzeichnis
1 Lagrange-Mechanik
1.1 Zwangsbedingungen,generalisierteKoordinaten............ 3
1.2 Dasd’Alembert’schePrinzip.............................................. 12
1.2.1 Lagrange-Gleichungen................................................ 12
1.2.2 EinfacheAnwendungen.............................................. 21
1.2.3 VerallgemeinertePotentiale........................................ 31
1.2.4 Reibung....................................................................... 34
1.2.5 Nicht-holonomeSysteme............................................ 37
1.2.6 AnwendungenderMethode
derLagrange’schenMultiplikatoren............................ 40
1.2.7 Aufgaben..................................................................... 45
1.3 DasHamilton’schePrinzip................................................. 59
1.3.1 FormulierungdesPrinzips........................................... 60
1.3.2 ElementederVariationsrechnung............................... 63
1.3.3 Lagrange-Gleichungen................................................ 70
1.3.4 ErweiterungdesHamilton’schenPrinzips................... 73
1.3.5 Aufgaben..................................................................... 76
1.4 Erhaltungssätze................................................................. 78
1.4.1 HomogenitätderZeit.................................................. 80
1.4.2 HomogenitätdesRaumes........................................... 83
1.4.3 IsotropiedesRaumes................................................... 86
1.5 Kontrollfragen................................................................... 89
2 Hamilton-Mechanik
2.1 Legendre-Transformation................................................. 94
2.1.1 Aufgaben..................................................................... 97
2.2 KanonischeGleichungen.................................................. 97
2.2.1 Hamilton-Funktion...................................................... 97
2.2.2 EinfacheBeispiele........................................................ 101
2.2.3 Aufgaben..................................................................... 107
2.3 Wirkungsprinzipien........................................................... 108
2.3.1 ModifiziertesHamilton’schesPrinzip........................... 108
2.3.2 PrinzipderkleinstenWirkung...................................... 111
2.3.3 Fermat’schesPrinzip.................................................... 115
2.3.4 Jacobi-Prinzip.............................................................. 116
2.4 Poisson-Klammer.............................................................. 121
2.4.1 Darstellungsräume...................................................... 121
2.4.2 FundamentalePoisson-Klammern............................... 125
2.4.3 FormaleEigenschaften................................................ 128
2.4.4 IntegralederBewegung.............................................. 130
2.4.5 BezugzurQuantenmechanik...................................... 131
2.4.6 Aufgaben..................................................................... 133
2.5 KanonischeTransformationen.......................................... 135
2.5.1 Motivation................................................................... 135
2.5.2 DieerzeugendeFunktion............................................ 140
2.5.3 ÄquivalenteFormendererzeugendenFunktion......... 143
2.5.4 BeispielekanonischerTransformationen..................... 147
2.5.5 KriterienfürKanonizität............................................... 151
2.5.6 Aufgaben..................................................................... 153
2.6 Kontrollfragen................................................................... 158
3 Hamilton-Jacobi-Theorie
3.1 Hamilton-Jacobi-Gleichung.............................................. 164
3.2 DieLösungsmethode........................................................ 167
3.3 Hamilton’schecharakteristischeFunktion......................... 172
3.4 SeparationderVariablen................................................... 175
3.5 Wirkungs-undWinkelvariable.......................................... 181
3.5.1 PeriodischeSysteme.................................................... 181
3.5.2 Wirkungs-undWinkelvariable..................................... 184
3.5.3 DasKepler-Problem..................................................... 188
3.5.4 Entartung..................................................................... 195
3.5.5 Bohr-Sommerfeld’scheAtomtheorie........................... 197
3.6 DerÜbergangzurWellenmechanik.................................. 198
3.6.1 WellengleichungderKlassischenMechanik................ 199
3.6.2 EinschubüberLichtwellen........................................... 203
3.6.3 DerAnsatzderWellenmechanik.................................. 205
3.7 Aufgaben.......................................................................... 208
3.8 Kontrollfragen................................................................... 210
LösungenderÜbungsaufgaben........................ 213
Sachverzeichnis......................................... 299