Table Of ContentS A M M L U N G G Ö S C H E N B A N D 226
Geschichte
der Mathematik
Von
Dr. Joseph Ehrenfried Hof mann
Honorarprofessor an der; Universität Tübingen
Erster Teil
Von den Anfängen bis zum Auftreten
von Fermat und Descartes
W a l t e r de G r u y t e r & Co.
vonnals G.J.Gösohea’scheVerlagshandluag • J.Outtentag, Verlags
buchhandlung • Georg Beimer • Karl J. Trübner • Veit <fe Comp.
BERLIN 1953
Alle Eechte, etoschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und
Mikrofilmen, von der Verlagshandlung Vorbehalten
InhaltsTerzeichnis
Allgemeiner Überblick ............................................................................. 5
1. Abschnitt: Vorgriechische Mathematik ................................ 9-20
1. Aus der Vorgeschichte ................................................................. 9
2. Die Babylonier (2000—200} ..................................................... H
3. Die Xgypter (2000—500) ............................................................ 15
■ 4. Inder, Chinesen, Maya (3000—500).......................................... 18
II. Abschnitt: Die Griechen (etwa 800 v. bis 600 n. Chr.) ------------------------------------------21-48
1. Anfänge mathematischen Denkens (800-400)............................. 21
2. Die arithmetica universalls (um 400 V. Chr.) .......................... ^4
3. Um das Irrationale (400—325).................................................. 26
4. Euklid von Alexandria (365?—300?).................................... 31
5. Archimedes von Syrakus (287?—212)...................................... 35
Copyright 1953 by 6. Apollonios von Perge (262?—190?) ......................................... 39
W ALTER DE GRUYTER & CO 7. Untergang des Hellenismus, Römer (150 v. bis 150 n. Chr.) .. 42
Berlin W 35, Genthiner Str. 13 8. Neupythagoreer und Keuplatoniker (150-600)...................... 44
III. Abschnitt: Mittelalter (etwa 500 bis 1400 n. Chr.)................ 49—82
1. Die Inder (500—1200) ........................................'................... 49
2. Die Muslime (750—1300)............................................................. 52
3. Die Chinesen (200 V. bis 1300 n, Chr.)....................................... 58
4. Christliches Frtthmlttelalter (200—750).................................... 59
5. Die Karolingische Frührenaissance und ihre Nachwirkungen
(750-1100)...................................................................................... 62
6. Die ersten großen Übersetzungen und ihr Einwirken auf die '
Frühscholastik (1100—1200)...................................................... 65
7. Die Hochscholastik (13. Jahrhundert)...................................... 69
8. Die Spätscholastik (14. Jahrhundert) ...................................... 78
IV. Abschnitt: Humanismus (etwa 1300 bis 1580 n. Chr.) ........83-114
1. Übergang vom Mittelalter zur Neuzeit (etwa 1300—1500) .. 83
2. Die Mathematik der Renaissance (etwa 1400—1640)............ 89
3. Übergang zum Barock (1450—1680)......................................... 100
V. Abschnitt: Frühbarock (etwa 1550 bis 1650 n. Chr.) _______________________________115-155
Archiv-Nr. 110 226 1. Fr. Viöte (1540—1603)............ 115
2. Die Zeitgenossen Viötes und ihre Schüler (1550—1650) .... 125
Druck von Buchdruokerei Oswald Schmidt GmbH., Leipzig 111/18/65
3. Auf dem Wege zu neuen Einsichten (1550—1650).................. 141
Printedln Germany
Namen- und Schriftenverzeichnis........................................................... 156
722/48/50
Sachverzeichnis........................................................................................... 199
yorbemerknng
Geschichte der Mathematik
Die vorliegende Darstellung will einen Gesamtüber
Allgemeiner überblick
blick über die Mathematikgeschichte geben, worin auch
die Ausstrahlungen auf die mit ihr verbundenen Nach Das mathematische Denken hat sich zur heutigen for
bargebiete gestreift sind. Die in andern Einführungswerr malen Geschlossenheit und inhaltlichen Vielgestalt nicht
ken eingehend geschilderte antike Mathematik ist sehr ge plötzlich, sondern in jahrtausendelanger mühevoller Ent
drängt dargestellt, um die interessante, jedoch bisher zu wicklung erhoben. Am Anfang stehen rezeptartige Ke-
wenig beachtete Entwicklung der Mathematik im Mittel- chenvorschriften und handwerkliche Konstruktionsan-
alter und in der Benaissance etwas ausführlicher behan weisungen, zu denen sich merkwürdige, teils ab^läubi-
deln zu können. Wer sich eingehend mit Einzelheiten be sche, teils mystisch-religiöse Vorstellungen und eigentüm
schäftigen will, findet im Namen- und Schriftenverzeich liches Brauchtum gesellen. Allgemeinere systematische
nis die nötigen Hinweise. Sie sind der Kaumersparnis Gesichtspunkte zeigen sich bei den Pythaoobeern
halber abgekürzt gegeben, sollten jedoch dem schon ein (5. Jahrh. v. Ohr.), klare Einsichten in das Wesen, die Be
wenig in der Bibliotheksbenutzung Geübten den Weg zu deutung und die Tragweite des beweisenden Verfahrens
den Originalen ohne weiteres eröffnen. Es wird kaum eines im Zusammenhang mit der Entdeckung des Irrationalen
der zitierten Originalwerke geben, das ich nicht selbst in bei den unteritalisehen Griechen (um 400 v. Ohr.). Um
der Hand hatte; leider mußte ich mich infolge der heuti diese Zeit löst sich die Mathematik als selbständiger Wis
gen Verhältnisse bei der Angabe von Zweitliteratur ge senszweig von der griechischen Philosophie ab, bleibt je
legentlich auf (beste) andere Quellen verlassen. doch mit ihr durch die Art der theoretischen Geisteshal
Den unermüdlichen Helfern bei der Durchsicht der Kor tung aufs innigste verbunden. Trotz der mangelnden
rekturen, Herrn Ministerialrat Dr. Eugen Löffler, Stutt Symbolik und der Ablehnung direkter infinitesimaler
gart, Herrn cand. math. Helmut Salzmann, Augsburg, und Methoden stellt die Mathematik der hellenistischen
vor allem meiner lieben Frau gehört mein herzlichster Hochblüte (3. Jahrh. v. Ohr.) ein in sich geschlossenes
Dank. Diese Bändchen sind dem Andenken meines teuren Wissenschaftssystem von hohem Wert dar. Sie ist reine
Freundes Heinrich Wieleitner gewidmet, dem ich so viele Geisteswissenschaft und hat mit der gleichzeitigen Natur
Förderung auf dem Gebiete der Mathematikgeschichte wissenschaft, die um qualitative Deutungen auf Grund des
verdanke. äußeren Erscheinui^sbildes ringt, nur wenig zu tun; auch
die technischen Anwendungsmöglichkeiten werden kaum
Ichenhausen, Weihnachten 1950.
genutzt.
Jos. E. Hof mann
Geschichte der Mathematik Gesohiohte der Mathematik 7
Mit der Einfügung der Diadochen-Staaten in das römi und geben es (seit dem 12. Jahrh.) an das christliche
sche Reich (Griechenland 197, Syrien 64, Ägypten 31 v. Abendland weiter, wo gleichzeitig auch lateinische Über
Ohr.) tritt auf weltanschaulichem Giebiet die Stoa, auf setzungen aus griechischen Vorlagen angefertigt werden.
philosophischem der kosmopolitische Eklektizismus in Die Diskussionen der Scholastiker um das Unendliche
den Vordergrund; das Interesse an der theoretischen Ma und das Kontinuum (seit dem 12. Jahrh.) und die symbol
thematik ist im Schwinden und kann auch durch die Wie hafte und rechnerische Veranschaulichung von Eigen
derbelebungsversuche der Neupythagoreer und Neü- schaften und ihren Veränderungen (seit dem 14. Jahrh.)
PLATONIKER (3. Jahrh. n, Chr.) nicht mehr in früherem bereiten den Boden für das Wiederaufleben des mathe
Maße geweckt werden. Die junge Kirche lehnt die theore matischen Interesses, das zimächst der Übersetzung
tische Fachmathematik wegen ihrer Bindung an die Phi (15. Jahrh.), dann der Wiedergabe der stückweise wieder
losophie zunächst als typisch heidnische Wissenschaft ab auftauchenden griechischen Originale (16. Jahrh.), schließ
und will anfangs nur die unumgänglich nötigen prakti lich der selbständigen Weiterbildung des Gewonnenen
schen Methoden gelten lassen; die letzten Neüplatoni- gilt. Gleichzeitig formt sich mit der Wendung zur quanti
KER fassen das gesamte ihnen zugängliche mathematische tativen Naturforschung und technischen Nutzbarmachupg
Wissen in Sammelwerken und Ausgaben zusammen. ein auf mathematisch-naturwissenschaftlicher Grundlage
Nebenher entwickeln sich die ersten brauchbaren Ansätze beruhendes Weltbild, das durch den konsequenten Über
einer symbolischen Algebra (4.-6. Jahrh.). gang zur infinitesimalen Betrachtungsweise, zum Funk
Durch die Teilung von 395 wird die kulturelle Einheit tionsbegriff und zu einer symbolischen B^iffsschrift
des bis dahin völlig zweisprachigen Reiches bedroht, entscheidende Züge erhält (17. Jahrh.).
durch den Zusammenbruch des Westreiches (476) geht Die unerhörten Erfolge der nunmehr auf allen Gebieten
dem von germanischen Völkern überfluteten Abendland der exakten Naturforschung verwendeten neuen Verfah
die Kenntnis des, Griechischen verloren, ohne daß die ren führen zu außerordentlicher Ausdehnung des mathe
Hauptwerke der hellenistischen Philosophie und Mathe matisch erfaßbaren Wissensstoffes (18. Jahrh.), verleiten
matik ins Lateinische übersetzt worden waren, so daß ein jedoch zu ungebührlicher Nachlässigkeit hinsichtlich me
neuer Anfang auf primitiver Grundlage gemacht werden thodisch einwandfreier Begründung der anzuwendenden
muß. Im Ostreich hält sich die wissenschaftliche Tradi Ansätze. Erst im 19. Jahrh. klärt sich das vordem in
tion noch lange; von hier fließt griechisches Wissen nach reicher Fülle Gewonnene ab, wird systematisch zusam
Mesopotamien, Persien und Indien, wird mit dort vorhan mengefaßt, algorithmisch vereinheitlicht und mit immer
denen eigenen Ansätzen verknüpft und führt zum Ziffern anspruchsvoller werdender Präzision dargestellt, die in
rechnen und zur Ausgestaltung der Trigonometrie (wohl der modernen axiomatisierenden Grundlagenforschung
seit dem 5. Jahrh.). Nach Aufrichtung (He^a 622) und und der Wendung zur Logistik mündet. Jetzt erst wird
Sicherung des Kalifats nehmen die Muslime das mathe der ernsthafte Versuch gemacht, die Mathematik als ge
tische Können der Griechen und Inder in vorzüglichen schichtliche Einheit aufzufassen und nicht nur vom bio
Übersetzungen auf (9. Jahrh.), führen es geschickt fort graphischen Standpunkt aus, sondern nach ihrem Inhalt
8 Geschichte der Mathematik
an Problemen und Ideen zu behandeln und in ihrer Wech I. Abschnitt
selbeziehung mit den andern kulturschaffenden Faktoren
Yorgriechische Mathematik
der einzelnen Epochen verstehen zu lernen.
Zur Einführung 1. Aus der Vorgeschichte
0. Loria: Ouida allo ttudio della 0. Ssrton: The study of the
stoTia deüe motemafjche, Mailand hietory o/mafh«mat(c<, Cambridge Schon dort, wo uns die Arbeit des Prähistorikers nähere
1916, *1946. (Muss.) 1930.
G. A. Miller: HittoTieal introdue- D. E. Smith: A source book in Einzelheiten über die Kultur der Steinzeit erschlossen hat,
(ion to matftematieai liUTOture, mathematies, New York 1929.
New York 1916. stoßen wir auf ausgeprägtes mathematisches Können.
Blo-Blbllograpblachea Bauten und Grabanlagen, die Zierate auf Waffen
J. C. Poggendorff: HanduOrterbuch zur GetehiebU der exacten Wieten und Werkzeugen, auf Gebrauchs- und Schmuckgegen
Schäften, Leipzig seit 1863.
ständen, vor allem aber die Töpferware, das Flechtwerk
Geaehiohte der Mathematik
B. CL Aroblbald: OuUine of the S. Günther-H. Wieleltner: Oe- und die Webereierzeugnisse terraten uns Formensinn
hietory of mathematiee, Lancaster schichte der Mathematik, Lelpalg /
f 1932, OberUn (Ohio) n984, BerUn 11908; II, 1911; II, 1921. und hochstehend© handwerkliche Vertrautheit mit den
^ *1W6, ‘1939, »1941, ‘1949. G. Loria: Storiadelle matematiche, geometrischen Grundtatsachen. Den nur kärglich er
0. Becker-J. B. Hofmann: Oe- Turin 11929, II1931, III1933,
schichte der Mathematik, Bonn »Mailand 1950. haltenen Inschriften stehen wir zumeist noch hilflos
1961. D. E. Smith: History of mathema
PI. Cajorl; Ä hietory of mathema- tiee, Boston/London 1923,1925, gegenüber. Gel^entlich wissen wir, daß es sich um Daten
fics, New York »1894, »1913, »1928, 1930. oder Inventare handelt, und können regelmäßig wieder
•1922. -j-D. J. Strulk: A conciee hietory of
H. Cantor: Vorlesungen über Ge .mathematiee, New York 1948 kehrende Zeichen als Ziffern deuten. Gemeingut ist die
schichte der Mathematik, Leipzig (2 Bände).
I: »1880, *1894, *1907; II: »1892, H. Wieleltner: Geschichte der Kenntnis Ides gleichseitige und gleichschenkligen Drei
*1899/1900; III: »1894, »1900 Mathematik, Leipzig 1922/23 ecks, d^ Quadrats, des Bechtecks, des Kreises imd des in
bis 1901; IV: 1908 (veraltet). (Sam ml. Göschen 226,875); Neu
druck 1939; spanisch von C. M. ihn gellten regelmäßigen Sechsecks, der Kugel, des
Brunet, Barcelona 1928,1932.
Zylinders, des Quaders, des Würfels, des regelmäßigen
Geaehiohte der Elementarmathematik
Fl. Cajorl; A hietorvofelemeraaty J. Tropfke: OesehiehtS der Ble- Vierflachs und Achtflachs imd dergleichen mehr. Feines
mathetMdies, New York »1896, mentarmathematik, Leipzig 1902 Gefühl für Symmetrieeigenschaften verrät sich bei der
*1917; russ. von I. U. Tlm- bis 1903 (2 Bände), »BerUn 1921
tschenko, Odessa 1910. bis 1924 (7 Bände), *19Z0fA0 schmückenden Ausfüllung von Flächen durch geome
E.m aBtemoratticoal oeltemtle ntianr e Een ccoimclpopleemdi.a (die ersten vier Bände). trische Ornamente, die entwedm: in unbeschränkt fort-
III„ Mailand 19S0. setzbaren Streifen oder in kreisförmig sich schließenden
Zur Kttlturgesehichte
Gebilden angeordnet sind.
G. Barbagallo: Storia deUe sei- Saiton: Agmdevnthebittoryof
enze, MMland 1926. seienee, Waltham 1952; Introduc- Die einfachsten Zahlen werden wie Eigenschaften be
W.h ietCo.r yD oaf msepieineere- Wande tihtsa rmela: tioAn i tmioonr et oI t h1e9 h2i7e,t oIrIy o1f9 s3e1ie, nIeIeI,, B 1a9l4t7i, handelt und gelegentlich in unmittelbare Beziehung zu
wüh philosopby and religion, 111,1948. den gezählten Gegenständen gebracht, so daß den näm
Cambridge »1929, *1930. J. T. Sbotwell: An inttodwiion
F. Enriques: Le matematiche to the history of hietory, New lichen Anzahlen verschiedene Zeichen zugeordnet sind
neüa storia e neüa euUura, Bo York 1923. (konkrete Zahlen). Im allgemeinen wird die reihende
logna 1938. Handbuch der Kutturgeeehiehte ed.
J. Perde: Lee eeieruet eaaetes, H. Kindermann, Potsdam Schreibweise bevorzugt; schon sehr früh finden sich Ober-
Paris 1930. 1934.
10 Vorgriechisohe Mathematik Die Babylonier 11
einheiten, doch wird die Stufung nicht allzu weit getrie sehbarer Form mit den Lichtgestalten des Mondes Zu
ben und häufig durchbrochen. Bei den indogermani sammenhängen, führen auf das schwierige Kalender
schen Völkerschaften herrscht eine gewisse Neigung problem, das von den einzelnen Völkergruppen auf gänz
zum Verdoppeln und Vervierfachen vor, bei den Kelten lich verschiedenen Wegen angegriffen und zumeist eng
spielt das Zwanzigfache eine große Rolle. Auch dezimale mit religiösen Vorstellungen verbunden wird.
Stufungen treten auf, vor allem die Fünferbündelung und
Zur Kulturgeschichte der Steinzeit
die Kennzeichnung einer Zahl durch Hinaufzählen zu K. Breysig: Die Geschichte dei O. Stenghin; WeUgeschiehte d.
Menschheit 1, Breslau 1936. Steimea. Wien 1931.
einer höhergel^enen Schwelle. (Für alle diese Bezeich
R. Furon: Manuel de ptihiaoire M. P. Nllson: Primitive time-
nungsweisen und für die fortgesetzte Einführung neuer gSmale, Paris ^939, *1948. teehoning, Lund 1920.
L. Ldvy-Bruhl: Lee fonctions RedUexikon der Vorgeschichte, ed.
Individualzeichen für Zahlen — gelegentlich in starker Ab mentales dans les eociitis infS- H. Ebert, Berlin 1924/32.
weichung vom Zahlwort — finden sich Beispiele ba den Tieures, Paris »1928, deutsch
Wien *1926.
Völkern mit bereits ausgeprägter Hochkultur und schrift
Zur Entwicklung der Zahlen
licher Tradition.) Im ganzen zeigt sich eine gewisse, jedoch E. Fettweis: Das Rechnen der B. Löffler: Ziffern und Ziffern-
nicht allzu weitgehende Verwandtschaft der Neolithiker Naturvölket, Leipzig' 1927. sysUme, Leipzig ‘1912, »1918/19
J. C. Gregory: The nature of (2 Bändchen), ‘1928.
mit den Überlieferungen und dem Brauchtum der heute number, London 1919. R. Henninger: Zahlwort und Zif-
F. A. W111 e r 8 : Zahlzeichen und ' fer — Aus der Kulturgeschichle
noch vorhandenen spärlichen Überreste unberührter Na Rechnen im Wandel der Zeit, Ber- der Zahlen, Breslau 1934.
turvölker, denen freilich die geistige Formkraft gefehlt lin/Leipzig 1950.
hat, Stammeltern echter Kulturvölker zu werden.
2. Die Babylonier (2000—200)
Dort, wo uns entzifferbare schriftliche Überreste erhal
ten sind, stoßen wir auf die rezeptartige Behandlung prak Die uns überlieferten, ziemlich zahlreichen Keilschrift
tischer Aufgaben, wie sie sich bei der Abgrenzung von täfelchen mathematischen Inhaltes entstammen größten
Feldern, bei Errichtung von Vorratsräumen, Dämmen teils dem Mündungsgebiet des Euphrat und Tigris und rei
usw. ergeben. Am Anfang stehen die genauen Regeln für chen zeitlich vom 2. Jahrtausend bis zum 2. Jahrhundert
Rechteck, Dreieck und Quader, bei den übrigen Gebilden V. Ohr. Sie geben im wesentlichen Gedankengut der Su
hilft man sich zunächst durch Näherungen, exakte Vor merer wieder, die um 3500 für ihre vorzugsweise aus ein
schriften folgen erst später. Im Zusammenhang mit der silbigen Wörtern bestehende agglutinierende (= anlei
Verwendung von Maßen, Münzen und Gewichten werden mende) Sprache eine Bilderschrift verwenden und diese
Umrechnungen nötig zwischen einer Einheit und ihren später durch Stilisierung zur Keilschrift umformen, deren
Untereinheiten. Damit ist der Einführung von Brüchen Grundzeichen vermittels eines dreikantigen Schreibstifts
vorgearbeitet, deren einfachste überall eine individuelle in weichen Ton eingedrückt werden. In kriegerischer Aus
Behandlung erfahren haben. Ferner finden wir Propor einandersetzung mit den immer weiter vordringenden se
tionen an ähnlichen Figuren. Die sich langsam formenden mitischen Akkauern (seit 2500) mehr und mehr zurück-
staatlichen Verhältnisse zwingen zur Verwendung größerer gedrängt und seit 2000 fast völlig entmachtet, behalten
Zahlen. Die wechselnden Jahreszeiten, die in Schwer über die Sumerer trotzdem die kulturelle Führung. Ihre Schrift
12 Vorgrieohische Mathematik Die Babylmtier 13
dient jetzt teils ideographisch (als Bilderschrift), teils syl- innstelligen Zahlen uhd reinhn Zehner unter 60 mit den
labisch (als Silbenschrift) zur Darstellung des flektieren ersten 20 Zahlen und den nachfolgenden Zehnem verviel
den Akkadischen. Das Zahlensystem der uns vorliegenden facht werden; dies dient auch zur Vervielfachung von
Texte beruht auf der reihenden Nebeneinanderstellung Stanunbrüchen. Da die Einheit im Fositionssystem im
(f)
von keilförmigen Einern und hakenförmigen Zeh bestimmt ist, läßt sich das (ausschließlich verwendete)
nern (^), mittels deren die Zahlen von 1 bis 59 darge Rechnen mit sexagesimal aufgehenden Brüchen völlig in
stellt werden. Die Zahl 60 wird wieder durch f bezeichnet, ganzen Zahlen ausführen. Innerhalb dieses Bereiches sind
das Weitere rein positionell in einem Sexagesimalsystem sich die Babylonier über das Wesen des allgemeinen
ausgedrückt, worin jedoch der Stellenwert der einzelnen Brüches klar. Sie besitzen weitCThin Tabellen von Qua-
Ziffern nicht festgelegt wird. Ein inneres Lückenzeichen dratzahleri, von Potenzen, von aufgehenden Quadrat- und
ist erst seit etwa 600 verbürgt. Für die Brüche -51 -, -51 -, 2 Kubikwurzeln und von ganzen Lösungen der Gleichung
g tu O O jc» + 33® ^ a. Nicht aufgehende Quadratwurzehi werden
und sind eigene Zahlwörter und Individualzeichen vor unter einfacher und wiederholter A,nwendUng des Verfah
handen. Das System ist wohl durch Verbindung der älte rens ypm aritWetisch-geometrischen Mittel,
ren, zum Teil rein dezimalen (semitischen) Maß-, Ge
wichts- und Münzbezeichnungen mit einer Zwölferteilung
entstanden. In ihm wird die Addition durch Eeihung, die
angenähert, das wahrscheinlich auf Grund geometrischer
Subtraktion durch ein eigenes Zeichen angedeutet, das
Hilfsbetrachtungen zustande gekommen ist. Außerdem
auch zur Darstellung von Zahlen unterhalb größerer
gibt «s Tafeln rechtwmkUg-PYTHAQOREiscnER Dreiecke,
Rundzahlen Verwendung findet. In astronomischen Tex die nach der Vorschrift x = 2mv, y = z =
ten stehen Angaben, die als Gegenüberstellung positiver
konstruiert sind.
und negativer Zahlen gedeutet werden können. Wahr
Infolge der eigenartigen ideographischen Bezeichnun
scheinlich dient ein Rechenbrett zum Festhalten von
gen sind die zur Behandlung praktischer Aufgaben ge
Hilfsergebnissen.
gebenen Anweisungen sprachlich beinahe unübersetzbar
und zeigen daher gewisse Verwandtschaft mit der formel
In Reziprokentabellen werden alle sich zu 60 (oder
mäßigen algebraischen Wiedergabe. Wir finden die Raum
einer Potenz davon) ergänzenden ganzzahligen Faktor
bestimmung des quadratischen Pyramidenstumpfes aus
paare zusammengestellt und um die Anfangswerte -5- und
2
Y vermehrt. Später (3. Jahrh.) finden sich ausgedehnte
Tafeln, die durch systematisch fortgesetzte Teilung mit 2, die Berechnung, der Höhe im gleichschenkligen Dreieck
3 und 5 aus der Normaltabelle (Aufzählung aller ganzen (Pythagoreischer Lehrsatz), den Näherungswert 3 für
Faktoren unter 60, die Teiler von 60" sein können) her und die Bestimmung des Segmentpfeils am Kreis aus dem
vorgehen. Dazu treten Multiplikationstabellen, worin die Durchmesser und der abschließenden Sehne, außerdem
IXe Ägypter 15
u Vorgriechische Mathematik
3. Die Ägypter (200O-Ö00)
die anschaulich leicht erkennbare Inhaltsbestimmung von-
Figuren, die aus Kreisbögen zusammengesetzt sind. Bei Wir kennen aus ganz Ägypten eine sehr große Anzahl
Aufgaben über Dammberechnungen wird der Kücksprung von Inschriften in der hieroglyphischen Bilderschrift (seit
(cotg) als festes Maß eingeführt. Die Quadratsummen dem 4. Jahrtausend v. Ohr.), deren Zeichen anfangs (größ
formel n 1 n . tenteils dreikonsonantige) Wörterj später nur mehr Buch
2 ’*" = 4 (i + 2n).2;Ä
staben bedeuten und zur phonetischen (= lautbeschrei
fc=i ^ *=i
benden) Ergänzung der mehrkonsonantigen Wörter heran
läßt sich durch eine geometrische Überlegung erklären,
gezogen werden. Häufig ist die Art des dargestellten Wor
ebenso die Summierung arithmetischer Keihen im Zusam
tes durch ein am Ende stehendes Determinativ (= Be
menhang mit Verteilungsaufgaben. Bei anderer Gelegen-,
griffsbezeichnung) gekennzeichnet. Geschrieben werden
heit werden lineare Gleichungen mit mehreren Unbekann
nur die Kwisonanten, so daß uns die Lautwerte der dem
ten geschickt gelöst, außerdem Gleichungen der Form
Semitischen nahestehenden Sprache unbekannt sind. Aus
ax+ hy = C, xy — D und darauf zurückführbare, wo
der nur repräsentativ verwendeten hierogl3^hischen Dar
bei fortwährend die Umformung (»+ y)^= {x— y)^-f=
stellung, in der die Kalligraphie wichtiger als die Ortho
+ 4 o; y herangezogen wird. Kubische Probleme werden auf
graphie ist, hat sich (schon im 3. Jahrtausend) die ver
die Tabelle für x^+ x^= a reduziert; sogar Zinseszinsauf
mittels eines gespaltenen Eohrs in Tusche auf Papyrus
gaben treten auf, wobei Zweierpotenzen zur Verwendung
niedergeschriebene hieratische Kursive entwickelt,
kommen. Das reichhaltige Material gibt uns einen interes
schließlich durch fortwährend weitergehende Abkürzung
santen Einblick in die formale Höhe der babylonischen
und Verschleifung die demotische. Die Einführung eines
Mathematik, die in Berührung mit den Nachbarvölkern
Kalenders unter Einteilung des Jahres in 12 Monate zu
(Ägyptern, Griechen, Indern) anregend weitergewirkt hat.
je 30 Tagen und Zuschaltung von 5 Festtagen (4241 v.
Zur babyloniscben Mathematik
0. Neugebauer: Mathematische F. Thureau-Dangin: Textes Chr.) und die Aufrichtung vollendet ausgeführter Kolos
Keilechrifttexte, Berlin 1934/87 mathimatigues Babyloniens, Lei salbauten, wie der Pyramiden (seit etwa 2900 v. Chr.), las
ln Quellen u. Studien A 8. den 1938.
0. Neugebauer-A. Saobs: Ma- F. Thureau-Dangin: Esquisse sen uns neben der hochentwickelten Technik auch gute
thematical cuneiform texte, New d'une histoire du systime sexagesi-
Haven 1945. mal, Paris 1982, engl, von S. mathematische Anlagen vermuten. Leider sind unsere
0. Neugebauer; Vorgriechieche Gandz in Osiris 7, 1939. diesbezüglichen Kenntnisse auf wenige Sammlungen von
Mathematik, Berlin 1934. B.L.van derWaerden: Ontwa-
A. B, e y ; La Science Orientale avant kende teieteflScA(tp,Groningen 1950. Musterbeispielen für die Praxis der höheren Verwaltungs
les Qrecs, Paris 1942. O. Neugebauer: The exact Scien
ces inantiquity, Kopenhagen 1951. beamten beschränkt. Darunter sind besonders wichtig der
Zur Kulturgeschichte Mesopotamiens Moskauer Papyrus, die Lederrolle und vor allem der Pa-
C. BBi eel ezf oe l1d d/L :e iNpziingi v«e1 9u2n6d. Babylon, Chg.i eF, oPsasriesy 1: 9M04a, n*u1e9l2 d6’.Assyriolo fyrus Rhind, von Ahmöse im 17. Jahrhundert imter
E. Ebeling-B. Meißner: JEteal- B. Meißner: Babylonien und Rückverweis auf das 19. Jahrhundert geschrieben.
lexikon der Assyriologie, Berlin Assvrtcn, Heidelberg 1921/25.
seit 1928. M. L. Mallowan-J. Gr. Hose: Das Zahlensystem der hieroglyphischen Texte wird rein
A. Jeremias ; Handbuehdet ott- Prehistorie Assyria, Oxfordl936.
OTierOalisehen Oeisteskultur, Berlin dezimal auf reihender Grundlage dargeboten; in den Texten
*1929.
16 Vorgriechisdie Mathematik Die Ägypter 17
zur Zeit größter Machtentfaltung bilden sich Individual Rücksprung auf. Die Baumeister verwenden bei ihren
zeichen der Stufen bis zu 10’, deren höchste mit dem Entwürfen die Darstellung durch Risse und legen zu Ein
Bückfaii in kleinere Verhältnisse wieder verschwinden. teilungszwecken quadratische Netze an. Für den Kreis
Gerechnet wird mit unterstützenden Zahlgesten, die in
ist die Näherung is» |-|-j überliefert, vielleicht durch
die Terminologie eingedrungen sind; im Kopf ermittelte
Ergebnisse werden auf dem Rechenbrett festgehalten, auf ausgleichende Umwandlung des Achtelkreises in ein gleich
dem naan wohl auch zu addieren und zu subtrahieren ver schenklig-rechtwinkliges Dreieck entstanden; der gewon
steht. Multipliziert wird durch Verwendung fortgesetzter nene Näherungswert wird auch zur Bestimmung des In
Verdojq^ung unter Beiziehung von Verzehnfachungen, haltes und der Oberfläche des Zylinders verwendet. Die
das Dividieren beruht auf der probenden Umkehrung des ebenfalls auftretende babylonische Näherung jr» 3 dürfte
im einzelnen geschickt durchgeführten Multiplikations- auf demWege über Palästina nachÄgypten gekommen sein;
Verfahrens. Von den anfangs bestehenden Individual- die Kenntnis der Beziehimg 3^-1- 4* = 5* am einfachsten
1 1 2 1 3 Pythagoreischen Dreieck ist wohl eigenständig.
Zeichen für —, — und -r- halten sick später nur die
Ob man auf Grund des allzu geringen Materials ein ab-
für ^ undunmittelbar lassen sich nur Stammbrüehe schließendesBild über die ägyptische Mathematikgewinnen
kann, steht dahin. Auch die Ägypter haben den allge
schreiben. Die übrigen Brüche sind „stumm“; sie werden
meinen Bruchbegriff erfaßt. Die formalen Ansätze sind
als Stammbruchsummen dargestellt. Das Bruchrechnen
nicht so geschiclrt entwickelt wie bei den Babyloniern, bei
gelingt unter Einführung gewisser Hilfszahlen, die ]mit
denen die sprachliche Überschiebung zur Einführung der
dem Übergang zu Hauptnennern Zusammenhängen; da
ideographischen Darstellung drängte; die Art der proben
bei wird — gemäß dem dyadischen Charakter der ägypti
den Rechnungswiederholung bei den Ägyptern zielt be
schen Multiplikation — die systematische Darstellung von
2 reits in Richtung des beweisenden Verfahrens.
— als Stammbruchsumme in ganz bestimmter, tabella
Zur ägyptischen Mathematik
risch festgehaltener konventioneller Form benutzt. Papyrus Rhind: Faksimile des O. Heugebauer: Die Orundlagen
Die angeführten Beispielsammlungen beziehen sich auf British Museum, London 1898; der ägyptischen Bruchrechnung,
auch deutsch ed. A. Bisenlohr, Berlin 1926.
Wirtschaftstexte, bei denen nach festen Regeln gerechnet Leipzig 1877, *1891 (veraltet); 0. Heugebauer: Vor griechische
ed. T. E. Peet, London 1923; Mathematik, Berlin 1934.
wird; zumeist erscheint nach Feststellung des Ergebnisses ed. A. B. Chace, H. P. Man- Th. E. Peet: Mathematics in an-
eine probende Nachrechnung. Es handelt sich um einge nlng, R. Ci. Archlbald, Ober- cient Egypt, Manchester 1931.
lin (Ohio) 1927, 1929. A. R e y: La Science Orientale avant
kleidete lineare Aufgaben, um arithmetische urjid vielleicht Moskauer Papyrus: ed. W. W. les Orecs, Paris 1942.
Struve-B. A. Turajeff, Ber K. Sethe: Von Zahlen und Zahl
auch um geometrische Reihen. Der Inhalt des quadrati lin 1930 in Quellen u. Studien Al. worten bei den alten Ägyptern,
schen Pyramidenstumpfes erscheint in der Form Lederrolle des British Museum: ed. Straßburg 1916.
S. B. K. Glanville, London K. Vo g e 1: Die Orundlagen der ägyp
1927 im Journ. of Egypt. Ar- tischen Arithmetik,}&.nniihen 1929.
|■(«» + a6 + 6»); cheol. 13. B. L. van der Waerden; Ontwa-
0. 0 i 11 a i n : L’arithnUtque au kende wetenschap, Groningen 1950.
bei der Darstellung von Böschungen tritt wiederum der Moyen Empire, Brüssel 1927. 0. Neugebauer: The exact Scien
ces in antiguity, Kopenhagen 1951.
2 Hofmann, Gesch. d. Mathematik. I
18 Vorgriechische Mathematik Inder, Chinesen, Maya 19
Zur KultnrsweUohte Ägyptens geleistet, die Quadratzirkulatur vermittels
J. H. Breasted: Oeaehidtte Ägyp G. Höller: HiertUieche Paläogra
A.t enEsr,Wmiaenn :* 19D3i6e. LÜeratuT der phie, Leipzig 1927. 1/t 2-f V2
Ägypter, Leipzig 1023.
(beides wiederhergestellt). In der Problemstellung er
4. Inder, Chinesen, Maya (3000—500) geben sich manche gemeinsame Züge mit den Babylo
Über die frühesten mathematischen Leistungen der niern, nicht aber in der Ausführung. Ob irgendwelche
Inder sind wir bisher nur sehr unvollkommen unterrich Zusammenhänge mit den Vorderasiaten und Ägyptern be-,
tet; vielleicht bringen die Ausgrabungen in Mohenjo-daro stehen, ist bisher ungeklärt. *
(Industal, etwa 3000 v. Chr.) neue Aufschlüsse. Greifbares
Unsicher sind auch unsere Kenntnisse vom frühesten
enthalten erst die Sulba-sütras (seit dem 8. Jahrh. v.
mathematischen Wissen der Chinesen. Schon um 1100 v.
Chr.) — rein praktisch gehaltene Anweisungen über Sa
Chr. begegnet uns die Annäherung « 3, das Pythago
kralgeometrie bei der Konstruktion von Opferaltären. Wir
reische Dreieck 3, 4, 5, die Höhenbestimmung aus der
kennen nicht die Originale, sondern nur sehr späte kom
Schattenlänge (Keimling der Trigonometrie), die Behand
mentierte Ausgaben (um 300 n. Chr.). Sie enthalten über
lung einfacher Bewegungsaufgaben, der falsche Ansatz
das Übliche hinaus geometrische Flächenverwandlungen
zur Auflösung linearer Gleichungen und die Unterschei
vermittels des Satzes vom Ergänzungsparallelogramm,
dung mehrerer Unbekannter durch Farben. Das 32-zellige
den Pythagoreischen Lehrsatz, Beispiele für rationale magische Quadrat gehört ebenso wie die Kennzeichnung
rechtwinklige Dreiecke und die Vereinigung einer unge
der 8 Himmelsrichtungen durch Kombination der Zeichen
raden Zahl gleicher Quadrate unter Benutzung von
--------(männlich) und-------(weiblich) zu Dreien in das Ge
biet der in China wohlausgebildeten Zahlensymbolik. Auf
das 6. Jahrh. wird die Zahlendarstellung durch Knoten
schnüre und durch die sog. Bambusziffern (Einer: |, ||, |||,
Bei Ähnlichkeitsaufgaben treten rein quadratische Glei
iill, Hill, T, T, TiT, HIT; Zehner: —, S, = , ^ ; J-, i ,
chungen auf, die auch im irrationalen Fall behandelt wer
i ; Hunderter wie die Einer usw.) angesetzt.
den. Ergebnisse wie
Von den amerikanischen Hochkulturen der Frühzeit
wissen wir fast nichts mehr; nur über das Zahlenschreib
3 • 4 • 34
system der Maya (3. Jahrtausend v. Chr.) sind wir unter
verraten uns die Methode: das Verfahren der geometrisch richtet. Die Zahlen unter 20 werden aus Punkten (Einer)
arithmetischen Mittelbildung. Die Kreisquadratur wird und Strichen (Fünfer) zusammengesetzt; dann erscheint
vermittels ein Positionssystem mit Nullzeichen, dessen Stufen 1,20,
18 • 20 = 360, 360 • 20 = 7200 usw. sind. Das System
n , 1
]/! :i-^ ) hängt zusammen mit der Einteilung des Jahres in 18 Mo-
4 ** 8 8.29 8.29\
2*
