Grenzen der Mathematik: Eine Reise durch die Kerngebiete der mathematischen Logik

420 Pages·2011·13.97 MB·German

by  Dirk W. Hoffmann

GGrreennzzeenn ddeerr MMaatthheemmaattiikk
Dirk W. Hoffmann
Grenzen der
Mathematik
Eine Reise durch die Kerngebiete
der mathematischen Logik
Autor
Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann
Hochschule Karlsruhe
Fakultät für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Moltkestraße 30
76133 Karlsruhe
www.dirkwhoffmann.de
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Redaktion: Dr. Michael Zillgitt
Satz: Autorensatz
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Umschlaggestaltung: SpieszDesign, Neu-Ulm
Titelfotografi e: © Nasa
ISBN 978-3-8274-2559-1

Vorwort
Das Unmögliche zu erkennen, ist eine intellektuelle Leistung, die den Men-
schen einzigartig macht. In der Physik haben uns die Einstein’sche Relativi-
tätstheorieoderdieHeisenberg’scheUnschärferelationGrenzenaufgezeigt,die
wirniemalsüberwindenwerden.DieErgebnissesindnegativ,undgeradedes-
halbverbreitensieeineunwiderstehlicheFaszination.EsistdasUnmögliche,
dasunsnochstärkerzufesselnvermagalsdasMögliche.
Auch die Mathematik ist von ähnlichen Negativresultaten betroffen. Die ma-
thematische Logik des zwanzigsten Jahrhunderts hat fundamentale Erkennt-
nissehervorgebracht,dieunsdieGrenzendieserpräzisenWissenschaftinal-
lerKlarheitvorAugenführen.Sowissenwirheute,dasssichderBegriffder
Wahrheit selbst für so einfache Theorien wie die Zahlentheorie nicht in Ein-
klang mit dem Begriff der Beweisbarkeit bringen lässt. Es ist unmöglich, die
Mathematik in einem formalen System einzufangen, in dem alle wahren ma-
thematischenAussagenbewiesenwerdenkönnen.
DiesesBuchentführtSieaufeineReisedurchdieKerngebietedermathema-
tischenLogik.EsistmeinerklärtesZiel,dieKonzepte,MethodenundErgeb-
nissedieserDisziplininverständlicherFormoffenzulegen,ohneeinenVerlust
anTiefezuerleiden.Woimmeresmöglichist,habeichversucht,dieDefinitio-
nenundSätzemitBeispielenzumotivierenunddurchzahlreicheQuerbezüge
inihrensachlichenundhistorischenKontexteinzuordnen.BeweisevonSätzen,
die nur am Rand eine Rolle spielen, sind bewusst nur skizzenhaft aufgenom-
menodereswirddaraufhingewiesen,woeinBeweisnachgeschlagenwerden
kann.IndiesemSinnkanndasvorliegendeBuchdieformalpräziseLiteratur
ausdemBereichdermathematischenLogiknichtanjederStelleersetzen–und
willesauchgarnicht.AllemanderenvoranmöchteichdieFaszinationtrans-
portieren, die dieses Teilgebiet der Mathematik unzweifelhaft ausstrahlt. Sie,
liebe Leser, müssen beurteilen, inwieweit mir dies gelungen ist. Für Hinwei-
sezuVerbesserungsmöglichkeitenoderFehlernbinichjedemaufmerksamen
Leserdankbar.
An dieser Stelle möchte ich all denen meine Verbundenheit aussprechen, die
mich während der Durchführung dieses ehrgeizigen Projekts unterstützt und
damitzumGelingendiesesBuchsbeigetragenhaben.
Karlsruhe,imOktober2010 DirkW.Hoffmann
Symbolwegweiser
Definition
Satz,Lemma,Korollar
(cid:2)(cid:2)(cid:2) LeichteÜbungsaufgabe
(cid:2)(cid:2)(cid:2) MittelschwereÜbungsaufgabe
(cid:2)(cid:2)(cid:2) SchwereÜbungsaufgabe
LösungenzudenÜbungsaufgaben
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Inhaltsverzeichnis
1 HistorischeNotizen 1
1.1 WahrheitundBeweisbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 DerWegzurmodernenMathematik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 RätseldesKontinuums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 AufdenSpurenderUnendlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 MachtderSymbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.4 AufbruchineinneuesJahrhundert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.5 Grundlagenkrise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.2.6 AxiomatischeMengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.2.7 HilbertsProgrammundGödelsBeitrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.2.8 GrenzenderBerechenbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.2.9 AuferstandenausRuinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.3 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2 FormaleSysteme 71
2.1 DefinitionundEigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.2 Entscheidungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.3 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.3.1 SyntaxundSemantik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.3.2 AussagenlogischerKalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.4 PrädikatenlogikersterStufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.4.1 SyntaxundSemantik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.4.2 PrädikatenlogischerKalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.5 PrädikatenlogikmitGleichheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.6 PrädikatenlogikhöhererStufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.6.1 SyntaxundSemantik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.6.2 Henkin-Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.7 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3 FundamentederMathematik 131
3.1 Peano-Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.1.1 Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.1.2 Semantik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.1.3 AxiomeundSchlussregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
VIII Inhaltsverzeichnis
3.2 AxiomatischeMengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.2.1 Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.2.1.1 ZF-Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.2.1.2 DasAuswahlaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.2.1.3 MengenlehrealsFundamentderMathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3.2.1.4 EinbettungdernatürlichenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.2.2 Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.2.2.1 DefinitionundEigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.2.2.2 DerUnendlichkeitentgegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.2.2.3 OrdnungstypenundWohlordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
3.2.2.4 TransfiniteInduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.2.3 Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.3 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
4 Beweistheorie 197
4.1 Gödel’scheUnvollständigkeitssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.2 DerersteUnvollständigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.2.1 ArithmetisierungderSyntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
4.2.2 Primitiv-rekursiveFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
4.2.3 ArithmetischeRepräsentierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.2.4 GödelsDiagonalargument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
4.2.5 RossersBeitrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.3 DerzweiteUnvollständigkeitssatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
4.4 GödelsSätzerichtigverstehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
4.5 DerSatzvonGoodstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
4.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
5 Berechenbarkeitstheorie 243
5.1 Berechnungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5.1.1 Turing-Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5.1.1.1 ErweiterungendesBasismodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
5.1.1.2 AlternativeBeschreibungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
5.1.1.3 UniverselleTuring-Maschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
5.1.2 Registermaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
5.2 DieChurch’scheThese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
5.3 GrenzenderBerechenbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
5.3.1 DasHalteproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
5.3.2 DerSatzvonRice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
5.4 FolgenfürdieMathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
5.4.1 UnentscheidbarkeitderPL1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
5.4.2 UnvollständigkeitderArithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
5.4.3 HilbertszehntesProblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
Inhaltsverzeichnis IX
5.4.3.1 DiophantischeRepräsentierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
5.4.3.2 CodierungvonRegistermaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
5.5 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
6 AlgorithmischeInformationstheorie 313
6.1 AlgorithmischeKomplexität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
6.2 DieChaitin’scheKonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
6.3 UnvollständigkeitformalerSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
6.4 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
7 Modelltheorie 339
7.1 Meta-ResultatezurPrädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
7.1.1 Modellexistenzsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
7.1.2 Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
7.1.3 SatzvonLöwenheim-Skolem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
7.2 NichtstandardmodellevonPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
7.2.1 AbzählbareNichtstandardmodelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
7.2.2 ÜberabzählbareNichtstandardmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
7.3 DasSkolem-Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
7.4 BoolescheModelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
7.4.1 DefinitionundEigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
7.4.2 EineinfacherUnabhängigkeitsbeweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
7.5 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
Literaturverzeichnis 391
Namensverzeichnis 399
Sachwortverzeichnis 403