Geometry of surfaces: estimation of local differential quantities and extraction of global features

136 Pages·2005·3.213 MB·English

by  Pouget M.

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UNIVERSITE DE NICE–SOPHIA ANTIPOLIS – UFR Sciences
Ecole Doctorale STIC
THÈSE
pour obtenir le titre de Docteur en Sciences
de l’UNIVERSITE de Nice–Sophia Antipolis
Discipline: Mathématiquesappliquéeset applicationsdesmathématiques
présentéeet soutenuele2Décembre 2005par
Marc POUGET
Geometry of surfaces :
from the estimation of local differential quantities
to the robust extraction of global differential
features
Thèsedirigéepar Frédéric CAZALS etpréparée àl’INRIA SophiaAntipolis,projet GEOMETRICA
Rapporteurs :
M. Jean-Marie MORVAN, Professeur (Lyon)
M. Konrad POLTHIER, Directeur de recherche (Berlin)
Jury :
M. Nicholas AYACHE, Directeur de recherche INRIA, Président du jury
M. Frédéric CAZALS, Chargé de recherche INRIA, Directeur de thèse
M. Peter GIBLIN, Professeur (Liverpool)
M. Jean-Marie MORVAN, Professeur (Lyon)
M. Sylvain PETITJEAN, Chargé de recherche LORIA
M. Konrad POLTHIER, Directeur de recherche (Berlin)
M. Jean-Philippe THIRION, Quantificare, Membre invité
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UNIVERSITE DE NICE–SOPHIA ANTIPOLIS – UFR Sciences
Ecole Doctorale STIC
THÈSE
pour obtenir le titre de Docteur en Sciences
de l’UNIVERSITE de Nice–Sophia Antipolis
Discipline: Mathématiquesappliquéeset applicationsdesmathématiques
présentéeet soutenuele2Décembre 2005par
Marc POUGET
Géométrie des surfaces :
de l’estimation des quantités différentielles locales
à l’extraction robuste d’éléments caractéristiques
globaux
Thèsedirigéepar Frédéric CAZALS etpréparée àl’INRIA SophiaAntipolis,projet GEOMETRICA
Rapporteurs :
M. Jean-Marie MORVAN, Professeur (Lyon)
M. Konrad POLTHIER, Directeur de recherche (Berlin)
Jury :
M. Nicholas AYACHE, Directeur de recherche INRIA, Président du jury
M. Frédéric CAZALS, Chargé de recherche INRIA, Directeur de thèse
M. Peter GIBLIN, Professeur (Liverpool)
M. Jean-Marie MORVAN, Professeur (Lyon)
M. Sylvain PETITJEAN, Chargé de recherche LORIA
M. Konrad POLTHIER, Directeur de recherche (Berlin)
M. Jean-Philippe THIRION, Quantificare, Membre invité
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Remerciements
JetiensàremercierenpremierlieuFrédéricCazals,mondirecteurdethèse,poursadisponibilité
et sa motivation communicative. Je remercie les rapporteurs et les membres du jury d’avoir
accepté derelireavecattentionce document.
Un grand merci à tous les membres de l’équipe Géométrica pour leur accueil, leur aide et
leur soutien pendant ces trois années passées à Sophia. Merci également à tout ceux avec qui
j’ai putravailleren particulierdansles équipesCoprain, Galaad et Salsa.
Enfin, jeremercie Nelly et ma famillequi me soutiennentet mepermettent de garder confi-
ance enmoi.
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"– Vous savez, me dit-il, les Vikings
quiavaientsillonnélesmersetdécou-
vert l’Amérique, c’est un mythe allé-
gorique. Les vrais Vikings sont ceux
qui traversent des océans d’angoisse
et découvrent des terres nouvelles.
Vousêtes unViking,Rodolphe.
Ilm’appelaitRodolpheparcequ’ilme
connaissaitdéjà.
– Qu’est-ce qu’il y a de vrai à décou-
vrir?
– Les seules réponses possibles ce
sont les questions,Maurice. Les vrais
Vikings, ce sont les questions. Les
réponses, c’est ce que les Vikings se
chantent pendant la traversée pour se
donnerdu courage."
Pseudo,EmileAjar.
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À lamémoiredeLaurent.
"Je ne savais pas encore que
l’incompréhension va toujours plus
loin que tout le savoir, plus loin que
le génie, et que c’est toujours elle qui
a le dernier mot. Le regard de mon
frère est beaucoup plus près de la
véritéqu’Einstein."
Pseudo,RomainGary.
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Contents
1 Thesisoverview 13
1.1 Geometryofsurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.1 Surfacerepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.2 Geometryandtopologyofsurfaces: smoothversusdiscrete . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Estimationgeometricproperties:localandglobalaspects. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Estimationoflocaldifferentialquantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Estimationofglobaldifferentialproperties,theexampleofridges . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Outlineandcontributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 DifferentialTopologyandGeometryofSmoothEmbeddedSurfaces:SelectedTopics . . . 19
1.3.2 EstimatingDifferentialQuantitiesusingPolynomialfittingofOsculatingJets . . . . . . . 19
1.3.3 Topologydrivenalgorithmsforridgeextractiononmeshes . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.4 Theimplicitstructureofridgesofasmoothparametricsurface . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.5 Topologically certified approximation of umbilics and ridges on polynomial parametric
surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Résumédelathèse 23
2.1 Géométriedessurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Représentationsdesurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Géométrieettopologiedessurfaces:lisseversusdiscret . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Estimationdespropriétésgéométriques:aspectslocauxetglobaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 Estimationdesquantitésdifférentielleslocales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2 Estimationdespropriétésdifférentiellesglobales,l’exempledesridges . . . . . . . . . . 28
2.2.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Plandelathèseetcontributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.1 Topologieetgéométriedifférentiellesdessurfaceslissesplongées:élémentschoisis . . . 30
2.3.2 Estimationdesquantitésdifférentiellesparajustementpolynomialedesjetsosculateurs . . 30
2.3.3 Algorithmesguidésparlatopologiepourl’extractiondesridgessurunmaillage . . . . . 31
2.3.4 Lastructureimplicitedesridgesd’unesurfaceparamétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.5 Approximationtopologiquecertifiéedesombilicsetdesridgesd’unesurfacepolynomiale
paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 DifferentialTopologyandGeometry 37
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1 Motivationsforageometricandtopologicalanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2 Chapteroverview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 TheMongeformofasurface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1 Genericsurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.2 TheMongeformofasurface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Umbilicsandlinesofcurvature,principalfoliations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.1 Classificationofumbilics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.2 Principalfoliations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4 Contactsofthesurfacewithspheres,Ridges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.1 Distancefunctionandcontactfunction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
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10 CONTENTS
3.4.2 Genericcontactsbetweenasphereandasurface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.3 Contactpointsawayfromumbilics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4.4 Contactpointsatumbilics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.5 Umbilicclassificationinthecomplexplane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.6 Summaryoftheglobalpictureofridgesandumbilicsonagenericsurface . . . . . . . . . 48
3.4.7 Illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5 Medialaxis,skeleton,ridges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5.1 Medialaxisofasmoothsurface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5.2 Medialaxisandridges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.6 Topologicalequivalencebetweenembeddedsurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6.1 Homeomorphy,isotopy,ambientisotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6.2 Geometricconditionsforisotopy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 EstimatingDifferentialQuantities 55
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.1 Estimatingdifferentialquantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.2 Contributionsandchapteroverview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Geometricpre-requisites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.1 Curvesandsurfaces,heightfunctionsandjets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.2 Interpolation,approximationandrelatedvariations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.3 Contributionsrevisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 Numericalpre-requisites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3.1 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3.2 Leastsquareapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3.3 NumericalIssues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4 Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4.1 Problemaddressed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4.2 Polynomialfittingoftheheightfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4.3 Influenceofnormalaccuracyonhigherorderestimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5 PlaneCurves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5.1 Problemaddressed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5.2 Errorboundsfortheinterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.6 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.6.1 CollectingN neighbors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.6.2 Solvingthefittingproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.6.3 Retrievingdifferentialquantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.7 Experimentalstudy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.7.1 Convergenceestimatesonagraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.7.2 Illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 Ridgeextractiononmeshes 75
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.1 Ridgesofasmoothsurface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.2 Previouswork . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.1.3 Contributionsandchapteroverview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2 Ridgetopologyandorientationissues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2.1 Problemaddressed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2.2 Orientationandcrossings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2.3 Gaussianextremality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2.4 Acuterule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3 Agenericalgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3.1 Complianttriangulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3.2 Genericalgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4 AHeuristictoprocessatrianglemesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.4.1 ComputingtheMongecoefficientsusingpolynomialfitting . . . . . . . . . . . . . . . . 82