Table Of ContentLECTURE NOTES IN MATHEMATICS
A collection of informal reports and seminars
Edited by A. Dold, Heidelberg and B.Eckmann, Zurich
114
H. JACQUET, University of Maryland, College Park
R. P. LANGLANDS, Yale University, New Haven
AUTOMORPHIC FORMS ON GL(2)
SPRINQER-VERLAG BERLIN • HEIDELBERG • NEW YORK 1970
Э. ЖАКЕ, Р. ЛЕНГЛЕНДС
АВТОМОРФНЫЕ ФОРМЫ НА GL(2)
Перевод с английского О.М. ФОМЕНКО
Под редакцией А.Н. АНДРИАНОВА
Издательство «Мир» • Москва 1973
УДК 519.45 + 517.862 + 511
В книге подробно и вполне доступно для начинающих изложена
теория дзета-функций, связанных с бесконечномерными представ
лениями; эта теория имеет большое значение для арифметики и
теории представлений.
Книга предназначена для научных работников в области теории
чисел, алгебры и топологии. Она будет полезна преподавателям, аспи
рантам и студентам старших курсов университетов и пединститутов.
Редакция литературы, по математическим наукам
0223-08
Ж (g) Перевод на русский язык, «Мир», 1973
041(01)-73
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Дзета-функции давно зарекомендовали себя как один из самых
мощных инструментов теории чисел. Поскольку возможности клас
сических дзета-функций, по-видимому, в значительной мере исчер
паны, все больше специалистов с надеждой взирает на возникающие
теперь в большом количестве новые дзета-функции, связывая с ними
будущий прогресс арифметики. Возможно, наиболее перспективными
из них являются дзета-функции, отвечающие автоморфным формам
на алгебраических группах (в этой терминологии классические
дзета-функции соответствуют одномерным или абелевым группам).
Предлагаемая книга Жаке и Ленглендса—это первое систематичес
кое изложение теории автоморфных форм и дзета-функций, отвеча
ющих полной группе матриц второго порядка над арифметическими
полями.
Разумеется, авторы строят эту теорию не на пустом месте. Более
того, основные идеи были налицо, когда они приступили к своей
работе. Это, прежде всего, теория Гекке рядов Дирихле, отвечающих
модулярным формам, формула следа Сельберга, концепции И. М. Гель-
фанда и И. И. Пятецкого-Шапиро связей автоморфных форм и
теории представлений, сама теория представлений групп Ли и, на
конец, работы А. Вейля о рядах Дирихле с функциональными
уравнениями. Однако окончательная реализация этих идей, даже в
случае группы GL(2), оказалась далеко не простой задачей. Вместе
с тем, без детальной теории, учитывающей в некотором разумном
смысле все дзета-функции рассматриваемого класса, вряд ли имеет
смысл серьезно говорить о содержательном применении их к ариф
метике. В книге Жаке и Ленглендса эта задача в основном решена.
Это потребовало от авторов огромной кропотливой работы и массы
теоретических находок. В качестве иллюстрации приведен ряд весь
ма интересных арифметических приложений (см. введение).
6 Предисловие редактора перевода
Предлагаемая книга может рассматриваться также как хоро
ший учебник по теории представлений группы GL(2). Для ее чте
ния в основном достаточно владения началами теории алгебраи
ческих чисел и функционального анализа в объеме обычных уни
верситетских курсов. Эта книга, несомненно, привлечет внимание
специалистов и, возможно, сыграет свою роль в будущем прогрес
се арифметики.
Естественно, что первая публикация результатов столь большой
работы не свободна от недостатков. Изложение достаточно рыхло,
текст изобилует мелкими ошибками и опечатками. При переводе
были исправлены все замеченные погрешности. Исправить осталь
ные мы предоставляем вдумчивому читателю.
А. Н. Андрианов
ПРЕДИСЛОВИЕ
К наиболее известным достижениям Гекке принадлежат его тео
рия L-функций с гроссенхарактерами, которые являются рядами
Дирихле, допускающими разложение в эйлерово произведение, и его
теория эйлеровых произведений, ассоциированных с автоморфными
формами на GL(2). Поскольку гроссенхарактер является автоморф-
ной формой на GL(1), невольно напрашивается вопрос, не играют ли
эйлеровы произведения, ассоциированные с автоморфными формами
на GL(2), некоторую роль в теории чисел, аналогичную той, которую
играют L-функции с гроссенхарактерами. В частности, имеют ли они
отношение к L-функциям Артина, отвечающим двумерным представ
лениям группы Галуа, подобное тому, которое L-функции Гекке
имеют к L-функциям Артина, отвечающим одномерным представле
ниям? Хотя мы не можем дать определенного ответа на этот вопрос,
одна из основных целей настоящих заметок — привести некоторые
свидетельства в пользу того, что этот ответ утвердительный.
Эти свидетельства представлены в § 12. Их источником яв
ляется переосмысливание оригинальных исследований Гекке в духе
одной недавней работы А. Вейля. Нечто новое в нашем переос
мысливании возникает благодаря точке зрения, основанной на
теории представлений групп. К сожалению, в литературе, по-види
мому, отсутствуют необходимые нам факты из теории представле
ний группы GL(2). Таким образом, мы вынуждены в главе I из
ложить теорию представлений групп GL(2, F), где F — некоторое
локальное поле. Параграф 7 является исключением. Он исполь
зуется не в теории Гекке, а в главе об автоморфных формах и
кватернионных алгебрах.
Глава I длинна и скучна, однако в ней нет ничего трудного.
Тем не менее для всякого, кто желает понять L-функции, необхо
димо по меньшей мере серьезно осознать результаты этой главы,
ибо они дают повод для размышлений.
Параграфы 9 и 10 являются подготовительными для теории Гекке,
которая изложена в § 11. Мы хотели бы подчеркнуть, так как,
быть может, это не очевидно, что наш метод есть метод Гекке.
В частности, главный инструмент исследования — преобразование
Меллина. Успех этого метода для GL(2) связан с совпадением раз
мерностей подгруппы Картана и унипотентного радикала подгруп
пы Бореля группы PGL(2). Среди простых групп этим свойством
обладает только PGL(2). Отсюда следует, что наш метод не обоб
щается. Результаты же, за исключением обратной теоремы в теории
Гекке, обобщаться могут.
8 Предисловие
Правильный путь установить функциональное уравнение для
рядов Дирихле, ассоциированных с автоморфными формами,—это,
по-видимому, путь Тейта. В § 13 мы проверяем, по существу, что
этот метод приводит к тем же локальным множителям, что и путь
Гекке, и в § 14 используем метод Тейта, чтобы получить функцио
нальное уравнение для L-функций, ассоциированных с автоморф
ными формами на мультипликативной группе кватернионной алгеб
ры. Результаты § 13 наводят на мысль о связи характеров пред
ставлений группы GL(2) и характеров представлений мультипли
кативной группы кватернионной алгебры. Эта связь устанавли
вается в § 15 на основании результатов § 13. Она была хорошо из
вестна для архимедовых полей, однако ее значение не подчерки
валось. Хотя наше доказательство оставляет желать лучшего, сам
результат представляется нам одним из наиболее поразительных
фактов, приведенных в этих заметках.
Параграфы 15 и 16 являются результатом запоздалых размыш
лений; содержащиеся там факты были установлены лишь после того,
как остальная часть этих заметок была почти закончена. Доказа
тельства в § 16 только намечены, и мы сами еще не проверили всех
деталей. Однако теорема из § 16 настолько важна и ее доказатель
ство является такой прекрасной иллюстрацией силы и предельной
простоты формулы следа Сельберга и методов гармонического ана
лиза на полупростых группах, что мы не могли не привести ее.
Хотя нас совершенно не удовлетворяют методы первых пятнадцати
параграфов, мы не видим пути для улучшения методов § 16. Эти
методы годятся, вероятно, и для подхода к вопросу, оставшемуся
нерешенным в § 12.
Мы надеемся опубликовать продолжение этих заметок 1, которое
кроме всего прочего, будет включать детальное доказательство тео
ремы из § 16, равно как и обсуждение ее следствий для теории
чисел. Эта теорема имеет, как это обычно и бывает, довольно
длинную историю. Насколько нам известно, первоначальной ее фор
мой были утверждения о представимости автоморфных форм
тета-рядами, отвечающими кватернарным квадратичным формам.
Как мы уже сказали, в этих заметках нет ничего действительно
нового. В литературных указаниях, приведенных в конце каждой
главы 2), мы попытались отметить, чем обязаны другим авторам. Мы
не смогли, однако, в полной мере отразить, чем же мы обязаны Р. Го-
деману, поскольку многие из его идей были сообщены устно одному
из нас, как его ученику. Надеемся, он не возражает, что его идеи
оказались в таком окружении.
Нью-Йорк, Э.Жаке,
Нью-Хейвен Р. Ленглендс
1) См. список литературы.— Прим. перев.
2) При переводе эти указания приведены отдельно после списка литературы
в разделе „Библиографические примечания". — Прим. ред.
Глава I
ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
§ 1. Представления Вейля
Прежде чем начинать изучение автоморфных форм, мы должны
изложить обзор теории представлений полной линейной группы
второго порядка над локальным полем. В частности, мы собираемся
доказать существование различных серий представлений. Один из
самых быстрых способов сделать это основан на использовании
представлений, построенных Вейлем [3]. Мы начнем с изложения
его конструкции, добавляя в соответствующих местах некоторые
замечания, которые понадобятся в дальнейшем.
В этом параграфе F будет обозначать локальное поле, а К
будет алгеброй над F одного из следующих типов:
(I) прямая сумма F®F;
(II) сепарабельное квадратичное расширение поля F;
(III) единственная кватернионная алгебра над F; тогда К яв
ляется алгеброй с делением с центром F;
(IV) алгебра М (2, F) квадратных матриц порядка 2 над F.
Во всех случаях мы отождествляем F с подпол ем алгебры К,
состоящим из скалярных кратных единицы. В частности, если
K = F@F, мы отождествляем F с множеством элементов вида
(х, х). Мы можем ввести инволюцию i алгебры К, которая пере
водит х в х1 и обладает следующими свойствами:
(I) имеют место тождества (х + у)1 = х1 + У1 и (ху)1 — у1х1;
(II) если х принадлежит F, то х = х1;
(III) для любого х из К элементы т(х) = х + х1 и v (х) = хх1 = х1х
принадлежат F.
Если K==FQ)F и х = (а, Ь), мы положим х1 = (Ь, а). Если К —
сепарабельное квадратичное расширение поля F, инволюция i сов
падает с единственным нетривиальным автоморфизмом поля К над
F. В этом случае х{х) является следом элемента х и v (х) его нор
мой. Если К—кватернионная алгебра, известно, что существует
единственная i с требуемыми свойствами. Тогда т и v являются
приведенным следом и приведенной нормой соответственно. Если
