Große Abweichungen - Techniken und Anwendungen

174 Pages·2020·5.883 MB·German

by  Wolfgang König

Mathematik Kompakt
Wolfgang König
Große
Abweichungen
Techniken
und Anwendungen
Mathematik Kompakt
Mathematik Kompakt
Reihe herausgegeben von
Martin Brokate, Garching, Deutschland
Aiso Heinze, Kiel, Deutschland
Mihyun Kang, Graz, Österreich
Götz Kersting, Frankfurt, Deutschland
Moritz Kerz, Regensburg, Deutschland
Otmar Scherzer, Wien, Österreich
Die Lehrbuchreihe Mathematik Kompakt ist eine Reaktion auf die Umstellung der
Diplomstudiengänge in Mathematik zu Bachelor- und Masterabschlüssen.
Inhaltlich werden unter Berücksichtigung der neuen Studienstrukturen die aktuellen Ent-
wicklungen des Faches aufgegriffen und kompakt dargestellt.
Die modular aufgebaute Reihe richtet sich an Dozenten und ihre Studierenden in
Bachelor- und Masterstudiengängen und alle, die einen kompakten Einstieg in aktuelle
Themenfelder der Mathematik suchen.
Zahlreiche Beispiele und Übungsaufgaben stehen zur Verfügung, um die Anwendung der
Inhalte zu veranschaulichen.
• Kompakt: relevantes Wissen auf 150 Seiten
• Lernen leicht gemacht: Beispiele und Übungsaufgaben veranschaulichen die
Anwendung der Inhalte
• Praktisch für Dozenten: jeder Band dient als Vorlage für eine 2-stündige Lehrver-
anstaltung
Weitere Bände in der Reihe http://www.springer.com/series/7786
Wolfgang König
Große Abweichungen
Techniken und Anwendungen
Wolfgang König
Weierstraß-Institut für Angewandte
Analysis und Stochastik
Berlin, Deutschland
Institut für Mathematik
Technische Universität Berlin
Berlin, Deutschland
ISSN 2504-3846 ISSN 2504-3854 (electronic)
Mathematik Kompakt
ISBN 978-3-030-52777-8 ISBN 978-3-030-52778-5 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-030-52778-5
Mathematics Subject Classification: primär: 60F10, sekundär: 60J55, 82D30, 82D60
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Planung/Lektorat: Dorothy Mazlum
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Vorwort
Dies ist ein Skript zu einer vierstündigen Vorlesung über die Theorie der (Wahrschein-
lichkeiten von) Großen Abweichungen. Kap. 1–3 behandeln die Grundbegriffe der
Theorie und die wichtigsten allgemeinen Konzepte, und Kap. 4 erklärt anhand von Bei-
spielen aus der Forschung der letzten 30 Jahre erfolgreiche Anwendungen. Diese Bei-
spiele wählte ich aus Bereichen, in denen ich arbeitete oder zumindest sehr interessiert
war; sie stammen meist aus der Statistischen Mechanik und verwandten Gebieten. Ich
halte es für ein motivierendes Lehrkonzept, die Theorie in einer Vorlesung zu vermitteln
und die Forschungsbeispiele einem studentischen Seminar zu überlassen.
Die Theorie der Großen Abweichungen ist ein Zweig der Wahrscheinlichkeits-
theorie, der sich mit der Asymptotik der Wahrscheinlichkeiten sehr seltener Ereignisse
befasst. Die exponentielle Abfallrate dieser Wahrscheinlichkeiten wird in Termen einer
Variationsformel ausgedrückt, deren Wert und deren Minimierer meist interessante
Rückschlüsse auf die betrachteten Ereignisse zulassen. Erste spezielle Ergebnisse
wurden in den 1930er Jahren von Cramér und Sanov erzielt, aber eine weit reichende
Fundierung fand erst in den 1970er Jahren statt, als Donsker und Varadhan bzw. Freidlin
und Wentzell geeignete abstrakte Formulierungen eines Prinzips Großer Abweichungen
fanden und sogleich auf eine Anzahl interessanter Modelle anwendeten. Sie hatten
erkannt, dass diese neu geschaffene Theorie sehr gut geeignet ist, um gerade in der
Statistischen Mechanik entscheidende Beiträge zu erbringen. Seitdem wächst die Liste
der Modelle und Gebiete, in denen die Theorie adaptiert und eingesetzt wird, selber
exponentiell, und ein Ende ist nicht abzusehen.
Durch das routinemäßige Auftreten von Variationsformeln werden die Variations-
rechnung und auch andere Bereiche der Funktionalanalysis, etwa Konvexe Analysis,
zu eng verwandten Gebieten, und dieses Skript streift auch ein paar Themen aus diesen
Gebieten, jedoch nur soweit es unvermeidbar ist. Beweise aus diesem Gebiet werden nur
gebracht, sofern sie zum Verständnis der probabilistischen Seite beitragen.
Ich lege hier besonderen Wert auf Anwendungen und behandle viele Modelle, in
deren Erforschung die Theorie der Großen Abweichungen einen entscheidenden Bei-
trag leistet. Teilweise erreiche ich die aktuelle Forschung. Wegen des großen technischen
Aufwandes, der oft nötig ist, breite ich allerdings nicht alle Details aus, aber schaffe
V
VI Vorwort
jeweils das Verständnis für das Modell und seine Behandlung und gebe Hinweise, wie
die ausgelassenen Beweisteile anzugehen sind und wo man ihre Ausführung nach-
lesen kann. Auf diese Weise ist eine große Anzahl von mehr oder weniger schwierigen
Übungsaufgaben über den gesamten Text verteilt und in ihn eingebettet worden.
Dieser Text setzt Kenntnisse und Fertigkeiten voraus, wie sie an mathematischen
Instituten deutscher Universitäten in den beiden Vorlesungen Wahrscheinlichkeitstheorie
I und II vermittelt werden; insbesondere maßtheoretisch fundierte Theorie, schwache
Konvergenz, zentraler Grenzwertsatz, diverse Ungleichungen für Zufallsvariablen und
Verteilungen, ein wenig Ergodentheorie sowie Punktprozesstheorie. Ferner sollten der
Leser und die Leserin sattelfest in topologischen Fragen sein, denn das Zusammen-
spiel zwischen Wahrscheinlichkeitstheorie und Analysis liegt am Herzen der Theorie der
Großen Abweichungen.
Dieses Skript basiert zu einem großen Teil auf den beiden Monographien von den
Hollander [Ho00] und Dembo/Zeitouni [DeZe10], aber auch auf Notizen von früheren
Vorlesungen von N. Gantert und J. Gärtner, denen ich hiermit sehr herzlich danke für
deren Überlassung. Ich hielt nach einer Vorgängerversion dieses Skriptes Vorlesungen
im Wintersemester 2004/2005 und im Sommersemester 2006 am Mathematischen
Institut der Universität Leipzig sowie im Wintersemester 2010/2011 an der TU Berlin.
Daher wurde der vorliegende Text mehrmals durchgesehen, korrigiert und verbessert
sowie für die jetzige Veröffentlichung in Buchform deutlich erweitert, und zwar um die
Abschn. 3.7 über projektive Grenzwerte und 3.8 über empirische Maße von markierten
Punktprozessen sowie Abschn. 4.7 über Bose–Einstein-Kondensation. Ich möchte mich
für Hinweise und Hilfe mehrerer Kolleginnen und Kollegen bedanken, namentlich bei
Peter Friz, Nina Gantert und Gabriela Grüninger.
Berlin Wolfgang König
im Mai 2020
Inhaltsverzeichnis
1 Der Satz von Cramér ............................................. 1
1.1 Ein einführendes Beispiel ...................................... 1
1.2 Warum große Abweichungen? ................................... 5
1.3 Ein paar Hilfsmittel ........................................... 6
1.4 Der Satz von Cramér .......................................... 7
1.5 Der Satz von Cramér ohne exponentielle Momente .................. 12
2 Prinzipien Großer Abweichungen ................................... 15
2.1 Abstraktes Prinzip Großer Abweichungen .......................... 15
2.2 Irrfahrten und der Satz von Cramér ............................... 20
2.3 Brown’sche Bewegung und die Sätze von Schilder und Strassen ........ 23
2.4 Empirische Maße und der Satz von Sanov ......................... 29
2.5 Paarempirische Maße von Markovketten ........................... 36
3 Grundlegende Techniken .......................................... 43
3.1 Kontraktionsprinzip ........................................... 43
3.2 Exponentielle Approximationen ................................. 47
3.3 Das Lemma von Varadhan ...................................... 50
3.4 Das Gärtner-Ellis-Theorem ..................................... 55
3.5 Anwendungen des Satzes von Gärtner–Ellis ........................ 62
3.6 Aufenthaltsmaße zeitstetiger stochastischer Prozesse ................. 67
3.6.1 Irrfahrten .............................................. 67
3.6.2 Brown’sche Bewegung ................................... 72
3.7 Projektive Grenzwerte ......................................... 75
3.8 Markierte Poisson’sche Punktprozesse ............................ 80
4 Ausgewählte Anwendungen ........................................ 91
4.1 Testen von Hypothesen ........................................ 91
4.2 Das Spektrum zufälliger Matrizen ................................ 93
VII
VIII Inhaltsverzeichnis
4.3 Zufällige Polymerketten ........................................ 99
4.3.1 Das Modell ............................................ 99
4.3.2 Große Abweichungen für eindimensionale Polymerketten ....... 101
4.3.3 Überblick über den Beweis von Satz ........................ 104
4.3.4 Brownsche Polymermaße ................................. 111
4.4 Das parabolische Anderson-Modell ............................... 112
4.4.1 Das Modell und die Fragestellungen ........................ 112
4.4.2 Momentenasymptotik für die Doppelt-Exponential-Verteilung .... 115
4.4.3 Ein „dualer“ Alternativbeweis ............................. 118
4.4.4 Fast sichere Asymptotik .................................. 120
4.4.5 Nach oben beschränkte Potenziale .......................... 123
4.4.6 Fast beschränkte Potenziale ............................... 128
4.5 Eindimensionale Irrfahrten in zufälliger Umgebung .................. 130
4.5.1 Gesetz der Großen Zahlen und Drift ........................ 131
4.5.2 Prinzip Großer Abweichungen für den Endpunkt .............. 132
4.5.3 Treffzeiten und der Beweis des Prinzips ..................... 134
4.5.4 Analyse der Ratenfunktion ................................ 136
4.5.5 Vergleich mit der gewöhnlichen Irrfahrt ..................... 138
4.6 Warteschlangen .............................................. 140
4.6.1 Begriffe und Fragestellungen .............................. 140
4.6.2 Länge der Schlange ..................................... 142
4.6.3 Ein Schalter mit vielen Quellen ............................ 146
4.7 Bose–Einstein-Kondensation .................................... 149
4.7.1 Eine kurze Geschichte ................................... 149
4.7.2 Stochastische Beschreibung der Zustandssumme .............. 150
4.7.3 Drei Umformulierungen .................................. 151
4.7.4 Zwei Variationsformeln .................................. 156
Literaturverzeichnis ................................................. 159
Stichwortverzeichnis ................................................. 163
1
Der Satz von Cramér
WirbeginneninAbschn.1.1mitderBetrachtungeinerStandardsituation,dieoftvonInter-
esseistundanHanddererwirindieProblematikderTheoriederGroßenAbweichungen
einführen.DanngebenwirinAbschn.1.2einenkleinenEinblickdarin,vonwelcherNatur
dieFragensind,diedieseTheoriebehandelt,undinAbschn.1.3gebenwireinpaareinfache
Hilfsmittel.EinerstesHauptergebnis,derSatzvonCramér,wirdinAbschn.1.4vorgestellt,
undeineVariantedavoninAbschn.1.5.
1.1 EineinführendesBeispiel
Seien X ,X ,... unabhängige und identisch verteilte reellwertige Zufallsgrößen, deren
1 2
Varianz σ2 existiert und deren Erwartungswert E[X ] gleich Null ist. Wir betrachten die
(cid:2) 1
Partialsummenfolge (Sn)n∈N mit Sn = in=1Xi und möchten ihr Verhalten für große n
diskutieren.InpraktischalleneinführendenTextenüberWahrscheinlichkeitstheoriewerden
diefolgendenasymptotischenAussagenbehandelt:
(cid:3)(cid:4) (cid:4) (cid:5)
SchwachesGesetzderGroßenZahlen: lim P (cid:4)1S (cid:4)≥(cid:3) =0fu¨rjedes(cid:3) >0,
n→(cid:3) ∞ n n (cid:5)
StarkesGesetzderGroßenZahlen: P lim 1S =0 =1,
n→∞n n
(cid:6) (cid:7) (cid:8) C e−x2/2
ZentralerGrenzwertsatz: lim P √1 S ≤C = √ dx
n→∞ nσ2 n −∞ 2π
fu¨rjedesC ∈R.
Während diese klassischen Aussagen das „übliche“, das „normale“ Verhalten von S
n
beschreiben, will die Theorie der Großen Abweichungen das „untypische“, das Abwei-
chungsverhalten analysieren. Genauer gesagt, einer der Hauptgegenstän(cid:9)de dieser(cid:10)Theo-
rieistdieasymptotischeAnalysederWahrscheinlichkeitdesEreignisses 1S > x bzw.
n n
©Der/dieHerausgeberbzw.der/dieAutor(en),exklusivlizenziertdurchSpringerNature 1
SwitzerlandAG2020
W.König,GroßeAbweichungen,MathematikKompakt,
https://doi.org/10.1007/978-3-030-52778-5_1