Gewöhnliche Differentialgleichungen: Theorie und Praxis - vertieft und visualisiert mit Maple®

402 Pages·2013·5.337 MB·German

by  Wilhelm Forst, Dieter Hoffmann (auth.)

Wilhelm Forst
Dieter Hoff mann
Gewöhnliche
Diff erential-
gleichungen
Theorie und Praxis
vertieft und
visualisiert
2. Aufl age
mit
MAPLE®
Springer-Lehrbuch
⋅
Wilhelm Forst Dieter Hoffmann
Gewöhnliche
Differentialgleichungen
Theorie und Praxis - vertieft und
visualisiert mit Maple®
2., überarbeitete und aktualisierte Auflage
WilhelmForst DieterHoffmann
InstitutfürNumerischeMathematik FBMathematikundStatistik
UniversitätUlm UniversitätKonstanz
Ulm,Deutschland Konstanz,Deutschland
ISSN0937-7433
ISBN978-3-642-37882-9 ISBN978-3-642-37883-6(eBook)
DOI10.1007/978-3-642-37883-6
MathematicsSubjectClassification(2010):34-01
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L´eon, Etienne, Gabriel, Nicolas, Luca, Louise und Mat´ıas.
Inhaltsverzeichnis
Vorwort zur ersten Auflage .................................. XI
Vorwort zur zweiten Auflage ................................X.VIII
1 Einfu¨hrende U¨berlegungen ............................... 1
1.1 Erste Aspekte.......................................... 3
Was ist eine Differentialgleichung?..................... 3
Welche Fragen stellen wir?............................ 4
Mathematische Modellierung.......................... 5
1.2 Richtungsfelder ........................................ 7
Euler-Polygonzugverfahren.......................... 8
Historische Notizen zu Euler und Cauchy.................... 10
Maple Worksheets zu Kapitel 1........................... 11
2 Elementare Integrationsmethoden ........................ 19
2.1 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen‘ .......... 19
’ (cid:2) (cid:3)
2.2 Differentialgleichungen vom Typ y(cid:2) = f p1x+q1y+r1 ...... 23
p2x+q2y+r2
2.3 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung ................ 26
2.4 Bernoulli-Differentialgleichung ......................... 28
2.5 Riccati-Differentialgleichung ............................ 29
Zusammenhang mit homogener linearer DGL 2. Ordnung. 30
Elementare Integration bei bekannter spezieller L¨osung... 31
2.6 Exakte Differentialgleichungen ........................... 33
Multiplikatoren ..................................... 34
2.7 Clairaut-Differentialgleichung .......................... 36
Historische Notizen zu Bernoulli, Clairaut und Riccati ..... 41
Maple Worksheets zu Kapitel 2........................... 43
VIII
3 Existenz- und Eindeutigkeitssatz.......................... 67
3.1 Einleitung ............................................. 67
3.2 Fixpunktsatz fu¨r verallgemeinerte Kontraktionen ........... 70
3.3 Existenz- und Eindeutigkeitssatz ......................... 75
Differentialgleichungssystem 1. Ordnung................ 78
Explizite Differentialgleichungen k-ter Ordnung ......... 79
3.4 Fehlerabsch¨atzungen und Abh¨angigkeitsu¨berlegungen ....... 80
3.5 L¨osungen im Großen‘................................... 82
’
Maximale Existenzintervalle .......................... 84
3.6 Qualitative Beschreibung autonomer Systeme .............. 86
Mathematisches Pendel .............................. 90
R¨auber-Beute-Modell ................................ 93
Fluß zu einer gegebenen DGL......................... 97
3.7 ModifikationdesHauptsatzesfu¨rFunktionenmitWertenim k 98
(cid:0)
Historische Notizen zu Banach............................... 99
Maple Worksheets zu Kapitel 3........................... 101
4 Lineare Differentialgleichungen und DGL-Systeme I ...... 123
4.1 Existenz- und Eindeutigkeitssatz ......................... 123
4.2 Linear-algebraischeFolgerungen .......................... 124
4.3 Homogene lineare Differentialgleichungssysteme ............ 125
4.4 Homogene lineare DGLen h¨oherer Ordnung................ 129
4.5 Transformation von Differentialgleichungssystemen ......... 130
4.6 Inhomogene lineare Differentialgleichungen................. 131
Inhomogene lineare DGL k-ter Ordnung................ 131
4.7 Reduktion der Ordnung ................................. 133
Historische Notizen zu d’Alembert .......................... 136
Maple Worksheets zu Kapitel 4........................... 137
IX
5 Lineare Differentialgleichungen und DGL-Systeme II ..... 151
5.1 Exponentialfunktion von Matrizen........................ 152
5.2 Homogene lineare DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten 155
5.3 Zweidimensionale Systeme, Stabilit¨at ..................... 159
5.4 LineareDGL-Systeme mit konstantenKoeffizientenund spe-
ziellen Inhomogenit¨aten ................................. 169
5.5 Lineare DGLen h¨oherer Ordnung mit konstanten
Koeffizienten........................................... 172
5.6 Homogene lineare Differentialgleichungen mit periodischen
Koeffizientenfunktionen ................................. 175
Historische Notizen zu Jordan............................... 182
Maple Worksheets zu Kapitel 5........................... 183
6 Nu¨tzliches — nicht nur fu¨r den Praktiker................. 205
6.1 L¨osungen u¨ber Potenzreihenansatz........................ 205
Hermite-Differentialgleichung ........................ 207
Legendre-Differentialgleichung....................... 208
6.2 Schwach singul¨are Punkte ............................... 214
Bessel-Differentialgleichung.......................... 220
6.3 Laplace-Transformation................................ 224
Anwendung auf Anfangswertaufgaben.................. 231
Unstetige Inhomogenit¨aten ........................... 236
Zur inversen Laplace-Transformation ................. 238
Kleine Tabelle von Laplace-Transformierten ........... 240
Historische Notizen zu Laplace.............................. 242
Maple Worksheets zu Kapitel 6........................... 243
7 Rand- und Eigenwertprobleme............................ 265
7.1 Randwertaufgaben fu¨r lineare DGL-Systeme mit linearen
Randbedingungen ...................................... 266
Green-Matrix...................................... 269
X
7.2 Randwertprobleme fu¨r lineare DGLen k-ter Ordnung........ 274
7.3 Nicht-lineare Randwertaufgaben und Fixpunktprobleme ..... 282
7.4 Selbstadjungierte Randwertaufgaben...................... 283
7.5 Selbstadjungierte Randeigenwertaufgaben ................. 287
Fourier-Reihen ................................... 292
Entwicklungss¨atze ................................... 294
7.6 Sturm-Liouville-Randeigenwertaufgaben................ 301
Historische Notizen zu Fourier .............................. 304
Maple Worksheets zu Kapitel 7........................... 305
8 Anhang u¨ber Matrixfunktionen........................... 325
8.1 Matrixpolynome........................................ 325
Spektraldarstellung von Sylvester-Buchheim ......... 328
8.2 Matrixfunktionen: Definition, Eigenschaften................ 331
8.3 Beispiele zur Berechnung von Matrixfunktionen ............ 339
Historische Notizen zu Sylvester ............................ 345
Maple Worksheets zum Anhang u¨ber Matrixfunktionen .. 347
Anhang zu Maple............................................. 359
Symbolverzeichnis ............................................ 371
Namen- und Sachverzeichnis.................................. 373
Index zu Maple............................................... 381
Literaturverzeichnis .......................................... 385
Vorwort zur ersten Auflage
Es gibt viele gute und auch einige sehr gute Bu¨cher u¨ber Gew¨ohnliche Diffe-
rentialgleichungen.DasvorliegendeBuchversuchtkeineswegs,alleindieZahl
solcher Bu¨cher zu erh¨ohen; das Hauptziel wird aus dem Untertitel Theorie
”
und Praxis“ und dem Zusatz vertieft und visualisiert mit Maple“ deutlich.
”
Sein besonderer Reiz liegt in der Kombination einer sehr sorgf¨altig ausgear-
beiteten zeitgem¨aßen Einfu¨hrung in die Theorie mit zahlreichen Beispielen
undzugeh¨origenArbeitsbl¨atternmit MaplevomFeinsten‘.DasComputeral-
’
gebrasystem wirdsomitdenInhaltenderTheorieverknu¨pft,daßdasSchwer-
gewicht auf Erkl¨arung, Vertiefung, Ein¨ubung und Visualisierung liegt.
Es wird eine Einfu¨hrung in die Theorie der Gew¨ohnlichen Differentialglei-
chungengegebenfu¨rMathematiker,Physiker,Wirtschaftswissenschaftlerund
Ingenieure — allgemeiner auch fu¨r Studierende mit Mathematik als Neben-
fach. Dabei haben wir durchaus auch die vermehrt eingefu¨hrten Bachelor-
Studieng¨ange im Blick, bei denen eine angemessene Stoffreduzierung ge-
genu¨ber vielen herk¨ommlichen Darstellungen unumg¨anglich ist.
Gerade auch bei den Differentialgleichungen ist Visualisierung, oft gekop-
pelt mit dynamischen Abl¨aufen, besonders wichtig. Bei uns wird zus¨atzlich
gezeigt, wie man solche Dinge relativ leicht selbst verwirklichen kann.
SolideGrundkenntnissederLinearenAlgebravorausgesetzt,kannunserBuch
nach einer zweisemestrigen Einfu¨hrung in die Analysis, also ab dem 3. Stu-
diensemester, gewinnbringend fu¨r alle Studieng¨ange herangezogen werden.
Dem Lernenden werden mathematisch saubere‘ und leistungsf¨ahige Metho-
’
den an die Hand gegeben, was die praktische Arbeit wesentlich erleichtert.
DerLehrende findeteinansprechendesundausgefeiltesBuch,daserzurOri-
entierung oder als Begleittext ohne jeden Vorbehalt empfehlen kann.
Gleich zu Beginn sei ausdru¨cklich gesagt: Vokabeln wie etwa Leser‘ sollten
’
stets als Leserin und Leser‘ verstanden werden. Sprachliche Spielereien wie
’
LeserInnen‘ oder der(die)Leser(in)‘ undA¨hnlichesfindenwirunsch¨onund
’ ’
wenigsinnvoll.Auchwennwirdasnichtfortw¨ahrendbetonen:Weibliche und
m¨annliche Leser des Buches sind uns gleichermaßen willkommen.
Das vorliegende Buch kann den Lernenden von Beginn an begleiten und als
Grundlage oder Erg¨anzung zu einer Einfu¨hrung in die Gew¨ohnlichen Diffe-
rentialgleichungenimGrundstudiumdienen.EsschafftguteVoraussetzungen
fu¨r die Besch¨aftigung mit weiterfu¨hrenden oder allgemeineren Themen und
vor allem fu¨r die vielf¨altigen Anwendungen.
Das Buch kann dem Lehrenden, der die zu pr¨asentierenden Themen und
Methoden st¨arker heutigen computerunterstu¨tzten M¨oglichkeiten anpassen
will, eine gute Hilfe und zuverl¨assiger Wegweiser sein.