Table Of ContentSpringer-Lehrbuch
Wilhelm Forst Dieter Hoffmann
Gewöhnliche
Differentialgleichungen
Theorie und Praxis
- vertieft und visualisiert mit Maple®
~ Springer
Professor Dr. Wilhelm Forst
Universität Ulm
Fakultät für Mathematik und Wirtschaftswissenschaften
Abteilung Numerik
89069 Ulm, Deutschland
E-mail: [email protected]
Professor Dr. Dieter Hoffmann
Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik
Fach D 198
78457 Konstanz, Deutschland
E-mail: [email protected]
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detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar.
Mathematics Subject Classification (2000): 34-01
ISBN 3-540-22226-X Springer Berlin Heidelberg New York
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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. V
Einleitung .. .. ... .. .... .... ..... ............ ... .. .. ....... .... IX
1 Einführende Überlegungen ..... ... ..... ..... .... .... .... . 1
1.1 Er. te A pekte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Was i t eine Differentialgleichung? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
W lehe Fragen ·teIlen wir? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Mathematische Modellierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Richtungsfeld r .......... .... .... .... .... .... .... .... .. 7
EULER-Polygonzugverfahren ..... ..... .... .... .... .
Historische Notizen zu EULER und CAUCHY . . . . . ... .. . . . . . . . . 10. .
Maple Worksheets zu Kapitell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1. . . . . ..
2 Elementare Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . ... . 1. 9. . . .
2.1 Differentialgleichungen mi ,getrennten Variablen' ..... ... .. 19
2.2 Differentialgleichungen vom Typ y' = f(Plxtq'~ltrl) ...... 23
P2x Q2Y r2
2.3 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung .. ... ..... .... .. 26
2.4 BERNOULLI-Differentialgleichung. ...... .... .... .... .... .. 2
2.5 RICCATI-Differentialgleichung... .. ..... .... ... ..... ... ... 29
Zusarrunenhang mit homogener linearer DGL 2. Ordnung. 30
Elementare Integration bei bekannter spezieller Lösung. .. 31
2.6 Exakte Differentialgleichungen ........................... 33
Multiplikator n ........... ..... ..... ... .... .... ..... 34
2.7 CLAIRAUT-Diff) r ntia1g1 ichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 .6 . . . . ..
Historische Notizen zu BERNOULLI, CLAIRAUT und RICCATI . . .. . 41
Maple Worksheets zu Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 . . . . . ..
VI
3 Existenz- und Eindeutigkeitssatz ......................... 67
3.1 EinleitlUlg........ ... .................................. 67
3.2 Fixpunktsatz für verallgemeinerte Kontraktionen. . . . . . .. .. . 70
3.3 Exi tenz- und Eind utigkeit atz ... .. .... ......... .... ... 75
Diller ntialgl ichung y tem 1. Ordnung. . . . . . . . ... . 7.
Explizit Differ ntialgleichung n k-t r Ordnung . . . . .7. 9
3.4 Fehlerabschätzungen und Abhängigkeitsüberlegungen ..... . . 0
3.5 Lösungen im Großen' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Maximale Existenzintervalle . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.6 Qualitative Beschreibung autonomer Systeme. . . . . . . . . . . .6 . .
athema isches Pendel ..... ..... ... ... ...... .... . 90
Räuber-Beute-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .9 3. . . . . .
Fluß zu einer gegebenen DGL . . . . . . . . . . . . . . .. .. . .9 .7 .
3.7 Modifikation d Haupt atz für Funkti nen mit Wert n im Ck 98
Hi tori ehe otiz n zu BANACH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . 9.9 . . • .
Maple Worksheets zu Kapitel 3 ..... ...................... 101
4 Lineare Differentialgleichungen und DGL-Systeme I ...... 123
4.1 Existenz- lUld Eindeutigkeitssatz ... ..... ... ........... ... 123
4.2 Linear-algebraische Folgerungen .... ........ ........... ... 124
4.3 Homogene lineare Differentialgleichungssysteme ... .... ... .. 125
4.4 Homogen lin ar DGLen höher r Ordnung ......... ... .... 129
4.5 TI:ansformation von Differentialgleichung y tem n .. ..... .. 130
4.6 Inhomog n lineare Diller ntialgleichungen ... .... ... ..... .. 131
Inhomogene lineare DGL k-ter Ordnung ............. 131
4.7 Reduktion der Ordnung .. ..... ...... ................. ... 133
Historische otizen zu 0' ALEMBERT .... .... ........ ..... .... . 136
Maple Worksheets zu Kapitel 4 .... .... .................. . 137
VII
5 Lineare Differentialgleichungen und DGL-Systeme II ..... 151
5.1 Exponentialfunktion von Matrizen ........................ 152
5.2 Homogene lineare DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten 155
5.3 Zw idimensionale Sy tem Stabilität ................. .... 159
5.4 Linear DGL-Sy tem mit kon tanten K effizient n und pe-
zieHen Inhomogenitäten ................................. 169
5.5 Lineare DGLen höherer Ordnung mit konstanten
Koeffizienten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 7.2 . . . . . . . . . . ..
5.6 Homogene lineare Differentialgleichungen mit periodischen
Koeffizi nt nfunktion n ........... ............. ... ... ... 175
Historische otizen zu JORDAN .. .. ... .. ... .. .. .. ..... .... .... 1 2
Maple Worksheets zu Kapitel 5 .... ..... .... .... .. .... .... 1 3
6 Nützliche - nicht nur für den Praktiker ... ... ... ..... ... 205
6.1 Lösungen über Potenzreihenansatz . . . . . . . . . . . . . . . . .2 .0 5. . . . . .
HERMTTE-Differentialgleichung .. ............. ... ... 207
LEGENDRE-Differentialgleichung .............. ..... . 208
6.2 Schwach inguläre Punk e .. ... .. ... .... .... .. ..... .... .. 214
BESSEL-DiH r ntialgl ichwlg ....... .. ... ... ... ..... 220
6.3 LAPLACE-Transformation ... ..... .. ..... .. .. ..... ... ..... 224
Anwendung auf Anfang rtaufgaben .. ..... ... ..... 231
\V
Unstetige Inhomogenitäten ............... ..... .... 236
Zur inversen LAPLACE-Transformation ........ ... ... 23
Kleine Tabelle von LA PLACE-Transformierten ..... ... 240
Historische otizen zu LAPLACE .............................. 242
Maple Worksheets zu Kapitel 6 ..... ... ............. ... ... 243
7 Rand- und Eigenwertprobleme ......... ................... 265
7.1 Randwertaufgaben für lineare DGL-Systeme mit linearen
Rand bedingung n .. ....... .... ....... .. .. .. ... .. ....... 266
GREEN-Matrix .... .... .. ... .... ....... ... .... .. .. 269
VIII
7.2 Randwertprobleme für lineare DGLen k-ter Ordnung .. ... ... 274
7.3 icht-lineare Randwertallfgaben und Fixpunktprobleme .. ... 282
7.4 Selbstadjllngierte Randwertaufgaben ...................... 283
7.5 Selb tadjungiert Randeigenwertaufgab n .... .. .... ....... 2 7
FOURIER-REIHEN ........... ... ..... ... .... ...... 292
Entwicklung ätz ........... ... .... .... .......... 294
7.6 TURM-LIOUVILLE-Randeigenwertaufgaben .... .... ...... .. 301
Historische Notizen zu FOURIER .. ..... ........ .... .... ..... .. 304
Maple Worksheets zu Kapitel 7 ...... .. .... .. ... ... .... ... 305
8 Anhang über Matrixfunktionen ........................... 325
.1 Matrixpolynome .. .......... ..... ..... .... ...... .. .... .. 325
pektraldarstellung von YLVESTER-BuCHHEIM ... ... 32
.2 Matrixfllnktionen: Definition, Eigenschaften ..... .... .. .... . 331
.3 Bei piele zur BereclulUng von Matrixfunktionen .... .... .... 339
Hi tori eh Notizen zu SYLVE TER ... .. .... .... .... .... .... ... 345
Maple Worksheets zum Anhang über Matrixfunktionen .. 347
Anhang zu Maple .......... ... ..... .... ........... .. ..... .. .. . 359
Symbolverzeichnis .... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... ... 371
Namen- und Sachverzeichnis .. .. .. ... ... ... .... ..... ... .... ... 373
Index zu Maple ............................................... 3 1
Literaturverzeichnis ..... .... ... ..... ... ..... .. .... ... ..... ... 3 5
Einleitung
Es gibt viele gute und auch einige sehr gute Bücher über Gewöhnliche Diffe
rentialgleichungen. Das vorliegende Buch versucht keineswegs, allein die Zahl
solcher Bücher zu erhöhen; das Hauptziel wird aus dem Untertitel" Theorie
und Praxis" und dem Zusatz "vertieft und visualisiert mit Maple" deutlich.
Sein besonderer Reiz liegt in der Kombination einer sehr sorgfältig ausgear
beiteten zeitgemäßen Einführung in die Theorie mit zahlreichen Beispielen
und zugehörigen Arbeitsblättern mit ,Maple vom Feinsten '. Das Computeral
gebrasystem wird so mit den Inhalten der Theorie verknüpft, daß das Schwer
gewicht auf Erklärung, Vertiefung, Einübung und Visualisierung liegt.
Es wird eine Einführung in die Theorie der Gewöhnlichen Differentialglei
chungen gegeben für Mathematiker, Physiker, Wirtschaftswissenschaftler und
Ingenieure - allgemeiner auch für Studierende mit Mathematik als Neben
fach. Dabei haben wir durchaus auch die vermehrt eingeführten Bachelor
Studiengänge im Blick, bei denen eine angemessene Stoffreduzierung ge
genüber vielen herkömmlichen Darstellungen unumgänglich ist.
Gerade auch bei den Differentialgleichungen ist Visualisierung, oft gekop
pelt mit dynamischen Abläufen, besonders wichtig. Bei uns wird zusätzlich
gezeigt, wie man solche Dinge relativ leicht selbst verwirklichen kann.
Solide Grundkenntnisse der Linearen Algebra vorausgesetzt, kann unser Buch
nach einer zweisemestrigen Einführung in die Analysis, also ab dem 3. Stu
diensemester , gewinnbringend für alle Studiengänge herangezogen werden.
Dem Lernenden werden mathematisch ,saubere' und leistungsfähige Metho
den an die Hand gegeben, was die praktische Arbeit wesentlich erleichtert.
Der Lehrende findet ein ansprechendes und ausgefeiltes Buch, das er zur Ori
entierung oder als Begleittext ohne jeden Vorbehalt empfehlen kann.
Gleich zu Beginn sei ausdrücklich gesagt: Vokabeln wie etwa ,Leser' sollten
stets als ,Leser in und Leser' verstanden werden. Sprachliche Spielereien wie
,LeserInnen' oder ,der (die) Leser(in) , und Ähnliches finden wir unschön und
wenig sinnvoll. Auch wenn wir das nicht fortwährend betonen: Weibliche und
männliche Leser des Buches sind uns gleichermaßen willkommen.
Das vorliegende Buch kann den Lernenden von Beginn an begleiten und als
Grundlage oder Ergänzung zu einer Einführung in die Gewöhnlichen Diffe
rentialgleichungen im Grundstudium dienen. Es schafft gute Voraussetzungen
für die Beschäftigung mit weiterführenden oder allgemeineren Themen und
vor allem für die vielfältigen Anwendungen.
Das Buch kann dem Lehrenden, der die zu präsentierenden Themen und
Methoden stärker heutigen computerunterstützten Möglichkeiten anpassen
will, eine gute Hilfe und zuverlässiger Wegweiser sein.
x Einleitung
Wir haben uns immer wieder bemüht, dem Leser die zugrundeliegenden Ideen
nahezubringen und ihn zum Mitmachen zu animieren. Dies hat die Darstel
lung stark geprägt.
Zu allen Themen finden sich im Text zahlreiche, meist vollständig durchge
rechnete und mit Bedacht ausgewählte Beispiele. Die große Fülle der aus
geführten Beispiele zeigt ausgiebig das "Wie", der sonstige Text erläutert
das" Warum". Die Maple-Arbeitsblätter zeigen dann, wie man die Dinge
mit einem Computeralgebrasystem umsetzen kann. Sie geben vielfältige An
regungen zum selbständigen Experimentieren.
Instruktive und sorgfältig ausgewählte Abbildungen tragen - auch schon
im Textteil - zur Veranschaulichung des Stoffes bei und erleichtern so das
Verständnis.
Auf ein detailliertes Durchgehen der Gliederung des Buches verzichten wir.
Das ausführlich gehaltene Inhaltsverzeichnis gibt vorweg genügend Übersicht.
Ein erstes Durchblättern dürfte zur Lektüre des gesamten Buches verführen.
Es seien nur einige Besonderheiten des Textes erwähnt:
• Anders als in vielen sonstigen Lehrbüchern wird der Stoff an dem orien
tiert, was in einem Semester im Grundstudium machbar ist. Die vielen
ungewöhnlich positiven Rückmeldungen von Studenten und Kollegen zu
unserem entprechenden Buch über Funktionentheorie zeigen, daß eine Dar
stellung der vorgelegten Art sehr willkommen ist.
• Exemplarisch werden Anwendungsbeispiele unter verschiedenen Aspekten
angesprochen.
• LAPLACE-Transformationen werden angemessen behandelt, da sie - be
sonders für viele Praktiker - ein unverzichtbares Werkzeug darstellen.
• Viele Themen werden relativ früh mit Vorteil für allgemeine DGL-Systeme
behandelt und dann jeweils auf den zweidimensionalen Fall beziehungswei
se Differentialgleichungen höherer Ordnung spezialisiert. Dies erweist sich
als fruchtbar und erhöht die Durchsichtigkeit.
• Nach der Pflicht in den ersten 7 Kapiteln enthält der Anhang über Matrix
funktionen noch ein Kürprogramm. Die Beschäftigung mit diesem Thema
entwickelte sich ursprünglich aus der Frage, wie ein Computeralgebrasy
stem - hier speziell Maple - die Exponentialfunktion von Matrizen be
ziehungsweise allgemeiner Matrixfunktionen berechnet.
• Zahlreiche historische Anmerkungen und Notizen unterstreichen, daß sich
hinter den zentralen Begriffen und Theorien der Mathematik das Wirken
herausragender Einzelpersönlichkeiten verbirgt.
Natürlich konnten nicht alle Themen behandelt werden: So fehlen etwa be
wußt der Satz von PEANO, separate Eindeutigkeitsüberlegungen, Ausführun
gen zum LORENTz-Attraktor und weitergehende Stabilitätsaussagen.
Einleitung XI
Zur inhaltlichen und didaktischen Konzeption ist folgendes zu sagen:
Unser Buch soll den Lernenden ab dem dritten Semester begleiten und wird
sicher auch später noch zuverlässiger Ratgeber und Nachschlagemöglichkeit
sein. Es ist durchaus auch zum Selbststudium geeignet; denn es ermuntert
fortwährend zu aktivem Mitdenken und eigenem Thn. Dabei ist die mathema
tische Darstellung durch die Computerrealisierung begleitet. Beide Ebenen
werden jedoch bewußt voneinander getrennt.
Die Darstellung ist weit entfernt davon, eine bloße Sammlung von Kochre
zepten zu sein. Gerade die mathematisch strenge Herleitung zentraler Ideen
und durchgehend präzise Formulierung fördern entscheidend Verständnis und
Durchblick und geben so erst die gewünschte Sicherheit bei der Anwendung.
Nur ganz vereinzelt, wo ein vollständiger strenger Beweis nicht ratsam schien,
beschränken wir uns auf einen Literaturverweis.
Zu Maple
Wir wollen Lernende, Lehrende und Praktiker gewinnen, ein Computeralge
brasystem im ,Alltag' angemessen einzusetzen. Anwender können stärker für
die erforderliche Theorie gewonnen werden, wenn - mehr als sonst meist
üblich - Verbindungen zum praktischen Rechnen erkennbar sind. Das dau
ernde Wechselspiel zwischen Text, dort auch mit vielen ausführlich durch
gerechneten instruktiven Beispielen, und ,Maple-Worksheets', kurz MWSs,
führt zu einer wesentlich besseren Durchdringung des Stoffes. Viele Beispiele
des Textteils werden in den MWSs aufgegriffen und neue Gesichtspunkte be
leuchtet, die nicht nur für Maple-Nutzer interessant sind. Auch andere Leser
finden hier ergänzendes Material und ausführlich durchgerechnete Aufgaben.
Wir hoffen, daß etwas von unserer Begeisterung auf die Leser überspringt
und Lehrende neue Impulse für die Gestaltung ihrer Vorlesungen mitnehmen.
Computeralgebrasysteme wie etwa Maple können in Kombination mit innova
tiven Ansätzen Lehre, Lernen und den Gebrauch von Mathematik nachhaltig
reformieren. Wir stehen erst am Anfang einer rasanten Entwicklung.
Der Stoff kann effizienter und weniger fehleranfällig präsentiert werden, als
dies allein mit Bleistift und Papier bzw. Kreide und Tafel möglich ist. Vor
allem können viel komplexere Beispiele bearbeitet und visualisiert werden.
Die ausgeführten und didaktisch aufbereiteten Worksheets geben Vorschläge
und Anregungen, die selbständig ergänzt und modifiziert werden können.
Zur Lösung von Differentialgleichungen gibt es - vergleichbar etwa mit der
Bestimmung von Stammfunktionen - kein Patentrezept, keine Methode, die
immer zum Ziel führt. Zu vielen Differentialgleichungen existiert gar keine
analytische Lösung. Dies trifft durchaus bereits auf solche zu, die bei der
Modellierung von einfachen Problemen der Praxis auftreten. Deshalb zieht
