Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eine Einführung aus der Perspektive der dynamischen Systeme

252 Pages·2015·3.44 MB·German

by  Lars Grüne

Springer Studium Mathematik – Bachelor
Lars Grüne
Oliver Junge
Gewöhnliche
Diff erential-
gleichungen
Eine Einführung aus der Perspektive
der dynamischen Systeme
2. Aufl age
Springer Studium Mathematik – Bachelor
Herausgegebenvon
M.Aigner,FreieUniversitätBerlin,Berlin,Germany
H.Faßbender,TechnischeUniversitätBraunschweig,Braunschweig,Germany
B.Gentz,UniversitätBielefeld,Bielefeld,Germany
D.Grieser,UniversitätOldenburg,Oldenburg,Germany
P.Gritzmann,TechnischeUniversitätMünchen,Garching,Germany
J.Kramer,Humboldt-UniversitätzuBerlin,Berlin,Germany
V.Mehrmann,TechnischeUniversitätBerlin,Berlin,Germany
G.Wüstholz,ETHZürich,Zürich,Switzerland
Die Reihe „Springer Studium Mathematik“ richtet sich an Studierendealler mathemati-
schenStudiengängeundanStudierende,diesichmitMathematikinVerbindungmiteinem
anderen Studienfach intensiv beschäftigen, wie auch an Personen, die in der Anwen-
dung oder der Vermittlung von Mathematik tätig sind. Sie bietet Studierenden während
desgesamtenStudiumseinenschnellenZugangzudenwichtigstenmathematischenTeil-
gebieten entsprechend den gängigen Modulen. Die Reihevermittelt neben einer soliden
GrundausbildunginMathematikauchfachübergreifendeKompetenzen.Insbesondereim
BachelorstudiummöchtedieReihedieStudierendenfürdiePrinzipienundArbeitsweisen
derMathematikbegeistern.DieLehr-undÜbungsbücherunterstützenbeiderKlausurvor-
bereitung und enthalten neben vielen Beispielen und Übungsaufgabenauch Grundlagen
undHilfen,diebeimÜbergangvonderSchulezurHochschuleamAnfangdesStudiums
benötigtwerden.WeiterbegleitetdieReihedieStudierendenimfortgeschrittenenBache-
lorstudiumundzuBeginndesMasterstudiumsbeiderVertiefungundSpezialisierungin
einzelnen mathematischen Gebieten mit den passenden Lehrbüchern.Für den Master in
MathematikstelltdieReihezurfachlichenExpertiseBändezuweiterführendenThemen
mitforschungsnahenEinblickenindiemoderneMathematikzurVerfügung.DieBücher
könnendemAngebotderHochschulenentsprechendauchinenglischerSpracheabgefasst
sein.
WeitereBändedieserReihefindensieunter
http://www.springer.com/series/13446
(cid:2)
Lars Grüne Oliver Junge
Gewöhnliche
Differentialgleichungen
Eine Einführung aus der Perspektive
der dynamischen Systeme
2., aktualisierte Auflage
LarsGrüne OliverJunge
MathematischesInstitut ZentrumMathematik
UniversitätBayreuth TechnischeUniversitätMünchen
Bayreuth,Deutschland Garching,Deutschland
ISBN978-3-658-10240-1 ISBN978-3-658-10241-8(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-10241-8
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Vorwort
DiesesBuchbieteteinekompakteEinführungindieTheoriedergewöhnlichenDifferen-
tialgleichungen aus dem Blickwinkel der dynamischen Systeme. Ziel ist es, sowohl die
KernaussagenderklassischenTheoriezuvermitteln,alsaucheinenEinblickinzahlreiche
verwandteunddaraufaufbauendeThemenzugeben.DieDarstellungistdabeisokonkret
wiemöglichgehalten.
Das Buch gliedert sich in zwei Teile. Im ersten Teil wird die grundlegende Theorie
linearerundnichtlinearerDifferentialgleichungen–ExistenzundEindeutigkeit,Darstel-
lungundRegularitätvonLösungen–mitausführlichenBeweisen undvielen Beispielen
behandelt. Neben einem Kapitel mit ausgewählten Techniken zur analytischen Lösung
vonDifferentialgleichungenfindetsich dabeiauchein einführendesKapitelzur numeri-
schen Integration von Anfangswertproblemen, um die Relevanzdieser Methoden in der
Praxis zu betonen. Diese beiden Kapitel werden ergänzt durch zwei einführende An-
hänge zu den Paketen MAPLE und MATLAB, die zum Experimentieren anregen sollen.
Auf der zum Buch gehörigen Web-Seite http://www.dgl-buch.de stehen neben den in
denbeidenAnhängenbeschriebenWorksheetsundM-FilesweitereProgrammezurVer-
fügung, die sich auch zur Verwendung in Vorlesungen eignen. Insbesondere sei dabei
das Pendel-Demonstrationsprogramm pendel_anim.m erwähnt, mit dem die Lösun-
gen des linearen und des nichtlinearen Pendel-Modellsauf verschiedeneWeise animiert
dargestelltwerdenkönnen,vgl.Abb.1.VieleimBucherläutertenKonzeptekönnenhier-
mitexperimentellnachvollzogenwerden.
Der zweite Teil des Buches beginnt mit Kap. 7 und ist fokussiert auf Themen aus
der Theorieder Dynamischen Systeme und Anwendungen.Hier soll insbesonderedeut-
lich werden, in welcher Weise die grundlegenden Aussagen und Techniken des ersten
Teilshelfen,ModellerealerSystemedetailliertzuanalysieren.DieKapitelzurStabilitäts-
theorie führen auf Fragen der Steuerungs- bzw. Regelungstheorie hin, die insbesondere
in den Ingenieurwissenschaftenvon zentralem Interesse sind. Die Kapitelüber spezielle
Lösungsmengen,VerzweigungenundAttraktorenführendasThemaimHinblickaufdie
ÄnderungvonSystemparametern bzw.allgemeinereStabilitätskonzepte fort.Im Kapitel
überHamilton-SystemeerarbeitenwirBasiswissenzudieserinderMechanik,Physikund
ChemiesowichtigenSystemklasse, dasimabschließendenKapitelaufgegriffenwird,in
V
VI Vorwort
Phasenportrait
1.5 6
1 4
0.5 2
0 (t)2 0
x
−0.5 −2
−1 −4
−1.5 −6
−1 0 1 −2 0 2
x (t)
1
Lösungskomponenten abhängig von t
6
4
(t)2 2
(t), x1 0
x −2
−4
−6
3 4 5 6 7
t
Abb.1 DasProgramm pendel_anim.m
demModellierungundAnalysemitgewöhnlichenDifferentialgleichungenexemplarisch
anhanddreierAnwendungsbeispieledurchgeführtwird.
ImVergleichzurerstenAuflagehabenwirdieAnordnungdesStoffsindervorliegen-
den,gründlichüberarbeitetenzweitenAuflageeinwenigumgestellt.Insbesonderewurde
die Behandlung der Stabilitätstheorie für Gleichgewichte vorgezogen und wird nun vor
der Einführung weiterer Begriffe aus der Theorie dynamischer Systeme behandelt, was
unsausdidaktischerSichtvorteilhafterscheint.ZudemwurdenkleinereErgänzungenim
StoffgemachtsowieFehlerundUngenauigkeitenbeseitigt.
HinweisefürDozenten
DasBuchistsostrukturiert,dasseinKapitelinetwademStoffeinerVorlesungswochemit
vierWochenstundenentspricht.Esistdahermöglich,dasBuchdirektalsVorlagefüreine
vierstündige Vorlesung mit 13 Semesterwochen zu verwenden. Da auch wir selbst aber
eherseltensovorgehen,istesunswichtig,dennochRaumfürindividuelleSchwerpunkte
zulassen.Gründehierfürgibtesviele:EineDozentin,dievielWertaufausführlicheEr-
läuterungenvonBeweisenlegt,wirdindenGrundlagenkapitelnmöglicherweisemehrZeit
Vorwort VII
Kapitel 1-4
Einfu¨hrung
LineareDifferentialgleichungen
L¨osungstheorie
L¨osungseigenschaften
Kapitel 5 Kapitel 6
LA¨onsaulnytgiesnche LN¨ousmunergiesnche nurfu¨r12.3
Kapitel 7 Kapitel 8 Kapitel 9
Gleichgewichte Lyapunov-Fkt., SpezielleLsg.
undStabilit¨at Linearisierung undMengen
Kapitel 10 Kapitel 11 Kapitel 12
Verzweigungen Attraktoren Hamiltonsche
Diff’gleichungen
Kapitel 13
Anwendungs-
beispiele
Abb.2 VoraussetzungenfürdieKapitel
benötigen, während ein Dozent, der die anwendungsorientierten Aspekte betont, diesen
Teil schneller abhandelt und dafür mehr Zeit auf die Beispiele verwendet. Eine praxis-
orientierte Vorlesung kann die Anhänge über MAPLE und MATLAB, die ansonsten in
den Übungen behandelt oder den Studierenden zum Selbststudium empfohlen werden
können, in die Vorlesung integrieren und dafür Beweise nur skizziert vorstellen oder
einzelne Abschnitte oder Kapitel weglassen. In einem Curriculum, in dem eine Vorle-
sungübernumerischeMethodenfürDifferentialgleichungenzumKanongehört,kanndas
Kap.6ausgelassenoderstarkgekürztwerden;wennandererseitsderExistenz-undEin-
deutigkeitssatzbereitsindergrundlegendenAnalysis-Vorlesungbehandeltwird,kanner
hier sicherlich auch recht kurz abgehandelt werden. Und nicht zuletzt gibt es an vielen
HochschulenKurseüberDifferentialgleichungen,dienurdreioderzweiWochenstunden
vorsehen,sodassKürzungendesStoffesunumgänglichsind.
UmsolcheSchwerpunktsetzungenundKürzungensoeinfachwiemöglichzumachen,
habenwirdieVoraussetzungenfürdieeinzelnenKapitelinAbb.2grafischdargestellt.
EinPfeilvonKapitelxzuKapitelybedeutetdabei,dassKapitelxStoffenthält,derin
Kapitely benötigtwird.Diesbedeutetnatürlichnicht,dassalleDefinitionenundResul-
tatedieser Kapitel dortgebrauchtwerden.Wenn also dievollständigeBehandlungeines
VIII Vorwort
vorhergehendenKapitelsausZeitgründennichtmöglichist,empfiehltessich,genauerzu
prüfen, welche Teile tatsächlich benötigt werden. Insbesonderegilt dies für die Anwen-
dungsbeispieleinKap.13,diebeientsprechenderAufbereitungauchparallelzumaktuell
behandeltenStoffineineVorlesungintegriertwerdenkönnen.
Die Anhänge zu MAPLE und MATLAB sind in Abb. 2 nicht berücksichtigt, weil sie
primärzurBehandlungindenÜbungenoderzumSelbststudiumgedachtsind.Siesetzen
den Stoff der Kapitel 1–5 für die analytischen Methoden sowie von Kapitel 6 für die
numerischen Methoden voraus; will man allerdings nur die Bedienungder numerischen
Methoden erlernen,ohneviel Wertauf den theoretischen Hintergrundzu legen, so kann
mandieAnhängeauchohneKapitel6lesen.
Danksagung
WirmöchtenandieserStelledenHerausgebernderReiheSpringerStudiumMathematik
–Bachelor desVerlagesSpringerSpektrumdanken,ohnederenAnregungdieses Buch-
projekt wahrscheinlich nicht begonnen worden wäre. Großer Dank gebührt zudem Nils
Altmüller, Stefan Jerg, Péter Koltai, Marcus von Lossow, Florian Müller, Sina Ober-
Blöbaum, Jürgen Pannek und Karl Worthmann, die durch gründliches Korrekturlesen,
vielfältigeAnregungenzurPräsentationdesStoffesundnichtzuletztdasProbelösender
ÜbungsaufgabenzumGelingendesBuchesentscheidendbeigetragenhaben.Fürallever-
bleibendenFehlerübernehmennatürlichalleinwirdieVerantwortung,sindaberdankbar
fürjedenHinweis.
Bayreuth LarsGrüne
München,imApril2015 OliverJunge
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 LineareDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 AutonomeSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 NichtautonomeSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 InhomogenelineareSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Lösungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1 UmformungineineGleichungersterOrdnung . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Anfangswertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 DerExistenz-undEindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4 FolgerungenausdemEindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5 DynamischeSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Lösungseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 LinearisierungundDifferenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3 Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5 AnalytischeLösungsmethoden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1 TrennungderVariablen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2 ExakteDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3 BernoulliDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4 ZweidimensionaleautonomeSysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
IX