Table Of ContentGottfried Barthel
Friedrich Hirzebruch
Thomas Höfer
Geradenkonfigurationen
und Algebraische Flächen
Aspects of Mathematics
AspektederMathematik
Herausgeber: Klas Diederich
Vol. E1: G. Hector / U. Hirsch, I ntroduction to the Geometry of
Foliations, Part A
Vol. E2: M. Knebusch/M. Koister, Wittrings
Vol. E3: G. Hector / U. Hirsch, I ntroduction to the Geometry of
Foliations, Part B
Vol. E4: M. Laska, Elliptic Curves over Number Fields with Prescribed
Reduction Type
Vol. E5: P.Stiller, Automorphic Forms and the Picard Number of an
Elliptic Surface
Vol. E6: G. Faltings/G. Wüstholz et al., Rational Points
(A Publication of the Max-Planck-Institut für Mathematik, Bonn)
Vol. E7: W.Stoll, Value Distribution Theory for Meromorphic Maps
Vol. E8: W. von Wahl, The Equations of Navier-Stokes and Abstract
Parabolic Equations
Vol. E9: A. Howard/P.-M. Wong (Eds.), Contributions to Several
Complex Variables
Vol. E10: A.J.Tromba, Seminar on New Results in Nonlinear Partial
Differential Equations
(A Publication of the Max-Planck-Institut für Mathematik, Bonn)
Vol. E11: M. Yoshida, Fuchsian Differential Equations
(A Publication of the Max-Planck-Institut für Mathematik, Bonn)
Band D1: H. Kraft, Geometrische Methoden in der Invariantentheorie
Band D2: J. Bingener, Lokale Modulräume in der analytischen Geometrie 1
Band D3: J. Bingener, Lokale Modulräume in der analytischen Geometrie 2
Band D4: G. Barthel / F. Hirzebruch /T. Höfer, Geradenkonfigurationen
und Algebraische Flächen
(Eine Veröffentlichung des Max-Planck-Instituts für Mathematik, Bonn)
Gottfried Barthel
Friedrich Hirzebruch
Thomas Höfer
Geradenkonfigurationen
und
Algebraische Flächen
Eine Veröffentlichung des Max-Planck-Instituts
für Mathematik, Bonn
Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig IWiesbaden
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Barthel, Gottfried:
Geradenkonfigurationen und algebraische Flächen:
e. Veröff. d. Max-Planck-Inst. für Mathematik,
Bonn / Gottfried Barthel; F riedrich H irzebruch;
Thomas Höfer. - Braunschweig; Wiesbaden:
Vieweg, 1987.
(Aspekte der Mathematik: D;4)
ISBN 978-3-528-08907-8 ISBN 978-3-322-92886-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-92886-3
NE: Hirzebruch, Friedrich:; Höfer, Thomas:;
Aspects of mathematics / D
Dr. Gottfried Barthel ist Professor für Mathematik an der Universität Konstanz.
Dr. Drs.h.c. Friedrich Hirzebruch ist Professor für Mathematik an der Universität Bonn und Direktor
des Max-Planck-Instituts für Mathematik, Bonn.
Dr. Thomas Höfer ist Hochschulassistent für Mathematik an der Universität Bonn.
AMS Subject Classification (1986): 14.20, 20.65, 20.72, 32.40, 50.70, 50.90, 53.80, 57.xx.
Vieweg ist ein Unternehmen der Verlagsgruppe Bertelsmann.
Alle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1987
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede
Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne
Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für
Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung
und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
ISSN 0179-2148
ISBN 978-3-528-08907-8
Vorwort
Ein großer Fortschritt in der Theorie der algebraischen Flächen waren
2
der Beweis der Ungleichung cl :s; 3 c2 für die Chernschen Zahlen einer
komplex-algebraischen Fläche vom allgemeinen Typ durch Y. Miyaoka und
Sh. -T. Yau und die Erkenntnis, daß die Gleichheit cl2 = 3 c2 unter
diesen Flächen genau diej enigen charakterisiert, deren universelle
Überlagerung der zweidimensionale komplexe Ball ist. Man hat also in
diesen Fällen eine Situation, die dem Uniformisierungssatz für alge
braische Kurven (Riemannsche Flächen) vom Geschlecht g ~ 2 entspricht.
Wegen der großen Bedeutung dieses gerade 10 Jahre alten Resultates ist
es interessant, durch direkte algebraisch-geometrische Konstruktionen
cl
Flächen vom allgemeinen Typ mit = 3c2 zu finden, oder auch solche,
deren Chernquotient c12/c2 dem Maximum 3 möglichst nahe kommt; expli
zite Beispiele für solche Flächen sind nämlich bislang nur recht sel
ten aufgetreten. Das vorliegende Buch enthält viele solcher Beispiele;
mit den hier vorgestellten Methoden kann man noch weitere algebraische
Flächen mit interessanten Eigenschaften konstruieren.
2
Während Y. Miyaoka die Ungleichung Cl :s; 3c2 mit algebraisch-geome-
trischen Mitteln beweist, gehören der Beweis der Ungleichung durch
Sh. -T. Yau und die dadurch ermöglichte Charakterisierung der Ball
quotienten, die in diesem Buch eine so große Rolle spielen, in die
komplexe Differentialgeometrie; der entscheidende Existenzsatz für
Kähler-Einstein-Metriken beruht auf der Lösung von nicht-linearen par
tiellen Differentialgleichungen. Nun hat die Theorie der algebraischen
Flächen von dieser Seite her überhaupt neue wichtige Impulse erhalten:
S.K. Donaldson hat mit Methoden aus der Theorie nicht-linearer parti
eller Differentialgleichungen und der Modulräume ihrer Lösungen neue
Invarianten für vierdimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeiten
VI
und damit auch für algebraische Flächen eingeführt, viele klassische
Probleme gelöst und zahlreiche andere Arbeiten angeregt. Durch diese
Ergebnisse steht die Theorie der algebraischen Flächen wieder im Vor
dergrund des Interesses, und bei dieser Aktualität kann vielleicht
ein Buch mit Beispielen recht nützlich sein.
Die hier untersuchten Flächen erhalten wir hauptsächlich als "Kummer
Überlagerungen" zu Geradenkonfigurationen in der komplex-proj ektiven
Ebene. Diese Überlagerungen der projektiven Ebene sind entlang einer
Menge von Geraden lokal mit der Ordnung n ~ 2 verzweigt. Die Chern
schen Zahlen (der minimalen Desingularisierungen) dieser Flächen sind
dann durch die kombinatorischen Invarianten der Geradenkonfiguration
bestimmt. Wenn wir nun die Miyaoka-Yau-Ungleichung c12:s 3c2 anwenden,
so erhalten wir wiederum Ungleichungen für diese kombinatorischen
Invarianten, aus denen sich überraschenderweise Sätze über Geraden
konfigurationen in der Ebene (und durch Dualisierung auch über Punkt
konfigurationen) ergeben, die sich bisher nicht auf elementarem Wege
beweisen lassen.
Eine besonders schöne Anwendung dieser Sätze stammt von L.M. Kelly
[1986] (siehe 3.3,H). J-P. Serre hatte 1966 die folgende Frage ge
stellt: Gibt es im affinen 3-dimensionalen komplexen Raum eine end
liche Menge M von Punkten, die nicht in einer Ebene liegt, so daß
die Verbindungsgerade von zwei Punkten von M stets einen weiteren
Punkt von M enthält? L. M. Kelly stellte fest, daß die Frage zu
verneinen ist, falls in der komplex-projektiven Ebene folgendes gilt:
Wenn eine endliche Menge von Geraden, die sich nicht alle in einem
Punkt treffen, keinen Doppelpunkt besitzt, dann gibt es zumindest:
einen Punkt, durch den genau drei der Geraden laufen. Diese Aussage
der ebenen Elementargeometrie folgt aber wie oben beschrieben aus der
Miyaoka-Yau-Ungleichung.
An dieser Stelle sei eine Warnung zur Terminologie angebracht: Ein end
liches System von Geraden in der Ebene wird in der englischsprachigen
Literatur "arrangement of lines" genannt. Leider kennen wir dafür kein
brauchbares deutsches Wort, so daß wir stattdessen immer von "Konfigu
rationen von Geraden" gesprochen haben. Nun hat aber der Begriff einer
"Konfiguration" in der klassischen proj ektiven Geometrie eine ganz
spezifische Bedeutung, die mit der hier gebrauchten nicht übereinstimmt
VII
(siehe 2.1,H). Wir hoffen, daß dies nicht zu Mißverständnissen führen
wird.
Über die erwähnten Flächen und die Anwendungen auf Geradenkonfigura
tionen hielt ich im akademischen Jahr 1981/82 eine Vorlesung an der
Universität Bonn und im Jahr 1984 eine Vortragsreihe am Max-P1anck
Instiut für Mathematik. Die Ergebnise veröffentlichte ich in einem
Band der Reihe "Prospects of Mathematics", der I. R. Safarevic gewid
met ist und 1983 erschien. Ich wies dort auch auf den Zusammenhang
mit Arbeiten von P. De1igne und G.D. Mostow hin. In Gesprächen mit
Mostow bei unserem Treffen in Israel 1981 hatte ich zum ersten Mal
seine Untersuchungen mit De1igne kennengelernt, die erst viel später
erschienen [1986]. In ihrer Arbeit betrachten sie in Anlehnung an
klassische Resultate von E. Picard [1885] Überlagerungen der pro
jektiven Ebene, die entlang des "vollständigen Vierecks", d.h. der
aus den sechs Verbindungsgeraden von vier Punkten bestehenden Geraden
konfiguration Al (6), verzweigt sind. Im Gegensatz zu der oben be
schriebenen Situation können aber hier die Verzweigungsordnungen
beliebig sein. Man sucht solche Überlagerungen, die "vom Ball kommen",
d.h. die durch den komplex-zweidimensionalen Ball uniformisiert wer
den. Die Uniformisierung kann dann durch die Lösungen einer hypergeo
metrischen Differentialgleichung erfolgen (vg1. auch die Arbeiten von
T. Terada).
In der Dissertation von Thomas Höfer werden nun beliebige Geraden
konfigurationen und beliebige Verzweigungs indices betrachtet. Ins
besondere wird dort gezeigt, daß die Miyaoka-Yau-Gleichung cf = 3c2
(mit Korrekturtermen) bei A1(6) den endlich vielen Auswahlen von'Ver
zweigungsindices entspricht, die zur hypergeometrischen Differential
gleichung gehören, und es werden entsprechende Fälle bei anderen Gera
denkonfigurationen untersucht.
Gottfried Barthel hat meine Vorlesung und die Vortragsreihe aufge
zeichnet. Das vorliegende Buch ist eine Synthese seiner Ausarbeitungen
und der Dissertation von T. Höfer. Dabei sind die Kapitel 4 und 5 eine
erweiterte Fassung von Teilen der Dissertation, während der Anhang G
fast unverändert übernommen wurde. Die Kapitellbis 3 entsprechen
meiner Vorlesung und meinen Vorträgen, jedoch mußte G. Barthel sehr
viel Arbeit aufwenden, um eine schöne Darstellung und eine inhalt
liche Abrundung zu erreichen. Ihm ist zu danken für die geometrische
VIII
Beschreibung und Untersuchung spezieller Geradenkonfigurationen, für
viele Einzelheiten bei der Klassifikation der von mir betrachteten
Überlagerungen mit konstanten Verzweigungs indices und für die Aufnahme
schöner Anwendungen: etwa die oben erwähnten Untersuchungen von L.M.
Kelly, das Versagen der Miyaoka-Yau-Ungleichung in Charakteristik p
und Fragen zur "Geographie algebraischer Flächen" (Welche rationalen
Zahlen treten als Chernsche Quotienten c12/c2 auf?) mit Ergebnissen
von A. Sommese.
In den Anhängen A und B hat G. Barthel algebraisch-geometrische und
differentialgeometrische Grundlagen der Theorie algebraischer Flächen
zusammenfassend dargestellt, um dem Leser das Studium des Hauptteils
des Buches zu erleichtern.
Die Hauptarbeit an dem Buch lag also bei meinen Koautoren. Sie haben
gemeinsam an allen Teilen gearbeitet und aus meinen Vorlesungen und
Vorträgen und der Dissertation von T. Höfer ein abgerundetes Ganzes
gemacht. Ich möchte ihnen ganz herzlich für ihre große Mühe danken.
F. Hirzebruch
Bei der Arbeit an diesem Buch haben uns viele Leute mit Rat und Tat
unterstützt. Wir bedanken uns herzlich bei Hans-Berndt Brinkmann,
Jochen Brüning, Karl-Heinz Fieseler, Lothar Göttsche, Branko Grünbaum
(besonders für die vielen Geradenkonfigurationen, die wir aus seinen
Arbeiten abgezeichnet haben), Klaus Guntermann, Ludger Kaup, Ryoishi
Kobayashi, Herbert Kurke, Martin Lübke, Irmgard Lux, Chris Peters,
Giesela Schroff, Andrew Sommese, Wolf Weyrich, Masaaki Yoshida .. ,
Gottfried Barthel
Friedrich Hirzebruch
Thomas Höfer
Inhaltsverzeichnis
Vorwort. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
Symbol verzeichnis XI
Einführung
Das Klassifikationsproblem. Ballquotienten und Proportionalitätssätze
Kapitel 1
Konstant verzweigte Überlagerungen und Chernsche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . .. 13
1.1 Regu lär konstant verzweigte Überlagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14
1.2 Singulär konstant verzweigte Überlagerungen und Regularisierung . . . . . . . .. 22
1.3 CHE RNsehe Zahlen und Proportionalitätsabweichung ................ 29
1.4 Zwei Ballquotienten als verzweigte Überlagerungen ABELscher Flächen . . . .. 36
1.5 Beispiel: Geradenkonfigurationen und die zugehörigen KUMME Rschen Über-
lagerungen der projektiven Ebene 49
Kapitel 2
Geradenkonfigurationen: Kombinatorik und Beispiele ................... 53
2.1 Geradenkonfigurationen in projektiven Ebenen ..................... 54
2.2 Reelle und simpliziale Konfigurationen und Platonische Körper .......... 61
2.3 Beispiele komplexer Konfigurationen: Die H ESSE- und die CEV A-Konfigura-
tionen ................................................ 71
2.4 Spiegelungsgruppen und Geradenkonfigurationen ................... 82
Kapitel 3
Geradenkonfigurationen und Kummersehe Überlagerungen der projektiven Ebene 105
3.1 Drei Beispiele von Ballquotientenflächen ......................... 106
3.2 Zur Klassifikation der Überlagerungsflächen ....................... 116
3.3 Ungleichungen für CHERNsche Zahlen und Kombinatorik von Geradenkon-
figurationen ............................................ 132
3.4 Zur Geographie der CHERNschen Zahlen .............. . . . . . . . . . .. 143
Kapitel 4
Gewichtete Konfigurationen von Kurven und verzweigte Überlagerungen algebrai-
scher Flächen .............................................. 159
4.1 Gewichtete Kurvenkonfigurationen, passende Überlagerungen, CHE RNsehe
Zahlen und Proportional itätsberechnungen ........... . . . . . . . . . . . .. 159
4.2 Rationale Ausnahmekurven und negative Gewichte .................. 167
4.3 Elliptische Kurven und das Gewicht Unendlich ..................... 171
x
Kapite/5
Gewichtete Geradenkonfigurationen, Proportionalität und Ballquotienten ..... . 177
5.1 Proportionalitätsbedingungen ................................ . 177
5.2 Konstante Geradengewichtung und isobare Konfigurationen 183
5.3 Existenz passender Überlagerungen ............................ . 190
5.4 Das vollständige Viereck: Proportionalität und hyperbolische Gewichtungen.. 195
5.5 Das vollständige Viereck: Spezielle proportionale Überlagerungen ..... . . .. 202
5.6 Die CEVA-Konfigurationen .................................. 206
5.7 Spiegelungsgruppen-Konfigurationen und Ballquotienten 210
Anhang A
Algebraische Flächen
A.1 I nvarianten und Klassifikation 219
A.2 Logarithmische Formen und Invarianten 235
Anhang B
Differentialgeometrische Methoden
B.1 Ballquotienten und CHERNsche Zahlen ......................... . 239
B.2 KÄH LE R-E I NSTE I N-Metriken und Ballquotienten ................. . 250
B.3 Kompaktifizierte Ballquotienten und logarithmische Proportionalität 260
Anhang C
Topologische Konstruktionen
C.1 Verzweigte Überlagerungen .................................. 269
C.2 Passende Überlagerungen zu gewichteten Kurvenkonfigurationen ......... 273
C.3 Die Fundamentalgruppe des Komplements einer Geradenkonfiguration ..... 275
C.4 Existenzuntersuchung mit Hilfe der Fundamentalgruppe . . . . . . . . . . . . . .. 279
C.5 ABE Lsche Überlagerungen .................................. 286
C.6 Passende Überlagerungen zu den Spiegelungsgruppen-Konfigurationen . . . . .. 289
Literaturverzeichnis 295
Sachwortverzeichnis 305
