Table Of ContentDortmunder Beiträge zur Entwicklung
und Erforschung des Mathematik-
unterrichts
Band 20
Herausgegeben von
S. Hußmann,
M. Nührenbörger,
S. Prediger,
C. Selter,
Dortmund, Deutschland
Eines der zentralen Anliegen der Entwicklung und Erforschung des Mathematik-
unterrichts stellt die Verbindung von konstruktiven Entwicklungsarbeiten und
rekonstruktiven empirischen Analysen der Besonderheiten, Voraussetzungen und
Strukturen von Lehr- und Lernprozessen dar. Dieses Wechselspiel fi ndet Ausdruck
in der sorgsamen Konzeption von mathematischen Aufgabenformaten und Unter-
richtsszenarien und der genauen Analyse dadurch initiierter Lernprozesse.
Die Reihe „Dortmunder Beiträge zur Entwicklung und Erforschung des Mathe-
matikunterrichts“ trägt dazu bei, ausgewählte Th emen und Charakteristika des
Lehrens und Lernens von Mathematik – von der Kita bis zur Hochschule – unter
theoretisch vielfältigen Perspektiven besser zu verstehen.
Herausgegeben von
Prof. Dr. Stephan Hußmann,
Prof. Dr. Marcus Nührenbörger,
Prof. Dr. Susanne Prediger,
Prof. Dr. Christoph Selter,
Technische Universität Dortmund, Deutschland
Larissa Zwetzschler
Gleichwertigkeit
von Termen
Entwicklung und Beforschung
eines diagnosegeleiteten
Lehr-Lernarrangements im
Mathematikunterricht der 8. Klasse
Larissa Zwetzschler
TU Dortmund, Deutschland
Dissertation Technische Universität Dortmund, 2014
Tag der Disputation: 10.6.2014
Erstgutachterin: Prof. Dr. Susanne Prediger
Zweitgutachter: Prof. Dr. Stephan Hußmann
Dortmunder Beiträge zur Entwicklung und Erforschung des Mathematikunterrichts
ISBN 978-3-658-08769-2 ISBN 978-3-658-08770-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-658-08770-8
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Geleitwort V
Geleitwort
Algebraische Terme und Termumformungen sind für viele Lernende schwer zu
verstehen, zahlreiche deskriptive empirische Studien haben diese Schwierigkei-
ten in den letzten Jahrzehnte belegt. Weniger Studien gibt es allerdings zu der
konstruktiven Frage, wie die Verstehensschwierigkeiten überwunden und trag-
fähige inhaltliche Vorstellungen zur Gleichwertigkeit von Termen aufgebaut
werden können. Larissa Zwetzschler hat sich mit ihrer Arbeit der herausfordern-
den Aufgabe gestellt, nicht nur geeignete Lehr-Lernarrangements zu entwickeln,
sondern diese in ihren Wirkungen zu beforschen.
Dazu bedient sie sich des Forschungsprogramms der Fachdidaktischen
Entwicklungsforschung mit seinem iterativen Bezug von Design und Erfor-
schung in Designexperimenten, das es ermöglicht, auf der Mikroebene Lernver-
läufe und typische Hürden zu rekonstruieren und zu ihrer Überwindbarkeit bei-
zutragen.
Die theoretischen Bezüge der Arbeit entstammen unterschiedlichen Berei-
chen: Lerntheoretische Grundlagen werden knapp erläutert und unmittelbar auf
die später genutzten analytischen Konstrukte zugespitzt. Die algebradidakti-
schen Grundlagen zum Lerngegenstand werden in eine sehr hilfreiche Zusam-
menschau des internationalen Forschungsstands gebracht, die die Spezifizierung
und Strukturierung des Lerngegenstands im Zusammenspiel der Bezüge Algeb-
ra, Geometrie und Arithmetik über die Konzepte Gleichwertigkeit als Einset-
zungsgleichheit und Beschreibungsgleichheit plausibel fundiert. Gleichzeitig
wird dabei aufgezeigt, wie vorrausetzungsreich diese Konzepte in Bezug auf
Vorstellungen zu Termen, Variablen, aber auch geometrischen Figuren sind.
Zudem werden Forschungslücken in Bezug auf gezielt gestaltete Lehr-
Lernprozesse klar herausgearbeitet. Auf der immer feiner werdenden Spezifizie-
rung des Lerngegenstands liegt auch der spätere Schwerpunkt der Empirie, die
Autorin hat sich damit für eine sehr mathematiknahe Schwerpunktsetzung in-
nerhalb des großen Forschungsprogramms entschieden, die sie mit sehr großem
Gespür für die Lerngegenstände und ihre Herausforderungen ausarbeitet.
Die methodologischen Grundlagen und methodischen Entscheidungen
über die Vorgehensweisen im Forschungsprogramm der Fachdidaktischen Ent-
wicklungsforschung werden nicht nur in die breitere Diskussion eingebettet,
sondern auch in ihrer Umsetzung für die vorliegende Arbeit erläutert: Wer Ver-
läufe und Hürden von Lehr-Lernprozessen rekonstruieren will, darf sich nicht
allein auf Untersuchungen zu Lernständen verlassen. Ebenso wenig ist es mög-
lich, sie in alltäglichem Unterricht zu beforschen. Stattdessen ist die Entwick-
lung eines Lehr-Lernarrangements erforderlich, das die intendierten Lehr-
Lernprozesse ermöglicht. Eine solch anspruchsvolle, vielschichtige Arbeit war
für dieses Dissertationsprojekt möglich durch die Einbindung in das Kosima-
VI Geleitwort
Projekt, in dem die Entwicklung von einem Design-Team (mit)getragen wurden,
zu denen die Autorin gehörte. Die Erforschung der Wirkungsweisen und Gelin-
gensbedingungen dieses Lehr-Lernarrangements wurden im Rahmen das
KOSIMA-Projekts durchgeführt und haben diesem sehr wertvolle Impulse ge-
geben, die auch in die Weiterentwicklung des entsprechenden Kapitels in der
Mathewerkstatt 8 substantiell eingeflossen sind.
Den Kern der Arbeit bieten die empirischen Analysen ihren jeweiligen
Rückwirkungen auf die Weiterentwicklung des Designs und den klar herausge-
arbeiteten Beiträgen zur Theoriebildung bzgl. des Lerngegenstands und der
angestoßenen Lehr-Lernprozesse. Dabei gelingt es in faszinierender Weise, die
Iterativität der Entwicklung und immer tiefergehenden Forschung entlang im-
mer weiterer Aspekte für die Spezifizierung und Strukturierung des Lerngegen-
stands aufzuzeigen.
Es entsteht ein facettenreiches und hoch vernetztes Bild, das die Komple-
xität des Lerngegenstands im Zusammenspiel von Term, Figur und Zahlen ein-
drucksvoll zeigt. Dabei zeigt sich, dass der geometrische Zugang zur Gleichwer-
tigkeit über die Beschreibungsgleichheit die gleichen, wenn auch oft verdeckte-
ren Schwierigkeiten im Umgang mit Allgemeinheit bietet wie der numerische
Zugang über die Einsetzungsgleichheit. Die Autorin rekonstruiert die Bedeutung
des Herstellens von Beziehungen, das sie innerhalb und zwischen unterschiedli-
chen Darstellungen als ebenso relevant wie die Allgemeinheit herausarbeitet.
Die Parallelisierung beider Herausforderungen und typischer Wege zu ihrer
Überwindung erfolgt in höchst kondensierter einsichtsvoller Weise im dritten
Empiriekapitel über die Konstrukte der Verstehenskomplexe, deren theoretische
und praktische Bedeutung in weiteren Arbeiten weiter ausgelotet werden sollten.
Im abschließenden Kapitel werden Befunde und Konsequenzen übersicht-
lich zusammengestellt und im Hinblick auf die Grenzen ihrer Aussagekraft
kritisch diskutiert.
Insgesamt ergibt sich damit ein höchst einsichtsvolles und komplexes Bild
über den algebraischen Lerngegenstand, ein Lehr-Lernarrangement zu seiner
Erarbeitung und den Verläufen und Hürden auf den individuellen Lernwegen hin
zu diesem Lerngegenstand. Sowohl das praktische Entwicklungsprodukt als
auch die empirischen Einsichten sind für die Didaktik der Algebra von großer
Bedeutung, die Komplexität der Ergebnisse ist für die Bearbeitungszeit von gut
drei Jahren höchst eindrucksvoll.
Insofern wünsche ich der Arbeit zahlreiche Leserinnen und Leser und die-
sen eine anregungsreiche Lektüre!
Susanne Prediger
Vorwort
Das Verfassen dieser Dissertation war für mich eine höchst spannende und lehr-
reiche Erfahrung, bei der ich gewinnbringende Einblicke nehmen und wertvolle
Erkenntnisse bekommen durfte. Ich möchte diese Stelle dazu nutzen, mich bei
denjenigen zu bedanken, die den Prozess meiner Arbeit so wunderbar und kon-
struktiv unterstützt und begleitet haben.
Meiner Betreuerin, Prof. Dr. Susanne Prediger, möchte ich für Ihre Unterstüt-
zung herzlich danken. Sie hat mir die Möglichkeit gegeben, eigenständige, in-
tensive Erkenntnisse zu gewinnen und war zugleich bereit, diese Prozesse tief-
greifend zu begleiten. Durch diese Zusammenarbeit durfte ich substanzielle
Erfahrungen im Bereich mathematikdidaktischer Forschung sammeln. Insbe-
sondere ihr Blick und ihre Begeisterung für zentrale Lern- und Entwicklungs-
prozesse haben mich beeindruckt und angesteckt. Für diese höchst spannende
Erfahrung möchte ich ihr herzlich danken.
Prof. Dr. Stephan Hußmann danke ich für das Interesse an meiner Arbeit und die
Begleitung über die Entstehungszeit. Seine tiefgreifenden Rückmeldungen habe
ich stets sehr geschätzt.
Ermöglicht wurde mir die Promotion durch die Aufnahme in das Forschungs-
und Nachwuchskolleg Fachdidaktischer Entwicklungsforschung (FUNKEN) der
TU Dortmund. Herzlich danken möchte ich dem Leitungsteam und den Dokto-
randinnen und Doktoranden des Kollegs für die vielfältigen Einblicke in unter-
schiedliche Promotionsprojekte und die wertvollen Impulse und Rückmeldun-
gen zu meiner Arbeit.
Eingebunden in das Institut zur Entwicklung und Erforschung des Mathematik-
unterrichts (IEEM) der TU Dortmund befand ich mich jederzeit in einem leben-
digen mathematikdidaktischen Austausch, den ich sehr geschätzt habe. Allen
Mitgliedern des IEEM möchte ich für dieses produktive und anregende Umfeld
danken.
Für die tollen Rückmeldungen im Prozess des Konzipierens, Analysierens,
Schreibens und der Rechtschreibkorrektur meiner Arbeit möchte ich ganz be-
sonders Ann-Christin Buttlar, Kirstin Erath, Matthias Glade, Nadine Krägeloh,
Dr. Alexander Meyer, Dr. Vanessa Richter, Dr. Susanne Schnell, Andrea Stein,
Julia Strauss, Dr. Lena Wessel, Nadine Wilhelm, Carina Zindel und Maria
Zwetzschler danken.
Judith Vorwerk möchte ich für die sorgfältige und kritische Unterstützung im
Prozess der Datenerhebung, -aufbereitung und -analyse danken. Anne Schüler
VIII Vorwort
danke ich für die gewissenhafte und produktive Begleitung des Schreib-
prozesses.
Den Lehrerkräften und zahlreichen Schülerinnen und Schülern, die mein Lehr-
Lernarrangement durchgeführt haben und mir die Datenerhebung erst ermög-
lichten, möchte ich an dieser Stelle ganz besonders danken.
Meiner Familie und meinen Freunden danke ich dafür, dass sie immer für mich
da waren und auch mal verständnisvoll auf mich verzichtet haben.
Abschließend möchte ich meinem Mann, Danny Zwetzschler, dafür danken,
dass er immer an mich glaubt und mich so wunderbar begleitet.
Larissa Zwetzschler
Inhalt
Geleitwort........................................................................................................ V
Vorwort......................................................................................................... VII
0 Einleitung........................................................................................ 1
Teil A: Theoretische Bezüge............................................................................ 7
1 Lerntheoretische Grundlagen der Arbeit..................................... 7
1.1(cid:3) Lerntheoretische Grundlagen........................................................... 7(cid:3)
1.1.1(cid:3) Wissen und Lernen in gemäßigt konstruktivistischer
Sichtweise........................................................................................ 7(cid:3)
1.1.2(cid:3) Ausdifferenzierung von Vorstellungen als zentraler Teil
konzeptuellen Wissens................................................................... 10(cid:3)
1.1.3(cid:3) Konstrukte aus Vergnauds Theorie der Konzeptuellen Felder
zur Ausdifferenzierung von Vorstellungen..................................... 13(cid:3)
1.2(cid:3) Nutzung der adaptierten Lerntheorie in dieser Arbeit.................... 19(cid:3)
1.2.1(cid:3) Nutzung für die Entwicklung des Lehr-Lernarrangements............ 19(cid:3)
1.2.2(cid:3) Nutzung für die Erfassung von Lernprozessen.............................. 20(cid:3)
1.2.3(cid:3) Fazit: Beziehung zwischen der lerntheoretisch verorteten
Entwicklung und Beforschung....................................................... 21(cid:3)
2 Gleichwertigkeit von Termen-Stoffdidaktische Hintergründe
und empirische Untersuchungen................................................. 22
2.1(cid:3) Spezifizierung und Strukturierung des Lerngegenstandes zur
Gleichwertigkeit von Termen......................................................... 23(cid:3)
2.1.1(cid:3) Lerngegenstände der Algebra......................................................... 24(cid:3)
2.1.2(cid:3) Algebra als verallgemeinerte Arithmetik –Herausforderung
bei der Übertragung arithmetischer Konzepte............................... 27(cid:3)
2.1.3(cid:3) Spezifizierung und Strukturierung des Lerngegenstandes zur
Gleichwertigkeit von Termen......................................................... 45(cid:3)
2.1.4(cid:3) Produktive Verbindung geometrischer und algebraische
Konzepte –geometrische Konzepte zur
Beschreibungsgleichheit................................................................ 59(cid:3)
2.1.5(cid:3) Darstellungen: Bedeutungen als Lerngegenstand.......................... 66(cid:3)
2.1.6(cid:3) Zusammenfassung des Lerngegenstandes zur
Gleichwertigkeit von Termen......................................................... 71(cid:3)
