Table Of ContentRoss Hansberger
Gitter-Reste-Wiirfel
Ross Honsberger
Gitter - Reste - Wiirfel
91 mathematische Probleme mit Losungen
Friedel Gg. Betzler
M
Friedr. Vieweg & Sohn BraunschweiglWiesbaden
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Honsberger, Ross.
Gitter - Reste - Wiirfel: 91 mathemat. Probleme mit
Losungen/Ross Honsberger. [Obers.: Jens Schwaiger).
- Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1984.
Einheitssacht.: Mathematical morsels <dt.)
ISBN 3-528-{)8476-6
Titel der enghschen Originalausgabe: Mathematical Morsels
The Dolciani Mathematical Expositions 3
© 1978 by The Mathematical Association of America
Dbersetzung: Dr. Jens Schwaiger, Graz
Aile Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1984
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1984
Die Vervielfaltigung und Obertragung einzelner Textabschnitte, Zeichnungen oder Bilder,
auch fiir Zwecke der Unterrichtsgestaltung, gestattet das Urheberrecht nur, wenn sie mit
dem Verlag vorher vereinbart wurden. 1m Einzelfall mua iiber die Zahlung einer Gebiihr fiir
die Nutzung fremden geistigen Eigentums entschieden werden. Das gilt filr die VervielfaItigung
durch aile Verfahren einschliealich Bander, Platten und andere Medien. Dieser Vermerk
umfaat nicht die in den §§ 53 und 54 URG ausdriicklich erwahnten Ausnahmen.
Umschlaggestaltung: F. Balke, Mainz
Satz: Vieweg, Braunschweig
Druck und buchbinderische Verarbeitung: W. Langeliiddecke, Braunschweig
ISBN-13: 978-3-528-08476-9 e-ISBN-13: 978-3-322-83974-9
DOl: 10.1007/978-3-322-83974-9
Die Reihe der DOL CIA NI MA THEMA TICAL EXPOSITIONS der Mathematical Association
of America entstand durch ein grogzUgiges Geschenk von Mary P. Dolciani, Professor fUr
Mathematik am Hunter College of the City University of New York, an die Association. Da·
bei wollte Frau Professor Dolciani, selbst eine erfolgreiche Autorin mathematischer Schrif·
ten, eine Forderung des Ideals der ausgezeichneten Darstellungsweise in mathematischen Ar
beiten erreichen.
Die Association ihrerseits nahm hocherfreut die Grundung des .. Wanderfonds" fUr diese
Reihe an von jemandem, der der Association mit Auszeichnung sowohl als Mitglied des
Herausgeberkomitees als auch als Vorstandsmitglied dient. Der Vorstand hat mit aufrichtiger
Freude beschlossen, diese Reihe ihr zu Ehren zu benennen.
Die BUcher dieser Reihe werden nach den Kriterien klarer, zwangloser Schreibweise und an
regender mathematischer Inhalte ausgesucht. Oblicherweise enthalten sie eine groge Anzahl
von Obungen mit dazugehorigen Losungen. Die einzelnen BUcher sollen fUr Studenten in den
ersten Semestern hinreichend elementar wirken, augerdem sollen sogar Gymnasiasten mit
mathematischen Neigungen sie verstehen und geniegen. Trotzdem besteht auch die Hoff
nung, d~ sie interessant und manchmal auch herausfordernd sind flir weiter fortgeschrittene
Mathematiker.
BUcher der Reihe DOLCIANI MA THEMA TICAL EXPOSITIONS in deutscher Obersetzung;
Band 1; MATHEMATISCHE EDELSTEINE von Ross Honsberger
Band 2; MATHEMATISCHE JUWELEN von Ross Honsberger
Band 3; GITTER-RESTE-WORFEL von Ross Honsberger
v
Vorwort
Die Mathematik ist mit klugen Ideen reichlich versehen. Und wie
lange man sie auch immer betreibt, aufregende Uberraschungen schei
nen ihr nie auszugehen. Keineswegs findet man diese mathematischen
Edelsteine nur in schwierigen Arbeiten auf fortgeschrittener Stufe.
Auch einfache Probleme konnen voll von Einfallsreichtum und Ge
nialitat sein. Der hier vorliegende Band diskutiert eine ganze Schar
elementarer Aufgaben, die hauptsachlich der Zeitschrift American
Mathematical Monthly, 1894-1975 entnommen wurden. Sie enthal
ten viele wunderbare Ideen, ungefahr zwanzig sind einfach schon.
Paul Erdos vertritt die Theorie, daB Gott ein Buch besitzt, in dem
alle mathematischen Satze mit ihren allerschonsten Beweisen stehen.
Wenn Erdos einen Beweis als besonders genial hervorheben will, sagt
er: "Der ist aus dem Buch!" Vielleicht ist es an dieser Stelle nicht un
passend zu behaupten, daB dieses Buch mit der Vorstellung geschrie
ben worden ist, daB alle Reichtumer unseres Lebens Geschenke Got
tes sind, die wir annehmen und verteilen sollten.
Fur den GroBteil des Buches muBten die Kenntnisse eines Studienan
fangers mehr als ausreichen. Gelegentlich wird Spezielleres vorausge
setzt. Aber sogar in diesem Fall handelt es sich meistens urn gewohn
liche, elementare Themen, die nur aus Zeitmangel in den heutigen
Vorlesungszyklen erst spater behandelt werden. Ich verweise z.B. auf
den Satz von Pick und Grundkenntnisse aus dem Bereich der Kreis
spiegelung. Kein Leser sollte beunruhigt sein, wenn er diese Dinge
nicht kennt, da man sie sich sofort aneignen kann, wenn man sie
braucht. Hinweise auf solche Themen werden im Text angegeben.
Die meisten der hier angeschnittenen Probleme sind in den Problem
Spalten bekannter mathematischer Zeitschriften erschienen. Zu Be
ginn jeder Aufgabe wird auf die Quelle und auf die Personen, die das
Problem gestellt bzw. gelost haben, hingewiesen. Genaue diesbezug
liche Angaben verschwimmen oft oder gehen verloren, wenn eine
Aufgabe die Runde macht. Foiglich ist es riskant anzunehmen, daB
das angegebene Problem oder die Losung nur von der hier genannten
VI
Person stammt. Die Hinweise sol1en in erster Linie anzeigen, wo ich
auf das Thema gestoBen bin. Aus Ehrlichkeit jedem Betroffenen
gegeniiber so lIte ich anmerken, daB ich Ofters nur Teile einer Aufgabe
oder Lasung verwendet habe, und daB ich im allgemeinen alle Dar
stellungen wesentlich umgeschrieben und ausgeschmiickt habe. Die
Behauptungen vieler Aufgaben wurden umformuliert, urn sie klarer
zu gestalten. Dies ist kein Buch mit Aufgaben, die der Leser lasen
solI, obwohl er sicher mehr SpaB hat, wenn er sich zuerst ein wenig
daran versucht, sondern eines, das als Schaufenster fUr kleine Wunder
der Mathematik bezeichnet werden kann. Jedoch wurden am Ende
des Buches einige Dutzend Dbungen fUr den Leser angefUgt.
Als Leitfaden beim Auffinden einer bestimmten Aufgabe oder beim
Verfolgen bestimmter Themen enthiilt das Buch eine komplette Auf
listung der Aufgaben unter den drei Dberschriften:
I. Algebra, Arithmetik, Zahlentheorie, Folgen, Wahrscheinlich
keitstheorie
II. Kombinatorik, Kombinatorische Geometrie (Maxima und
Minima)
III. Geometrie (Maxima und Minima).
In den Literaturangaben wurden folgende Abkiirzungen verwendet:
AMM - American Mathematical Monthly
MM - Mathematical Magazine
NMM - National Mathematics Magazine (Vorganger des MM).
Herrn Professor Ivan Niven bin ich auBerordentlich dankbar fUr die
sorgfaltige Durchsicht des Manuskripts, die zu vielen Korrekturen
und anderen Verbesserungen in der Endfassung fiihrte. AuBerdem
danke ich meinem Kollegen Leroy Dickey und den Professoren E. F.
Beckenbach, Henry Alder, Ralph Boas, Donald Albers und G. L.
Alexanderson fUr ihre konstruktive Kritik.
Ross Honsberger
University of Waterloo
VII
Inhaltsverzeichnis
Problem Seite
1 Das Schachturnier ................................ 1
2 Die geordneten Partitionen von n .................... 3
3 Gebiete in einem Kreis ............................ 4
4 Die Fahrboote ................................... 8
5 Der vorstehende Halbkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6 Das Chauffeurproblem ............................ 11
7 Die Wandschirme in der Ecke ....................... 14
8 Farbungen der Ebene ............................. 17
9 Ein ins Auge springendes Maximum .................. 19
10 cos 17 x = f (cos x) ............................... 21
11 Ein Quadrat im Gitter ............................. 22
12 Ein undurchlassiges Quadrat ........................ 25
13 Das Spiel der X und 0 ............................. 28
14 Eine iiberraschende Eigenschaft rechtwinkliger Dreiecke 29
15 Die Ziffern der Zahl 44444444 ....................... 31
16 a (n) + I{) (n) = n . d (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33
17 k-Haufen ....................................... 36
18 Eine Summe minimaler Zahlen ...................... 38
19 Die drei letzten Stellen der Zahl 79999 .•.........•.•... 41
20 Ein WiirfelspieJ .................................. 43
21 Der durchbohrte Wiirfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44
22 Doppelfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46
23 Punkttrennende Kreise ............................ 49
24 Ober die Langen der Seiten eines Dreiecks ............. 53
25 Keine Analysis, bitte! ............................. 54
26 ab und ba ...................................... 60
27 Eine mathematische Scherzfrage ..................... 62
28 Landkarten auf der Kugel .......................... 64
29 Konvexe Gebiete der Ebene ........................ 68
30 Ein diophantisches Gleichungssystem ................. 73
VIII
31 Eine reflektierte Tangente .......................... 74
32 Das wohlzerstorte Schachbrett ...................... 76
33 Die Schneeballe .................................. 81
34 Die Zahlen zwischen 1 und einer Milliarde ............. 83
35 AneinanderstoBende, einander nicht iiberlappende
Einheitsquadrate ................................. 84
36 Eine diophantische Gleichung ....................... 91
37 Die Folge der Fibonacci-Zahlen ...... . . . . . . . . . . . . . . .. 93
38 Eine Ungleichung von Erdos ........................ 97
39 Gitterpunktverteilung ............................. 100
40 Perfekte Zahlen .................................. 103
41 Die Seiten im Viereck ............................ 105
42 Primzahlen in arithmetischen Folgen .................. 107
43 Cevasche Strecken ................................ 109
44 Die Kiihe und die Schafe ........................... 112
45 Eine F olge von Quadraten .......................... 114
46 Das eingeschriebene Zehneck ....................... 115
47 Rote und blaue Punkte ............................ 118
48 Die Methode von Swale ............................ 121
49 1T (n) .......................................... 123
50 Eine Sehne konstanter Lange ....................... 126
51 Die Anzahl der inneren Diagonalen ................... 128
52 Gefalschte Wiirfel ................................ 130
53 Eine merkwiirdige Folge ........................... 132
54 Lange Ketten aufeinanderfolgender natiirlicher Zahlen .... 136
55 Ein minimales eingeschriebenes Viereck ............... 139
56 Dreieckszahlen .................................. 142
57 RegelmaBige n-Ecke .............................. 150
58 Die Fermatschen Zahlen ........................... 152
59 Eine Ungleichung fur Reziprokwerte .................. 155
60 Eine vollkommene vierte Potenz ..................... 156
61 Quadratpackungen ............................... 157
62 Die roten und die griinen Balle ...................... 163
63 Zusammengesetzte Glieder arithmetischer Folgen ........ 165
64 AufeinanderstoBende gleichseitige Dreiecke ............ 167
65 Priifungen ...................................... 170
IX
66 Eine Anwendung des Satzes von Ptolemaus ... . . . . . . . . .. 172
67 Noch eine diophantische Gleichung ................... 176
68 Eine ungewohnliche Eigenschaft komplexer Zahlen ...... 178
69 Eine Kreiskette .................................. 179
70 Gleiche Ziffern am Ende einer Quadratzahl ............. 182
71 Eine Winkelhalbierende ............................ 184
72 Ein Ungleichungssystem ........................... 186
73 Eine unerwartete Eigenschaft des regelmaBigen 26-Ecks ... 187
74 Mehr iiber vollkommene Quadrate .................... 190
75 Ein ungewohnliches Polynom ....................... 194
76 Schwerpunkte, die auf einem Kreis liegen .............. 196
77 Ein einfacher Rest ................................ 200
78 Eine merkwiirdige Eigenschaft von 3 .................. 201
79 Ein Quadrat im Quadrat ........................... 202
80 Immer ein Quadrat ............................... 204
81 Eine Einteilung der natiirlichen Zahlen ................ 206
82 Dreiecke, deren Seitenlangen benachbarte Glieder einer
arithmetischen Folge sind .......................... 208
83 Durch Permutationen bestimmte Brtiche ............... 210
85 Binomialkoeffizienten ............................. 211
85 Die Fermatsche Zahl F 73 ..•........................ 213
86 Ein Sehnenviereck ................................ 218
87 Besondere Tripel natiirlicher Zahlen .................. 220
88 Primzahlsummen ................................. 221
89 Noch eine merkwiirdige Folge ....................... 223
90 Ellipsen im Gitter ................................ 228
91 Archimedische Dreiecke ........................... 235
Ubungen .......................................... 242
Liste der nach Themen geordneten Probleme .............. 247
x
Problem 1
Das Schachturnier*
In New York City gibt es mehr Schachmeister als im Rest der
USA zusammengenommen. Es ist ein Turnier geplant, an dem a11e
amerikanischen Meister teilnehmen so11en. Dabei so11 das Turnier an
dem Ort stattfinden, fur den die gesamte Anreisestrecke a11er Teil
nehmer minimal ist. Die Schachmeister aus New York behaupten,
daB dann das Turnier in ihrer Stadt stattfinden musse. Die Meister
von der Westkuste meinen, daB eine Stadt im oder nahe beim Schwer
punkt der Menge aller Teilnehmer besser ware. Wo muB das Turnier
stattfinden?
Losung
Die New Yorker haben recht. Dazu bezeichne man die Meister
aus New York mit N 1 , N 2, ... , N k und die restlichen in beliebiger
Reihenfolge mit 01, O2, ... , Ot. Weil in New York mehr als die Halfte
>
aller Meister leben, gilt k t. Bildet man nun die Paare (N 1, 01 ),
(N2, O2), ... , (Nt, Ot), so bleiben die New Yorker Meister Nt + 1,
Nt + 2, ... , Nk frei.
Jetzt wenden wir uns dem Paar (N 1,01) zu. Wo auch das Tur
nier stattfindet, werden die Meister N 1 und 01 zusammen eine Reise
strecke haben, die mindestens so groB ist wie"N 1 01 ", die gerad
linige Verbindungsstrecke zwischen den entsprechenden Stadten. Ins
gesamt ist die gesamte Reisestrecke aller Teilnehmer nicht kleiner als
S = Nl 01 + N202 + ... + NtOt.
• Pi Mu Epsilon, Vol. I, 1949-54, S. 328, Problem 41, gestellt und gel6st von Chester Me
Master, New York City.
1
