Gewöhnliche und Operator-Differentialgleichungen: Eine integrierte Einführung in Randwertprobleme und Evolutionsgleichungen für Studierende

309 Pages·2004·12.13 MB·German

by  Dr. Etienne Emmrich (auth.)

Etienne Emmrich
Gewohnliche und
Operator
Differentialgleichungen
Aus dem Programm __________- -.,
Mathematik
Nichtlineare Optimierung
von Walter Alt
Numerische Mathematik
von Matthias Bollh6fer und Volker Mehrmann
Gemischt-ganzzahlige Optimierung:
Modellierung in der Praxis
von Josef Kallrath
Lineare und Netzwerk Optimierung -
Linear and Network Optimization
Horst W. Hamacher und Kathrin Klamroth
Mathematik fur Wirtschaftsingenieure 1 und 2
von Norbert Henze und Gunter Last
Numerik linearer Gleichungssysteme
von Andreas Meister
Numerische Mathematik kompakt
von Robert Plato
Obungsbuch zur Numerischen Mathematik
von Robert Plato
Keine Probleme mit Inversen Problemen
von Andreas Rieder
vieweg _________________ ____
Etienne Emmrich
Gewohnliche
und Operator
Differentialgleichungen
Eine integrierte Einfiihrung in Randwertprobleme
und Evolutionsgleichungen fiir Studierende
~
vleweg
Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet tiber <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Dr. Etienne Emmrich
Technische UniversWit Berlin
Institut fur Mathematik
StraBe des 17. Juni 136
10623 Berlin
E-Mail: [email protected]
1. Auflage November 2004
AIle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlag/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2004
Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch / Petra RuBkamp
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'ei, Lengerich
Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
ISBN-13:978-3-528-03213-5 e-ISBN-13:978-3-322-80240-8
DOl: 10.1007/978-3-322-80240-8
Vorwort
Dieses Buch ist aus Vorlesungen entstanden, die der Autor an der Technischen
Universitat Berlin fiir Studierende der Mathematik sowie der Techno- und Wirt
schaftsmathematik im Anschluss an die Grundvorlesung iiber (Anfangswertpro
bleme fiir gewi::ihnliche) Differentialgleichungen gehalten hat.
1m erst en Teil werden sowohl lineare als auch nichtlineare Randwertprobleme
fiir gewi::ihnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung behandelt. Es werden
die klassische und schwache Li::isungstheorie vorgestellt, eine Einfiihrung in die
Theorie der monotonen Operatoren gegeben und erste Resultate zum G ALERKIN
Verfahren und der Finite-Elemente-Methode prasentiert.
Der zweite Teil widmet sich der Beschreibung zeitabhangiger Prozesse durch
Evolutionsgleichungen, die als lineare oder nichtlineare Operator-Differentialglei
chungen erster Ordnung aufgefasst werden ki::innen. Nach der Einfiihrung des
BOCHNER-Integrals werden bekannte klassische Resultate zur Li::isung von An
fangswertproblemen fiir gewi::ihnliche Differentialgleichungen verallgemeinert. Es
folgt die schwache Li::isungstheorie auf der Grundlage von HILBERT-Raum- und
Monotoniemethoden.
Beide Teile schliefien jeweils mit Ubungsaufgaben und einem Ausblick auf die
einschlagige Literatur.
Das Buch ist als Lehrbuch fUr Studentinnen und Studenten konzipiert und soll
diesen auch fUr das Selbststudium dienen. Beabsichtigt war es, einen raschen Ein
stieg in moderne Methoden der Differentialgleichungstheorie zu ermi::iglichen, der
auf das weitergehende Studium und die Lektiire einschlagiger Monographien vor
bereitet. Zugleich soUte der Umfang in einem Semester (etwa in einer vierstiindi
gen Vorlesung nebst einer zweistiindigen Ubung) bewaltigt werden ki::innen. Des
halb wurden Liicken hingenommen, wobei die Auswahl des Stoffes sicher auch
den Vorlieben des Autors geschuldet ist.
Die vorgestellten Methoden und Ergebnisse lassen sich durchweg auf partielle Dif
ferentialgleichungen beziehen. Die Beschrankung auf den raumlich eindimensio
nalen Fall aber ermi::iglicht es, schon in dieser Einfiihrung auf nichtlineare Aspekte
und funktionalanalytische Methoden einzugehen. Der Sprung zum Mehrdimen
sionalen sollte nicht allzu schwer fallen. Die Behandlung grundlegender kon
struktiver Li::isungsverfahren ermi::iglicht zudem den unmittelbaren Einstieg in die
Numerische Analysis.
VI Vorwort
Soweit es im Rahmen eines Lehrbuchs moglich ist, wird versucht, Antworten auf
die bei der Betrachtung von Differentialgleichungsproblemen auftretenden Fragen
zu geben:
• Existenz von Losungenj
• Einzigkeit von Losungenj
• stetige Abhangigkeit von den Problemdaten (Stabilitat)j
• Regularitat und andere qualitative Eigenschaften der Losungenj
• Konstruktion exakter Losungenj
• Konstruktion von Naherungslosungen.
Die Sprache, derer sich der Text bedient, ist oft die der Funktionalanalysis. Insbe
sondere finden sich Elemente der Nichtlinearen Funktionalanalysis. Ein sicherer
Umgang mit den funktionalanalytischen Grundbegriffen ist daher zu empfehlen.
Dem mit der Funktionalanalysis nicht so vertrauten Leser mag dieses Buch aber
auch als ein Einstieg aus der Sicht der Anwendungen dienen.
Vorausgesetzt werden Kenntnisse der Analysis, des LEBESGUESchen Integrals und
erste Kenntnisse iiber Differentialgleichungen, wie sie oftmals bereits im Analysis
Zyklus gelehrt werden.
Zu vielen Personen, die im Text erwahnt werden, finden sich kurze biographische
Anmerkungen, die dem Leser eine zeitgeschichtliche Einordnung erlauben. Die
Angaben beruhen zumeist auf der sehr empfehlenswerten Internet-Seite [102],
auf [35, 51, 58, 118, 129, 149] und Recherchen im Internet.
Noch einige Hinweise zum Gebrauch: Definitionen, Satze, Lemmata, Korollare,
Probleme, Bemerkungen und Beispiele werden innerhalb eines Unterabschnitts
gemeinsam fortlaufend nummeriert. Gleichungen sowie Bilder werden ebenfalls
innerhalb eines Unterabschnitts fortlaufend nummeriert.
Lernen und Lehren ist ein Prozess der Kommunikation und sozialen Koproduk
tion. Ein Lehrbuch kann nur ein Baustein bei der individuellen Aneignung von
Wissen sein, Vorlesungen oder das Selbststudium begleiten und Anregungen bie
ten. Verzweifeln Sie, liebe Leserin, lieber Leser, nicht, wenn Sie nicht auf Anhieb
alles verstehen. Vielleicht iiberlesen Sie die eine oder andere Stelle zunachst, um
spater noch einmal zuriickzukehren. Suchen Sie sich Ihren eigenen, womoglich
sehr verschlungenen Pfad durch den Stoff. Lernen verlauft oft sprunghaft und
nicht notwendig linear, geschieht nebenbei und unverhofft und auf die verschie
densten Arten. Fehler und das Verwerfen von bereits Gelerntem sind immanente
Bestandteile und ermoglichen erst das Weiterlernen.
Vorwort VII
Das geht dem Autor ([email protected]) ganz genauso. Deshalb
nimmt er gern Vorschlage zur Verbesserung und zur Korrektur von Fehlern ent
gegen.
Fur viele Hinweise und Anregungen bei der Abfassung des Textes und die Durch
sicht des Manuskripts ist der Autor ganz besonders Herrn Prof. Dr. Rolf D.
GRIGORIEFF (Berlin) dankbar. Weiterer Dank geht an Frau Antje JUNTGEN, die
sich der Muhe des Korrekturlesens unterzog, und Herrn Priv.-Doz. Dr. Robert
PLATO (beide Berlin), der ebenfalls das Manuskript durchgesehen hat. Herrn
Dr. Carsten TRUNK (Berlin) und Herrn Dr. Horst SCHMITT (Magdeburg) gebuhrt
ebenso Dank wie den Vorlesungsteilnehmerinnen und -teilnehmern und nicht zu
letzt Frau Ulrike SCHMICKLER-HIRZEBRUCH und Frau Petra RUSSKAMP vom
Vieweg-Verlag.
Berlin. im Oktober 2004 Etienne EMMRICH
Inhaltsverzeichnis
Vorwort v
Inhaltsverzeichnis IX
Randwertprobleme 1
1 Beispiele und Anwendungen. Klassifikation 1
1.1 Beispiele und Anwendungen 1
1.2 Klassifikation . . . . . . 9
2 Klassische Losungstheorie 13
2.1 Lineare Differentialgleichungen und element are Lasungsmethoden. 14
2.2 Randwertprobleme fur homogene, lineare Differentialgleichungen 21
2.3 GREENsche Funktion und semilineare Probleme I . . . . 28
2.4 G REENsche Funktion und inhomogene, lineare Probleme 34
2.5 Maximumprinzip und Stabilitat . . . . . . . . . . . 36
2.6 STURM-LIOUVILLE-Problem............. 42
2.7 GREENsche F\mktion und semilineare Probleme II 45
2.8 Ober- und Unterlasungen 53
3 Schwache Losungstheorie 57
3.1 Verallgemeinerte Ableitung und Regularisierung . 57
3.2 SOBoLEw-Raume Hl(a, b), HJ(a, b) und H-1(a, b) 71
3.3 Variationelle Formulierung und Operatorgleichung 83
3.4 Lineare Variationsprobleme mit stark positiver Bilinearform 89
3.5 Nichtlineare Variationsprobleme mit stark monotonem Operator 96
3.6 Nichtlineare Variationsprobleme mit verstarkt stetiger Starung 102
4 GALERKIN-Verfahren 110
4.1 Diskrete Ersatzaufgabe und Fehlerabschatzungen 110
4.2 Beweis eines Existenzsatzes fUr nichtlineare Probleme · 114
4.3 Finite-Elemente-Methode ............... . · 120
5 Ubungsaufgaben. Literaturhinweise 126
5.1 Ubungsaufgaben 126
5.2 Literaturhinweise........... · 133
x
Inhaltsverzeichnis
Operator-Differentialgleichungen 138
6 Beispiele und Anwendungen. Abstrakte Formulierung 138
6.1 Beispiele und Anwendungen . . 138
6.2 Abstrakte Formulierung . 147
7 Klassische Losungstheorie 150
7.1 Raume stetiger und BOCHNER-integrierbarer Funktionen . . 150
7.2 Eine Verallgemeinerung des Satzes von PICARD-LINDELOF . . 168
7.3 Stabilitat und dissipative Systeme ........... . 180
7.4 Eine Verallgemeinerung des Satzes von PEANO . . . . . 188
7.5 Zeitdiskretisierung durch einfache Einschrittverfahren . 192
8 Schwache Losungstheorie 200
8.1 Verallgemeinerte Ableitung und der Raum W(O, T) . . . . . .. . 200
8.2 Variationelle Formulierung und Operator-Differentialgleichung . . 213
8.3 Lineare Evolutionsgleichungen und deren Zeitdiskretisierung.. . 217
8.4 Nichtlineare Evolutionsgleichungen und GALERKIN-Approximation 230
8.5 Regularitat, Kompatibilitat der Daten und Glattungseigenschaft . 245
9 Ubungsaufgaben. Literaturhinweise 258
9.1 Ubungsaufgaben .258
9.2 Literaturhinweise .......... . .265
Anhang 269
A Analytische Hilfsmittel 269
A.1 Elementare Ungleichungen ............... . .269
A.2 Einige Satze aus der Analysis und Funktionalanalysis . .272
A.3 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .282
Literaturverzeichnis 283
Symbolverzeichnis 293
N amenverzeichnis 295
Sachverzeichnis 297
Randwertprobleme
1 Beispiele und Anwendungen. Klassifikation
1.1 Beispiele und Anwendungen
Bevor wir uns in den folgenden Abschnitten mit der Losbarkeit von Randwert
aufgaben fUr gewohnliche Differentialgleichungen beschaftigen, stellen wir einige
Probleme vor, deren mathematische Beschreibung auf Randwertaufgaben fiihrt.
Wir betrachten zunachst ein Seil, welches in der x-y-Ebene mit den Einheitsvek
toren ex und ey in den Punkten (a, a) und (b, (3) befestigt sei und auf das die
Schwerkraft wirke (siehe Bild 1.1.1). Wir wollen ferner unterstellen, dass das Seil
y
--------------------------------
~
y+dy ----------------------
Fx ds :,
Y ----------- ,
FG:
,
a b x x x+dx
Bild 1.1.1: Hangendes Seil
homogen, ideal biegsam und von konstantem Querschnitt A ist. Sind 9 die Erdbe
schleunigung, p die konstante Seildichte und m die Seilmasse, so wirkt auf ein infi
= =
nitesimal kleines Seilstiick der Lange ds die Gewichtskraft Fe dm· 9 pAg ds,
und zwar in Richtung -ey. Dabei gilt ds2 = dx2 + dy2. Wegen des Krafte
+ +
gleichgewichts muss die Summe der in den Punkten (x, y) und (x dx, y dy)
angreifenden Krafte Fl und F2 gleich der Gewichtskraft sein (siehe Bild 1.1.1).
Die Krafte Fl = F(x) und F2 = F(x + dx), die nur von x abhangen, konnen
in die Anteile zerlegt werden, die in x- bzw. y-Richtung wirken, wobei sich her-
E. Emmrich, Gewöhnliche und Operator-Differentialgleichungen
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlag/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2004