Table Of Contentvwo B deel 2
ELFDE EDITIE, 2015
J.H. Dijkhuis
C.J. Admiraal
J.A. Verbeek
G. de Jong
H.J. Houwing
J.D. Kuis
F. ten Klooster
S.K.A. de Waal
J. van Braak
J.H.M. Liesting-Maas
M. Wieringa
M.L.M. van Maarseveen
R.D. Hiele
J.E. Romkes
M. Haneveld
S. Voets
I. Cornelisse
Noordhoff Uitgevers Groningen
Book 1.indb 1 3/30/15 3:37 PM
Book 1.indb 2 3/30/15 3:37 PM
Voorwoord
Aan de docent(e),
Het boek vwo B deel 2
Samen met de delen 1, 3 en 4 van vwo wiskunde B bevat dit boek de leerstof van het
programma vwo wiskunde B, zoals dat met ingang van het jaar 2015 is vastgesteld.
De totale studielast voor het vak vwo wiskunde B is 600 uur.
De delen 1, 2, 3 en 4 bevatten samen 17 hoofdstukken, waarbij opgemerkt moet worden dat
in het laatste hoofdstuk van deel 3 een keuzeonderwerp wordt aangeboden en dat in het vierde
hoofdstuk van deel 4 de examentraining aan bod komt. In de vier hoofdstukken van dit boek, die
elk een studielast van ongeveer 30 uur hebben, komen de volgende (sub)domeinen aan de orde:
5 Machten en exponenten: B Functies, gra(cid:191) eken en vergelijkingen;
6 Differentiaalrekening: C1 Afgeleide functies en C2 Technieken voor differentiëren;
7 Goniometrische functies: D Goniometrische functies;
8 Meetkunde met coördinaten: E2 Algebraïsche methoden in de vlakke meetkunde.
De delen 1, 2 en 3 zijn bedoeld voor de leerjaren 4 en 5. Afhankelijk van de verdeling
van de studielast over deze twee leerjaren kunnen de hoofdstukken 7 en 8 samen met
deel 3 in het vijfde leerjaar worden doorgewerkt.
Opbouw
Ook in de elfde editie is gekozen voor een paragraaf voorkennis waarmee elk hoofdstuk
begint en waarin de voor het hoofdstuk vereiste voorkennis wordt aangeboden. Elke
paragraaf wordt afgesloten met een terugblik. Aan het eind van elk hoofdstuk staat de
diagnostische toets, die per paragraaf de basisvaardigheden toetst.
Achter in het boek staan opgaven uit de Wiskunde Olympiade, de gemengde opgaven
en het trefwoordenregister.
Testopgaven en denkopgaven
Nieuw in deze editie zijn de testopgaven en de denkopgaven.
Met de testopgaven, aangegeven met een T, wordt een vorm van differentiatie aangeboden.
Leerlingen kunnen na het foutloos maken van een testopgave enkele opgaven overslaan.
De denkopgaven zijn aangegeven met een D en bieden een probleem aan dat bij de
behandelde theorie hoort, maar dat door de vaak iets andere invalshoek of het ontbreken
van tussenstappen een extra beroep doet op het denkvermogen van de leerling. Met de
opgaven uit de Wiskunde Olympiade krijgen de leerlingen extra training met het oplossen
van wiskundeproblemen.
Online materiaal
Het Docentenpakket online bevat een studiewijzer bij elk hoofdstuk. Verder is onder meer
het presentatiemateriaal aanwezig en zijn bij elk hoofdstuk toetsopgaven beschikbaar.
Voor de leerlingen is er in online een oefenproefwerk bij elk hoofdstuk en zijn er
oefenapplets, animaties en demo’s.
Zoals altijd stellen we op- en aanmerkingen van gebruikers zeer op prijs.
voorjaar 2015
© Noordhoff Uitgevers bv
Book 1.indb 3 3/30/15 3:37 PM
Legenda
11 Voorkennis
Kennis van enkele onderwerpen uit voorgaande hoofdstukken moet je paraat
hebben.
O 22 Oriënterende opgave
Opgaven waarmee je je oriënteert op de theorie erna.
T 33 [(cid:377)(cid:377)6] Testopgave
Een T-opgave volgt na een theorieblok. Als je de theorie en het voorbeeld
goed begrijpt, dan kun je de testopgave maken. Gaat dit foutloos, dan mag je
verder gaan met de opgave die achter (cid:377)(cid:377) staat.
44 Gewone opgave
Na de theorie ga je oefenen met de gewone opgaven.
R 55 Re(cid:192) ecterende opgave
In een re(cid:192) ectieopgave kijk je nog eens terug op een voorgaand probleem.
A 66 Afsluitende opgave
De afsluitende opgaven geven het beoogde beheersingsniveau aan.
DD 77 Denkopgave
Een D-opgave doet een extra beroep op je denkvermogen. De denkopgave
hoort bij de behandelde theorie, maar vaak wordt in de opgave een probleem
op een iets andere manier gepresenteerd.
[(cid:377)WERKBLAD]
Verwijzing naar een werkblad.
© Noordhoff Uitgevers bv
Book 1.indb 4 3/30/15 3:37 PM
Inhoud
5 Machten en exponenten 6 7 Goniometrische functies 92
Voorkennis Machten en machtsfuncties 8 Voorkennis Exacte waarden van
5.1 Wortelvormen en gebroken vormen 13 goniometrische verhoudingen 94
5.2 Machten met negatieve en gebroken 7.1 Eenheidscirkel en radiaal 96
exponenten 27 7.2 Goniometrische vergelijkingen 106
5.3 De standaardfunctie f(x) = gx 36 7.3 Transformaties en functies 113
5.4 Exponentiële groei 44 7.4 Gra(cid:191) eken van goniometrische
Diagnostische toets 52 functies 121
7.5 Goniometrische functies
differentiëren 131
6 Differentiaalrekening 54 Diagnostische toets 136
Voorkennis Differentiëren 56
6.1 Toppen en buigpunten 60 8 Meetkunde met
6.2 De afgeleide van machtsfuncties 68 coördinaten 138
6.3 De kettingregel 75
6.4 Toppen en snijpunten 82 Voorkennis Stelsels en
Diagnostische toets 90 kwadraatafsplitsen 140
8.1 Lijnen en hoeken 142
8.2 Afstanden bij punten en lijnen 152
8.3 Cirkelvergelijkingen 159
8.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels 167
8.5 Meetkunde met GeoGebra 173
Diagnostische toets 178
Wiskunde olympiade 180
Gemengde opgaven 188
Overzicht GR-handleiding 198
Trefwoordenregister 199
Verantwoording 200
© Noordhoff Uitgevers bv
Book 1.indb 5 3/30/15 3:37 PM
Diepzeeduikers hebben de ervaring dat op Wat leer je?
grote diepte alles er blauwer uitziet. Dat komt • Werken met grafieken van wortelfuncties,
doordat water rood licht meer absorbeert dan gebroken functies en exponentiële functies.
blauw licht. In de Caribische Zee bijvoorbeeld • Het vrijmaken van variabelen bij
is op vijf meter diepte al 92% van het rode wortelformules.
licht geabsorbeerd en van het blauwe licht • Wat de betekenis is van machten met
nog maar 83%. Hieruit volgt dat op 9 meter negatieve en gebroken exponenten.
diepte vier keer zoveel blauw licht doordringt • Algebraïsch oplossen van exponentiële
dan rood licht. vergelijkingen.
• Formules opstellen bij exponentiële groei.
666 Hoofdstuk # ©© NNoooorrddhhooffff UUiittggeevveerrss bbvv
Book 1.indb 6 3/30/15 3:37 PM
Machten en exponenten
5
©© NNoooorrddhhooffff UUiittggeevvee rrss bbvv 77
Book 1.indb 7 3/30/15 3:37 PM
Voorkennis Machten en machtsfuncties
Theorie A Rekenregels voor machten
Je weet dat a5 een macht van a is.
In de macht a5 is a het grondtal en 5 de exponent.
a5 is een korte schrijfwijze voor a · a · a · a · a,
dus voor het product van vijf factoren a.
Rekenen met machten gaat als volgt.
a2(cid:194)a5=a(cid:194)a (cid:194) a(cid:194)a(cid:194)a(cid:194)a(cid:194)a=a7 Bij het vermenigvuldigen van
2 factoren 5 factoren machten met hetzelfde grondtal tel je
5 de exponenten bij elkaar op.
a5 a(cid:194)a(cid:194)a(cid:194)a(cid:194)a Bij het delen van machten met
a 2 = a(cid:194)a =a 3 hetzelfde grondtal trek je de
exponenten van elkaar af.
(a2)5=a2(cid:194)a2(cid:194)a2(cid:194)a2(cid:194)a2=a10 Bij de macht van een macht
5 factoren a2 vermenigvuldig je de exponenten
met elkaar.
(ab)4 =ab(cid:194)ab(cid:194)ab(cid:194)ab=a(cid:194)a(cid:194)a(cid:194)a(cid:194)b(cid:194)b(cid:194)b(cid:194)b=a4b4 Bij de macht van een product krijg je
4 factoren ab een product van machten.
Zo krijg je de volgende rekenregels voor machten.
ap
ap · aq = ap + q =ap(cid:237)q (ap)q = apq (ab)p = apbp
aq
Hieronder zie je hoe je de rekenregels gebruikt bij het herleiddeenn..
((cid:237)3a3)4 = ((cid:237)3)4 · (a3)4 = 81a12 (–2)4 = 16 en –24 = –16
((cid:237)3a2)3 = ((cid:237)3)3 · (a2)3 = (cid:237)27a6 (–3)3 = –27 en –33 = –27
(2a3)2 (cid:237) (a2)3 = 4a6 (cid:237) a6 = 3a6
Let op: a5 · a2 = a7 maar
a5 · a2 + a5 + a2 = a7 + a5 + a2
a5 + a2 kan niet korter.
12a3b
=4a2
3ab
8 Hoofdstuk 5 © Noordhoff Uitgevers bv
Book 1.indb 8 3/30/15 3:37 PM
11 Herleid.
a x2(cid:194)x3 c 4a2b(cid:194)5a3b2 e 5x2y(cid:194)2x(cid:237)3x3y
b 2p3(cid:194)3p2 d (cid:237)2p4q3(cid:194)(cid:237)3pq f 12a4b(cid:194)1ab(cid:237)8ab
4
22 Herleid.
a (p2q)3 c ((cid:237)5x2y3)2 e (3a)2(cid:194)(2a2)3
b (3x2)3 d ((cid:237)4ab4)2 f (3a3)2+(2a2)3
33 Herleid.
a 24a 4b 2 b 5x 3y 2 c (2ab) 3
6ab 10x2y (3ab)2
44 Herleid.
a (ab)4(cid:194)a c (3a)2+(2b)2 e (1a)2+((cid:237)a)2
2
b ((cid:237)2ab)3(cid:194)b d (3a)3(cid:237)8a3 f (5a4)2+((cid:237)a2)4
55 Herleid.
a a 2n(cid:194)a n (cid:237)1 b a n 2 (cid:237)1(cid:194)a n (cid:237)1 c aa nn 2 (cid:237)(cid:237)1 n 5
Theorie B Machtsfuncties
Een functie van de vorm f (x)=ax n met a (cid:143) 0 is een machtsfunctie.
In het schema hieronder zie je hoe de gra(cid:191) ek van f er uitziet voor
n > 1 en n geheel.
n even n oneven
y y y y
x x x x
O O O O
a > 0 a < 0 a > 0 a < 0
de y-as is symmetrieas en de top is (0, 0) het punt van symmetrie is (0, 0)
De functies f (x)=ax n zijn standaardfuncties en de bijbehorende gra(cid:191) eken
zijn standaardgrafi eken, dat wil zeggen dat je de gra(cid:191) eken zonder toelichting
mag tekenen.
© Noordhoff Uitgeve rs bv Machten en exponenten 9
Book 1.indb 9 3/30/15 3:37 PM
Bij de verschuiving 3 omhoog heeft de gra(cid:191) ek y
van y=12 x 2 als beeldgrafi ek de parabool y = –12x2 + 3
y=1x2+3. Zie (cid:191) guur 5.1.
2
Bij de verschuiving 2 naar rechts heeft de
gra(cid:191) ek van y=1x2 als beeldgra(cid:191) ek de
parabool y=1(x2 (cid:237) 2)2. 2
2
3
Bij de verschuiving 3 omhoog en 2 naar rechts
heeft de gra(cid:191) ek van y=12 x 2 als beeldgra(cid:191) ek de 2 y = –12x2
parabool y=1(x(cid:237)2)2+3.
2 1
In plaats van de verschuiving 2 naar rechts en y = –12(x – 2)2
3 omhoog zeggen we de verschuiving (2, 3). O 1 2 3 x
We noteren y=1x2 (cid:191) guur 5.1
2
verschuiving (2, 3)
y=1(x(cid:237)2)2+3
2
5
De gra(cid:191) ek van f(x)=1(x(cid:237)5)3(cid:237)4 ontstaat y
5
uit de gra(cid:191) ek van y=15 x 3 bij de verschuiving y = 51x3
(5, (cid:237)4).
Zie de (cid:191) guur hiernaast. 1
Bij de gra(cid:191) ek van f zijn de coördinaten van het O 1 5 x
punt van symmetrie genoteerd.
–4 ƒ(x) = 15(x – 5)3 – 4
(5, –4)
(cid:191) guur 5.2
De gra(cid:191) ek van g(x)=(cid:237)1(x+4)4+5 ontstaat y
2
(–4, 5)
uit de gra(cid:191) ek van y=(cid:237)1x4 bij de verschuiving 5
2
((cid:237)4, 5).
Zie de (cid:191) guur hiernaast.
De top van de gra(cid:191) ek van g is ((cid:237)4, 5), g(x) = – –12(x + 4)4 + 5
het maximum is g((cid:237)4) = 5 en
het bereik is Bg = 8(cid:107), 54. –4 1 x
O
y = – –1x4
2
(cid:191) guur 5.3
10 Hoofdstuk 5 © Noordhoff Uitgevers bv
Book 1.indb 10 3/30/15 3:37 PM
