Graphen an allen Ecken und Kanten [Lecture notes]

400 Pages·2011·1.27 MB·German

by  Lutz Volkmann

LEHRSTUHL II
¨
FUR MATHEMATIK
Lutz Volkmann
Graphen an allen Ecken und Kanten
zweite Version
2011

In Liebe fu¨r
Hannelore
Andrea und Kira
Tom, Dina und Mats
Prof. Dr. Lutz Volkmann
Lehrstuhl II fu¨r Mathematik
Rheinisch-Westf¨alische Technische Hochschule Aachen
52056 Aachen
Germany
[email protected]
http://www.math2.rwth-aachen.de/files/gt/buch/graphen an allen ecken und kanten.pdf
Vorwort
Im Jahre 2006 habe ich mein Buch
“Graphen an allen Ecken und Kanten”
[25] ins Netz gestellt. Hier ist nun die zweite Version dieses Werkes, das aus Vorlesungen,
Seminaren und Ergebnissen meiner Forschungsgruppe hervorgegangen ist. Meinen phantas-
tischen 13 Schu¨lern
Prof. Dr. Peter Dankelmann,
Dr. Miranca Fischermann,
Prof. Dr. Yubao Guo,
Dr. Adriana Hansberg,
Dr. Angelika Hellwig,
Dr. Arne Hoffmann,
Dr. Dirk Meierling,
Dr. Thomas Niessen,
Prof. Dr. Bert Randerath,
Prof. Dr. Dieter Rautenbach,
Dr. Ulrich Teschner,
Dr. Meike Tewes,
Dr. Stefan Winzen,
danke ich herzlich fu¨r die tatkr¨aftige Unterstu¨tzung, verschiedene Anregungen und viele
interessante und sch¨one gemeinsame Stunden.
Die Darstellung eines so umfangreichen Gebietes wie die Graphentheorie zwingt natu¨rlich
jeden Verfasser zu einer Auswahl und zur gelegentlichen Betonung dessen was er (mit mehr
oder weniger Recht) fu¨r wichtig h¨alt. Trotzdem glaube ich nicht allzu stark von der orthodo-
xen Linie abgewichen zu sein. Ich habe einen Teil derjenigen Ergebnisse neu aufgenommen,
die mir besonders interessant oder attraktiv erschienen und sich organisch in den Aufbau
der ersten Version einfu¨gen ließen. Insbesondere wurden die Kapitel 5 (Turniere und mul-
tipartite Turniere), Kapitel 10 (Dominanz und Irredundanz), Abschnitt 9.3 (Perfekte Gra-
phen), Abschnitt 14.4 (Anwendungen der Mengerschen S¨atze) und das Literaturverzeichnis
erheblich erweitert. Der Abschnitt 2.2 (Faktoren gleicher Parit¨at) wurde neu hinzugefu¨gt.
Selbstverst¨andlich habe ich auch alle anderen Kapitel u¨berarbeitet und zum Teil erg¨anzt.
Besonderen Wert hat der Autor auf die historischen Urspru¨nge der einzelnen S¨atze gelegt,
wobei Lu¨cken und Fehleinsch¨atzungen natu¨rlich nicht zu vermeiden sind. Fu¨r geschichtliche
vii
viii Vorwort
Hinweise, die die Zeit vor 1936 betreffen, hat mir das erste Lehrbuch u¨ber Graphentheo-
rie, das im Jahre 1936 von D´enes K˝onig [3] ver¨offentlicht wurde, wertvolle Hilfe geleistet.
Denn dieser ungarische Mathematiker (1884 – 1944) faßte nahezu alle am Anfang der 1930er
Jahre bekannten, in verschiedenen Zeitschriften weit verstreuten Einzelresultate in seinem
vorbildlich geschriebenen Werk zu einer einheitlichen Disziplin – eben der Graphentheorie –
zusammen.
Genau 200 Jahre vor dem Erscheinen von Ko˝nigs Buch, war es dem produktivsten und
fruchtbarsten Mathematiker aller Zeiten, dem Schweizer Genie Leonhard Euler (1707 – 1783)
vorbehalten, den historisch ersten graphentheoretischen Artikel zu publizieren. Euler verfaß-
te seine großenAbhandlungen so leicht, wie ein gewandter Stilist einen Brief an einen Freund
schreibt. Sogardiev¨olligeBlindheit w¨ahrendder letztensiebzehn Jahreseines Lebens hemm-
teinkeiner Weise seine unvergleichliche Produktivit¨at. Angeregt durch dasbekannte K¨onigs-
berger Bru¨ckenproblem (man vgl. Abschnitt 3.1), stellte Euler [1] 1736 Untersuchungen an,
die gerade heute von großem praktischen Nutzen sind. Ein weiteres wichtiges Resultat tr¨agt
ebenfalls Eulers Namen, dem wir heute einen Platz in der Theorie der planaren Graphen
einger¨aumt haben (manvgl. Kapitel 11), n¨amlich die beru¨hmte Polyederformel n+l = m+2,
wobei n,l und m die Anzahl der Ecken, Fl¨achen und Kanten eines (konvexen) Polyeders be-
deuten.DiesevonEuler1750gefundeneund1752[2],[3]publizierteFormelsowieseineArbeit
u¨ber das K¨onigsberger Bru¨ckenproblem l¨osten aber noch keine systematische Besch¨aftigung
mit Graphen aus.
Der erste starke Anstoß ging dann im 19. Jahrhundert von den sich schnell entfaltenden
Naturwissenschaften aus. Im Jahre 1847 erschien die grundlegende Arbeit von Gustav Ro-
bert Kirchhoff (1824 – 1887) u¨ber elektrische Str¨ome und Spannungen in Netzwerken, deren
Zweige mit Ohmschen Widerst¨anden behaftet sind. Hier ist der Graph durch das elektrische
Netzwerk unmittelbar gegeben. In Kirchhoffs Abhandlung [1] findet man den Ursprung der
heute so bedeutungsvollen Netzwerktheorie, die sich vor allem mit Verkehrs- und Transport-
problemen befaßt (man vgl. Kapitel 15).
Sowohl Arthur Cayley (1821 – 1895) als auch James Joseph Sylvester (1814 – 1879) ge-
langten u¨ber die Chemie zu graphentheoretischen Strukturen. Ausgangspunkt fu¨r Cayleys
Untersuchungen war die Frage nach der Anzahl isomerer Alkane gleicher Summenformel.
Dieses Problem aus der organischen Chemie stand zu jener Zeit im Mittelpunkt des Inter-
esses. Unabh¨angig von chemischen U¨berlegungen entwickelte Cayley [1], [2] von 1874 bis
1875 die ersten systematischen Methoden zur Anzahlbestimmung von Isomeren und schaffte
damit die mathematische Grundlage fu¨r eine allgemeine Abz¨ahlungstheorie, die 1937 von
George P´olya (1887 – 1985) durch seine fundamentale Arbeit [1] voll entfaltet wurde. Als
Bezeichnung fu¨r graphische Darstellungen von Moleku¨len benutzte Sylvester [1] im Jahre
1878 erstmalig das Wort “Graph” in dem heutigen Sinne.
Die heftigsten Impulse gingen jedoch von dem beru¨hmt-beru¨chtigten Vierfarbenproblem
aus, das Mitte des 19. Jahrhunderts von dem Studenten Francis Guthrie aufgeworfen wurde.
Esfragtdanach,obmandieL¨andereinerLandkartestetsmith¨ochstens vierFarbensof¨arben
kann, daß benachbarte L¨ander verschiedene Farben tragen (man vgl. dazu Abschnitt 11.3).
Derjenige, der vielleicht die Zukunft voraussah und der – allen Widerst¨anden und An-
feindungen zum Trotz – zum Bahnbrecher fu¨r die Graphentheorie wurde, war D´enes Ko˝nig
mit seinem wundervollen Buch “Theorie der endlichen und unendlichen Graphen” aus dem
Jahre 1936. Damit hat Ko˝nig der wissenschaftlichen Anerkennung und Entfaltung der Gra-
Vorwort ix
phentheorie einen unsch¨atzbaren Dienst erwiesen.
Inzwischen hat sich die Graphentheorie außerordentlich stu¨rmisch entwickelt, und sie be-
sitzt heute, eingebettet in die Diskrete Mathematik, einen unverru¨ckbar wichtigen Platz in
der reinen wie auch in der angewandten Mathematik. Wesentlichen Anteil an der rasanten
Entfaltung der Graphentheorie in der zweiten H¨alfte des zwanzigsten Jahrhunderts hatte das
Bestreben nach einer diskreten Modellierung unserer Welt und der M¨oglichkeit der Optimie-
rung durch Einzug des Computers. In erster Linie sind hier Probleme aus der Informatik und
der diskreten Optimierung zu nennen, die sich als graphentheoretische Probleme formulieren
und mit graphentheoretischen Methoden l¨osen lassen.
Mein Hauptziel ist es, dem Leser, insbesondere dem Studierenden, Methoden zu u¨ber-
mitteln und ihn fu¨r graphentheoretisches Denken zu interessieren. Obwohl der Text nur
Vertrautheit mit Elementarmathematik (Grundbegriffe der Mengenlehre, vollst¨andige In-
duktion, elementare Kombinatorik) verlangt, stellt der konsequent abstrakte Aufbau Anfor-
derungen. Neben dem klassischen Bestand der Graphentheorie, enth¨alt der Text eine Fu¨lle
moderner und aktueller Forschungsergebnisse, die zum Teil erstmalig in Lehrbuchform zu-
sammengefaßt worden sind. H¨aufig werden auch die algorithmischen Aspekte betont, die
hochinteressante Anwendungen in Wirtschaft, Technik und Naturwissenschaften besitzen.
Aufgaben, Beispiele und gezielte Literaturhinweise sind zum Nutzen des Lesers vielf¨altig
eingefu¨gt.
Dieses Werk, das 17 Kapitel umfaßt, die in verschiedene Abschnitte unterteilt sind, wurde
vom Autor mit dem Satzsystem LATEXerstellt. Ein Hinweis auf das Literaturverzeichnis, wie
z.B.Euler [1],ist beidemNamenEuler unter derZiffer[1]zufinden. DasEndeeinesBeweises
wird mit gekennzeichnet.
k
Aachen, im November 2011 LUTZ VOLKMANN
Inhaltsverzeichnis
1 Zusammenhang und Abstand 1
1.1 Graphen und Digraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Wege, Kreise und Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Gradsequenzen und Gradmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Abstandsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Bewertete Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Starker Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 W¨alder, Kreise, Faktoren und Geru¨ste 28
2.1 B¨aume, W¨alder und Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Faktoren gleicher Parit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Anzahl der Geru¨ste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Minimalgeru¨ste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Eulersche Graphen 49
3.1 Das K¨onigsberger Bru¨ckenproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Gute Ecken in Eulerschen Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Eulersche Digraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Das chinesische Brieftr¨agerproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4 Hamiltonkreise 61
4.1 Notwendige Bedingungen fu¨r Hamiltonkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Hinreichende Bedingungen fu¨r Hamiltonkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3 Panzyklische und Ecken-panzyklische Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Inhaltsverzeichnis xi
4.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5 Turniere und multipartite Turniere 75
5.1 Turniere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Multipartite Turniere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6 Matchingtheorie 97
6.1 Ges¨attigte und maximale Matchings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2 Matchings in bipartiten Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3 Kreisfaktoren in Digraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.4 Matching-Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7 Faktortheorie 115
7.1 Der 1-Faktorsatz von Tutte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.2 Das f-Faktorproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.3 Regul¨are Faktoren in regul¨aren Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.4 Fastregul¨are Faktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8 Bl¨ocke, Line-Graphen und Graphenoperationen 142
8.1 Schnittecken und Bl¨ocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.2 Line-Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.3 Graphenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9 Unabh¨angige Mengen und Cliquen 157
9.1 Unabh¨angige Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.2 Bestimmung minimaler U¨berdeckungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.3 Perfekte Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9.4 Der Satz von Tura´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
10 Dominanz und Irredundanz 174
10.1 Absch¨atzungen der Dominanzzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
xii Inhaltsverzeichnis
10.2 Graphenparameter im Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
10.3 Minimale Dominanzmengen in Blockgraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
10.4 k-Dominanzmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.5 Irredundanzmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
10.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11 Planare Graphen 205
11.1 Die Eulersche Polyederformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
11.2 Die Bondage Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
11.3 Der Fu¨nffarbensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
11.4 Der Satz von Kuratowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
11.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
12 Eckenf¨arbung 225
12.1 Die chromatische Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
12.2 Die (pseudo-) achromatische Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
12.3 Chromatische Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
12.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
13 Kanten- und Totalf¨arbung 240
13.1 Der chromatische Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
13.2 Kritische Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
13.3 Klassifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
13.4 Totalf¨arbung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
13.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
14 Mehrfacher Zusammenhang 262
14.1 Ecken- und Kantenzusammenhang in Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
14.2 Ecken- und Bogenzusammenhang in Digraphen . . . . . . . . . . . . . . . . 269
14.3 Die Mengerschen S¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
14.4 Anwendungen der Mengerschen S¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
14.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
15 Netzwerke 288
15.1 Die Theorie von Ford-Fulkerson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
15.2 Algorithmus von Edmonds, Karp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294