Table Of ContentErich Wittmann
Grundfragen des Mathematikunterrichts
Erich Wittmann
Grundfragen
des
Mathematikunterrichts
Vieweg . Braunschweig
Dr. Erich Wittmann ist o. Professor fUr Didaktik der Mathematik an der
Padagogischen Hochschule Ruhr - Abteilung Dortmund
Verlagsredaktion: Alfred Schubert, Richard Bertram
1974
Aile Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig, 1974
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1974
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Satz: Vieweg, Braunschweig
Druck: E. Hunold, Braunschweig
Buchbinder: W. Langeliiddecke, Braunschweig
Umschlaggestaltung: Peter Morys, Wolfenbiittel
ISBN-13: 978-3-528-08332-8 e-ISBN-13: 978-3-322-85668-5
DOl: 10.1007/978-3-322-85668-5
v
Vorwort
Die Didaktik der Mathematik fasse ich auf als die Berufswissenschaft des Mathematik
lehrers. 1m vorliegenden Buch habe ich versucht, daraus Konsequenzen zu ziehen. Es kam
mir dabei vor allem auf zwei Dinge an: Einmal sollten die verschiedenen Dimensionen des
Tatigkeitsfelds eines Mathematiklehrers in ein koharentes System integriert werden;
zweitens sollten die theoretischen Oberlegungen auf die praktische Arbeit im Unterricht
zugeschnitten und in eine anwendungsbereite Form gebracht werden. Dabei sollte die
Unterrichtsplanung voll einbezogen werden (und nicht wegen vermeintlich geringerer
"wissenschaftlicher Dignitat" ausgeklammert bleiben).
Zu diesem Zweck wurden ein Unterrichtsmodell in den Mittelpunkt gestellt - eine Idee,
die dem Buch Psychology of Learning and Instruction von j. P. de Cecco entnommen ist
- und die wesentlichen Resultate in Form von didaktischen Prinzipien festgehalten, wie
dies H. Karaschewski in seinem von der didaktischen Konzeption her sehr interessanten
Buch Wesen und Weg des ganzheitlichen Unterrichts getan hat.
Das vorliegende Buch beschrankt sich auf diejenigen Teile der Mathematikdidaktik, die
fUr Mathematiklehrer aller Stufen relevant sind. Da es didaktische Perspektiven behandelt,
unter denen mathematische Inhalte im Hinblick auf den Unterricht zu sehen und zu be
arbeiten sind, mug es natUrlich in engstem Zusammenhang mit didaktischen Darstellungen
spezieller mathematischer Inhalte betrachtet werden. Obwohl spezielle mathematische
Themen hier nicht behandelt werden, ist die Mathematik trotzdem in ihren strukturellen,
erkenntnistheoretischen und allgemein-kulturellen ZUgen durch und durch dominant.
Das Buch wendet sich an Didaktiker und Lehrer gleichermagen. Es ist zwar vielfach Ublich
- und wird leider auch von vielen Lehrern gewUnscht -, gegenUber Lehrern theoretische
Oberlegungen auszuklammern oder zumindest stark zu verkUrzen und moglichst schnell
zu der Frage "Wie wird es gemacht?" Uberzugehen. Gerade aus den Erfahrungen mit der
Reform des Mathematikunterrichts in den letzten Jahren heraus halte ich diesen Weg fUr
nicht vertretbar, wenn man erwartet und wUnscht, dag aus der Praxis eine artikulierte
Kritik an didaktischen Konzeptionen erwachst. Es ist daher mein Ziel gewesen, dem
Lehrer eine Grundlage anzubieten, auf der er sich mit der zeitgenossischen in- und aus
landischen fachdidaktischen Literatur kritisch auseinandersetzen kann. Ich hoffe, dag
der spiralige Aufbau des Buches das Verstandnis des systematischen zweiten Teils hin
reichend erleichtert.
Eine gewisse thematische Abgeschlossenheit des Buches konnte nur durch eine Beschran
kung auf die breiten didaktischen Stragen erreicht werden. Einige wichtige Problemkreise,
z. B. Differenzierung, Konstruktion und Anwendung von Tests und programmierter
Unterricht, wurden nicht thematisiert, weil sie m. E. noch zu wenig ausgearbeitet sind.
Es wird aber die Basis dargestellt, auf der sie gegenwartig diskutiert werden. Auch speziel
lere Fragen, die hier nicht oder nur am Rande behandelt werden, dUrften sich in vielen
Fallen an den einen oder anderen Abschnitt des Buches anlagern lassen. Relativ wenig
VI Vorwort
erprobt ist der in Abschnitt 11 dargestellte Rahmen zur Unterrichtsplanung. An ent
sprechenden Erfahrungen wie uberhaupt an Anregungen, Erganzungen und Kritik jeder
Art bin ich sehr interessiert.
Das Buch ist fur vielfaltige Zwecke vorgesehen: zum Selbststudium, zum Gebrauch neben
Vorlesungen, als Grundlage von Seminaren, zum Gebrauch bei Praktika und als Hilfe zur
Unterrichtsvorbereitung. Zahlreiche didaktische Aufgaben sollen der Umsetzung theore
tischer Ideen in die Praxis dienen und eine selbstandige Auseinandersetzung mit den im
Buch behandelten Fragen anregen. Die mit einem Stern {*} versehenen Aufgaben sind
kleinere Projekte, die sich am besten in Kooperation {z. B. in Seminaren} bearbeiten
lassen. In einem Anhang des Buches werden L6sungen bzw. L6sungstendenzen angegeben.
Eine erste Fassung einzelner Teile des Buches, bei deren Anfertigung mich meine Mit
arbeiter D. Heitele, U. Nitsche und W. Schipper unterstiitzt haben, wurde im Sommer 1972
an der Padagogischen Hochschule Ruhr als Skriptum vervielfaltigt. Die Herren S. Avital,
j. van Bruggen, j. van Dormolen, O. Schropp, W. Schwirtz und H. Winter haben sich die
Muhe gemacht, das Skriptum bzw. einzelne Teile genau zu lesen, und mir fur die Oberar
beitung wertvolle Anregungen gegeben. Insbesondere geht die spiralige Konzeption auf
einen Vorschlag von Herrn van Bruggen zuruck. Ich m6chte allen Genannten fur ihre Hilfe
und Kritik sehr herzlich danken. Mein Dank gilt auch dem Verlag Vieweg, der fur eine
schnelle Publikation sorgte.
E.W.
Dortmund, im Fruhjahr 1974
VII
It is, I believe, a fundamental
task of the teacher to introduce
students to the intellectual life
that he, the teacher, really lives.
E. E. Moise
Wahrend der Arbeit an diesem Buch muSte ich oft an drei Mathematiklehrer meines Er
fahrungsbereichs den ken. Es ist fUr den Leser vielleicht ganz nUtzlich, wenn er sie an einem
kleinen Ausschnitt ihres Unterrichts fliichtig kennenlernt. Thema der Unterrichtsepisode
ist in allen drei Fallen die Behandlung der folgenden Aufgaben auf S. 19 des Lehrbuchs
Schmidt/Schmidtlein, Brandneue Mathematik 1:
o ))
t}
(Auf S. 19 unten befindet sich folgender Hinweis fUr den Lehrer: Mit verschiedenen Farb
stiften sind die zweielementigen Teilmengen der angegebenen Grundmengen auszugliedern.)
Lehrer Max H.
Herr H. fordert die Kinder auf. Seite 19 aufzuschlagen und bei der Menge in Aufgabe 3
aile Teilmengen mit zwei Elementen verschiedenfarbig auszugliedern. Den Kindern, die
es allein nicht schaffen, zeigt er unter BenUtzung der Hinweise im Lehrerhandbuch, wie
"es geht". Aufgabe 4 wird ebenso gelost. AnschlieSend wendet man sich S. 20 zu.
Herr H. "nimmt Mengenlehre durch", weil sie im Buch vorkommt. Ansonsten halt er sie
fUr blanken Unsinn. ("Was dieser Dienes gestern im Fernsehen gezeigt hat, sind doch
Kinkerlitzchen. Die Kinder sollen lieber ordentlich rechnen lernen.")
VIII
lehrerin Anne Z.
Frau Z. ftihrt eine Vorbesinnung tiber mathematische und psychologische Voraussetzun
gen der SchUler durch, tiberlegt sich einen netten Einstieg und sorgt fUr eine angenehme
Atmosphare und adaquate lernhilfen. Sie gibt den Kindern Gelegenheit, tiber ihre losun
gen zu berichten und die Aufgaben 3 und 4 zu vergleichen. Sie laBt die Kinder selbst
weitere Aufgaben erfinden.
Frau Z. behandelt Mengenlehre, weil es der Lehrplan verlangt. Sie ist davon Uberzeugt,
daB Mengenlehre sehr wichtig sein muB. Ein wesentliches Argument fUr die Mengenlehre
ist ftir sie weiter, daB die Kinder so etwas eigentlich ganz gerne machen. ("Was dieser
Professor Dienes gestern im Fernsehen gezeigt hat, war wirklich ganz phantastisch.")
lehrerin Marion K.
Frau K. tiberlegt sich Uber die von Frau Z. entwickelten Aktivitaten hinaus, welche Rolle
die Aufgaben im Kurs spielen, d. h. wodurch sie vorbereitet sind und wie sie spater fort
gesetzt werden. Sie analysiert die Aufgaben danach, welche intellektuellen Fahigkeiten
geschult werden sollen und welche verschiedenen Losungswege moglich sind.
Frau K. behandelt Mengenlehre nicht nur, weil es der Lehrplan fordert, sondern weil sie
die in der Mengenlehre liegenden Moglichkeiten zur kognitiven ErschlieBung der Welt
sieht. Die Realisierung dieser Moglichkeiten halt sie fUr nicht leicht. (,,1 nhaltlich war es
ganz interessant, was Dienes gestern im Fernsehen gezeigt hat. Er hatte aber nur 10 Kinder.
Noch dazu redete er fast standig tiber deren Kopfe hinweg. ")
IX
Inhalt
Einfiihrung
1. Ort und Aufgabe der Mathematikdidaktik
2. Theorie und Praxis 4
3. Unterrichtenlernen nach dem Spiralprinzip 6
Teill: Unterrichtsmodell und intuitive Planung des
Mathematikunterrichts
4. Das Unterrichtsmodell von R. Glaser 8
4.1. Grobe Beschreibung des Unterrichtsmodells von Glaser 9
4.2. Lerninhalte und Lernziele 10
4.3. Voraussetzungen bei dem Schiiler und Aktivierung des Schiilers 12
4.4. Lehrverfahren 13
4.5. Oberprufung des Lernfortschritts und der Lernergebnisse 18
4.6. Bemerkungen zum Unterrichtsmodell 19
5. "Erziehungsphilosophie" der Mathematikdidaktik 21
6. Praktische Hinweise zur Unterrichtsvorbereitung von einer intuitiven
Basis aus 25
Teil 2: Elemente einer Theorie des Mathematikunterrichts
7. Der Problemkreis "Allgemeine Lernziele" 27
7.1. Curriculumforschung und Mathematikdidaktik 27
7.2. Die Problematik "allgemeinster" Lernziele 30
7.3. Allgemeine Lernziele fur den Mathematikunterricht 32
x
Inhalt
8. Elemente der Psychologie des Mathematiklernens und didaktische
Prinzipien 41
8.1. Die genetische Erkenntnistheorie und Psychologie von J. Piaget 41
8.1.1. liel der Piagetschen Forschungen 41
8.1.2. Ansatzpunkte der Theorie 42
8.1.3. Die Aquilibrationstheorie 43
8.1.4. Die Stufentheorie Piagets 52
8.1.5. Foigerungen aus der Piagetschen Psychologie fUr den Mathematikunterricht 59
8.1.6. Bemerkungen zur Redundanztheorie des Lernens 65
8.2. Die Theorie von J. S. Bruner 65
8.2.1. Das Spiralprinzip 66
8.2.2. Enaktiv - Ikonisch - Symbolisch (EIS) 69
8.2.3. Anwendungen der Reprasentationsmodi 71
8.3. Die Lerntheorie R. M. Gagnes 74
8.3.1. Allgemeine Lernbedingungen 75
8.3.2. Die Gagnesche Hierarchie 76
8.3.3. Lernen von Begriffen 77
8.3.4. Lernen von Regeln 80
8.3.5. Problemlosen (aus der Sicht Gagnes) 80
8.4. lur Psychologie der kognitiven Strategien 81
8.4.1. Bewertung kognitiver Strategien 81
8.4.2. Bedingungen fur die Forderung kognitiver Strategien 83
8.4.3. Bemerkung 84
9. Operationalisierung von Lernzielen und Lernzielanalyse 90
9.1. Operationalisierung von Lernzielen 90
9.2. Anwendungen der Gagneschen Lerntheorie 93
9.3. Anwendungen der Bloomschen Taxonomie (oder ahnlicher Taxonomien) 93
10. Methoden zur Konstruktion mathematischer Lernsequenzen 97
10.1. Die genetische Methode 97
10.1.1. Einzelbeitrage zur Ausformulierung der genetischen Methode 98
10.1.2. Drei Standpunkte bei der Mathematisierung 107
10.2. Sequenzieruog aufgrund deduktiver Darstelluogen mathematischer Theorien
109
("HeruntertransformierenU)
10.3. Sequenzierung auf der Grundlage von Lernzielanalysen 110
10.4. Bewertung der Methoden 110
10.4.1. Das genetische Prinzip 110
10.4.2. Kritik an deduktiven Imitationen 111
10.4.3. Kritik am lernzielorientierten Unterricht 113
10.4.4. Axiomatik, Operationalisierung und SchUierinitiative im genetischen Unterricht 114
10.5. lur praktischen Realisierung des genetischen Prinzips im Mathematikunterricht 116
10.5.1. Eingehen auf das Vorverstandnis der SchUler 116
10.5.2. Konstruktion von Problemkontexten 116
10.5.3. Weitere Fragestellungen 116
10.5.4. Standpunktverlagerungen 116
Inhalt XI
10.5.5. Forderung kognitiver Strategien 117
10.5.6. Einige Beispiele 117
10.5.7. Anhang: Typen von Aufgaben und Problemen 120
11. Unterrichtsplanung und Unterrichtsanalyse auf systematischer Basis 123
11.1. Rahmen fUr die Unterrichtsplanung 123
11.1.1. Intuitive Vorarbeit 124
11.1.2. Systematische Herstellung einer Entscheidungsbasis (Didaktische Analyse) 124
11.1.3. Lehrstrategie 125
11.1.4. Enige technische Hinweise 128
11.2. Ein Beispiel fUr Unterrichtsplanung: Nomogramme und negative Zahlen im
128
4. Schuljahr
11.3. Unterrichtsanalyse 140
Anhang: Angabe von Losungstendenzen bzw. Hinweise zu den Aufgaben 145
Literaturverzeichnis 158
Sachverzeichnis 162
