Getal & ruimte: Tweede fase

164 Pages·2015·1.983 MB·Dutch; Flemish

by  J. H. Dijkhuis

Uitwerkingen
vwo B deel 1
ELFDE EDITIE, 2015
J.H. Dijkhuis
C.J. Admiraal
J.A. Verbeek
G. de Jong
H.J. Houwing
J.D. Kuis
F. ten Klooster
S.K.A. de Waal
J. van Braak
H. Liesting
M. Wieringa
M.L.M. van Maarseveen
R.D. Hiele
J.E. Romkes
M. Haneveld
S. Voets
I. Cornelisse
Noordhoff Uitgevers Groningen
Book 1.indb 1 3/24/15 8:09 PM
1
Book 1.indb 2 3/24/15 8:09 PM
Inhoud
1 Functies en grafi eken 4
2 De afgeleide functie 39
3 Vergelijkingen en herleidingen 65
4 Meetkunde 102
Wiskunde Olympiade 130
Gemengde opgaven 136
Voor sommige (computer)opgaven is geen
uitwerking opgenomen.
Deze zijn aangegeven met een *.
© Noordhoff Uitgevers bv
Book 1.indb 3 3/24/15 8:09 PM
1 Functies en grafi eken
1
Voorkennis Lineaire vergelijkingen en ongelijkheden
Bladzijde 8
a1 a 10(cid:237)3(x+1)=5x(cid:237)(2x(cid:237)1) d 1,6(2x(cid:237)1)=1,4x(cid:237)2
10(cid:237)3x(cid:237)3=5x(cid:237)2x+1 3,2x(cid:237)1,6=1,4x(cid:237)2
(cid:237)3x(cid:237)5x+2x=1(cid:237)10+3 3,2x(cid:237)1,4x=(cid:237)2+1,6
(cid:237)6x=(cid:237)6 1,8x=(cid:237)0,4
(cid:237)6 (cid:237)0,4 (cid:237)4
x= (cid:237)6 =1 x= 1,8 = 18 =(cid:237)29
b 45 x(cid:237)113 =213 x(cid:237)3 e 27 (4x(cid:237)1)=34 (1(cid:237)5x)
12x(cid:237)20=35x(cid:237)45 8(4x(cid:237)1)=21(1(cid:237)5x)
(cid:237)23x=(cid:237)25 32x(cid:237)8=21(cid:237)105x
x= (cid:237)(cid:237)2253 =1223 1x3=7x1239=7 29
2t(cid:237)3 3t(cid:237)1 5t+1 2t+3
c 4 =t(cid:237)113 f 5(cid:237) 6 = 4 (cid:237) 3
6t(cid:237)9=12t(cid:237)16 60(cid:237)2(3t(cid:237)1)=3(5t+1)(cid:237)4(2t+3)
(cid:237)6t=(cid:237)7 60(cid:237)6t+2=15t+3(cid:237)8t(cid:237)12
(cid:237)7 (cid:237)6t(cid:237)15t+8t=3(cid:237)12(cid:237)2(cid:237)60
t= (cid:237)6 =116 (cid:237)13t=(cid:237)71
(cid:237)71
t= =56
(cid:237)13 13
Bladzijde 9
2 a 3x>5x d 1,5(1,6x(cid:237)2)<2,5(1,4x(cid:237)3)
(cid:237)2x>0 2,4x(cid:237)3<3,5x(cid:237)7,5
x<0 (cid:237)1,1x<(cid:237)4,5
b 1x+3<1x(cid:237)2 (cid:237)11x<(cid:237)45
6 2
x+18<3x(cid:237)12 (cid:237)45
x>
(cid:237)2x<(cid:237)30 (cid:237)11
x>15 x>41
3p(cid:237)4 11
c 3 (cid:148)2p(cid:237)116 e 38 (5x(cid:237)2)>14 (2x(cid:237)5)
2(3p(cid:237)4)(cid:148)12p(cid:237)7 3(5x(cid:237)2)>2(2x(cid:237)5)
6p(cid:237)8(cid:148)12p(cid:237)7 15x(cid:237)6>4x(cid:237)10
(cid:237)6p(cid:148)1 11x>(cid:237)4
p(cid:149)(cid:237)16 x>(cid:237)141
2a(cid:237)3 4a(cid:237)1 3a+2
f 10(cid:237) (cid:149) (cid:237)
6 5 15
300(cid:237)5(2a(cid:237)3)(cid:149)6(4a(cid:237)1)(cid:237)2(3a+2)
300(cid:237)10a+15(cid:149)24a(cid:237)6(cid:237)6a(cid:237)4
(cid:237)10a(cid:237)24a+6a(cid:149)(cid:237)6(cid:237)4(cid:237)300(cid:237)15
(cid:237)28a(cid:149)(cid:237)325
a(cid:148)111278
4 Hoofdstuk 1 © Noordhoff Uitgevers bv
Book 1.indb 4 3/24/15 8:09 PM
1.1 Lineaire functies
Bladzijde 10 1
a1 a Ga je 1 naar rechts, dan ga je 2 omhoog.
Het getal 3 geeft aan dat de lijn de y-as in het punt (0,3) snijdt.

b Stel l: y=ax+b.
Het snijpunt met de y-as is (0,2), dus b=2.

verticaal (cid:237)1
l gaat door (0, 2) en (2, 1), dus a= horizontaal = 2 =(cid:237)12 .
Dus l: y=(cid:237)1x+2.
2
c Stel m: y=ax+b.
Het snijpunt met de y-as is (0, (cid:237)1), dus b=(cid:237)1.
m is evenwijdig met l dus a=(cid:237)1.
2
Dus m: y=(cid:237)1x(cid:237)1.
2
Bladzijde 11
2 a Stel k: y=ax+b.
k // l, dus a=rcl =(cid:237)12 .
y=(cid:237)1x+b
door 2A (4,3)f (cid:237)12 (cid:194)4+b=3
(cid:237)2+b=3
b=5
Dus k: y=(cid:237)12 x+5.
b m: y=ax+3
a(cid:194)(cid:237)4+3=2
door B((cid:237)4, 2) r(cid:237)4a+3=2
(cid:237)4a=(cid:237)1
a=1
4
c p snijden met de x-as, dus y=0, geeft (cid:237)11x+6=0
2
(cid:237)11x=(cid:237)6
2
x=4
Dus p snijdt de x-as in (4, 0).
n: y=21x+b
do or (4,20 ) f 212 (cid:194)4+b=0
10+b=0
b=(cid:237)10
3 a Stel l: y=ax+b. b Stel k: y=ax+b.
a=rc =(cid:237)2 k // m, dus a=rc = 4.
l m
y=(cid:237)2x+b k: y=4x+b
f (cid:237)2(cid:194)(cid:237)2+b=3 f 4(cid:194)(cid:237)5+b=21
door A((cid:237)2, 3) 4+b=3 door B((cid:237)5, 21) (cid:237)20+b=21
b=(cid:237)1 b=41
Dus l: y=(cid:237)2x(cid:237)1. Dus k: y=4x+41.
4 a Stel p: y=ax+b. b Snijpunt met de x-as: y=0 geeft (cid:237)13 x+24=0
p // q, dus a=rc =(cid:237)1.
q 3 (cid:237)1x=(cid:237)24
3
y=(cid:237)1x+b (cid:237)24
door 3C ((cid:237)18, 30)f (cid:237)613+ (cid:194)(cid:237)b1=83+0b=30 x= (cid:237)13 =72
Dus het snijpunt met de x-as is (72,0).
b=24
Snijpunt met de y-as: x=0 geeft y=(cid:237)1(cid:194)0+24=24.
Dus p: y=(cid:237)1x+24. 3
3 Dus het snijpunt met de y-as is (0,24).

© Noordhoff Uitgevers bv Functies en grafi eken 5
Book 1.indb 5 3/24/15 8:09 PM
5 a k: y=ax+10 c k: y=ax+10
f a(cid:194)(cid:237)20+10=0 f a(cid:194)0+10=0
doorP((cid:237)20,0) doorO(0,0)
(cid:237)20a=(cid:237)10 10=0 dit kan niet
1
a=1 Er is dus geen amogelijk.
2
b k: y=ax+10
f a(cid:194)2+10=(cid:237)4
doorQ(2,(cid:237)4)
2a=(cid:237)14
a=(cid:237)7
Bladzijde 12
a6 a dmo: oyr =P((cid:237)(cid:237)28x, 0+)b f (cid:237)126(cid:194)+(cid:237)8b+=b0=0 d ks n: iy jp=u n12 xt m+e2t x- as: y = 0 f 112xx=+(cid:237)22=0
b=(cid:237)16 2
x=(cid:237)4
b m // l indien rc l=rc m, dus a=(cid:237)2. Dus het snijpunt met de x-as is ((cid:237)4, 0).
m: y=(cid:237)2x+b
f (cid:237)2(cid:194)10+b=7 l: y=ax(cid:237)4
door Q(10, 7) (cid:237)20+b=7 door ((cid:237)4,0) f a(cid:194)(cid:237)4(cid:237)4=0
(cid:237)4a(cid:237)4=0
b=27
(cid:237)4a=4
c k gaat door R(8, 6) want 6=12(cid:194)8+2. a=(cid:237)1
l: y=ax(cid:237)4
f a(cid:194)8(cid:237)4=6 m: y=(cid:237)2x+b
door R(8, 6) 8a(cid:237)4=6 door ((cid:237)4, 0) f (cid:237)82+(cid:194)(cid:237)b4=+0b=0
8a=10
b=(cid:237)8
10
a= =11
8 4
m: y=(cid:237)2x+b
f (cid:237)2(cid:194)8+b=6
door R(8,6)
(cid:237)16+b=6

b=22
7 a Kies x zo dat de formule geen a meer bevat.
Voor k:y=ax+1 geldt dat

x=0 geeft y=a(cid:194)0+1=1, dus A(0,1).

Voor l: y=2ax(cid:237)2a geldt dat
y=2ax(cid:237)2a=2a(x(cid:237)1)
x=1 geeft y=2a(1(cid:237)1)=0, dus B(1, 0).
b k en l snijden in A dus
l: y=2ax(cid:237)2a
f 2a(cid:194)0(cid:237)2a=1
doorA(0,1)
(cid:237)2a=1

a=(cid:237)1
2
k en l snijden in B dus
k: y=ax+1
f a(cid:194)1+1=0
doorB(1,0)
a+1=0
a=(cid:237)1
c k: y=ax+1
f y=a(cid:194)10+1=10a+1
x =10
C
k: y=2ax(cid:237)2a
x =10 f y=2a(cid:194)10(cid:237)2a=18a
C
Formules aan elkaar gelijkstellen geeft10a+1=18a
(cid:237)8a=(cid:237)1
(cid:237)1
a= =1
(cid:237)8 8
Dus y =1(cid:194)10+1=10 +1=11 +1=21.
C 8 8 4 4
6 Hoofdstuk 1 © Noordhoff Uitgevers bv
Book 1.indb 6 3/24/15 8:09 PM
8 a Ga je 4 naar rechts, dan ga je 3 omhoog, dus ga je 1 naar rechts, dan ga je 34 omhoog.
Dus rc =3.
l 4
y (cid:237)y 1
b Deel yB(cid:237)yA door xB(cid:237)xA. Dus rc l= xB(cid:237)xA =34 .
B A
Bladzijde 14
9 a Stel k: y=ax+b. b Stel N=aM+b.
(cid:41)y 11(cid:237)8 3 M=5 en N=62 (cid:168)N 86(cid:237)62 24
a= (cid:41)x = 20(cid:237)8 = 12 =14 M=20 en N=86 f a= (cid:168)M = 20(cid:237)5 = 15 =135
y=1x+b N=13M+b
door4 (8,8) f 14 (cid:194)8+b=8 M=55 en N=62 f 135 (cid:194)5+b=62
2+b=8 8+b=62
b=6 b=54
Dus k: y=1x+6. Dus N=13M+54.
4 5
Stel l: y=ax+b. Stel M=aN+b.
a= (cid:168)(cid:168)xy = (cid:237)1500(cid:237)(cid:237)124 = (cid:237)4284 =(cid:237)12 NN==6826 eenn MM==250 f a= (cid:41)(cid:41)MN = 8260(cid:237)(cid:237)652 = 2145 =58
dyo=or(cid:237) 12( 2x,+14b) f (cid:237)12 (cid:194)2+b=14 MN==6582 N e+n bN=5 f 58(cid:194)62+b=5
(cid:237)1+b=14
383 +b=5
b=15 4
Dus l: y=(cid:237)1x+15. b=(cid:237)333
2 4
Dus M=5N(cid:237)333.
k en l snijden geeft 8 4
1x+6=(cid:237)1x+15
4 2 Alternatieve oplossing
1x+1x=15(cid:237)6 Omwerken van de formule geeft M uitgedrukt in N.
4 2
N=13M+54
3x=9 5
4 13M+54=N
3x=36 5
8M+270=5N
x=12
8M=5N(cid:237)270
y=1x+6
x=14 2 f y=14 (cid:194)12+6=3+6=9 M=58 N(cid:237)3334
Dus E(12,9).

10 a Stel l: y=ax+b. c Stel m: y=ax+b .
(cid:168)y 4(cid:237)1 3 (cid:168)y 3(cid:237)3 0
a= = = =11 a= = = =0
(cid:168)x 1(cid:237)(cid:237)1 2 2 (cid:168)x (cid:237)7(cid:237)5 (cid:237)12
y=11x+b y=b
door (21 ,4) f 1+b=4 door (5,3) f b=3

11 +b=4 Dus m: y=3.
2
b=21 d Stel n: y=ax+b.
2 (cid:168)y 250(cid:237)360 (cid:237)110
a= = = =51
Dus l: y=11x+21. (cid:168)x 160(cid:237)180 (cid:237)20 2
2 2
b Stel k: y=ax+b. y=51x+b
a= (cid:168)(cid:168)xy = 20(cid:237)(cid:237)(cid:237)53 = (cid:237)55 =(cid:237)1 door (21 80, 360) f 59912 0(cid:194)1+80b+=b36=0360
y=(cid:237)x+b b=(cid:237)630
door (2, 0) f (cid:237)b2=+2b=0 Dus n: y=512 x(cid:237)630.
Dus k: y=(cid:237)x+2.
11 a Stel K=am+b.
m=5 en K=10 (cid:41)K 115(cid:237)10 105
m=12 en K=115 f a= (cid:41)m = 12(cid:237)5 = 7 =15

K=15m+b
f15(cid:194)5+b=10
m=5 en K=10
75+b=10
b=(cid:237)65
Dus K=15m(cid:237)65.
© Noordhoff Uitgevers bv Functies en grafi eken 7
Book 1.indb 7 3/24/15 8:10 PM
b Stel F=aR+b.
R=15 en F=300 (cid:168)F 138(cid:237)300 (cid:237)162
f a= = = =(cid:237)6
1 R=42 en F=138 (cid:168)R 42(cid:237)15 27

F=(cid:237)6R+b
f (cid:237)6(cid:194)15+b=300
R=15 en F=300
(cid:237)90+b=300
b=390
Dus F=(cid:237)6R+390.
c Stel g=an+b.
n=6 en g=35 (cid:168)g 49(cid:237)35 14
n=10 en g=49 f a= (cid:168)n = 10(cid:237)6 = 4 =312

g=31n+b
n=6 2e n g=35 f 312 (cid:194)6+b=35
21+b=35
b=14
Dus g=31n+14.
2
1 2 a Stel p=aq+b.
q=150 en p=7,75 (cid:168)p 2,25(cid:237)7,75 (cid:237)5,5
q=425 en p=2,25 f a= (cid:168)q = 425(cid:237)150 = 275 =(cid:237)0,02

p=(cid:237)0,02q+b
f (cid:237)0,02(cid:194)150+b=7,75
q=150 en p=7,75
(cid:237)3+b=7,75
b=10,75
Dus p=(cid:237)0,02q+10,75.
Stel q=ap+b.
p=7,75 en q=150 (cid:168)q 425(cid:237)150 275
p=2,25 en q=425 f a= (cid:168)p = 2,25(cid:237)7,75 = (cid:237)5,5 =(cid:237)50

p=(cid:237)50q+b
f (cid:237)50(cid:194)7,75+b=150
p=7,75 en q=150
(cid:237)387,5+b=150
b=537,5
Dus q=(cid:237)50p+537,5.
Alternatieve oplossing
Omwerken van de formule geeft q uitgedrukt in p.
p=(cid:237)0,02q+10,75
0,02q=(cid:237)p+10,75
q=(cid:237)50p+537,5
b p=(cid:237)0,02q+10,75 f p=(cid:237)0,02(cid:194)250+10,75=5,75
q=250
q=(cid:237)50p+537,5
p=4,25 f q=(cid:237)50(cid:194)4,25+537,5=325
Bladzijde 15
1 3 a Stel h=at+b.
t=12 en h=164,0 (cid:168)h 152,8(cid:237)164,0
t=18 en h=152,8 f a= (cid:168)t = 18(cid:237)12 =(cid:237)11135

h=(cid:237)113t+b
t=12 1e5n h=164,0f (cid:237)11153 (cid:194)12+b=164,0
(cid:237)22,4+b=164,0
b=186,4
Dus h=(cid:237)113t+186,4.
15
b h=156,7 geeft (cid:237)11153 t+186,4=156,7
(cid:237)11153 t=(cid:237)29,7
(cid:237)29,7
t= (cid:167)15,9
(cid:237)113
15
De auto passeert hectometerpaal 156,7 om ongeveer 14:16 uur.
8 Hoofdstuk 1 © Noordhoff Uitgevers bv
Book 1.indb 8 3/24/15 8:10 PM
1 4 Stel y=ax+b.
(cid:41)y p+2(cid:237)(p+1) 1
a= = =
(cid:41)x 2p(cid:237)p p 1
y=1x+b
doorp (p,p +1)f 1p(cid:194)p+b=p+1
1+b=p+1
b=p

Dus y=1x+p.
p
Snijden met de x-as: y =0 geeft 1x+p=0
p
1x=(cid:237)p
p
x=(cid:237)p2

Voor p (cid:143) 0 geldt dat (cid:237)p2<0, dus x<0.
Dus elke lijn snijdt de negatieve x-as.
1 5 a x (cid:237)4 (cid:237)3 (cid:237)2 (cid:237)1 0 1 2 3 4
f(x) 4 3 2 1 0 1 2 3 4
b y
5
4
ƒ
3
2
1
x
−4 −3 −2 −1 O 1 2 3 4
Bladzijde 16
1 6 a f (x)= 012 x(cid:237)10 =12 x(cid:237)1 als 12 x(cid:237)1(cid:149)0, dus als x(cid:149)2.
f(x)= 01x(cid:237)10 =(cid:237)1x+1 als 1x(cid:237)1<0, dus als x<2.
2 2 2
y
5
4
3
ƒ
2
1
x
−2 −1 O 1 2 3 4 5 6
−1
−2
© Noordhoff Uitgevers bv Functies en grafi eken 9
Book 1.indb 9 3/24/15 8:10 PM
b g(x)=(cid:237)02x(cid:237)60 =(cid:237)2x+6 als 2x(cid:237)6(cid:149)0, dus als x(cid:149)3.

g(x)=(cid:237)02x(cid:237)60 =2x(cid:237)6 als 2x(cid:237)6<0, dus als x<3.

1 y
x
−3 −2 −1 O 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
g
−5
−6
−7
c h(x)=2(cid:237) 01x(cid:237)20 =4(cid:237)1x als 1x(cid:237)2(cid:149)0, dus als x(cid:149)6.
3 3 3
h(x)=2(cid:237) 01x(cid:237)20 =1x als 1x(cid:237)2<0, dus als x<6.
3 3 3
y
3
2
h
1
x
−1 O 1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
10 Hoofdstuk 1 © Noordhoff Uitgevers bv
Book 1.indb 10 3/24/15 8:10 PM