Gewichtige Approximation durch variationsvermindernde Operatoren vom Faltungstyp. Zur besten Approximation auf Banachräumen mit Anwendungen auf ganze Funktionen

76 Pages·1973·3.95 MB·German

by  Rolf Joachim Nessel

FORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTF ALEN
Nr.2311
Herausgegeben im Auftrage des Ministerprăsidenten Heinz Kfihn
vom Minister fUr Wissenschaft und Forschung Johannes Rau
Rolf Joachim Nessel
Jens Kemper
Gewichtige Approximation durch
variationsvermindernde Operatoren
vom Faltungstyp
Josef Junggeburth
Karl Scherer
Walter Trebels
Zur besten Approximation auf
mit Anwendungen
Banachrăumen
auf ganze Funktionen
Lehrstuhl A fiir Mathematik
der Rhein. -Westf. Techn. Hochschule Aachen
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1973
ISBN 978-3-531-02311-3 ISBN 978-3-322-88181-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-88181-6
© 1973 by Springer Fachmedien Wiesbaden
Urspriinglich erschienen bei Westdeutscher Verlag, Opladen 1973
Gesamtherstellung: Westdeutscher Verlag
Inhalt
Rolf Joachim Nessel, Jens Kemper
Gewichtige Approximation durch variationsvermindernde
Operator en vom Faltungstyp
1. Einleitung 5
2. Approximationssatze fUr das Weierstrass-Integral 11
3. Einige Eigenschaften variationsvermindernder Kerne 28
4. Approximationssatze fur allgemeine variationsvermindernde
Faltungsintegrale 39
Literaturverzeichnis 48
Josef Junggeburth, Karl Scherer, Walter Trebels
Zur besten Approximation auf Banachraumen mit Anwendungen
auf ganze Funktionen
1. Einleit ung . . . . . . . • . . . . • • • . . . . . . . . 51
2. Satze uber die beste Approximation in Banachraumen 56
3. Anwendungen auf ganze Funktionen yom exponentiellen Typ
in L {-oo,oo}, 1,;;; p< 00, und C{-oo~oo}. 68
P
Literaturverzeichnis . 74
5
GE~1IeHTETE APPROXIr![J\TION DUReH VARIATI()~JSVERrv!INDERNDE OPERATOPEU
vml' FALTUNG:iTYP
von J. Kemper und R.J. Ness~l
Lehrstuhl A fUr Mathematik der TH. Aachen
1. Einleitung
Es sei R bzw. P .bzw·. l't'die r·1enge aller reellen bzw. nichtne-
gativen ganzen bzt,'1. natUrli'chen Zahlen'. :iei e der Raum aller auf
R gleichmfiBig stetigen und beschri:inkten Funktionen mit der Norm
IIfli e - lIf(x)IIe = sup I f( x) I ,
xeR
und LP, 1..;p..;00, der Raum aller auf R meBbaren Funktionen, fHr die
die Norm
=1
IP p
(_L1f(X) rlx)l/ , l";p<oo
II fll P - II f ( x ) II p
ess sUP~Rlf(x) I. P = 00
endlich ist. X sei einer der R~ume e oder LP, l";p<oo. Fi.ir f eX
sei a1n singuUires Integral vom Faltungstyp der Porm
00
(1.1) I(f;x;p) = p !f(x-u)x(pu)du (p > 0)
_00
vorgegeben. Dabei sei p > 0 ein Parameter, der gegen tTnendlich
streben solI, und {Xp(x)} p>o der Kern des singuli:ireh Integrals
{I(f;x;p) }p>O' der tiier immer rUe spezielle Parameterabhtlngig
keit Xp(x) = PX( px) aUfl'leisen solI. In diesem Pall bezeichnet .
6
man auch die Funktion X selbst als Kern von (101) 0 1st xe ~!I,1.
doh. ist XE Ll normiert zu f:~X(X)dX = 1. so bilden die nperate
ren (101) fUr p+oo einen starken ApproximationsprozeB auf X. do h 0 ,
fur jedes feX p;ilt (vp;l. [4.po121)
(102) lim III(f;x;p)-f(x)II X = 00
p+oo
Der Ausgangspunkt dieser Arbeit ist das folcende all~emeine
Problem: Cegeben sei eine Funktion fe C. deren Graph eine gewis-
se Gestalt hato Was kann dann Uber das Approximationsverhalten
1
des Verfahrens (101) fUr alle selchen Kerne X e ~JL ausgesact
werden. fl'ir die I(f;x;p) diese Eigenschaft von f invariant UiBt?
Vorliegende Arbeit liefert einen Reitrag zu diesem Prohlem fl'ir
solche Operatoren. die variationsvermindernd sind: 1st
x1<x2<000<xn eine endliche An~ahl reeller Zahlen. so bedeute
v(f(xj » fUr ein fe C die Anzahl der Vorzeichenwechsel der end
lichen Folge {f(Xj )}. und v(f) = sup v(f(xj ». wehei das Supre
mum uber aIle endlichen. geordneten Polcen {x.} zu nehmen isto
,]
Einen Operator T: f~Tfe C bezeichnet man dann als variations-
vermindernd. falls v(Tf) ..: v(f) fUr alle fe r. r;ilto Entsprechend
heiBt das sinv,ultire Integral (101) variationsverminaernd. falls
(1. 3) v(I(f;x;p» ..: v(f)
filr alle fe. C und jedes p > 0 r;ilt. In diesem "'all nennt man auch
X variatiensvermindernd. und bezeichnet die Klasse aller varia
tionsvermindernden Kerne Xe ~Ll mit VD. Gleichung (103) bedeutet
dann anschaulich gesprochen. daB I(f;x;p) filr jedes p > () nicht
starker urn jede zur x-Achse parallele aerade oszilliert als f
selbsto
7
Da jedes X~VD notwendigerweise positiv ist (vgl. (3.1», ist
man (Iber das Zusammenspiel zwischen Approximationsordnung und
strukturellen Eigensehaften der zu approximierenden Funktion f
hinreiehend gut informiert. falls f€X ist und das Approxima-
tionsmaB im Sinne vOn (1.2), d.h. in der X-Norm, gewahlt wird
(vr,l. [4,p.120 ff]). Die zusatzliehe Voraussetzung, daB X varia-
tionsvermindernd ist, soll hier dazu benutzt werden, die
dage~en
Klassen der zu approximierenden Funktionen zu erweitern.
Zu diesem Zweek wollen wir zunaehst als ein Beispiel eines
variationsvermindernden Kerns den Weierstrass-Kern betraehten,
der Illier eine gesehlossene Darstellung explizit ist:
~egehen
w(x) = (4ny) -1/2 exp{-x 2 14y}, y > O. Bezeiehnet man mit Cloe die
r"enge aller auf R stetigen und mit Lioe' l';;;p<oo, die Henge aller
auf jedem Kompaktum von R zur p-ten Potenz Lebesgue-integrierba
ren Funktionen, und ist Xloe einer dieser Raume, so sei filr f3 > 0
2
(1. 4) = {fEXl oc IlIe-f3x f(x)IIX. <oo},
Dann existiert der mit dem oben genannten 1,veierstrass-Kern ge-
bildete Operator (1.1)
00
(1. 5) W(f;x; p) = p !f(x-u)w(pu)du (p > 0)
_ 00
fUr jedes fE X2 und stellt fUr jec1es p > 0 eine Abhildung von
X2 in X2 dar (vgl. Prop. 2.1). Die Verwendung der RAume X2 im
Zusammenhang mit dem ;"Teierstrass-nperator (1.5) ist wohlbekannt;
vgl. ehla Ziegler [15] in Verbindung mit gestal terhaltenden Ei-
genschaften bzw. monotoner Konvergenz von (1.5).
8
Entsprechend zur Erwei terunr; (ler r,lenp;e der zu approximieren-
den t<'unktionen (es p;ilt XCX2, aber nicht umVoekehrt, (la beispiels
weise jedes Polynom zu X2 p;ehBrt) kann eine Approximation von
fe X2 durch W(f;x;p) natnrlich nicht mehr im Sinne von (1.2)
gemessen werden. Vielmehr wird man (lie Abweichun~ ~it Eilfe einer
r:ewichteten Approximation" r:enauer iiber die Schar von Ilormen
messen. d.h.: Man betrachtet die Approximation von f (lurch H( fix; p;
nicht mehr in dem Banach-Raum X. sondern in dem lokal konvexen.
linearen topologischen Raum X2; die Approximation kann nicht in
jedem einzelnen Banach-Raum X2•S (S > n beliebip;. aber fest)
betrachtet werden. da fUr ein S > n der nperator (1.5) X2 S
•
nicht in sich. sondern nur in,ein X2 mit a > B abbildet (v~l •
• (1
Bemerkung 2.11).
vn
1st da,:,;ep;en der Kern XE beliebip;. so ist er nach Schoen-
berg (12) Uber die Darstellunp; (3.3) der Reziproken seiner La-
place-Transformierten implizit a;ep;eben. Da hieraus nur auf das
Verhalten (3.8) im Unendlichen p;eschlossen \'lerden kann, wird
man jetzt die gegenUber dem Spezialfall des ;'leierstrass-Inte-
grals einp;eschrankten Klassen (B > n)
(1. 6)
betrachten. Entsprechend zum Heierstrass-17all existiert der
mit einem beliebigen XEVD p;ebildete IJperator (1.1) fiir ,jedes
fE Xl und stellt filr jer1es p > n eine Abbildunp; von Xl in '\
9
dar(v~l. Bemerkunr, 4.2). DarUberhinaus ist aber, fUr jedes
beliebi~e, feste 8 > 0, I(f;x;p) eine Abbildung von Xl ,8 in
Xl,S fUr aIle hinreichend ~roAen p > 0, so daB hier die Appro
ximation von f(x) durch I(f;x;p) fiir p+oo sor;ar in der Norm je-
des einzelnen Bani1ch-Ri1uT'les Xl, 8 p:eT'lessen werden kann (wori1us
man dann natnrlich die Ergebnisse fUr die dem 11eierstrass-Pall
entsprechende Approximation Ruf Xl,gemessen Uber oie Schar
von NQrmen
{ -8Ixl{ .. }
II e I ( f, x ~ p ) - f ( x) } II X 8>0 '
sofort durch ZusRmT'lenfassunp; iiher RIle B > n erhRlten \\Tiirde).
~achdem in Abschnitt 2 das Approximationsverhalten des Weier-
strass-Inte~rals (1.5) auf ~2 ourch Aufstellenvon ~Ackson-,
Bernstein- und SaturationssUtzen untersucht \\Tircl, stellt Ab-
schnitt 3 eini~e Eip:enschaften variationsverT'linderncler Kerr.e
zusammen, insbesond.ere die Abschiitzunr; (3.10) fUr (lie Ableitun
r;en eines Kerns X E VD. Abschni tt Ij behanclel t dann (lie Approxima-
tion von f(x) durch die Operatoren ICf;x;p) f;jr einen beliebi-
gen Kern X E VD. Entsprechend cler TRtsRche, daf) diese Approxima-
tion in jedem einzelnen Banach-Paum Xl,S diskutiert wircl, kann
der Inhalt dieses Abschnittes als die konkrete Ausarbeitunp; ei-
ner allgemeinen Theorle in ahstrRkten Banach-R,'iU"1en betrRchtet
werden, die im nicht-optimalen Pall von Butzer-Scherer [5;6]
und im Saturations fall von Berens [1] (vP:l. auch [3]) aufrr,estellt
wurde. 1m GeGensatz zu Berens-Butzer [2] bz\<[. Kolbe-'Tessel [11] ,
wo gevIichtete Approximationsprobleme bei sinr;uUiren Integralen
vom Laplace- bzw. I'1ell1n-Paltungstyp T'lit !{ilfe von zUf,eh-'iri~en
10
Transformationsmethoden untersucht wurden ist die Behandlung
D
der Probleme hier direkt in den Ori~inalr~umen. Es sei vermerktD
daB die von Ditzian [7;8] diskutierten Probleme Approximationen
in den iiblichen X-P~umen betreffen und von einer anoeren Hatur
sind.
AbschlieBend mochten \.,rir Frau Dr. U. Westphal fUr eine kri
tische Durchsicht des Manuskriptes recht herzlich danken.
Diese Arbeit stellt den letzten Teil des AbschluBberichtes
zum Forschungsvorhaben A/3 - 4812 dar, das am Lehrstuhl A fUr
Mathematik der RWTH Aachen durchgefUhrt wurde. Der erstgenannte
Verfasser dankt dem Minister fUr Wissenschaft und Forschung des
Landes Nordrhein-Westfalen - Landesamt fUr Forschung fUr
die ihm zuteil gewordene Forderung.