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Lindner
Drehimpulse
in der Quantenmechanik
Drehimpulse in der
Quantenmechanik
Die weitreichenden Folgerungen von Von Prof. Dr.
Drehsymmetrie helfen bei vielen physika Albrecht Lindner
lischen Problemen. Dabei werden Dre Universität Hamburg
hungen durch Drehimpulse erzeugt -
durch Bahn- oder Eigendrehimpulse. 1984.208 Seiten.
Dies wird zunächst erläutert und dabei 13,7 x 20,5 cm.
das Neue in der Quantenmechanik Kart. DM 26,80
herausgestellt. Bei der anschließenden ÖS 209,-/ SFr 26,80
Beschreibung der Drehimpulsdarstellung ISBN 3-519-03061-6
wird auf Phasenkonventionen eingegan
gen und auf das Verfahren von Schwin (Teubner Studienbücher)
ger, danach auf die Kopplung und Um
kopplung von Drehimpulsen. Dann werden Preisänderungen vorbehalten.
Operatoren auf ihre Dreheigenschaften
untersucht und irreduzible Tensoren ein
geführt. Anschließend wird auf Kugel-,
Kreisel-und Richtungskorrelationsfunkti
onen sowie Vektorkugelfunktionen einge
gangen. Mehrere Anwendungsmöglich
keiten werden ausführlich dargestellt, so
in der Elektrodynamik, in der Streutheorie
pOlarisierter Teilchen und bei Vielteilchen
problemen (Schalenmodell).
B. G. Teubner Stuttgart
Grundkurs
Theoretische Physik
Von Prof. Dr. phil. nat. Albrecht Lindner
Universität Hamburg
Mit 57 Bildern
B. G. Teubner Stuttgart 1994
Prof. Dr. phil. nat. Albrecht Lindner
Geboren 1935 in Hamburg. Studium in Freiburg/Br. mit exp.
Diplomarbeit bei Th. Schmidt. Anschließend bei G. Süßmann in
Hamburg und Frankfurt/M., 1962 Promotion. Während der
Assistentenzeit ein Jahr am Niels-Bohr-Institut in Kopenhagen.
1967 Wechsel nach Hamburg zu H. Neuert und W. Döring. 1969
Habilitation. Seit 1971 Prof. für theor. Physik. 1984 erschien
im gleichen Verlag sein Buch "Drehimpulse in der Quanten
mechanik".
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Lindner, Albrecht:
Grundkurs theoretische Physik / von Albrecht Lindner. -
Stuttgart : Teubner, 1994
(Teubner-Studienbücher : Physik)
ISBN 978-3-519-03095-9 ISBN 978-3-663-01224-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-01224-5 1
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt.
Jede Verwendung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsge
setzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das
gilt besonders für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen
und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
© B. G. Teubner Stuttgart 1994
Satz: Schreibdienst Henning Heinze, Nürnberg
Umschlaggestaltung: Martin Koch, Ötisheim
Vorwort
Es ist ganz gut, viel zu lesen,
wenn nur nicht unser Gefühl
darüber stumpf würde
und über der großen Begierde,
immer ohne eigene Untersuchung
mehr zu wissen,
endlich in uns der Prüfungsgeist . erstürbe.
Georg Christian Lichtenberg:
Einfälle und Bemerkungen I 128.
Der übliche Kurs in theoretischer Physik führt mit der Mechanik in die
Physik von Teilchen ein, mit der Elektrodynamik in die Physik von Feldern,
mit der Quantenmechanik (1) in die Quantenphysik und mit der Thermo
dynamik und Statistik in die statistische Physik. Neben diese für alle ange
henden Physiker vorgeschriebenen Vorlesungen tritt als übliche Ergänzung
für stärker in die Theorie Eindringende die Quantenmechanik II, wo Streu
probleme, die Quantelung der Felder und als. Beispiel für die relativistische
Quantenmechanik die Diractheorie behandelt werden.
Das vorliegende Buch faßt den Stoff dieser Vorlesungen zusammen und ver
sucht, den Zusammenhang zwischen den Teilgebieten zu stärken. In einem
Vorspann habe ich außerdem wichtige Teile aus den sogenannten Mathema
tischen Ergänzungen zur Physik dargestellt, die auch im üblichen Studium
vor den Theorievorlesungen angeordnet sind und in verschiedenen Zwei
gen der Physik immer wieder gebraucht werden. Besser sollte man diese
Ergänzungen als Mathematische Grundlagen für unsere Erfahrungswissen
schaft einstufen, geht es doch um eine möglichst zweckmäßige Beschreibung
der beobachteten Erscheinungen.
Bei der Auswahl des Stoffes habe ich mich hauptsächlich vom hiesigen Stu
dien plan für das Diplom in Physik leiten lassen und nur an wenigen Stellen
diese Grenze überschritten - z.B. in Kapitel 4.6 (Quantentheorie und Dis
sipation), 5.2 (Dreikörperstreuung) und 5.4 (Quasiteilchen und andererseits
Quantenoptik), weil ich den Eindruck habe, daß auch bei diesen Gebieten
das Wesentliche verhältnismäßig einfach herausgearbeitet werden kann.
4 Vorwort
Auch das Kapitel über die Diracgleichung (5.5) hebt sich vom Üblichen
ab, weil ich die Weyl-Darstellung der Standarddarstellung vorziehe - ab
gesehen davon, daß ich mich sowieso immer bemühe, möglichst weit ohne
spezielle Darstellung zu kommen. Hier danke ich den Kollegen Till Anders
(München), Dietmar Kolb (Kassel) und Gernot Münster (Münster) für ihre
wertvolle Kritik an meinen Entwürfen.
Zu danken habe ich auch unzähligen Hamburger Studenten und besonders
Dr. Heino Freese und Dr. Adolf Kitz für viele Fragen und Verbesserungs
vorschläge und mancherlei Zuspruch. Das gezeigte Interesse an meinen Auf
zeichnungen bestärkt mich, sie nun einem größeren Kreise vorzulegen.
Die Vorlagen zu sämtlichen Abbildungen wurden auf einem Atari STE er
rechnet, wobei ich mich auf das Programm Pascal-SC stütztel) , das ich
wegen seiner Intervall-Arithmetik (und des hochgenauen Skalarprodukts)
schätze. Die endgültigen Umzeichnungen verdanke ich Wolf-Dietmar Hein
ke vom Teubner-Verlag.
Hamburg, im Herbst 1993 Albrecht Lindner
1)U. Kulisch (Hrsg.): PASCAL-SC (Teubner,Stuttgart).
Inhalt
Lehrbuchempfehlungen 14
Symbole ....... . 16
Wichtige Konstanten . 22
1 Grundbedingungen der Erfahrung 23
1.1 Vektorrechnung 23
1.1.1 Raum und Zeit 23
1.1.2 Vektoralge bra 25
1.1.3 Bahnkurven 29
1.1.4 Vektorfelder . 32
1.1.5 Gradient ... 33
1.1.6 Divergenz (Quelldichte) . 34
1.1.7 Rotation (Wirbeldichte ) 35
1.1.8 Umformung von Produkten, Laplace-Operator 37
1.1.9 Integralsätze für Vektorausdrücke 38
1.1.10 Deltafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.1.11 Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . 45
1.1.12 Berechnung eines Vektorfeldes aus seinen Quellen und Wirbeln 47
1.1.13 Unstetigkeitsflächen von Vektorfeldern .. . . . 50
1.2 Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.2.1 Orthogonale Transformationen und Eulerwinkel . 51
1.2.2 Allgemeine Koordinaten und ihre Grundvektoren 53
1.2.3 Koordinatentransformationen ........... 56
1.2.4 Begriff des Tensors ... . . . . . . . . . . . . . . 57
1.2.5 Gradient, Divergenz und Rotation in allgemeinen Koordinaten 61
1.2.6 Tensorerweiterung, Christoffel-Symbole . . . . 63
1.2.7 Umformung partieller Differentialquotienten . 65
1.3 Physikalische Größen und ihre Fehlergrenzen 67
1.3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . 67
1.3.2 Mittelwert und mittlerer Fehler 69
1.3.3 Fehlerverteilung . . . . . . . . . 70
1.3.4 Fehlerfortpflanzung . . . . . . . 72
1.3.5 Endliche Meßreihen und ihre mittleren Fehler 73
1.3.6 Ausgleichsrechnung . . . . . . . . 74
1.3.7 Methode der kleinsten Quadrate . . . . . . . . 75
6 Inhalt
2 Mechanik 77
2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . 77
2.1.1 Kraft und Gegenkraft . . . . . 77
2.1.2 Arbeit und potentielle Energie 78
2.1.3 Zwangs kräfte , virtuelle Verrückung und Prinzip der virtuellen
Arbeit ............................... 80
2.1.4 Allgemeine Koordinaten und Kräfte . . . . . . . . . . . . . .. 81
2.1.5 Lagrange-Parameter und Lagrangesche Gleichungen erster Art 83
2.1.6 Kepler-Problem . . . . . . . . . . 84
2.1.7 Zusammenfassung: Grundbegriffe 90
2.2 Newtonsche Mechanik 91
2.2.1 Kräftefreie Bewegung 91
2.2.2 Schwerpunktssatz . . . 92
2.2.3 Stoßgesetze . . . . . . . 95
2.2.4 Newtonsches Bewegungsgesetz 99
2.2.5 Erhaltungsgrößen und Mittelwerte über die Zeit 100
2.2.6 Planetenbewegung als Zweikörperproblem, Schwerkraft 102
2.2.7 Schwerebeschleunigung . . . . . . . . 103
2.2.8 Fallgesetze (auch bei Luftwiderstand) 106
2.2.9 Der starre Körper . . . . . . 107
2.2.10 'Ifägheitstensor .. . . . . . . . . . . 108
2.2.11 Hauptachsentransformation ..... 110
2.2.12 Beschleunigte Bezugssysteme, Scheinkräfte 112
2.2.13 Zusammenfassung: Newtonsche Mechanik. 114
2.3 Lagrangesche Mechanik. 115
2.3.1 D'Alembertsches Prinzip . . . . . . . . . 115
2.3.2 Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . 116
2.3.3 Lagrangesche Gleichungen (zweiter Art) 118
2.3.4 Geschwindigkeitsabhängige Kräfte und Reibung 119
2.3.5 Erhaltungsgrößen, kanonischer und mechanischer Impuls 121
2.3.6 Physikalisches Pendel . . 123
2.3.7 Gedämpfte Schwingung. . . . . . . . . . . . . . 127
2.3.8 Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . 129
2.3.9 Gekoppelte Schwingungen, Normalkoordinaten . 133
2.3.10 Zeitabhängiger Schwinger, parametrische Resonanz 137
2.3.11 Zusammenfassung: Lagrangesche Mechanik. . . . 142
2.4 Hamiltonsche Mechanik .............. 143
2.4.1 Hamiltonfunktion und Hamiltonsche Gleichungen 143
2.4.2 Poissonklammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.4.3 Kanonische 'Ifansformationen . . . . . . . . . . . 147
2.4.4 Infinitesimale kanonische 'Ifansformationen, Liouville-Gleichungl50
Inhalt 7
2.4.5 Erzeugende Funktionen ...................... 151
2.4.6 Transformationen auf bewegte Bezugssysteme, Störungsrech-
nung ............. . 154
2.4.7 Hamilton-Jacobische Theorie .. 156
2.4.8 Integralprinzipien . . . . . . . . 159
2.4.9 Bewegung in einem Zentralfeid . 163
2.4.10 Schwerer symmetrischer Kreisel und räumliches Pendel 165
2.4.11 Kanonische Transformation des zeitabhängigen Schwingers 168
2.4.12 Zusammenfassung: Hamiltonsche Mechanik ........ . 170
3 Elektrodynamik 171
3.1 Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.1.1 Überblick Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . 171
3.1.2 Coulombsches Gesetz - Fern- oder Nahwirkung? 174
3.1.3 Elektrostatisches Potential . . . . . . . 177
3.1.4 Dipole ................. . 179
3.1.5 Polarisation und elektrische Flußdichte 182
3.1.6 Feldgleichungen der Elektrostatik . . . 185
3.1.7 Rechenprobleme der Elektrostatik . . . 187
3.1.8 Die Energie des elektrostatischen Feldes 190
3.1.9 Der Maxwellsche Spannungstensor in der Elektrostatik 191
3.1.10 Zusammenfassung: Elektrostatik. 193
3.2 Stationäre Ströme, Magnetostatik 195
3.2.1 Elektrischer Strom .. . 195
3.2.2 Ohmsches Gesetz ....... . 196
3.2.3 Kräfte zwischen Strömen . . . . 198
3.2.4 Flußdichte jj des Magnetfeldes. 200
3.2.5 Magnetische Momente ..... 201
3.2.6 Vektorpotential . . . . . . . . . 203
3.2.7 Beschränkung auf makroskopisch meßbare Größen beim Ma-
gnetismus .......... . 205
3.2.8 Magnetische Wechselwirkung. . . . . . . . . . . . . . 209
3.2.9 Induktivität ...................... . 209
3.2.10 Zusammenfassung: Stationäre Ströme, Magnetostatik 211
3.3 Das elektromagnetische Feld . . . . . . . . . . . . . . 213
3.3.1 Erhaltungssatz der Ladung und Maxwellscher Verschiebungs-
strom ......................... . 213
3.3.2 Induktionsgesetz von Faraday und Lenzsche Regel. 214
3.3.3 Maxwellgleichungen ... 215
3.3.4 Zeitabhängige Potentiale 217
3.3.5 Poyntingscher Satz 220
3.3.6 Schwingkreis . . . . . . . 222
8 Inhalt
3.3.7 Impuls des Strahlungsfeldes ....... 223
3.3.8 Wellenfortpflanzung in Isolatoren . . . . 224
3.3.9 Spiegelung und Brechung an einer Ebene 228
3.3.10 Wellenfortpflanzung in Leitern. . . . . 231
3.3.11 Zusammenfassung: Maxwellgleichungen 233
3.4 Lorentz-Invarianz . . . . . . . . . 235
3.4.1 Lichtgeschwindigkeit im Vakuum 235
3.4.2 Lorentz-Transformation . . . 236
3.4.3 Vierervektoren . . . . . . . . 240
3.4.4 Beispiele für Vierervektoren 243
3.4.5 Erhaltungssätze . . . . . . . 246
3.4.6 Kovarianz der mikroskopischen Maxwellgleichungen 247
3.4.7 Kovarianz der makroskopischen Maxwellgleichungen . 250
3.4.8 Transformationsverhalten elektromagnetischer Felder 251
3.4.9 Relativistische Dynamik freier Teilchen . . . . 253
3.4.10 Relativistische Dynamik mit äußeren Kräften 255
3.4.11 Energie-Impuls-Spannungs-Tensor . . . . . . . 256
3.4.12 Zusammenfassung: Lorentz-Invarianz . . . . . 257
3.4.13 Ergänzung: Hamilton-Formalismus für Felder. 258
3.5 Strahlungsfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
3.5.1 Lösungen der inhomogenen Wellengleichungen 261
3.5.2 Strahlungsfelder . . . . . . . . . . . . 264
3.5.3 Strahlungsenergie . . . . . . . . . . . 266
3.5.4 Strahlungsfelder von Punktladungen 267
3.5.5 Strahlungsfelder schwingender Dipole 269
3.5.6 Strahlungsleistung bei Dipol-, Brems- und Synchrotronstrahlung271
3.5.7 Zusammenfassung: Strahlungsfelder ............... 274
4 Quantenmechanik I 275
4.1 Welle-Teilchen-Dualismus . 275
4.1.1 Komplementäre Größen und Heisenbergs Unschärfebeziehungen275
4.1.2 Welle-Teilchen-Dualismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
4.1.3 Wahrscheinlichkeitswellen .................... 278
4.1.4 Reine Zustände und ihre Überlagerung (Superpositionsprinzip) 280
4.1.5 Der Hilbertraum (vier Axiome) 282
4.1.6 Darstellung von Hilbertvektoren ....... . 285
4.1.7 Uneigentliche Hilbertvektoren ........ . 287
4.1.8 Zusammenfassung: Welle-Teilchen-Dualismus. 288
4.2 Operatoren und Observable . . . . . . . . . . 289
4.2.1 Lineare und antilineare Operatoren . . . . . . 289
4.2.2 Matrixelemente und Darstellung linearer Operatoren 291
Inhalt 9
4.2.3 Zugeordnete Operatoren .. 292
4.2.4 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . 295
4.2.5 Entwicklung nach einer Basis orthogonaler Operatoren 297
4.2.6 Observable - die grundlegenden Annahmen. 299
4.2.7 Unschärfe .. .. . .. 300
4.2.8 Feldoperatoren . .. .., 302
4.2.9 Phasenoperatoren und Welle-Teilchen-Dualismus. 305
4.2.10 Binäre Systeme, Pauli-Operatoren . . 308
4.2.11 Dichteoperator - reine Zustände und Gemische 311
4.2.12 Raumspiegelung und Zeitumkehr .. 314
4.2.13 Zusammenfassung: Operatoren und Observable 315
4.3 Korrespondenzprinzip .. 317
4.3.1 Vertauschbeziehungen . . . . . 317
4.3.2 Orts- und Impulsdarstellung . . . . 318
4.3.3 Die Wahrscheinlichkeitsamplitude (riff) 319
4.3.4 Wellenfunktionen 321
4.3.5 Wignerfunktion 323
4.3.6 Spin (Drall) .. 324
4.3.7 Korrespondenzprinzip . 325
4.3.8 Drehimpulsoperator . 328
4.3.9 Kugelfunktionen . 332
4.3.10 Kopplung von Drehimpulsen 335
4.3.11 Zusammenfassung: Korrespondenzprinzip . 338
4.4 Zeitabhängigkeit . . . . . . 339
4.4.1 Heisenberg-Gleichung und Satz von Ehrenfest 339
4.4.2 Zeitabhängigkeit: Heisenberg- und Schrödingerbild . 340
4.4.3 Zeit abhängigkeit des Dichteoperators 343
4.4.4 Zeitabhängige Wechselwirkung, Dirac-Bild 346
4.4.5 Stromdichte . . . . . . .. ... . 348
4.4.6 Zusammenfassung: Zeitabhängigkeit .. . 350
4.5 Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung 351
4.5.1 Eigenwertgleichung für die Energie .,. 351
4.5.2 Zurückführung auf gewöhnliche Differentialgleichungen 352
4.5.3 Freie Teilchen und Kastenpotential 353
4.5.4 Harmonischer Oszillator ... 358
4.5.5 Das Wasserstoffatom . . . . 361
4.5.6 Zeitunabhängige Störungstheorie 367
4.5.7 Variationsverfahren .. .. 369
4.5.8 Niveauaufspaltung . . .. .... 370
4.5.9 Zu samrnenfassung: Zeitunabhängige Schrödingergleichung 372
