Table Of ContentLecture Notes
Operations Research and
Mathematical Systems
Economics, Computer Science, Information and Control
Edited by M. Beckmann, Providence and H. P. KOnzi, ZOrich
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Thomas M. Liebling
Eidg. Technische Hochschule ZOrich
Graphentheorie in Planungs
und To urenproblemen
am Beispiel des stadtischen StraBendienstes
Spri nger-Verlag
Berlin· Heidelberg· New York 1970
Advisory Board
H. Albach A. V. Balakrishnan F. Ferschl
W. Krelle . N. Wirth
ISBN-13: 978-3-540-04945-6 e-ISBN-13: 978-3-642-95161-9
DOl: 10.1007/978-3-642-95161-9
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© by Springer-Verlag Berlin' Heidelberg 1970. LibraryofCongress Catalog Card Number 70-113432
Title No. 3770.
Meinen Eltern
Meinem hochverehrten Lehrer, Herrn Prof. Dr. F. Weinberg,
sei fUr seinen standigen Beistand und sein Wohlwollen mein
herzlichster Dank ausgesprochen.
Ebenfalls danke ich Herrn Prof. Dr. P. Lauchli fUr das Interesse,
das er mit der Uebernahme des Korreferates fUr diese Arbeit
entgegengebracht hat, herzlichst.
VORWORT
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit den Problemkreisen der Standortwahl
und der Tourenplanung. Zwischen diesen beiden Themen besteht meist grund
satzliche gegenseitige Abhangigkeit, ob sie nun in die konkrete Aufgaben
stellung miteinbezogen oder willentlich von ihr ausgeklammert werde: fiir die
Festlegung von wirts chaftlichen Tourenplanen beis pielsweis e zum Zwecke
der Belieferung von Filialgeschaften wird man wissen mussen, wie viele
Filialgeschafte zu bedienen sind und wo sie ihren Standort haben, aber auch
von wie vie len Bedienungspunkten aus dies geschehen solI und wo diese letzteren
gefunden werden konnen. Umgekehrt lassen sich Zahl und Standorte der an
einem solchen Verteilsystem gesamthaft angeschlossenen Umschlagpunkte
zweifellos durch Mitberucksichtigung der Tourenplanung neben den anderen
Einflussquellen in wirtschaftlicher Sicht bestimmen.
Dennoch kann der Grad dieser gegenseitigen Abhangigkeit je nach Aufgaben
stellung recht unterschiedlich sein: die Wahl des genauen "Standorts" eines
Flughafens innerhalb einer grosseren Region wird sich vermutlich weit weniger
ausgepragt oder praktisch gar nicht auf die Wirtschaftlichkeit der internationa
len "Tourenplanung" von dort beheimateten Flugzeugen einer Fluggesellschaft
auswirken verglichen mit der Bedeutung des Standorts eines Lagerhauses fiir
die Wirtschaftlichkeit der Tourenplanung zwecks Belieferung von Detailge-
s chaften von dort aus, weil im ersteren FaIle die beiden Problem -Kreis e
von anderen, unabhangigen Einflus sfaktoren dominierenden Charakters tiber
schattet werden.
Beide erwahnten Aufgabentypen: Standortwahl und Festlegung von Bedienungs
touren sind vom Standpunkt des Operations Research aus gesehen anspruchs
voll und nicht ohne weiteres losbar. Die mathematische Behandlungsschwierig
keit steigt mit dem Grade der Berucksichtigung der gegenseitigen Abhangigkeit.
Bei der Problemstellung der vorliegenden Arbeit ist diese gegenseitige Ab
hangigkeit beider Aufgabentypen nun aber praktisch maximal: es handelt sich
urn die Bestimmung einer vorerst noch unbekannten Anzahl betrieblicher
Standorte mit dem Ziele der Ermoglichung besonders gut konzipierter Touren,
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wobei die Touren nicht eine beschrankte, sondern eine unendliche Menge von
zu bedienenden Punlden zu verbinden haben. Tatsachlich ist bei der Strassen
reinigung ja jeder Quadratzentimeter des offentlichen Verkehrsgrunds zu
bedienender Punkt und die Absolvierung von Touren ist in diesem Faile nicht
Hilfsmittel der Kommunikation zwis chen vorges chriebenen oder wahlbaren
diskreten Punkten, sondern Selbstzweck, indem die Mission der Tour durch
Vollzug derselben gewissermassen auch schon erfUilt ist.
Ziel dieser am Institut fUr Operations Research der ETH durchgeftihrten
Arbeit war die Vermittlung von Entscheidungsgrundlagen fUr das Tiefbauamt
der Stadt Zurich, das im Zusammenhang mit der ihm unter anderen ubertra
genen Aufgabe der Strassenreinigung und - im Winter - der Schneeraumung
vor wichtigen Ents chlussen steht.
Der Verfasser nimmt eine sehr zweckmassige Aufteilung dieses ausserordent
lich komplexen Problems vor: in einer ersten Phase der Grobplanung wird
die Stadt in Gebiete aufgespalten, die arbeitsmassig einigermassen ausgegli
chen sind und fUr die zweite Phase der Feinplanung (Tourenfestlegung) keine
unliebsamen Ueberraschungen mehr erwarten lassen.
Das Problem der Grobplanung besteht in der Aufteilung eines ebenen Gebiets
in eine minimale Anzahl Teilgebiete unter Einhaltung von FUi.chenintegral
Restriktionen. Dieses allerdings nur in Spezialfallen geschlossen los bare
Problem geht diskretisiert in jenes der Aufteilung eines Graphen in Unter
graphen uber, welch letzteres der Autor mit Hilfe einer ingeniosen heuristi
schen Methode behandelt.
Das zur Feinplanung gehorende Tourenplanungsproblem ist bekanntlich so
strukturiert, dass meist ein Verfahren der vollstandigen Enumeration heran
gezogen werden muss, wobei die Unannehmlichkeit des exponentiell mit dem
Problemumfang wachsenden Rechenaufwands in Kauf zu nehmen ist. Diese
Schwierigkeiten umgeht der Verfasser, indem er zunachst Teilaufgaben des
Euler'schen Typus formuliert, ihren Zusammenhang mit Hamilton- und
Transportproblemen herausarbeitet und solcherart die Grundlage fUr die
Formulierung einer leicht losbaren Aufgabe der dynamischen Programmierung
fUr die endgultige Festlegung der Standorte und Touren schafft.
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Der Autor hat mit seiner Studie eine theoretisch und praktisch gleichermassen
wertvolle Leistung erbracht und seine Methoden werden zweifellos bei gleich
artigen Aufgaben auch in anderen Stadten nutzbringenden Einsatz finden. Dane
ben aber sind diese Methoden auf ein ausserordentlich breites Feld verwandter
Probleme ubertragbar, so dass der Arbeit erheblich grossere Bedeutung zu
kommt als der ursprungliche Anwendungszweck zunachst vermuten lasst.
Darum wunsche ich dieser schonen Abhandlung das weite Interesse, das sie
verdient.
Prof. Dr. F. Weinberg
Direktor des Instituts fUr Operations Research der ETH
This work deals with some problems that arise during planning the street
cleaning and snow clearing of a city such as Zurich. The problems are
approached in two phases;
1. ~?!l~!t_p!a::~i!1~~ splitting up the city into regions such that each can be
served by one team of workers,
2. ~~~ J~.l~~~~ ~ planning the cleaning tours, garage locations etc. for
each team and region.
The first phase consists of dividing a region on a plane into as few connected
sub-regions as possible. Certain restrictions have to be observed to allow
for the different cleaning periodicities of the streets and the limited work
capacity of the cleaning teams.
The exact solution of this problem is possible in some simple cases. In
others, the problem is discretized by first splitting the entire region into a
number of small cells and then joining these cells to form the sub-regions.
A heuristic algorithm has been developed that does not guarantee the optimal
solution - as would the corresponding non-linear integer programming model -
but which yields sufficiently good solutions efficiently.
In the second phase, a family of "Euler-problems" related to the chinese
postman's problem arose and relationships that exist between these, the
travelling salesman and the transportation problem were found and utilized.
Dynamic programming was applied to sub-problems in order to find "good"
tours, garage locations and machines. The sub-problems were generated by
simulating Euler-cycles on Euler-graphs obtained from the above.
The resulting algorithms were programmed. Data was collected for the city
of Zurich; in particular, the topological connections and dimensions of every
pavement and road were determined and stored on magnetic tape. This data
bank has other uses for purposes such as city planning, traffic control, postal
distribution, etc ..
INHALTSVERZEICHNIS
0.1. Vorwort 5
0.2. Zus ammenfas sung 6
1. Einige Begriffe aus der Graphentheorie 9
1.1. Einleitung 9
1. 2. Definition en 10
1. 3. Graphen und Abbildungen 18
1. 4. Funktionen auf Graphen 20
1. 5. Matrizendarstellung von Graphen und Funktionen darauf 22
2. Euler-Graphen, -Zyklen und -Kreise 24
2. 1 . Begriffe und Einleitung 24
2.2. Anzahl verschiedener Eule r-Kreise und -Zyklen eines 25
-Graphen
2.3. Erzeugung eines Euler-Zyklus auf einem Euler-Graphen mit 27
Hilfe eines Zufallsmechanismus (Irrgang)
3. Probleme des chines is chen Brieftriigers 32
3. 1 . Einleitung 32
3.2. Erstes Problem: Fall eines einzigen zusammenhiingenden Unter- 32
graphen
3. 3. Zweites Problem: Fall mehrerer je zusammenhiingender 38
Komponenten
3.4. Diskussion 42
- 3 -
4. Optimale Bedeckung eines Euler-Graphen, unter Einhaltung 42
gewisser Restriktionen
4.1. Problemstellung 42
4.2. Diskussion 44
4.3. Heuristis ches Losungsverfahren 47
4.4. Beispiel 50
5. Restriktionen fUr die Planung periodisch wiederkehrender 54
Tiitigkeiten, z. B. Strassenreinigung
5.1. Einleitung 54
5.2. Erster Fall 54
5.3. Zweiter Fall 59
5.4. Dritter Fall 61
5.5. Schlussfolgerungen 62
5.6. Reinigungsdichten und Umformung der Restriktionen 63
6. Zerschneidung einer ebenen Figur, unter Einhaltung gewisser 64
Restriktionen
6. 1 . Einleitung 64
6.2. Problemstellung 65
6.3. Diskussion 66
7. Optimale Aufteilung eines Graphen, unter Einhaltung gewisser 70
Restriktionen
7.1. Einleitung 70
7.2. Problemstellung 71
7.3. Diskussion 72
7.4. Formulierung des Problems durch ein Modell der ganzzahligen 74
Programmierung
7.5. Heuristisches Losungsverfahren 76
