Graphen Algorithmen Netze: Grundlagen und Anwendungen in der Nachrichtentechnik

528 Pages·1995·8.6 MB·German

by  Firoz Kaderali

Firoz Kaderali
Werner Poguntke
Graphen
Algorithmen
Netze
Moderne KODlDlllnikationstechnik
Herausgegeben von
Prof. Dr.-Ing. Firoz Kaderali, Hagen
DatenkoDlDlllnikation
von Dieter Conrads
Digitale KODlDlunikationstechnik I
von Firoz Kaderali
Digitale KODlDlllnikationstechnik II
von Firoz Kaderali
Graphen · Algorithmen · Netze
von Firoz Kaderali und Werner Poguntke
Firoz Kaderali
Werner Poguntke
Graphen
Algorithmen
Netze
Grnndlagen nnd Anwendnngen in
der Nachrichtentechnik
I I
Vlewag
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Kaderali, Firoz:
Graphen, Algorithmen, Netze: Grundlagen und Anwendungen
in der Nachrichtentechnik I Firoz Kaderali; Werner Poguntke. -
Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1995
(Moderne Kommunikationstechnik)
NE: Poguntke, Werner:
Aile Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, BraunschweigIWiesbaden, 1995
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ist ohne Zustimmung des Verlages unzuliissig und strafbar. Das gilt ins
besondere ftir Vervielfiiltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und
die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Gedruckt auf siiurefreiem Papier
ISBN-13 :978-3-528-06662-8 e-ISBN -13 :978-3-322-89870-8
DOl: 10.1007/978-3-322-89870-8
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Vorwort
Die Graphentheorie ist heute ein wichtiges Hilfsmittel beim Studium komplexer
Probleme in verschiedenen Wissenschaften wie auch in direkten Anwendungsberei
chen.
Der universelle Charakter der Graphentheorie hat seinen Ursprung in der Einfachheit
der Struktur von Graphen: die Konzepte und Ergebnisse der Graphentheorie sind
immer dann anwendbar, wenn ein System zu modellieren ist, in dem Paare von Ob
jekten in einer Beziehung stehen konnen. Die strukturelle Einfachheit (und damit
auch Anschaulichkeit) zusammen mit dem interdiszipliniiren Charakter geben der
Graphentheorie viel von ihrem besonderen Reiz. Bei einer Modellierung durch
Graphen bleiben natiirlich stets (mitunter wichtige) Aspekte des zu untersuchenden
Systems unberiicksichtigt, weshalb die erzielten Ergebnisse mit Zuriickhaltung in
terpretiert werden miissen. Dies diirfte besonders fii.r sozialwissenschaftlicheAnwen
dung en der Graphentheorie zutreffen.
Historisch hat die Graphentheorie viele Urspriinge, die oft auf Riitsel oder Spiele
zuriickzufiihren sind. Viele Konzepte und Ergebnisse sind dabei mehrfach einge
ffihrt bzw. erzielt worden. Einige markante Stationen sollen hier aufgeruhrt werden:
1737 Euler lost das Konigsberger Briickenproblem.
1847 Kirchhoff verwendet graphentheoretische Ubedegungen zur Analyse elek
trischer Netzwerke.
1852 Guthrie wirft gegeniiber deMorgen die Vierfarbenvermutung als Problem
auf, das 1878179 von Cayley noch einmal offentlich gestellt wird.
1857 Cayley untersucht die Isomeren gesiittigter Kohlenwasserstoffe und be
stimmt die Anzahl der Geriiste vollstiindiger Graphen.
1859 Hamilton erfindet ein Spiel, bei dem entlang der Kanten eines reguliiren
Dodekaeders eine geschlossene Linie zu finden ist, die jede Ecke genau
einmal beriihrt.
1890 Heawood beweist, daB jeder planare Graph 5-flirbbar ist.
1927 Menger beweist, daB in jedem zusammenhiingenden Graphen die Min
destanzahl von Ecken, deren Wegnahme zwei nicht benachbarte Punkte
unverbindbar macht, gleich der Maximalzahl eckendisjunkter Wege zwi
schen diesen Punkten ist.
1930 Kuratowski beweist, daB ein Graph genau dann planar ist, wenn er bis auf
Homoomorphie Ks oder K3,3 nicht als Teilgraphen enthiilt.
1936 Das erste Buch iiber Graphentheorie erscheint in Leipzig: D. Konig,
Theorie der endlichen und unendlichen Graphen.
6 VOlwort
Hier wollen wir die Aufziihlung abbrechen. Die folgende Zeit ist gekennzeichnet
durch das Eindringen der Graphentheorie in immer mehr Anwendungsbereiche, auf
der anderen Seite durch eine intensive innermathematische Entwicklung der
Graphentheorie selbst. Dabei bestimrnt neben den Anstossen von auBen zunehmend
auch eine innermathematische Dynamik diese Entwicklung.
Besonders stiirmisch wurde die Entwicklung der Graphentheorie in den letzten
drei Jahrzehnten durch die Verfugbarkeit immer leistungsfahigerer Rechner. Wie
allgemein fUr die Kombinatorische Optimierung gilt insbesondere fUr die
Graphentheorie, daB viele Probleme praktisch losbar wurden, nachdem sie vorher
wegen der groBen Anzahl durchzufUhrender Rechenoperationen nicht in vertretba
rer Zeit bearbeitet werden konnten. Viele dieser Probleme kommen aus Operations
Research oder Informatik.
Eine neuere Station in der Entwicklung der Graphentheorie muB allerdings noch
herausgehoben werden: im Jahre 1976 bewiesen Appel und Haken die Richtigkeit
der Vierfarbenvermutung, die mehr als hundert Jahre lang als einfachstes und zu
gleich faszinierendstes ungelostes Problem der Mathematik gegolten hatte. Bri
sant an dem Beweis ist, daB zur Untersuchung einer groBen Anzahl gleichartiger
Faile die Hilfe eines Computers in Anspruch genommen wurde und es fUr Men
schen praktisch kaum moglich ist, diese Faile einzeln (ohne Hilfe eines Rechners)
nachzupriifen.
1m vorliegenden Buch, welches sich an einen Kurs der FernUniversitiit Hagen an
lehnt, ist die Auswahl des gebotenen Stoffes unter dem Aspekt der Anwendungen
in der Elektrotechnik erfolgt. Dies konnte nur eine grobe Leitlinie sein, denn
schon die Einordnung des Stoffes in das "Gebiiude" der Graphentheorie verlangt
auch ein Eingehen auf nicht unmittelbar praxisrelevante Bereiche. Methodisch
wird der Stoff vorwiegend yom algorithmischen Standpunkt her entwickelt. Fur
ein solches Vorgehen ist ein kurzes Eingehen auf die Theorie der Algorithmen, wie
sie in Logik und Theoretischer Informatik betrieben wird, notig.
Der erste Teil des Buches hat neben der Vermittlung der grundlegenden Begriffe
der Graphentheorie das Herstellen eines Grundverstiindnisses fur die Theorie der
Algorithmen zum Inhalt. Ferner werden einige der "klassischen" Graphen
algorithmen behandelt (z.B. zur Bestimmung kiirzester Wege), die in verschieden
sten Anwendungen eine Rolle spielen.
Der mit Kapitel 8 beginnende zweite Teil ist einigen speziellen Anwendungen der
Graphentheorie in der Elektrotechnik gewidmet.
Es werden folgende Themen behandelt:
Wegeauswahl in Netzen
- ZuverHissigkeit von Netzen
- Chip-Design
Vorwort 7
Die ersten beiden sind Themen, die der ,,modemen" Nachrichtentechnik mit groBer
Niihe zur Informatik zugerechnet werden. Das Zusammenwachsen von Kom
munikations- und Informationstechnik spiegelt sich hier darin, daB die betrachteten
,,Netze" sowohl Femsprech-wie Datennetze sein konnen.
Auch das dritte Thema liegt im Uberschneidungsbereieh von Diskreter Mathematik,
Informatik und Elektrotechnik. Die Probleme des "VLSI-Layout" sind in den letzten
Jahren zu einem wichtigen Anwendungsbereieh der Graphentheorie geworden. .
Weitere, eher ,,klassische" Anwendungen der Graphentheorie in der Elektrotechnik
(z. B. bei der Netzwerkanalyse und -synthese) konnten wir nicht berucksichtigen.
Die behandelten mathematischen Slitze werden in der Regel vollstlindig bewiesen.
Es gibt zwei Ausnahmen von dieser Regel: Handelt es sich urn einen Satz mit einem
technisch komplizierten Beweis, so daB der groBe Aufwand des Beweises zu der Be
deutung des Satzes fUr dieses Buch in einem MiBverhliltnis steht, so wird nur die
Beweisidee angedeutet. Geht es gar urn einen Satz, der eigentlich nieht zu dem be
handelten Stoff gehOrt, sondem mehr dem Ausblick auf angrenzende Bereiche der
Graphentheorie dient, so ist der Beweis ganz weggelassen.
An Voraussetzungen fiir das Studium des Buches sind notig die Vertrautheit mit der
Mengensprache sowie Kenntnis der Grundlagen der Linearen Algebra (einschlieB
lich des Umgangs mit Matrizen). Die wiehtigsten Begriffe aus diesen Bereichen sind
- sozusagen zur Erinnerung - in Anhlingen kurz erlliutert.
Das Literaturverzeichnis fiihrt die bei der Erstellung des Textes verwendete Literatur
sowie einige weitere Bucher auf, die anzusehen fur einen Leser sicher lohnend ist.
Es erhebt jedoch nicht den Anspruch, eine vollstlindige Bibliographie des Gebietes
der Graphentheorie zu sein, eine solche ware wesentlich umfangreicher.
Fur die ersten Kapitel wurden auch die Unterlagen zu Vorlesungen verwendet, die -
jeweils an der Technischen Hochschule Darmstadt - yom ersten Autor zusammen
mit Prof. Dr. P. Burmeister im Jahre 1975 und yom zweiten Autor im Jahre 1982 gehal
ten wurden.
An der Fertigstellung des Textes und der Erstellung der Bilder waren verschiedene
Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter des Lehrgebiets Kommunikationssysteme der
FemUniversitat Hagen beteiligt. Besonders zu danken ist Ulrike Welzel und Dr. Hel
ge Winterstein fUr die Unterstutzung bei der Erstellung der Pascal-Programme sowie
Jorg Heck fUr die endgiiltige Fertigstellung der druckreifen Fassung.
8
Inhalt
1 Gnmdbegrift'e
1.1 Pseudographen, Multigraphen, Graphen ................................................ 10
12 Wege, Kreise, Zusammenhang .......................................................... ..... 21
1.3 Kreise und Schnitte ........ .................................. ........... ........................... 35
2 DarsteIlung von Graphen
2.1 Diagramme und Planaritat .. .................... ................................................. 49
22 Matrizen .................................................................................................. 55
33 Weitere Matrizen und deren Eigenschaften ............................................ 64
3 Algorithmen
3.1 Das Erkennen und Suchen von Baumen ................................................ /U
32 Algorithmen und deren Komplexitat ....................................................... 74
33 Weitere Algorithmen und Begriffe .......................................................... 83
4 PSeud~phen
4.1 Grundbegriffe .......................................................................................... 92
42 Multidigraphen und Matrizen ................................................................. 104
5. Bewertungen
5.1 Ecken-, Kanten-und Bogenbewertungen ............................................... 121
52 Die algebraische Struktur von Bewertungen .. ........................................ 124
6 Kiirzeste Wege und minimale Geriiste
6.1 Kiirzeste Wege ........ ........................................ ....... ...................... .......... 138
62 Minimale Gertiste .................................................................................... 100
7 Fliisse
7.1 Einfiihrung .............................................................................................. 174
72 Die Satze von Ford und Fulkerson ......................................................... 180
73 Der Satz von Edmonds und Karp ............................................................ 193
7.4 Eine kombinatorische Anwendung: Der Satz von Menger ..................... 198
75 Weitere kombinatorische Anwendungen ........................................ ....... 201
7.6 Zullissige Fliisse und Zirkulationen ....................................................... 'lfJ)
7.7 Synthese minimaler Netze ....................................................................... 219
8 Wegeauswahl in Netzen
8.1 Das Problem der Wegeauswahl in Kommunikationsnetzen .................... 232
82 Algorithmen zur Bestimmung kiirzester Wege ........................................ 240
83 Das Stabilitatsproblem bei der Nutzung kiirzester Wege ........................ 259
8.4 Zur Ubertragung von Routing-Informationen ........................................ 268
Inhalt 9
8.5 Das Routing im ARPANET und im TYMNET ....... ...... .... ... ... ...... ....... ..... Tl6
8.6 Das Routing im Zeichengabesystem Nr. 7 ...... , ... ......... ......... ... .......... ..... 282
8.7 Optimales Routing. ........... ....... ..... ........ ... ..... ...... ......... ... ... ...... .... .... ....... 30)
9 Zuverlassigkeit von Netzen
9.1 EinfUhrung ...... .... ........ .......... ................ ..... ...... ..... ...... ....... ................. .... 3(1.)
9.2 Der Zusammenhang von Zufallsgraphen ............................................... 312
9.3 ZuverlassigkeitsmaBe und -polynome ................. ,. .............. ,. ................. 322
9.4 Zur Komplexitat des Zuverlassigkeitsproblems .. ... ... ... ... ....... ...... ....... .... 334
9.5 Abschatzungen fUr das Zuverlassigkeitspolynom .. ...... ....... ....... ...... ..... 345
9.6 Routing und Zuverlassigkeit . ..... ...... ... ... ..... ........... ...... ... ... .... ....... ......... 359
9.7 Synthese extremaler Netze . ....... .... ..... ... ..... ....... ............... .... ... .... ... ......... 378
10 Einige graphentheoretische Aspekte des VLSI-Layout
10.1 Programmierbare Logikfelder (PLA) ....... ..... ....... ...... .... ...... .......... ....... .... 388
10.2 AIternierende Kreise in gemischten Graphen ......................................... 402
10.3 Das Matrix-Permutationsproblem ........................................................... 416
10.4 Fiirbungen, Cliquen und Intervallgraphen .............................................. 419
10.5 Zur Sauberung von Baumen ... ...... ...... ...... ..... ....... ............ ........... ........... 433
A Verwendete Begriffe und Symbole aus der MengenJehre .......... ...... ..... 443
B Erliiuterung der verwendeten Begriffe aus der Linearen Algebra .. ..... 446
C Erlauterung der verwendeten Begriffe aus der
Theorie der Matrizen . ... .... ... ... ..... ............ ....... ..... ...... ...... .... ... ............... 450
D Pascal-Programme zu den Algorithmen von Dijkstra
und von Kruskal .. ..... ..... ....... ...... ... ............. ..... ...... ...... ....... .... ... ... .......... 453
E Pascal-Programm zorn Algorithmus von Ford
und Fulkerson .. .... ... ..... ....... ....... ...... ..... ..... ........ ...... ............. ...... ... ........ 463
F Boolesche Ausdriicke .. ....... ..... ... ..... ..... ....... ........... ...... ............. .... ... ..... 470
G Geriiste eines Graphen .. ............ ...... ....... ..... ........ ..... .... ... ...... .......... ...... 478
H Ein Pascal-Programm zur Berechnung des
Zuverlassigkeitspolynoms... .... ........ ... ......... ....... ...... ....... ...... .......... ...... 483
I LOsungen zu den Aufgaben . ..... ....... .... ........ ..... ...... ...... .......... ....... ... ... ... 487
Literaturverzeichnis .. .... ...... ........ ..... ..... ....... .......... ....... ...... .......... ....... ... ... ......... 516
Sachregister .. .... ... ...... ...... ...... ...... ..... ...... ..... ........ ...... ... ........ ....... ... ....... .... ... ..... 525
1. Grundbegriffe
1.1 Pseudographen, Multigraphen, Graphen
1.1.1
Ein Pseudograph ist ein Tripel P == (E, K, v) bestehend aus einer Eckenmenge
E, einer Kantenmenge K und einer (Inzidenz-) Abbildung
v: K -t {{x, y}lx, y E E}.
Die Elemente von E heiBen Ecken, die von K K anten.
1st k E K mit v( k) = {x, y}, so heiBen x und y die Endecken von k. ( Man
sagt auch: x und y inzidieren mit k bzw. k inzidiert mit x und y.)
Es werden im folgenden nur endliche Pseudograph en (d. h. E und K sind
endliche Mengen) betrachtet. Einen endlichen Pseudographen kann man sich
stets durch ein Diagramm veranschaulichen: die Ecken werden durch Punkte
der Zeichenebene dargestellt, die Kanten als Linien, die die Endecken der
Kante verbinden.
1.1.2
Beispiel
= =
Der Pseudograph P mit E {el,e2,e3}, K {k1,k2,k3,k4} und v(kd =
= = =
V(k2) {el,e3}, V(k3) {el,e2},v(k4) {e2} wird durchjedes der beiden
folgenden Diagramme dargestellt: