Table Of ContentGrundkurs Mathematik
ffir Ingenieure
Von Dr. rer. nat. Karl Graf Finck v. Finckenstein
Professor an der Technischen Hochschule Darmstadt
3., durchgesehene und erweiterte Auflage
Mit zahlreichen Figuren und Beispielen
EI3
B. G. Teubner Stuttgart 1991
Prof. Dr. rer. nat. Karl Graf Finck von Finckenstein
Geboren 1933 in Semlow/Vorpommern. Von 1952 bis 1959 Tatigkeit in der land
wirtschaftlichen Praxis. Von 1959 bis 1965 Studium der Mathematik und Physik an
der Universitat Gottingen. 1965 Diplom in Mathematik, 1966 Promotion. Von 1967
bis 1974 wissenschaftlicher Mitarbeiter am Max-Planck-Institut fur Plasmaphysik
in Garching bei Munchen. Seit 1974 Professor fur Mathematik an der Technischen
Hochschule Darmstadt.
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Finck von Finckenstein, Karl Graf:
Grundkurs Mathematik fiir Ingenieure / von Karl Graf Finck v.
Finckenstein. - 3., durchges. und erw. Aufl. - Stuttgart:
Teubner, 1991
ISBN-13:978-3-519-22961-2 e-ISBN-13:978-3-322-80158-6
DOl: 10.1007/978-3-322-80158-6
Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung auBerhalb der
engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlagcs unzuliissig und strafbar. Das
gilt besonders fiir Vervielfiiltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Ver
arbeitung in elektronischen Systemen.
© B. G. Teubner Stuttgart 1991
Gesamtherstellung: Zechnersche Buchdruckerei GmbH, Speyer
Umschlaggestaltung: M. Koch, Reutlingen
Vorwort
Das vorliegende einfUhrende Lehrbuch ist aus einer 4-semestrigen Grundvorlesung
entstanden, die in den letzten Jahren wiederholt fUr Studierende des Faches Ma
schinenbau an der Technischen Hochschule Darmstadt gehalten wurde. Die Dar
stellung wendet sich vorwiegend an Studierende der Ingenieurwissenschaften,
durfte aber auch fUr Studenten anderer Piicher (etwa Natur- oder Wirtschaftswis
senschaften) von Nutzen sein.
Da in der letzten Zeit eine Reihe von zum Teil ausgezeichneten Lehrbuchern uber
Ingenieurmathematik erschienen ist, ist die Frage nach dem Bedarf eines weiteren
Lehrbuches naturlich berechtigt. Ich habe aber das GefUhl, daB es nutzlich ist, den
Ingenieur-Studenten ein Buch in die Hand zu geben, das nach dem Motto
"so knapp wie moglich, so ausfUhrlich wie notig"
einerseits wirklich noch ein Lehrbuch ist, andererseits aber auf moglichst kleinem
Raum in ubersichtlicher Weise etwa den mathematischen Stoff darbietet, der von
einem Absolventen des Diplomvorexamens beherrscht werden sollte. Naturlich ist
dies nur umriBhaft zu verstehen, denn das vorliegende Buch kann nicht den An
spruch auf VOllstandigkeit erheben, da die Schwankungen der Stoffauswahl im
Grundstudium bei den einzelnen ingenieurwissenschaftlichen Fachern zu groB
sind. Um dennoch moglichst viel Stoff unterzubringen, ist eine ganze Reihe von
Beweisen nur skizziert bzw. ganz weggelassen worden. Dagegen war es mein Be
streb en, auf Beispiele im Text keinesfalls zu verzichten. Zur Vertiefung des Stoffes
sei z. B. auf das ausgezeichnete 4-bandige Werk von Burg/Haf/WilJe: "Hohere Ma
thematik fUr Ingenieure" sowie Schwarz: "Numerische Mathematik" verwiesen
und dem Leser hiermit warmstens empfohlen.
MaBgebend mitgewirkt an der Verbesserung des Manuskriptes und am Lesen der
Korrekturen hat mein Kollege, Herr Prof. Dr. H. Wegmann. Von ihm stammt eine
Reihe von Verbesserungsvorschlagen. Fur seine Hilfe und fUr das Interesse, das er
dem Vorlesungsskriptum schon seit Jahren entgegengebracht hat, mochte ich ihm
auch an dieser Stelle herzlich danken. Mein Dank gilt weiterhin meinem Kollegen,
Herrn Prof. Dr. E. Meister, der dem Verlag B. G. Teubner die Publikation des Ma
nuskriptes empfohlen hat.
Frau H. Kollar hat den groBten Teil des Manuskriptes sehr sorgfaltig reproduktions
reif geschrieben, wobei sie aus terminlichen Grunden von Frau U. Sauter und Frau
M. Tabbert unterstutzt worden ist. Allen drei Damen sei sehr gedankt fur ihre groBe
Muhe und Geduld. SchlieBlich danke ich dem Verlag B. G. Teubner fur die ange
nehme Zusammenarbeit.
In der vorliegenden dritten Auflage wurden bekanntgewordene Druckfehler besei
tigt sowie eine Reihe von Umformulierungen bzw. Erganzungen vorgenommen.
Ferner ist ein kurzer Anhang uber einige wichtige numerische Methoden hinzuge
fUgt worden.
Allen, die an diesen Verbesserungen mitgewirkt haben, sei an dieser Stelle sehr ge
dankt.
Darmstadt, Sommer 1991 K. v. Finckenstein
Inhalt
Kapitel 1: Grnndbegriffe
1.1 Die reellen Zahlen ..... . 1
1.2 Betrage und Ungleichungen 4
1.3 Grundbegriffe aus der Mengenlehre 6
1.4 Mathematische Beweismethoden 7
1.5 Elementare Kombinatorik 9
Kapitel 2: Polynome
2.1 Definition und Horner-Schema 14
2.2 Division von Polynomen 16
2.3 Nullstellen von Polynomen 19
Kapitel 3: Analytische Geometrie in Ebene nnd Ranm
3.1 Koordinaten und Winkelfunktionen 24
3.2 Geraden in der Ebene 27
3.3 Vektoren im )R2 ...• 30
3.4 Vektoren im 1R3 •••• 35
3.5 Ebenen und Geraden im 1R3 42
Kapitel 4: Komplexe Zahlen
4.1 Definitionen und Rechenregeln 45
4.2 Wurzeln 49
4.3 Polynome 52
Kapitel 5: Konvergenz nnd Stetigkeit
5.1 Zahlenmengen und Haufungspunkte 54
5.2 Grenzwerte von Zahlenfolgen 56
5.3 Stetigkeit von Funktionen . . . 62
5.4 Eigenschaften stetiger Funktionen 66
Kapitel 6: Differentiation von Fnnktionen
6.1 Begriff der Ableitung und Differentiationsregeln 69
6.2 Umkehrfunktionen . . . . . . . . 74
6.3 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung 77
6.4 Anwendungen des Mittelwertsatzes 79
VI
Kapitel 7: Reihen
7.1 Unendliche Reihen 86
7.2 Potenzreihen . . . . 91
7.3 Das Rechnen mit Potenzreihen 95
7.4 Exponentialfunktion und Logarithmus 99
Kapitel8: Taylor'sche Formel und Potenzreihenentwicklungen
8.1 Taylor-Polynome und Taylor-Reihen 104
8.2 Die binomische Reihe . . . . . 107
8.3 Potenzreihen fur Logarithmusfunktionen 108
8.4 Potenzreihen der Kreis- und Hyperbelfunktionen 111
8.5 Weitere Beispiele . . . . . . . . . . . 117
Kapitel 9: Integration von Funktionen
9.1 Grundlegende Definitionen 122
9.2 Satze uber Integrale . . . 126
9.3 Integrationsregeln 131
9.4 Die Integration der rationalen Funktionen 138
9.5 Uneigentliche Integrale 146
9.6 Numerische Integration 148
Kapitel 10: Lineare Algebra
10.1 Lineare Vektorraume 150
10.2 Lineare Abbildungen 155
10.3 Matrizen 159
10.4 Determinanten 166
10.5 Lineare Gleichungssysteme 172
10.6 Eigenwert-Theorie und quadratische Formen 182
10.7 Koordinatensysteme und der Tensorbegriff 192
Kapitel 11: Differentialgeometrie auf Kurven
11.1 Grundlegende Definitionen; Bogenlange 196
11.2 KrUmmung und Flacheninhalt 201
11.3 Bewegung im Zentralkraftfeld 206
Kapitel 12: Differentiation von Funktionen mehrerer Variabler
12.1 Stetigkeit und Differenzierbarkeit . . . . . . 207
12.2 Die Kettenregel, Differentiation haherer Ordnung 216
12.3 Mittelwertsatz und Taylor'sche Formel 223
12.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . 227
VII
Kapitel 13: Integration von Funktionen mehrerer Variabler
13.1 Gebietsintegrale . . . . . . . . . 233
13.2 Substitutionsregel fur mehrfache Integrale 240
13.3 Beispiele 244
13.4 Kurvenintegrale 250
13.5 Oberflachenintegrale 257
Kapitel14: Vektoranalysis und Integralsitze
14.1 Differentiation von Vektorfeldern . . . . 262
14.2 Beispiele ........... . 267
14.3 Die Integralsatze von GauS, Stokes und Green 271
14.4 Physikalische Deutung und Anwendungen 275
Kapitel 15: Gewohnliche Differentialgleichungen enter Ordnung
15.1 Einteilung der Dgln und Beispiele 280
15.2 Geometrische Betrachtungen . . 284
15.3 Spezielle Dgln erster Ordnung 287
15.4 Existenz- und Eindeutigkeitsfragen 299
15.5 Approximative Losungsverfahren 302
Kapitel16: Gewohnliche Differentialgleichungen hoherer Ordnung und Systeme
16.1 Umformung von Dgln hOherer Ordnung in Systeme erster Ord-
nung . . . . . . . . . 306
16.2 Spezielle Dgln zweiter Ordnung 309
16.3 Lineare Differentialgleichungen 318
16.4 Lineare Dgln mit konstanten Koeffizienten 323
16.5 Lineare Systeme von Dgln 330
16.6 Approximative Losungsverfahren 335
Kapitel 17: Rand- und Eigenwertprobleme gewohnlicher Differentialgleichungen
17.1 Beispiele von Randwertaufgaben 338
17.2 Lineare Randwertprobleme 342
17.3 Eigenwertprobleme . . . . 346
17.4 Numerische Losungsverfahren 349
Kapitel 18: Fourier-Reihen
18.1 Approximation von Funktionen durch trigonometrische Poly-
nome . . . . . . . . . . . 355
18.2 Beispiele . . . . . . . . . . . 358
18.3 Darstellung von Funktionen durch Fourier-Reihen 361
VIII
Kapitel 19: Partielle Differentialgleichungen
19.1 Klassifizierung und Beispiele partieller Dgln 2. Ordnung 365
19.2 Die Poisson-Gleichung . . 372
19.3 Die Wellengleichung 379
19.4 Die Wiirmeleitungsgleichung 385
19.5 Partielle Dgln erster Ordnung 391
19.6 Die Gleichungen der Hydrodynamik 396
Kapitel 20: Funktionen einer komplexen Veriinderlichen
20.1 Differentiation, holomorphe Funktionen 398
20.2 Integration der holomorphen Funktionen 404
20.3 Der Residuensatz mit Anwendungen 409
20.4 Potenzreihen und Laurent-Reihen 413
20.5 Die Integralformeln von Cauchy 417
20.6 Konforme Abbildungen 421
Kapitel 21: Gmndbegriffe der Variationsrechnung
21.1 Beispiele von Variationsaufgaben 428
21.2 Erste Variation und Euler'sche Gleichung 430
21.3 Losung von Variationsaufgaben . . . . 434
Anhang iiber numerische Methoden
A 1 Interpolatorische Quadratur . . . . . . . . . . 442
A 2 Iterative LOsung linearer Gleichungssysteme .... 446
A 3 Iterative Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren 451
A 4 Verfahren vom Runge-Kutta-Typ zur numerischen LOsung ge-
wohnlicher Differentialgleichungen 453
Symbolverzeichnis 457
Literaturverzeichnis 459
Sachverzeichnis 461
Kapitel 1: Grundbegriffe
1.1 Die reellen Zahlen
Ausgangspunkt aller Mathematik bilden die natUrlichen Zahlen:
IN = 1l,2,3, ... l
Damit jedoch eine Gleichung der Form:
(1) a+x b a, be IN
stets losbar ist, wird IN erweitert Bereich der ganzen Zahlen:
ZUlli
7l = lO,±l,±2, .•. l .
FUr die nichtnegativen Zahlen aus 7l schreiben wir:
INo = lO,1,2,3, .•. l
(1) ist in 7l fUr a,be71 stets eindeutig losbar. Damit jedoch eine Gleichung
der Form:
( 2) a· x = b a of 0
stets losbar ist, muB 7l wiederum erweitert werden zum Bereich der rationalen
Zahlen:
%:
m : = ! pe 7l, qe IN }
Dabei sind zwei rationale Zahlen ~ , ~: genau dann gleich, wenn pq' = p'q
gilt. Zu einer eindeutigen Darstellung der rationalen Zahlen gelangt man, wenn
man die von Zahler und Nenner fordert:
Teilerfre~dheit
pe71, qe IN (p,q) = II •
(2) ist in m fUr a,bem, a f 0, stets eindeutig losbar. Ferner sind die
Grundrechenarten (+,-,.,:) in ~ uneingeschrankt ausfUhrbar, fUhren also nicht
aus m hinaus. m umfaBt aber noch nicht alle reel len Zahlen, wie aus folgendem
-2-
Beispiel zu ersehen ist.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt fUr
die Lange x der, Hypothenuse in neben-
stehender Figur: x2 12+12, also
1
(3): x2 = 2 •
Offensicht1ich reprasentiert xeine ree11e Zah1. Wir zeigen, daB x nicht ratio
nal ist.
Annahme:
%,
x = pe~, qeIN, (p,q) = 1 sei doch rational. Es fo1gt aus (3):
p2 = 2q2. Also ware p2 gerade,und somit ware auch p gerade (Beweis!): p = 2n.
Es wUrde fo1gen: 4n2 = 2q2, also q2 = 2n2• Also ware q2 gerade, mithin mUBte
auch q eine gerade Zah1 sein: q = 2m. Also hatten p,q den gemeinsamen Tei1er
2 - Widerspruch. Also muB die Annahme fa1sch sein.
Die Losung von (3) heiBt x = ~ Sie ist nicht rational.
A11e ree1len Zah1en, die nicht rational sind, heiBen irrational. Beispie1e
irrationa1er Zahlen sind:v'3 , 3v5",
-!T.
Die Gesamtheit der reel len Zah1en wird mit ffi bezeichnet. Geometrisch repra
sentiert man sie durch die Zahlengerade
-2 -i 6 2 j > ffi
In ffi sind die G1eichungen
{ a+x = b a,beffi
(4)
a'x = b a,beffi , a f C
stets eindeutig losbar. Ferner gel ten die bekannten Rechenrege1n:
a+(b+c) (a+b)+c } Assoziativ-
a' (b·c) (a·b) ·c gesetze
a+b b+a } Kommutativ-
a·b b·a gesetze
a·(b+c) a·b+a·c Distributivgesetz.
-3-
m
Die 4 Grundrechenarten (+,-,',:) sind in uneingeschranktdurchfUhrba~ fUhren
also nicht aus IR hinaus (natUrlich Division durch Null ausgeschlossen).
Man nennt IR auch Karper der ree 11 en Zah 1e n.
Wi r werden spater noch ei ne weitere En/eiterung des Zah 1e nberei ches vornehmen.
Jede Zahl aelR HBt sich schreiben als (i .a. unendlicher) Dezimalbruch:
( 5) a = ± (q+ 1: qe71 , q elO,1, ... ,9), \J = 1,2, ....
\J =1 \J
Dabei besteht ~ genau aus den endlichen und den periodischen DezimalbrUchen
der Gestalt (5).
Beispiele:
5
zr = 1,25 rr= 3,14159 ... nicht periodisch.
Potenzen:
FUr ae IR , ne IN set zen wi r:
aO = 1 ;
an=~ a-n fUr a + 0 .
an
n Faktoren.
Es folgt unmittelbar fUr a,b,celR,fOJ , m,ne71 :
am·an am +n
am·bm (a'b)m
(am)n am ·n
Ferner sei fUr ne IN fo 1g ende Schrei bwei se ei ngefUhrt:
1
a n = ~ = DV-~ , falls a + 0 ist.
Anmerkung: Diese GraBen brauchen i.a. in IR nicht definiert zu sein. Beispiel:
;(-1. Ferner sind diese Definitionen auch i.a. nicht eindeutig. FUr a ~ 0 ver
-/a.
einbaren wir: 'Va'~ O. Andernfalls setzen wir etwa: _2/a =
