Table Of ContentGrundkurs Mathematik
fur Biologen
Von apl. Prof. Dr. rer. nat. habil. Herbert Vogt
Universitat WOrzburg
2., Oberarbeitete und erweiterte Auflage
Mit zahlreichen Figuren, Aufgaben mit Losungen
und Beispielen
B.G.Teubner Stuttgart 1994
Dr. rer. nat. habil. Herbert Vogt, apl. Prof. an der Universitat WOrzburg
Geboren 1940 in Gerolzhofen. Von 1959 bis 1964 Studium der Mathematik und
Physik an der Universitat in WOrzburg. 1964 Staatsexamen Mathematik/Physik,
1968 Promotion und 1979 Habilitation an der Universitat WOrzburg.
Arbeitsgebiete: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik, Biomathematik und Wirt
schaftsmathematik.
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Vogt, Herbert:
Grundkurs Mathematik fOr Biologen / von Herbert Vogt. - 2.,
Oberarb. und erw. Aufl. - Stuttgart: Teubner, 1994
(Teubner-StudienbOcher: Mathematik)
ISBN-13: 978-3-519-12065-0 e-ISBN-13: 978-3-322-84865-9
001: 10.1007/978-3-322-84865-9
Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschOtzt. Jede Ver
wertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zu
stimmung des Verlages unzulassig und strafbar. Das gilt besonders fOr Vervielfal
tigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verar
beitung in elektronischen Systemen.
© B. G. Teubner Stuttgart 1994
Gesamtherstellung: Druckhaus Beltz, HemsbachlBergstraBe
Statt des Vorworts zur 2.Auftage:
EIN BRIEF AN DEN AUTOR
Lieber Herbert,
vielen Dank fUr Deine Nachfrage nach dem Fortgang meiner Studien. Wahr
scheinlich willst Du wissen, wann ich endlich zum Examen ant rete. Ich bin
gerade dabei, meine Diplomarbeit zu beenden. Zum Gluck kenne ich einen
Computerfreak, der mir bei der Auswertung der vielen Daten hilft, die ich ge
sammelt habe. Er geht sehr souveriin mit der Software urn und darum denke
ich, es wird schon alles richtig sein. Nur mit der Interpretation der Resultate,
die der Computer ausdruckt, habe ich noch Schwierigkeiten. Wir machen
immer eine ANOVA, wozu wir allerdings die Daten manchmal etwas umstruk
turieren mussen, damit sich die Signifikanz einstellt. Das muB etwas Gutes sein
und ich wuBte gern mehr daruber. Mein Freund sagt zwar: "Hauptsache, der
Computer liiuftj begreifen wollen und mussen wir nichts!", aber neulich hat
mich doch der Betreuer meiner Diplomarbeit verunsichert, der wissen wollte,
ob denn das Programm auch die Normalverteilungsannahme iiberpruft. Da
gegen sagte mir ein Mathematiker, der Nachweis, daB empirische Daten einer
Normalverteilung gehorchen, sei prinzipiell unmoglich. Wie reimt sich das zu
sammen? Wenn ich wenigstens wiiBte, was eine Normalverteilung ist! Es riicht
sich jetzt, daB ich noch keine Statistik-Vorlesung gehOrt habe, aber ich werde
das nachholen.
Darf ich Dir auch einmal einen guten Rat geben? Wenn die 2.Aufiage Deines
Buchs erscheint, soli test Du unbedingt ein paar Abschnitte iiber die stati
stische Auswertung von Daten anfugen. Die Anfiinger lernen heute in den
Vorlesungen zur Biomathematik vorwiegend Statistik und mancher Dozent
wiirde Dein Buch empfehlen, wenn es auch dieses Gebiet behandeln wiirde. Die
Differential- und Integralrechnung, die Du bei uns fUr wiederholungsbediirftig
hiiltst, wird oft einfach als bekannt vorausgesetzt (ja, ja, ich weiB: fiilschlicher
weise). Es ist halt einmal so, daB wir Biologen sehr viele Bereiche studieren
mussen; da wird Deine Vorstellung, daB wir erst einen zweisemestrigen Grund
kurs in Mathematik und dann noch eine Vorlesung und eine Ubung in Statistik
besuchen, nur selten realisiert werden. Wenn wir uns aber notgedrungen mit
wenig Mathematik begniigen, dann mussen auch statistische Grundkenntnisse
schon den Anfiingern vermittelt werden.
Mit freundlichen GruBen Dein Robert.
Der Autor dankt nicht nur Robert fUr seinen guten Rat, sondern auch Herrn
Dr.P. Spuhler vom Teubner-Verlag. Die Niederschrift der neuen, erweiterten
Fassung dieses "Grundkurses" erfolgte mit Tffi.TEX, Dabei muf3te ich oft den
Rat. von erfahrenen Textverarbeitern erbitten. Dr.Rainer Gob, Dr. Michael
Sachs, die Dipl. Math. Peter Frahm, Gudrun Kiesmwler und Herr Stefan
Hinker haben mir oft geholfen und meine vielen Fragen mit grof3er Geduld
beantwortet. Ihnen allen danke ich recht herzlich.
Wiirzburg, im September 1993 H.Vogt
INHALTSVERZEICHNIS
Seite
1 Grundbegriffe 7
1.1 Einige Begriffe der Aussagenlogik 7
1.2 Reelle Zahlen und Funktionen 10
1.3 Koordinaten und Kurven 25
2 Folgen und Reihen 36
2.1 Definitionen und Beispiele 36
2.2 Konvergenz und Divergenz 38
2.3 Binomialkoeffizienten 47
2.4 Reihen 51
2.5 Differenzengleichungen und Populationsmodelle 55
3 Wichtige Funktionstypen 74
3.1 Polynome 74
3.2 Exponentialfunktionen und Logarithmen 81
3.3 Schwingungsfunktionen 94
4 Differentialrechnung 97
4.1 Die Ableitung 97
4.2 Differentiationsregeln 102
4.3 Maxima und Minima 113
4.4 Dimensionsbetrachtung und weitere Anwendungen 122
5 Integralrechnung 128
5.1 Das Riemann-Integral 128
5.2 Integrationsregeln 135
5.3 Dimensionsbetrachtung und Anwendungen 141
5.4 Uneigentliche Integrale 149
6 Naherungsverfahren 152
6.1 Genaherte Berechnung von Nullstellen 152
6.2 Interpolation 156
6.3 Naherungsweise Integration 158
6.4 Taylor-Polynome 161
7 Gewohnliche Differentialgleichungen 165
7.1 Lineare Differentialgleichungen 1.0rdnung 165
7.2 Einige Differentialgleichungen 2.0rdnung 181
8 Funktionen von mehreren Variablen 196
8.1 Beispiele und Definitionen 196
8.2 Darstellung von Funktionen zweier Variablen 199
8.3 Partielle Ableitungen 208
8.4 Extremwerte 217
8.5 Einige partielle Differentialgleichungen 220
9 Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 227
9.1 MeBwerte hangen vom Zufall ab 227
9.2 Munzen, Wurfel, Urnen 229
9.3 Rechenoperationen fur Mengen und Axiome 236
9.4 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhangigkeit 240
9.5 Bernoulli-Schema und Binomialverteilung 248
9.6 Zufallige Variable 252
9.7 Erwartungswert und Streuung 263
9.8 Unabhangige zufallige Variable 275
9.9 Der Korrelationskoeffizient 282
9.10 Wichtige Satze der Wahrscheinlichkeitsrechnung 286
10 Schiitzmethoden 296
10.1 Parameterschatzung 296
10.2 Konfidenz-Intervalle 307
10.3 Lineare Regression 315
11 Signifikanztests 322
11.1 EinfUhrende Beispiele und allgemeines Schema 322
11.2 Test der Nullhypothese I-' = 1-'0 bei Normalverteilung
mit bekanntem 0'. 327
11.3 Test der Nullhypothese I-' = 1-'0 bei Normalverteilung
mit unbekannter Streuung (ein t-Test). 330
11.4 Der t-Test fUr verbundene Stichproben 333
=
11.5 Test der Hypothese P Po fUr eine Binomialverteilung 337
11.6 Der Vorzeichen-Test 340
11. 7 Der Vorzeichen-Rang-Test von Wilcoxon 345
11.8 Der Zweistichproben-Test von Wilcoxon 354
11.9 Der Rangkorrelationskoeffizient von Spearman 368
11.10 x2-Tests 375
11.11 Der exakte Test von Fisher 389
Anhang: Einige PASCAL-Programme 392
Losungen 398
Literaturverzeichnis 417
Sachverzeichnis 419
6
1 Grundbegriffe
1.1 Einige Begriffe der Aussagenlogik
Dieser erste Abschnitt ist keine Einfiihrung in die Aussagenlogikj der Leser
solI nur notwendige und hinreichende Bedingungen unterscheiden lernen und
erfahren, was ein direkter und was ein indirekter Beweis ist.
Wir gehen aus von Aussagen wie z.B. "Tante Rosa kommt morgen", ,,6 ist
teilbar durch 2", oder ,,7 ist kleiner als 4". Solche Aussagen iiber bestimmte
Subjekte sind wahr oder falsch; etwas anderes gibt es in der Logik nicht.
Daneben betrachten wir auch Aussagen iiber unbestimmte Subjektej das sind
Siitze, deren Subjekt ein Symbol ist, fUr das man ein beliebiges Element ei
ner Grundmenge G einsetzen kann. Wir nennen sie unbestimmte Aussagen.
Beispiele hierfiir sind" Tante X kommt morgen", "a ist teilbar durch 2" oder
"x ist kleiner als 4". Die unbestimmten Subjekte, die wir auch Symbole nen
nen, sind hier "Tante X", "a" und "x". Die Grundmengen, aus denen man
ein Element fUr sie einsetzen kann, konnten etwa die Menge aIler Tanten einer
bestimmten Person, die Menge der natiirlichen Zahlen 1,2, ... und die Menge
aller reellen Zahlen sein. Es mufi immer klar sein, auf welche Grundmenge sich
eine unbestimmte Aussage bezieht.
Setzt man fiir ein Symbol in einer unbestimmten Aussage ein Element von G
ein, dann entsteht eine wahre oder eine falsche Aussage.
Es gibt au'ch unbestimmte Aussagen mit mehreren Symbolen, wie etwa "x ist
kleiner als y" , aber das kompliziert die Sache nicht wesentlich; die Grundmenge
ist dann eben eine Menge von Wertepaaren (x,y). Schwieriger wird es, wenn
man sog. Quantoren, das sind Worte wie "aIle", "ein" oder "kein" hinzunimmt,
wodurch Aussagen wie "aIle x sind grofier ala 0" oder "eine Tante kommt
morgen" entstehen. Sie sind wahr oder falsch, genau wie die obigen einfachen
Aussagen. So ist "aIle x sind grofier als 0" genau dann wahr, wenn "x ist grofier
als 0" fiir jedes x aus G wahr ist und genau dann falsch, wenn es wenigstens
ein x in G gibt, fiir welches "x ist grofier als 0" falsch ist. Wir wollen uns
aber hier auf einfache Aussagen wie die zuerst genannten beschranken; unser
bescheidenes Ziel erreichen wir au,'h so. Den starker an der Aussagenlogik
interessierten Lesern sei das Buch von Hermes [15] empfohlen.
Die Teilmenge von G, fiir die eine unbestimmte Aussage A wahr wird, bezeich
nen wir mit MAj die iibrigen Elemente von G, fUr die A falsch wird, bilden
dann eine Menge M A , die man auch als das Komplement von MA bezeichnet
(s. Figur 1).
Es kann nun sein, daB MA ganz in einer Menge MB enthalten ist (s.Figur 2), fiir
deren Elemente eine andere unbestimmte Aussage B zu einer wahren Aussage
wird. Dann ist B offenbar in allen Fallen wahr, in denen A wahr ist und wenn
A wahr sein soIl, dann muB auch B wahr sein. Man sagt dann auch, daB A
hinreicht, urn auf B zu schlieBen und daB B notwendigerweise wahr sein muB,
wenn A wahr ist. Wir nennen daher
A eine hinreichende Bedingung fiir B ,
Beine notwendige Bedingung fiir A
und sagen: aus A folgt B. (Beispiel: aus "x < 4" folgt "x < 7 ")
Fiir diese drei gleichbedeutenden Sprechweisen schreiben wir kurz
A ::::} B und sagen auch "es gilt A ::::} B ".
Unabhangig von dieser Darstellbarkeit durch Teilmengen einer Grundmenge
G schreiben wir A ::::} B immer dann, wenn B aus A gefolgert werden kann.
Wenn sowohl A ::::} B , als auch B ::::} A gilt, dann schreiben wir
A {:::::} B und nennen A und B iiquivalent.
Die Mengen MA und MB sind dann gleich.
Wenn A ::::} B und B ::::} C gelten, dann gilt auch A ::::} C j fiir die Teilmengen
bedeutet dies, daB MA in Me enthalten ist, falls MA in MB und MB in Me
enthalten ist. Dies laBt sich fortsetzen und man gelangt so zu Schluflketten der
Form
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'* '* '* ... '* '*
A B C D, woraus man A D schlieBt.
Von dieser Struktur ist der direkte Beweis. Man mOchte zeigen, daB eine
Aussage C wahr ist und geht dazu von einer schon bewiesenen oder einer ohne
Beweis als wahr akzeptierten Aussage (einem Axiom) aus. LiiBt sich dann eine
von A bis C fiihrende SchluBkette angeben, dann ist C bewiesen, d.h. man hat
nach dem Prinzip des direkten Beweises gezeigt, daB C wahr ist.
BEISPIEL 1 : Wir beweisen, daB
~ + ~ ~ 2 fiir beliebige a > 0, b > 0
wahr ist. Dazu gehen wir aus von der wahren Aussage (a - b)2 ~ 0;
+
diese ist offenbar iiquivalent mit a2 - 2ab b2 ~ O. Durch Division
+ !
mit dem positiven Faktor ab schlieBen wir daraus ~ - 2 ~ 0
und daraus die zu beweisende Ungleichung, indem wir auf beiden Seiten
2 addieren. Der Beweis ist also durch folgende SchluBkette gegeben:
2 '* 2 2 '* a b '* ab
(a - b) ~ 0 a - 2ab+ b ~ 0 b - 2 - ~ ~ 0 b + ~ ~ 2.
= =
Man erkennt daraus auch, daB das -Zeichen nur gilt, wenn a b ist
und daB fiir a i= b das > -Zeichen gilt.
Man konnte nun auch von der zuletzt angeschriebenen Aussage ausgehen, aIle
Pfeilrichtungen umkehren und damit beweisen, daB
(a - W ~ 0, wenn ~ + ~ ~ 2 (mit a > 0 und b> 0 )
richtig ist. Dies ware aber kein Beweis fiir das letztere! Es ist niimlich durchaus
moglich, aus falschen Annahmen durch richtiges SchlieBen wahre Ergebnisse
herzuleiten. Zum Beispiel erhiilt man aus
-1 = 1 durch Quadrieren (_1)2 = 12 und daraus 1 = 1 .
Die zu beweisende Aussage muB also am Ende der SchluBkette stehen.
Der indirekte Beweis geht aus vom Gegenteil II der zu beweisenden Aussage A
und unterstellt II als wahr. Dann wird eine SchluBkette konstruiert, die zu einer
offensichtlich falschen Aussage F fiihrt. Dann kann II nicht wahr sein, denn
sonst ware ja nach dem Prinzip des direkten Beweises auch F wahr. Daher ist
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II falsch und somit A wahr. Man nennt dabei F auch den Widerspruch und
den indirekten Beweis einen Widerspruchsbeweis. Ein klassisches Beispiel ist
der Beweis, daB .j2 keine rationale Zahl ist, d.h. daB sie nicht als Quotient
ganzer Zahlen geschrieben werden kann. Diesen indirekten Beweis fiihren wir
als
BEISPIEL 2: ware.j2 ein Quotient ganzer Zahlen, dann konnte man durch
Kiirzen erreichen, daB
.j2 = ~, wobei a und b teilerfremde ganze Zahlen waren.
Durch Quadrieren folgt dann 2 = a2jb2 und daraus 2b2 = a2• Dann ist
aber a durch 2 teilbar, weil a2 sonst nicht gerade sein konnte. Foiglich
muB a2 sogar durch 4 teilbar sein und damit folgt aus der letzten Glei
chung, daB b2 auch durch 2 teilbar ist. Dies ist wiederum nur fUr gerades
b moglich und damit folgt der Widerspruch, daB a und b beide durch 2
teilbar sind, obwohl wir a und b als teilerfremd voraussetzen konnten.
Damit ist nach dem Prinzip des indirekten Beweises gezeigt, daB es keine
ganzen Zahlen gibt, deren Quotient gleich .j2 ware.
AUFGABE 1 : Aus den folgenden Aussagen bilde man Paare, bei denen die
eine Aussage aus der anderen folgt und formuliere dies auch mit "hinreichend"
und "notwendig" :
a) "u ist eine ungerade Zahl", b)"u = 3n mit n aus {1,2, ... } ", c)"u ist
ein Rechteck", d)" u ist ein Quadrat", e)" u ist ein Viereck", f)" u ist ein
Insekt", g)"u ist eine Hummel".
1.2 Reelle Zahlen und Funktionen
Jede positive reelle Zahl laf3t sich als Abstand zweier Punkte deuten und um
gekehrt ist jeder Abstand eine reelle Zahl a > o. Fiir den Betrag einer reellen
Zahl a schreiben wir lal ; falls a > 0 , ist lal = a , falls a < 0 , ist lal = -a.
o.
Der Betrag von 0 ist Also gilt stets lal ~ O.
Wir wollen als bekannt voraussetzen, daB man jede reelle Zahl als Dezimal
bruch mit unendlich vielen Dezimalen schreiben kann. Dezimalbriiche, bei
denen eine Ziffer oder eine Ziffernfolge unendlich oft wiederholt wird, nennt
man periodisch. Sie sind rational, d.h. sie konnen auch als Bruch ajb mit
ganzen Zahlen a und b geschrieben werden. So ist z.B.
124 17
1,24000 ... = 100 und 0,171717 ... = 99
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