Graphentheoretische Konzepte und Algorithmen

438 Pages·2012·4.646 MB·German

by  Sven Oliver Krumke, Hartmut Noltemeier (auth.)

Leitfäden der Informatik
Reihen-Herausgaber:
Prof. Dr. Bernd Becker
Prof. Dr. Friedemann Mattern
Prof. Dr. Heinrich Müller
Prof. Dr. Wilhelm Schäfer
Prof. Dr. Dorothea Wagner
Prof. Dr. Ingo Wegener
Die "Leitfäden der Informatik" behandeln
• Themen aus der Theoretischen, Praktischen und Technischen Informatik entsprechend
dem aktuellen Stand der Wissenschaft in einer systematischen und fundierten Darstel-
lung des jeweiligen Gebietes.
• Methoden und Ergebnisse der Informatik, ausgearbeitet und dargestellt aus der Sicht
der Anwendung in einer für Anwender verständlichen, exakten und präzisen Form.
Die Bände der Reihe wenden sich zum einen als Grundlage und Ergänzung zu Vorlesun-
gen der Informatik an Studierende und Lehrende in Informatik-Studiengängen an Hoch-
schulen, zum anderen an „Praktiker“, die sich einen Überblick über die Anwendungen der
Informatik (-Methoden) verschaffen wollen; sie dienen aber auch in Wirtschaft, Industrie
und Verwaltung tätigen Informatikerinnen und Informatikern zur Fortbildung in praxis-
relevanten Fragestellungen ihres Faches.
Sven Oliver Krumke • Hartmut Noltemeier
Graphentheoretische
Konzepte und Algorithmen
3. Auflage
Prof. Dr. Sven Oliver Krumke Prof. Dr. Hartmut Noltemeier
Technische Universität Kaiserslautern Universität Würzburg
Deutschland Deutschland
ISBN 978-3-8348-1849-2 ISBN 978-3-8348-2264-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-8348-2264-2
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Vorwort
GraphenundNetzwerkesindwichtigeModellierungs-Werkzeugeinnatur-,ingenieur-,wirtschafts-
undsozialwissenschaftlichenProblembereichen.DerEntwurfunddieAnalysevoneffizientenMe-
thoden zur Lösung von »Problemen auf Graphen« sind daher Schlüssel zur Lösung vieler prakti-
scherProbleme.
DerSchwerpunktdiesesBuchesliegtaufeinerEinführungingraphentheoretischeKonzepteund
Algorithmen. Es basiert auf den Vorlesungen »Graphentheoretische Konzepte und Algorithmen«
und»Netzwerk-Optimierung«,welchedieAutorenindenletztenJahrenandenUniversitätenWürz-
burgundKaiserslauterngehaltenhaben,sowiedemSelbstudienkurs»GraphentheoretischeKonzep-
teundAlgorithmen«derVirtuellenHochschuleBayern(VHB).WirrichtenunsanLeser,diema-
thematischeGrundkenntnissebesitzen,insbesondereanInformatik-undMathematik-Studentinnen
und-StudentenimBachelor-undMasterstudium.
DasBuchistauseinemgleichnamigenSkripthervorgegangen.IngoDemgenskyundDr.Hans-
ChristophWirthhabenhiervieleAnregungenundBeiträgegeliefert,wofürwirunsbedanken.Wir
bedankenunsaußerdembeiDr.ElisabethGassner,StefanRuzika,SlemanSaliba,Prof.Dr.Martin
Skutella, Stephan Westphal und Johannes Hoffart für das sorgfältige Korrekturlesen, zahlreiche
VerbesserungsvorschlägeundanregendeDiskussionen.AlleverbleibendenFehlersindalleinunser
Versäumnis.
Kaiserslautern/Würzburg,imApril2005 SvenO.Krumke,HartmutNoltemeier
Vorwort zur zweiten Auflage
Wir bedanken uns bei all denen, die uns auf Fehler in der ersten Auflage aufmerksam gemacht
haben.InsbesonderemöchtenwirHerrnClemensThielendanken,dermitSorgfaltvieleTippfehler
undeineLückeimBeweisvonLemma6.47aufgespürthat.
Kaiserslautern/Würzburg,imJuli2009 SvenO.Krumke,HartmutNoltemeier
VI
Vorwort zur dritten Auflage
In der dritten Auflage wurden kleinere Fehler korrigiert und Bilder sowie der Index ergänzt. In-
haltlichneusindderBeweisdesSatzesvonVizingsowieeinKapitelzumwichtigenKonzeptder
Baumweite.
Wir bedanken uns bei allen, die uns Rückmeldungen zum Buch gegeben haben, insbesondere
MatthiasAltenhöfer,SabineBüttner,MartinBusley,NeeleHansenundDr.ClemensThielen.Ein
herzlicherDankgehtauchanNicoBehrent,ohnedessenEinsatzfürdieComputertechnikdasganze
Projektkaummöglichgewesenwäre.
Kaiserslautern/Würzburg,imFebruar2012 SvenO.Krumke,HartmutNoltemeier
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Routenplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 FrequenzplanungimMobilfunk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Museumswärter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 DasKönigsbergerBrückenproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Schiebepuzzle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 KonzeptdesBuchs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.7 ErgänzungsmaterialundWebseitezumBuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Grundbegriffe 7
2.1 GerichteteGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 TeilgraphenundObergraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 UngerichteteGraphen,symmetrischeHülleundOrientierungen . . . . . . . . . . . 12
2.4 Linegraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 GraphentheoretischeAlgorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 KomplexitätundNP-Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7 Approximations-Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.8 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Wege,KreiseundZusammenhang 31
3.1 Wege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 KreisfreieGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 BipartiteGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5 DerSatzvonEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6 HamiltonscheWegeundKreise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.7 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 FärbungenundÜberdeckungen 55
4.1 CliquenundunabhängigeMengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Färbungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 PerfekteGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 ChordaleGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5 EineinfacherFärbungsalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.6 ListenfärbungenundKantenfärbungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.7 Überdeckungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.8 Das p-CenterProblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.9 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
VIII Inhaltsverzeichnis
5 TransitiveHülleundIrreduzibleKerne 81
5.1 TransitiveHülle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 DerTripelalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3 DerreduzierteGraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.4 IrreduzibleKerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.5 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6 Bäume,WälderundMatroide 101
6.1 BäumeundWälder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2 MinimalespannendeBäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.3 DerAlgorithmusvonKruskal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.4 MatroideundUnabhängigkeitssysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.5 DerAlgorithmusvonPrim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.6 DerAlgorithmusvonFredmanundTarjan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.7 DerAlgorithmusvonBoru˚vka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.8 SpannendeBäumemitGradbeschränkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.9 DieMST-HeuristikfürdasTravelingSalesmanProblem . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.10 WurzelbäumeingerichtetenGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.11 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7 Suchstrategien 147
7.1 Tiefensuche(DFS). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.2 AnwendungenvonDFS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.3 TiefensuchefürungerichteteGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.4 Breitensuche(BFS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.5 LexikographischeBreitensuche(LEX-BFS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8 KürzesteWege 169
8.1 GrundlegendeEigenschaftenkürzesterWege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.2 BäumekürzesterWege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.3 EinGrundgerüstzurBerechnungkürzesterWege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.4 DerAlgorithmusvonDijkstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.5 DerAlgorithmusvonBellmanundFord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.6 KreisenegativerLänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.7 DieBellmanschenGleichungenundkreisfreieGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.8 KürzesteWegefürallePaare(APSP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8.9 LängsteWege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.10 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9 FlüsseundStrömungen 195
9.1 FlüsseundSchnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.2 ResidualnetzeundflussvergrößerndeWege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
9.3 DasMax-Flow-Min-Cut-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
9.4 DerAlgorithmusvonFordundFulkerson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Inhaltsverzeichnis IX
9.5 DerAlgorithmusvonEdmondsundKarp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
9.6 DerAlgorithmusvonDinic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
9.7 Push-Relabel-Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
9.8 UntereKapazitätsschranken,b-FlüsseundStrömungen . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.9 Flussdekomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
9.10 KombinatorischeAnwendungendesMax-Flow-Min-Cut-Theorems . . . . . . . . . 243
9.11 KostenminimaleFlüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
9.12 MaximaleSchnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
9.13 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
10 Matchings 273
10.1 MatchingsunddieTutte-Berge-Formel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
10.2 AlternierendeundaugmentierendeWege. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
10.3 MatchingsmaximalerKardinalitätinbipartitenGraphen . . . . . . . . . . . . . . . 278
10.4 PerfekteMatchingsinregulärenbipartitenGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
10.5 PerfekteMatchingsmitminimalemGewichtinbipartitenGraphen . . . . . . . . . . 281
10.6 MatchingsinallgemeinenGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
10.7 DieChristofides-Heuristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
10.8 GewichtsmaximaleMatchings–ApproximationinLinearzeit . . . . . . . . . . . . . 295
10.9 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
11 NetzwerkdesignundRouting 301
11.1 Steinerbäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
11.2 Spanner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
11.3 MedianeinesBaumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
11.4 DynamischeFlüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
11.5 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
12 PlanareGraphen 319
12.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
12.2 DieEulerschePolyederformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
12.3 Triangulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
12.4 KreisplanareGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
12.5 DualeGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
12.6 FärbungplanarerGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
12.7 Grapheinbettungenin(orientierbare)Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . 336
12.8 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
13 Graphtransformationen 339
13.1 TripeldarstellungvonGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
13.2 Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
13.3 DasGraphenisomorphieproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
13.4 HomomorphismenundderReduzierteGraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
13.5 ÄhnlichkeitvonGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
13.6 Graph-Grammatiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
X Inhaltsverzeichnis
13.7 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
14 Baumweite 353
14.1 Baumdekompositionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
14.2 BerechnungvonBaumdekompositionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
14.3 AlgorithmischeKonsequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
14.4 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
Anhang 371
A LösungenzudenAufgaben 373
A.1 Schiebepuzzle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
A.2 Kapitel2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
A.3 Kapitel3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
A.4 Kapitel4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
A.5 Kapitel5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
A.6 Kapitel6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
A.7 Kapitel7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
A.8 Kapitel8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
A.9 Kapitel9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
A.10 Kapitel10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
A.11 Kapitel11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
A.12 Kapitel12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
A.13 Kapitel13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
A.14 Kapitel14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
B ElementareDatenstrukturen 405
B.1 DatenstrukturenfürPrioritätsschlangen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
B.2 VerwaltungdisjunkterMengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
Literaturverzeichnis 415
Stichwortverzeichnis 424