Geometrische Locking-Effekte bei Finiten Elementen und ein allgemeines Konzept zu ihrer ...

170 Pages·2004·3.46 MB·German

Lehrstuhl fu¤r Statik
der Technischen Universita¤tMu¤nchen
Geometrische Locking-Effekte bei Finiten Elementen und ein
allgemeines Konzept zu ihrer Vermeidung
Frank Koschnick
Vollsta¤ndiger Abdruck der von der Fakulta¤t fu¤r Bauingenieur(cid:150) und Vermessungswesen der Tech-
nischenUniversita¤tMu¤nchenzurErlangung desakademischen Gradeseines
Doktor(cid:150)Ingenieurs
genehmigten Dissertation.
Vorsitzender: Univ.(cid:150)Prof.Dr.(cid:150)Ing.GerhardH.Mu¤ller
Pru¤ferderDissertation:
1. Univ.(cid:150)Prof.Dr.(cid:150)Ing.Kai-UweBletzinger
2. Univ.(cid:150)Prof.Dr.(cid:150)Ing.KarlSchweizerhof,
Universita¤tFridericiana zuKarlsruhe(TH)
DieDissertation wurdeam15.06.2004 beiderTechnischen Universita¤t Mu¤nchen eingereicht und
durchdieFakulta¤tfu¤rBauingenieur(cid:150) undVermessungswesen am22.09.2004 angenommen.

I
Geometrische Locking-Effekte bei Finiten Elementen und ein allgemeines
Konzept zu ihrer Vermeidung
Zusammenfassung
In dieser Arbeit wird eine systematische Analyse der Locking-Effekte bei Finiten Elementen sowie der
Methoden zu ihrer Vermeidung gegeben. Mit der Discrete-Strain-Gap-Methode wird ein universelles
Konzept zur Elimination geometrischer Locking-Pha¤nomene vorgestellt. Herausragendes Merkmal die-
serFormulierungistdieeinheitlicheBehandlungallergeometrischenVersteifungspha¤nomene sowieihre
Anwendbarkeit aufbeliebige Elementtypen unabha¤ngig vonderenPolynomordnung undohne dieWahl
von Kollokationspunkten. Ein Vergleich dieser Methode mit bekannten Formulierungen sowie numeri-
scheBeispielebelegendieLeistungsfa¤higkeit desvorgeschlagenen Konzeptes.
Die Analyse der Locking-Pha¤nomene und das Versta¤ndnis der Ursachen ihres Auftretens ist fu¤r die
Beurteilung der Eigenschaften von (cid:2)niten Elementen unerla¤sslich. Neben der De(cid:2)nition des Begriffes
Locking und dessen mechanisch motivierter Interpretation wird ebenfalls eine numerische bzw. mathe-
matische Sichtweise der Versteifungseffekte gegeben. Besondere Aufmerksamkeit wird auf eine klare
TrennungundDe(cid:2)nitionderunterschiedlichen Locking-Pha¤nomene gelegt.
Einen weiteren Schwerpunkt dieser Arbeit bildet die Anwendung und Erweiterung der Discrete-Strain-
Gap-Methode (DSG) und die Analyse ihrer Eignung hinsichtlich der beschriebenen Locking-Pha¤no-
mene. Die vorgeschlagenen DSG-Modi(cid:2)kationen sind fu¤r dreidimensionale Kontinua anwendbar und
enthalten somit als Sonderfall alle Strukturelemente. Die Darstellung der bekannten Methoden der Un-
terintegration, der Assumed-Natural-Strains (ANS)und der Enhanced-Assumed-Strains (EAS)verfolgt
vorallemdasZiel,fu¤rdieModi(cid:2)kationen derDSG-MethodeeinenVergleichsrahmen zubieten.
Ausgehend vom Dreifeld-Funktional von Hu-Washizu wird mit der Entwicklung einer variationellen
Basisebenfalls einemathematische GrundlagederDSG-Methodeangegeben.
Mit der DSG-Methode kann somit ein universelles Konzept entwickelt werden, das variationell abgesi-
chert ist und neben seinen hervorragenden numerischen Eigenschaften vor allem durch seine Universa-
lita¤tundkonzeptionelle Klarheitbesticht.
II
Geometric Locking Phenomena of Finite Elements and a Uniform Concept
for their Elimination
Abstract
This thesis presents a systematic analysis of locking phenomena in the context of (cid:2)nite elements and
methodsfortheirelimination.TheDiscreteStrainGapmethod(DSG)represents auniversalconceptfor
theeliminationofgeometriclockingeffects.Exceptionalcharacteristicofthisformulationistheuniform
treatmentofallkindsofgeometriclockingeffects.Itisapplicabletoelementsofarbitraryshapeandorder
without the determination of collocation points. Comparison with established element formulations as
wellasnumerical examplescon(cid:2)rmtheef(cid:2)ciencyoftheproposed concept.
Analysis of locking phenomena and the understanding of their origins are essential for the assessment
of(cid:2)niteelementproperties.Besidethede(cid:2)nitionofthetermlocking,mechanical,numericalandmathe-
maticalinterpretations oflockingeffectsarepresented. Specialattention isdevotedtoastrictseparation
andde(cid:2)nitionofthedifferent lockingphenomena.
Furthermore,thisthesisdealswiththeapplicationoftheDiscreteStrainGapmethod(DSG)anditssuita-
bilityconcerning thedescribed lockingphenomena.TheproposedDSGmodi(cid:2)cationsareapplicable for
boththree-dimensional solidelements andstructural elements.Description ofwell-knownconcepts like
ReducedIntegration, AssumedNaturalStrains(ANS)andEnhancedAssumedStrains(EAS)provides a
frameworksuitedforacomparison tothemodi(cid:2)cations introduced bytheDSGmethod.
Starting from the Hu-Washizu principle the development of a variational basis leads to a mathematical
foundation oftheDSGmethod.
TheDSGmethod represents auniform concept fortheformulation of(cid:2)niteelements.Basedon avaria-
tional principle, this method convinces by its excellent numerical performance and in particular by its
universality andconceptional clarity.
III
Vorwort
DievorliegendeArbeitentstandwa¤hrendmeinersechsja¤hrigenTa¤tigkeitalswissenschaftlicherAssistent
amLehrstuhl fu¤rStatikderTechnischen Universita¤tMu¤nchen.
MeinenherzlichstenDankmo¤chteichHerrnProf.Dr.(cid:150)Ing.Kai-UweBletzingeraussprechen.Seinewis-
senschaftliche Kompetenz,seinVertrauenundRu¤ckhaltsowiedasvonihmgeschaffeneUmfeldbildeten
eineidealeGrundlagefu¤reineerfolgreiche Forschungsta¤tigkeit undermo¤glichten sodieseArbeit.
Herrn Prof. Dr.(cid:150)Ing. Karl Schweizerhof von der Universita¤t Karlsruhe danke ich herzlich fu¤r die U¤ber-
nahme des Koreferats. Sein aufrichtiges Interesse an meiner Arbeit hat mich sehr gefreut. Herrn Prof.
Dr.(cid:150)Ing.Gerhard Mu¤llermo¤chte ichfu¤rdiebereitwillige U¤bernahme derLeitung derPru¤fungskommis-
siondanken.
MeinDank gilt ebenfalls Herrn em.Prof.Dr.(cid:150)Ing. Walter Wunderlich, der meinInteresse fu¤r die Finite-
Element-Methode geweckt undgefo¤rdert hat unddurch meineAufnahme anseinen Lehrstuhl dieBasis
fu¤rdieseArbeitgeschaffen hat.
BeimeinenKollegen amLehrstuhl fu¤rStatikmo¤chteichmichfu¤rdieoffeneund herzliche Atmospha¤re
bedanken, die nicht nur durch fachliche Diskussionen und zahlreiche gemeinsame Aktivita¤ten gepra¤gt
war, sondern aus der sich ebenfalls viele Freundschaften entwickelt haben. Besonders danken mo¤chte
ich Herrn Dr.(cid:150)Ing. Manfred Bischoff, der mir stets mit Rat und Tat zur Seite stand und ma(cid:223)geblich
zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen hat. Meinem langja¤hrigen Zimmerkollegen Dipl.(cid:150)Ing. Roland
Wu¤chner danke ich fu¤r die sehr angenehme Zusammenarbeit und die aufmunternden Gespra¤che, an die
ichimmergernezuru¤ckdenken werde.
MeinenliebenEltern,UteundWalterKoschnick,dankeichfu¤rdieUnterstu¤tzung unddenRu¤ckhalt,die
siemirimmergewa¤hrthaben.
MeinerLebensgefa¤hrtin SimoneAbthoffmo¤chte ichfu¤rihrliebevolles Versta¤ndnis undihre Motivation
danken.Siehatmirdieno¤tigeKraftgegebenundmirjederzeit zurSeitegestanden.
Mu¤nchen,imOktober2004 FrankKoschnick
IV
Inhaltsverzeichnis
Notation 1
1 Einleitung 5
1.1 MotivationundStandderTechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 ZieledieserArbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Kontinuumsmechanische Grundlagen 11
2.1 Differentialgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Spannungen undGleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Stoffgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Energieprinzipien undVariationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.1 Prinzipdervirtuellen Verschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5.2 Prinzipvon HU-WASHIZU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5.3 Prinzipvon HELLINGER-REISSNER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 GrundlagenderMethodederFinitenElemente 17
3.1 Lo¤sbarkeit undStabilita¤tvonFunktionalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1 Einfeldfunktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.2 Mehrfeldfunktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 NachweisderKonvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.1 RangderStei(cid:2)gkeitsmatrix, Rangabfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.2 DerPatchtest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 GrenzenderPerfektionierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
VI Inhaltsverzeichnis
4 Struktur-undKontinuumselemente 27
4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Schalenelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2.1 Schalenmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2.2 HerleitungdesSchalenmodells ausder3D-Kontinuumstheorie . . . . . . . . . . 32
4.2.3 5-Parameter-Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.4 7-Parameter-Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.5 Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.6 BestimmungdesSchalendirektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.7 Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 Balken-undPlattenelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.1 Balkenelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.2 Plattenelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4 Scheiben-undKontinuumselemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 Locking 59
5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 De(cid:2)nitionvonLocking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2.1 Mathematische Sichtweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2.2 NumerischeSichtweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2.3 Mechanische Sichtweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3 Schub-Locking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.4 Trapezoidal-Locking /Curvature-Thickness-Locking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.5 Volumetrisches Locking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.6 Querschub-Locking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.7 Membran-Locking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.7.1 Modellbeispiel: Schwachgekru¤mmterBalken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.7.2 Identi(cid:2)kation undAuftreten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.8 Netzverzerrungsemp(cid:2)ndlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.9 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Inhaltsverzeichnis VII
6 Ef(cid:2)zienteElementformulierungen 83
6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.2 Variationelle Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2.1 B-bar-Formulierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2.2 Enhanced-Strain-Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3 Unterintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.3.1 U¤bersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.3.2 Hourglass-Stabilisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.4 DieAssumed-Natural-Strain-Methode (ANS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.4.1 Grundidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.4.2 Erweiterungen derANS-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.4.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.5 DieDiscrete-Strain-Gap-Methode (DSG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.5.2 GrundideeundAnwendung aufQuerschub-Locking . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.5.3 DreieckigeDSG-Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.5.4 Stabilisierte DSG-Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.5.5 Erweiterungen derDSG-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.5.6 Netzverzerrungsemp(cid:2)ndlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.5.7 Konvergenz undPatchtest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.5.8 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.6 DieEnhanced-Assumed-Strain-Methode (EAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.6.1 HerleitungderStei(cid:2)gkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.6.2 Methodederinkompatiblen Verschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.6.3 EAS-Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.6.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7 NumerischeBeispiele 127
7.1 Verzerrungsemp(cid:2)ndlichkeit desMembrananteils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.1.1 Kragscheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.1.2 MacNeal-Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.2 Schalenstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.2.1 PinchedHemisphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.2.2 TwistedBeam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.2.3 Zylindersektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
VIII Inhaltsverzeichnis
8 ZusammenfassungundAusblick 139
Anhang 143
A.1 Tensorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
A.2 Formfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
A.2.1 DreieckigeElemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
A.2.2 ViereckigeElemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
A.3 Zweidimensionaler Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
A.4 Schalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
A.4.1 Lokalkartesisches Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
A.4.2 Diskretisierung derFunktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
A.5 Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Literaturverzeichnis 151