Table Of ContentTeubner Studienbucher
Mathematik
Afflerbach:Statistik-PraktikummitdemPC.OM24,80/os194,- /SFr24,80
os
Ahlswede/Wegener:Suchprobleme.OM37,- / 287,- /SFr37,-
os
Aigner:Graphentheorie.OM34,-/ 265,- /SFr34,-
Ansorge:DifferenzenapproximationenpartiellerAnfangswertaufgaben.
os
OM32,- / 250,- /SFr32,- (lAMM)
Behnen/Neuhaus:GrundkursStochastik.2.Aufl.OM39,80/os311,-/SFr39,80
Bohl:FiniteModellegewiihnlicherRandwertaufgaben.
OM36,-/os281,- /SFr36,-(lAMM)
os
Bohmer:Spline-Funktionen.OM32,- / 250,- /SFr32,-
Brocker:AnalysisinmehrerenVariablen.OM38,- /Os297,-/SFr38,
Bunse/Bunse-Gerstner:NumerischeLineareAlgebra.OM38,-/os297,- /SFr38,
os
v.Collan!:OptimaleWareneingangskontrolle.OM29,80/ 283,- /SFr29,80
os
Collatz:Differentialgleichungen.7.Aufl.OM38,- / 297,- /SFr38,-(lAMM)
os
Collatz/Krabs:Approximaltionstheorie.OM29,80/ 233,-/SFr29,80
Constantinescu:DistributionenundihreAnwendungeninderPhysik.
os
OM23,80/ 186,-/SFr23,80
Constantinescu/deGroote:GeometrischeundalgebraischeMethodenderPhysik:
SupermannigfaltigkeitenundVirasoro-Algebren.
os
OM44,80/ 350,- /SFr44,80
os
Dinges/Rost:PrinzipienderStochastik.OM38,- / 297,- /SFr38,
Dufner/Jensen/Schumacher:StatistikmitSAS.OM42,- /os328,- /SFr42,
Fischer/Kau/:MathematikfiirPhysiker.
Band1:Grundkurs.2.Aufl.OM48,- /Os375,- /SFr48,-
os
Fischer/Sacher:EinfiihrungindieAlgebra.3.Aufl.OM28,80/ 225,-/SFr28,80
os
Floret:MaB-undIntegrationstheorie.OM39,80/ 311,-/SFr39,80
GroBmann/Roos:NumerikpartiellerDifferentialgleichungen.
os
2.Aufl.OM49,80/ 389,-/SFr49,80
GroBmannrrerno:NumerikderOptimierung.OM36,80/os287,-/SFr36,80
Hackbusch:Integralgleichungen.TheorieundNumerik.OM38,-/os297,-/SFr38,-(lAMM)
Hackbusch:IterativeLiisunggroBerschwachbesetzterGleichungssysteme.
os
OM42,- / 328,- /SFr42,- (lAMM)
Hackbusch:TheorieundNumerikelliptischerDifferentialgleichungen.
OM38,- /os297,- /SFr38,-
Hackenbroch:Integrationstheorie.OM23,80/os186,-/SFr23,80
os
Hainz/:MathematikfiirNaturwissenschaftler.4.Aufl.OM39,80/ 311,- /SFr39,80(lAMM)
Hassig:GraphentheoretischeMethodendesOperationsResearch.
os
a;OM26,80/ 209,- /SFr26,80(lAMM)
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Geometrische und
algebraische Methoden
der Physik:
Supermannigfaltigkeiten
und Virasoro-Algebren
VonProf. Dr.math.Florin Constantinescu
und Prof. Dr.rer.nat Hans F. de Groote
JohannWolfgang Goethe-UniversitatFrankfurt/Main
m
Springer Fachmedien
Wiesbaden GmbH 1994
Prof.Dr.math. FlorinConstantinescu
Geboren 1938 inCluj (Klausenburg), Rumänien. Von1954 bis 1961Studium der
Mathematikund Physikander Universität.Babes-Bolyai"ClujundderIngenieur
wissenschaftenanderTechnischen HochschuleCluj, 1961 Diplom,1964 Promo
tionanderUniversität Clujaufdem GebietdermathematischenPhysik.Von1968
bis 1969 A. v.Humboldt-Stipendium an der Universität München, von 1970 bis
1971wiss.AssistentandenUniversitäten München und Mainzund1971Habilita
tion ander Universität Mainz.Seit 1971 Professor für MathematikanderJohann
WolfgangGoethe-UniversitätFrankfurta.M.
Prof.Dr.rer.nat.HansFriedrichdeGroote
Geboren1944inBrünn.Von1964bis1968Studium derMathematikundAstrono
mieanderUniversität Heidelberg, 1968Diplom inMathematik,1971Promotion an
derUniversität Konstanz,1977HabilitationanderUniversität Tübingen. Seit1979
ProfessorfürangewandteMathematikanderJohannWolfgangGoethe-Universität
Frankfurta.M.
DieDeutsche Bibliothek- CIP-Einheitsaufnahme
Constantinescu,Florin:
GeometrischeundalgebraischeMethodenderPhysik:
SupermannigfaltigkeitenundVirasoro-Algebren/vonFlorin
ConstantinescuundHansF.deGroote.- Stuttgart:Teubner,
1994
(Teubner-Studienbücher:Mathematik)
ISBN 978-3-519-02087-5 ISBN 978-3-663-10144-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-10144-4
NE:Groote, HansF.de:
DasWerkeinschließlich allerseinerTeileist urheberrechtlichgeschützt.Jede Ver
wertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne
Zustimmung desVerlagesunzulässig undstrafbar. Dasgilt besondersfürVerviel
fältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Ver
arbeitung inelektronischenSystemen.
©Springer Fachmedien Wiesbaden 1994
Ursprünglich erschienen beiB.G.TeubnerSluttgart1994.
Herstellung: Druckhaus Beltz,Hemsbach/Bergstraße
Vorwort
Klassisch sind die mathematischen Methoden in der Physik analytischer Na
tur. Dies entspricht der engen Verzahnung von Mathematik und Physik in
ihrer Entwicklung bis zum Ende des 19. Jahrhunderts. Die erste und ftir ei
nige Zeit auch einzigegeometrische Theorie der Physik ist Einsteins allgemei
ne Relativitatstheorie, Es ist bemerkenswert, daBsich die Riemannsche Geo
metrie als mathematische Grundlage der Einsteinschen Theorie nicht mit der
Relativitatstheorie entwickelte. Einstein fand diese Geometrie "fertig" vor und
erkannte ihre Relevanz filr seine physikalischen Uberlegungen, Eine weitere
Phase engen Zusammenwirkens zwischen Mathematik und Physik ergab sich
in der Quantenmechanik. J. von Neumann schuf ein wesentliches Stuck der
Funktionalanalysis als den mathematischen Rahmen fur die in den zwanziger
Jahren entwickelte Quantenmechanik. Danach begannen in der Physik die Zei
ten der Storungsrechnung. Eine neue geometrische Phase in der theoretischen
Physik begann mit der Entwicklung von Eichtheorien durch Yang und Mills.
(Der Name "Eichtheorie" geht auf einen fehlgeschlagenen Versuch Hermann
Weylszuriick,allgemeineRelativitatstheorie und MaxwellscheElektrodynamik
ineiner gemeinsamen Theorie zu vereinigen.) In den Eichtheorien formulierten
Physiker soziemlichdasselbe,was Mathematiker etwa zur gleichen Zeit in der
Theorie der Hauptfaserbtindel und ihren Anwendungen in der Differentialgeo
metrie leisteten. Seit den sechziger Jahren ist Eichtheorie, zumindest die der
klassischen Feldtheorien, ein gemeinsames Arbeitsgebiet von Mathematikern
und Physikern.
Algebra sickerte vor allem durch die Anwendung der Darstellungstheorie von
Lie-Gruppen und Lie-Algebren in die Physik ein. Symmetrien in der Quan
tenfeldtheorie haben die Untersuchung gewisser Klassen von unendlichdimen
sionalen Lie-Algebren motiviert.
Wollte man die wichtigsten geometrischen und algebraischen Methoden, die
heute in der theoretischen Physik Verwendung finden, auch nur annahernd
vollstandig darstellen, man milflte ein vielbandiges Werk ins Auge fassen. So
haben wir unsin diesem Buch auf zweiaktuelle Themen beschrankt: Super
mannigfaltigkeiten und Virasoro-Algebren.
Supermannigfaltigkeiten sind die geometrische Grundlage fiir die "supersym
metrische Physik". Wir verfolgen mit der Darstellung dieser Theorie des wei
teren das Ziel, den Leser mit garbentheoretischen Methoden vertraut zu ma-
2
chen.Garbentheorie, genauer Garbencohomologie,ist heute ein fundamentales
Werkzeug in der mathematischen Physik (z.B. in der Yang-Mills-Theorie,
speziellder Instantonentheorie).
Supersymmetrie ist eine Symmetrie zwischen Bosonen (Teilchen mit ganzzah
ligem Spin, die der Bose-Statistik gehorchen) und Fermionen (Teilchen mit
halbzahligem Spin,fiirdiedie Fermi-Statistikgilt). DieVirasoro-Algebra tritt
im Zusammenhang mit einer Statistik in zwei Dimensionen auf (zweidimensio
nale konforme Quantenfeldtheorie), die weder Bose- noch Fermi-Statistik ist,
sondern eine sogenannte Zopfgruppen-Statistik.
In der Theorie der Hochstgewichtsdarstellungen der Virasoro-Algebra haben
wir uns auf einen Beweis der sogenannten Kac'schen Determinantenformel
konzentriert. Dieses Thema bietet reichlich Gelegenheit, typische Methoden
und Resultateder Darstellungstheorie unendlichdimensionaler Lie-Algebrenzu
prasentieren.
An mathematischen Kenntnissen setzen wir bei einem Leser (auch bei einer
Leserin) Vertrautheitmit dem Stoffder Anfangervorlesungen derersten beiden
Semester sowieelementare Kenntnisse der Funktionentheorie und der allgemei
nen Topologie voraus. Kenntnisse der Anfangsgriinde der Theorie differenzier
barer Mannigfaltigkeiten sind niitzlich, aber nicht unbedingt erforderlich.
Zum SchluBbleibt uns die angenehme Aufgabe,denen zu danken, deren Hilfe
uns bei der Arbeit an diesem Buch wertvoll war. Frau Marianne Schmidt hat
unser Manuskript aufprofessionelleArt in 'lEXumgesetzt.Frau Kirstin Kobler
hateinefriihereFassung sehr grfindlichdurchgesehen und vieleVerbesserungen
angeregt.Herrn WolframBoenkost und Herrn Prof.ReinhardFlumedankenwir
fiirviele Anregungen und Diskussionen tiber konforme Quantenfeldtheorie und
dieTheorieder Virasoro-Algebra.SchlieBlich danken wir Herrn Dr. P. Spuhler
vom Teubner-Verlag fiirseine Geduld,die wirarg, aber nicht vorsatzlich, stra
paziert haben. F.C.dankt der Volkswagenstiftung fiir Unterstiitzung wiihrend
eines Teiles der Arbeit an diesem Buch.
Frankfurt a. M.,im Marz 1994 F.Constantinescu, H.F. de Groote
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung 5
2. Aigebraische Grundlagen 10
2.1 Grallmann-Algebren . 10
2.2 Grundztigeder linearen Superalgebra . 35
3. Geringte Rllume 64
3.1 Garbentheoretische Grundlagen . 64
3.2 GeringteRaume . 94
4. Supermannigfaltigkeiten 108
4.1 Supergebiete . 108
4.2 Supermannigfaltigkeiten 110
4.3 KoordinatensystemeaufSupermannigfaltigkeiten 131
4.4 Der Satz vonM.Batchelor . 157
4.5 Vektorfelder aufSupermannigfaltigkeiten 160
5. Analysis auf Supergebieten 171
5.1 DieAbleitungeinesMorphismusvonSupermannigfaltigkeiten . . . 171
5.2 Der Umkehrsatz und der Satz tiber implizit definierte Abbildungen 196
5.3 Das Berezin-IntegralaufSupergebieten 222
6. Anwendungen 235
6.1 Teilchen-Spin-Dynamik als die GrallmannscheVariante der klassischen Me-
chanik . . . . . . . . . . . . . . 235
6.2 SupersymmetrischeInvarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
7. Lie-Algebren undGrundbegriffeder Darstellungstheorie 253
8. Hochstgewichtsdarstellungen derVirasoro-Algebra 262
8.1 Uberblick . . . . . . . . . . . . . . . 262
8.2 KanonischeVertauschungsrelationen 264
8.3 Fockraum-Darstellungender kanonischenVertauschungsrelationen 268
8.4 Fockraum-Darstellungender Virasoro-Algebra . . . . . . . . . . 272
8.5 Hochstgewichts- und Vermadarstellungender Virasoro-Algebra . 276
4 Inhaltsverzeichnis
9. Vertexoperatoren 289
9.1 IrreduzibleHochstgewichtsdarstellungenund singulare Vektoren . 289
9.2 Vertexoperatoren . .. 297
9.3 DerLadungsoperator . 323
10.Beweis derKac'schen Determinantenformel 330
11.KonstruktionsingullirerVektorenim Fockraum 336
11.1 Das Selberg-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
11.2 DieNichttrivialitat der singularen Vektoren Q(')',r;s)v ' 345
a-r-y,J1
12.UnitlireHiichstgewichtsdarstellungen derVirasoro-Algebra 354
Literaturverzeichnis 359
Index 364
1. Einleitung
Gewohnliche Geometrie (ree11e Differentialgeometrie, komplexe Geometrie, al
gebraische Geometrie) ist kommutative Geometrie:die geometrischen Struktu
ren werden vollstandigbeschrieben durch gewissekommutative Algebren.Soist
z.B,die Struktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M durch die diffe
renzierbaren Funktionen M -+ lR vo11kommen festgelegt. In der komplexen
Geometriesind es (cum grano salis) dielokaldefinierten holomorphen Funktio
nen, in der algebraischen Geometrie wird die lokale Struktur durch Polynome
in mehreren Variablen bestimmt.
Die Observablen in der klassischen Mechanik sind differenzierbare Funktionen
auf dem Konfigurationsraumdes betrachteten physikalischen Systems.Wir ha
ben also eine kommutative Geometrie vor uns. Diezeitliche Entwicklung einer
observablen GroBedes Systems wird durch die Poisson-Klammer dieser Ob
servablen mit der Hamiltonfunktion gegeben. Quantisierung macht aus den
Funktionen Operatoren auf einem Hilbertraum und aus der Poisson-Klammer
den Kommutator solcher Operatoren. Die Mannigfaltigkeit der Konfiguratio
nen ist vergessen,wasbleibt, ist einenicht-kommutativeObservablen-Algebra:
eine "nicht-kommutative Geometrie ohne ,Punkte' ".
A11erdingsist dieSache weitaus schwieriger, alssieauf den ersten Blickerschei
nen mag. Auf die komplizierten Probleme der "geometrischen Quantisierung"
sol1 hier nicht eingegangen werden, und fiir die a11gemeinen Frageste11ungen
einer nicht-kommutativen Geometrie miissen wir uns auf wenigeAndeutungen
beschranken.
Ein lokalkompakter Raum X ist durch die kommutative CO-Algebra sei
ner stetigen komplexwertigen Funktionen, die im Unendlichen verschwinden,
vollstandig charakterisiert (Gelfandscher Darste11ungssatz): die Kategorie der
lokalkompaktentopologischen Raume ist antiaquivalentzur Kategorieder kom
mutativen C*-Algebren.Mankann nun einebeliebige CO-Algebra(untereiner
CO-Algebra kann man sich ohne Einschrankung der A11gemeinheit eine in der
Norm-Topologie abgeschlossene Unteralgebrader Algebra der beschrankten li
nearen Operatoren eines Hilbertraums vorste11en, die mit jedem Operator A
auch den adjungierten Operator A* enthalt) als einen "nicht-kommutativen
Raum" auffassen.A11erdingsbleibt hierdas Problem,zusatzliche, vora11emgeo
metrische Strukturen auf dem lokalkompakten Raum X durch algebraische
Eigenschaften von Funktionen-Algebren auf X zu charakterisieren.
6 1. Einleitung
Es ist bekannt, daf die Struktur und die Geometrie einer differenzierbaren
Mannigfaltigkeit M vollstandig durch die Algebra COO(M) der unendlich
oft differenzierbaren Funktionen M ---t lR und darausabgeleitete algebraische
Konstrukte bestimmt ist.Sosind zum Beispiel die differenzierbaren Vektorfel
der auf M gerade die Derivationen von COO(M), d.h. die linearen Abbil
dungen 8 :COO(M) ---t COO(M), die die Leibnizregel 8(fg) = 8(f)g +18(g)
erfiillen. Ebenso kann man kovariante Ableitungen, Kriimmungstensoren etc.
durch algebraische Konstruktionen in der Algebra COO(M) erhalten. Nun ist
aber COO(M) keine CO-Algebra. 1st z.B, M kompakt,soist COO(M) dicht
in der kommutativen C"-'-Algebra C(M) der stetigen Funktionen auf M.
Algebraischfindet man aber dieVektorfelder auf M nicht mit C(M) wieder:
dieNullabbildungist dieeinzigeDerivation von C(M) (Satze vonSinger und
Wermer bzw. Johnson und Sinclair:siehe z.B. [7]).
Es erweist sich als ein vermutlich tiefliegendes Problem, eine differenzierba
re Mannigfaltigkeit durch ein mehr oder weniger rein algebraisches Objekt zu
beschreiben. Ein spezielles Resultat in dieser Richtung ist ein Satz von Swan:
Vektorbiindel tiber einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit lassen sich alspro
jektive Moduln charakterisieren [56].
Fur die allgemeine Theorie der nichtkommutativen Geometrie sei der Leser
aufdie (schwierigen) Arbeiten von A. Connes [10J verwiesen - Connes' Buch
"Geometrie non commutative" [11J zeigt die vielfaltigen Quellen und Anwen
dungen nicht-kommutativer Geometrie auf. Ferner verweisen wir auf Connes'
schonen Ubersichtsartikel "Non commutative geometry and physics" [12]. Das
in Kiirzeerscheinende Lecture Note von J. Madore bietet eine Einfiihrung auf
etwas elementarerem Niveau und enthalt auch eine Diskussion moglicher phy
sikalischer Anwendungen [40].
SupermannigfaItigkeiten, die im ersten Teil des vorliegenden Buches un
tersucht werden, stehen zwischen den klassischen differenzierbaren Mannigfal
tigkeiten und den Konzepten einer allgemeinen nicht-kommutativen Geome
trie. Hier hat man zwar noch eine der Geometrie zugrundeliegende Punkt
menge, aber die Geometrie einer Supermannigfaltigkeit ist durch die Menge
X ihrer Punkte nicht eindeutig festgeIegt. Die auf X lokal definierten dif
ferenzierbaren Funktionen haben vielmehr Werte in einer Graftmann-Algebra
fester endlicher Dimension. GraBmann-Algebren werden wir im zweiten Ka
pitel ausfuhrlich behandeln. An dieser Stelle reicht die Vorstellung, daf die
Elemente einer GraBmann-Algebra der Dimension 2n Polynome in n nicht
kommutierenden Variablen (h,...,On sind, die die Vertauschungsrelationen
OiOj = - OlJi (1~ i, j ~ n) erfiillen. Aufdiese Weisekommen antikommutie
rende Variablen ins Spiel.
Inder Physik unterscheidet man grundlegend zwei Typen von Elementarteil-
