Table Of ContentВ.В.Трегуб: Лабораторная работа «Алгоритмы позиционирования в GPS» (проект). 5/4/2006
Global Positioning System – Глобальная система
позиционирования
Двадцать четыре спутника Земли со своих 12-часовых, наклоненных на 55° орбит
непрерывно излучают закодированные сигналы, содержащие информацию
• о точном мировом времени (Universal Coordinated Time) на момент излучения
сигнала и
• о положении спутника в геодезических координатах.
По сигналам от четырех спутников – выбранных определенным образом – наблюдатель,
снабженный приемником сигналов, рассчитывает свое положение.
x(k), y(k), z(k)
ρ(k) k-ый спутник
наблюдатель
(x, y, z)
геокоординаты.
Инструмент навигации в распоряжении наблюдателя – приемник сигналов, излучаемых
спутниками системы GPS. Имея точные часы, показывающие мировое время (UCT),
наблюдатель мог бы немедленно рассчитать время распространения сигналов от
соответствующих спутников. Радиосигналы распространяются со скоростью света,
поэтому по времени распространения немедленно вычисляются и расстояния до
спутников. Затем мировые координаты наблюдателя находятся с помощью решения
тригонометрической задачи. В трехмерном пространстве задача определения координат
точки по заданным расстояниям до трех опорных точек, не лежащих на одной прямой,
имеет два решения (которые в вырожденных случаях сливаются в одно), либо не имеет
решения вообще (нереальные исходные данные). На практике трилатерации по
спутникам, одно из двух получаемых решений отбрасывается по начальным условиям.
Мы говорим о трилатерации, а не о триангуляции, поскольку исходные данные имеют
линейные, а не угловые измерения.
Точность часов, используемых для определения расстояния с помощью измерения
времени распространения радиосигналов, должна быть очень высокой ввиду большой
скорости распространения радиосигналов. Ошибка определения времени в
1 микросекунду приводит к ошибке определения расстояния в 300 метров. Для
определения времени на спутниках GPS установлены атомные часы стоимостью более
100 000 тыс. долларов за прибор (для повышения надежности на каждом спутнике
установлено по 4 экземпляра таких часов). Использование столь же точных часов в
каждом приемнике GPS нереально. Поэтому для определения координат по спутникам
GPS используют сигналы от 4-х спутников, что дает четыре уравнения для определения
4-х неизвестных – трех пространственных координат приемника и момента времени
получения сигналов.
1
В.В.Трегуб: Лабораторная работа «Алгоритмы позиционирования в GPS» (проект). 5/4/2006
Приемник GPS (пользовательский сегмент системы глобального позиционирования)
содержит процессор сигналов, который выделяет необходимую информацию из
закодированного сигнала, принятого с орбиты, и микрокомпьютер, который вычисляет
поправки на задержку сигнала в ионосфере и релятивистские эффекты. В памяти
микрокомпьютера хранится информация о параметрах спутниковых орбит, земной
атмосфере и форме поверхности земного геоида.
Мы рассмотрим только геометрическую сторону задачи – определение координат и
времени по сигналам точного времени, полученным с четырех спутников, совместно с
информацией о положении спутника на момент излучения сигнала.
Аналитическое решение тригонометрической задачи приводит к системе четырех
уравнений для четырех величин – трех координат приемника и времени приема сигнала,
причем уравнения нелинейные. Задача может быть решена методом последовательных
приближений. Замеры производятся достаточно часто, а скорость движения приемника
невелика. Поэтому логическому устройству приходится потрудиться только в стадии
начальной инициализации при запуске системы. Дальнейшие определения положения
производится «в одно касание», как мы увидим в ходе выполнения этой работы.
Имеем 4 спутника, нумерация которых начинается с нулевого. Координаты спутников:
S0 , S0 , S0
x y z
S1 , S1 , S1
x y z
S2 , S2 , S2
x y z
S3 , S3 , S3
x y z
Координаты GPS-приемника: R , R , R
x y z
Расстояния от спутников до приемника:
R0=√[(S0 –R )2+(S0 –R )2+(S0 –R )2]
x x x x x x
R1=√[(S1 –R )2+(S1 –R )2+(S1 –R )2]
x x x x x x
R2=√[(S2 –R )2+(S2 –R )2+(S2 –R )2]
x x x x x x
R3=√[(S3 –R )2+(S3 –R )2+(S3 –R )2]
x x x x x x
Введем величины Pi, соответствующие расстоянию от спутника до приемника,
вычисленному как произведение времени распространения сигнала от спутника до
приемника на скорость распространения (скорость света), причем момент получения
сигнала берется по часам приемника до внесения коррекции в показания часов на
основании этих вычислений. В терминологии GPS эти величины называются
псевдодальности (pseudoranges).
Массив Li определяется как разница между соответствующими вычисляемыми по
координатам расстояниями и псевдодальностями (вычисляемыми по времени
распространения): Li= Ri – Pi
Полные производные Li по времени могут быть выражены через производные по
направлениям:
d(Li)/dt=∂(Li)/∂R ·d(R )/dt+∂(Li)/∂R ·d(R )/dt+∂(Li)/∂R ·d(R )/dt–∂(Pi)/∂t
x x y y z z
∂(Li)/∂R = – (S0 –R )/Ri ; ∂(Li)/∂R = – (S0 –R )/Ri ; ∂(Li)/∂R = – (S0 –R )/Ri ; –∂(Pi)/∂t=1
x x x y y y y y y
2
В.В.Трегуб: Лабораторная работа «Алгоритмы позиционирования в GPS» (проект). 5/4/2006
Скорость света c=1, частные производные ∂(Li)/∂R , … по координатам приемника
x
обозначаем Dxi, Dyi, Dzi, и Dti (Dti=–1). Эти коэффициенты составляют матрицу
|Dx0 Dy0 Dz0 Dt0|
| |
|Dx1 Dy1 Dz1 Dt1|
A = | |
|Dx2 Dy2 Dz2 Dt2|
| |
|Dx3 Dy3 Dz3 Dt3|
Полная производная величин Li по времени, умноженная на уход часов, дает величину
собственно Li (в предположении их малости): d(Li)/dt · ∆t = Li, а d(R)/dt · ∆t = ∆R, где ∆R –
вектор пространственного смещения положения приемника, соответствующего заданному
уходу часов приемника, дополненный четвертой компонентой – значением ухода часов
приемника. Выраженное через частные производные по направлениям и времени, это
соотношение приводит к уравнению
A·∆R = L
которое немедленно приводит нас к решению, дающему первую итерацию определения
положения приемника и коррекции его часов:
∆R = A-1·L
Задание:
Провести вычисления по выведенным формулам в Excel-е. Начать с вычислений в
двумерном случае (число «спутников» тогда уменьшается до трех). В такой модели есть
возможность следить графически за прохождением итераций.
Сначала решается прямая задача, т.е., по координатам спутников и приемника вычисляются
псевдодальности (L2:L4), в значения которых затем вводится уход часов приемника (в ячейке N1).
Стартовые значения псевдодальностей для начала решения задачи трилатерации находятся в ячейках
M2:M4. Переносим эти значения в ячейки J2:J4 с помощью Paste Special: Values, по-русски
Специальная вставка: Значения. (Если не выполнять эту операцию, а просто записать в
соответствующих ячейках ссылки на ячейки M2:M4, возникает ошибка «циркулярные ссылки», так
что некоторое – минимальное – программирование необходимо в том случае, если мы захотим
автоматизировать расчеты на этой странице). В ячейках M5:M6 помещаем значения x- и y-координат
приемника, от которых начинается расчет (например, результаты предыдущего цикла определения
координат или значения, взятые наугад). Значения в этих ячейках можно менять, непосредственно
перетаскивая изображаемую этими координатами точку на графике («Цель»). На эти координаты
ссылаются ячейки B6 и C6. Таким образом, эти координаты появляются в столбцах координат
«спутников». В пятой строке содержатся координаты приемника, использованные при расчете
начальных псевдодальностей. В результате итерационного процесса, если все пойдет правильно,
точка GPS-приемник на графике должна будет подползти к точке «Цель». В ячейках B9:D11 –
матрица A, в ячейках F9:H11 – матрица A-1, которая вычисляется с помощью функции MINVERSE. В
ячейках B13:D13 – вектор Li очередного шага итерации. Значения в этих ячейках используются для
формирования поправленных значений координат/часов приемника в ячейках K2:K6. Для выполнения
очередного шага итерации мы копируем эти значения в буфер, затем вставляем в ячейки J2:J6 с
помощью Paste Special: Values, чтобы не возникло циркулярных ссылок. За приближением координат
приемника к цели следим по графику на странице.
Прилагаемый файл GPSSolverMacro.xls содержит макрос, автоматизирующий выполнение
вышеуказанных операций. Для запуска макроса необходимо безопасность Excel перевести в режим
«Средняя» (не забыть по окончании упражнения вернуть режим «Высокая»!), затем, при открытии
файла, разрешить выполнение макросов. Макрос запускается через меню Сервис->Макро->Макрос,
либо горячей клавишей Alt+F8. Макрос в файле единственный, его и надо запустить. Выполнение
3
В.В.Трегуб: Лабораторная работа «Алгоритмы позиционирования в GPS» (проект). 5/4/2006
останавливается после каждого шага итерации, MessageBox информирует о погрешности, в конце
выводится кол-во итерций. С помощью Alt+F11 можно просмотреть текст макроса (поучительно для
изучения итерации, если студент опустил выполнение расчетов на листе в неавтоматизированном
режиме, как рекомендовано в предыдущем абзаце).
Задание:
Провести расчет для трехмерного случая. Реальные координаты некоторых спутников
системы GPS в системе координат ECEF в момент излучения ими сигналов, принятых
GPS-приемником, приведены на второй странице экселевского файла. Можно
использовать их в качестве тестовых. Должен получиться ответ для координат и времени
как в ячейках H7:H10 для двумерной модели.
Погрешности определения координат и времени с помощью GPS
В числе прочих погрешностей метода GPS существует погрешность, имеющая
геометрическое происхождение. Следующий рисунок проясняет ее происхождение:
α
Если векторы направлений на два спутника, участвующие в определении координат GPS-
приемника, различаются лишь на небольшой угол, то небольшая погрешность в
определении псевдодальности приводит к значительной ошибке определения точки
пересечения соответствующих сфер, умножаясь практически на 1/sin(α). Эта ошибка
имеет специальное название, GDOP – Geometric Dilution Of Precision (геометрическое
размытие точности). GDOP измеряется как отношение большего поперечника зоны
погрешности к меньшему. GDOP левой конфигурации близок к единице – почти
идеальный показатель, GDOP правой конфигурации больше шести (плохо).
Задание.
Определить GDOP для трехмерной конфигурации предыдущего задания. Исследовать
влияние нескольких спутников на GDOP с помощью двумерной модели первого задания.
4
