Table Of ContentRainer Oloff
Geometrie der Raumzeit
Aus dem Programm _____________________ _________ _
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Physik/ Astrophysik
Albert Einstein
Über die Spezielle und
die Allgemeine Relativitätstheorie
Albert Einstein
Grundzüge der Relativitätstheorie
Hans Reichenbach
Gesammelte Werke in 9 Bänden
Band 3: Die philosophische Bedeutung
der Relativitätstheorie
Harald Riffert, Hanns Ruder, Hans-Peter Nollert, Friedrich W.
Hehl (Eds.)
Relativistic Astrophysics
Hanns und Margret Ruder
Die Spezielle Relativitätstheorie
Martin Schottenloher
Geometrie und Symmetrie in der Physik
Leitfaden der Mathematischen Physik
Reinhard Starkl
Materie - Feld - Struktur
Repetitorium der Theoretischen Physik
vieweg ___________________ ________
Rainer Oloff
Geometrie
der Raumzeit
Eine mathematische Einführung
in die Relativitätstheorie
Mit 41 Abbildungen
~
vleweg
Alle Rechte vorbehalten
\9 Springer Fachmedien Wiesbaden 1999
UrsprUnglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Ver1agsgesellschaft 1999
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Konzeption und Layout des Umschlags: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
Gedruckt auf saurefreiem Papier
ISBN 978-3-528-06917-9 ISBN 978-3-663-07654-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-07654-4
v
Vorwort
Die Relativitätstheorie ist untrennbar mit dem Namen ALBERT EINSTEIN verbunden. Es
ist sein Verdienst, aus physikalischer Intuition heraus in jahrelanger kreativer Arbeit das
Raumzeit-Modell entwickelt zu haben. Mit der Erklärung der Periheldrehung des Merkur
im Rahmen der Relativitätstheorie und der Vorhersage der dann bei einer Sonnenfinster
nis auch tatsächlich beobachteten Ablenkung des von fernen Fixsternen emmittierten
Lichtes im Gravitationsfeld der Sonne hat sich der relativistische Standpunkt schließlich
weltweit durchgesetzt.
Der vorliegende Text ist aus Vorlesungen hervorgegangen, die ich wiederholt für Studen
ten der Physik und der Mathematik an der Friedrich-Schiller-Universität Jena gehalten
habe. Das Anliegen ist die systematische Behandlung der Mathematik, die bei der Formu
lierung des Raumzeit-Modells verwendet wird. Nachdem das Modell präzise beschrieben
ist, werden die Aussagen der Relativitätstheorie durch einfache, rein mathematische Ar
gumentationen deduktiv gewonnen. Damit ist dieser Text eine Einführung in die Spezielle
und in die Allgemeine Relativitätstheorie in der auch sonst in der Mathematischen Physik
üblichen Sprache.
Ich möchte mich bei all den Kolleginnen und Kollegen bedanken, die mir bei der
Ausarbeitung dieses Lehrbuchs geholfen haben. Besonders danke ich den Professoren
G.Neugebauer, H.Triebel und V.Wünsch aus Jena und Herrn Dr.H.Rumpf aus Wien
für Anregungen und kritische Hinweise, Frau H.Fritsche und Herrn J .Dubielzig für die
Anfertigung großer Teile des Tex-Files und Herrn W.Schwarz vom Vieweg-Verlag für die
geduldige und konstruktive Zusammenarbeit.
R. Oloff
Jena im Mai 1999
VI
Inhaltsverzeichnis
Einführung 1
1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten 9
1.1 Karten und Atlanten. 9
1.2 Topologisierung. . . . 13
1.3 Untermannigfaltigkeiten von jRm 14
2 Tangentenvektoren 19
2.1 Der Tangentialraum ........ 19
2.2 Erzeugung von Tangentenvektoren 20
2.3 Vektorfelder. . . . 23
2.4 Die Lie-Klammer . 25
3 Tensoren 28
3.1 Einführung 28
3.2 M ul tilinearformen 29
3.3 Komponenten. . . 31
3.4 Operationen mit Tensoren . 33
3.5 Tensoren auf euklidischen Räumen 35
4 Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten 39
4.1 Tensorfelder . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Riemannsche Mannigfaltigkeiten 41
4.3 Bilinearformen 42
4.4 Orientierung 46
4.5 Raumzeit .. 48
5 Spezielle Relativitätstheorie 52
5.1 Kinematik. 52
5.2 Dynamik 57
5.3 Elektrodynamik 59
VII
6 Differentialformen 62
6.1 p-Formen .. 62
6.2 Das Keilprodukt 64
6.3 Der Hodge-Stern-Operator 65
6.4 Äußere Differentiation . . . 69
6.5 Die Maxwell-Gleichungen im Vakuum 75
7 Die kovariante Ableitung von Vektorfeldern 79
7.1 Die Richtungsableitung in ~n . . 79
7.2 Der Levi-Civita-Zusammenhang 80
7.3 Christoffel-Symbole ...... . 82
7.4 Kovariante Ableitung auf Hyperflächen 84
7.5 Die kovariante Ableitung in der Schwarzschild-Raumzeit . 87
8 Krümmung 88
8.1 Der Krümmungstensor . 88
8.2 Die Weingarten-Abbildung 91
8.3 Der Ricci-Tensor . . . . . . 96
8.4 Die Krümmung der Schwarzschild-Raumzeit . 98
8.5 Zusammenhangsformen und Krümmungsformen 100
9 Materie 105
9.1 Masse 105
9.2 Energie und Impuls einer Strömung 106
9.3 Der Energie-Impuls-Tensor 109
9.4 Ladung .......... . 113
9.5 Energie und Impuls im elektromagnetischen Feld 115
9.6 Die Einsteinsche Feldgleichung 119
9.7 Kugelsymmetrische Lösungen. 120
9.8 Äußere und innere Schwarzschild-Metrik . 123
10 Geodäten 127
10.1 Zeit 127
10.2 Die Euler-Lagrange-G leichungen 129
10.3 Die Geodätengleichung ..... 130
VIII Inhaltsverzeichnis
10.4 Die geodätische Abweichung 134
10.5 Perihel drehung 139
10.6 Lichtablenkung 143
10.7 Rotverschiebung 145
11 Kovariante Differentiation von Tensorfeldern 147
11.1 Paralleltransport von Vektoren 147
11.2 Paralleltransport von Tensoren 150
11.3 Rechenregeln und Komponentendarstellung 152
11.4 Die zweite Bianchi-Identität . 155
11.5 Divergenz. 156
12 Die Lie-Ableitung 159
12.1 Der Fluß und seine Tangenten 159
12.2 Pull-back und Push-forward . 161
12.3 Axiomatischer Zugang 165
12.4 Die Ableitungsformel . 166
12.5 Komponentendarstellung 168
12.6 Killing-Vektoren ..... 169
12.7 Die Lie-Ableitung von Differentialformen 170
13 Integration auf Mannigfaltigkeiten 172
13.1 Einführung .... 172
13.2 Zerlegung der Eins 173
13.3 Integrale ..... 177
13.4 Berandete Mannigfaltigkeiten 180
13.5 Integralsätze . . . . 181
13.6 Extremalprinzipien . 183
14 Schwarze Löcher 189
14.1 Die Schwarzschild-Halbebene 189
14.2 Optik schwarzer Löcher 194
14.3 Die Kruskal-Ebene ... 198
IX
15 Kosmologie 202
15.1 Räume konstanter Krümmung 202
15.2 Die Robertson-Walker-Metrik. 207
15.3 Weltmodelle ....... .. . 210
Literaturverzeichnis 214
Sachwortverzeichnis 216
1
Einführung
Im Rahmen der in den sechziger Jahren des vorigen Jahrhunderts vollendeten Maxwell
schen Elektrodynamik wird das Licht als elektromagnetische Welle aufgefaßt. Da sich
Schwingungsvorgänge sonst immer auf ein bestimmtes Medium beziehen, wurde damals
ein fiktiver Äther als Träger der Feldstärken angesehen. In einem relativ zu diesem Äther
ruhenden Bezugssystem müßte sich das Licht in alle Richtungen mit der gleichen Ge
schwindigkeit ausbreiten. In einem zweiten Bezugssystem, das sich relativ zu dem ersten
bewegt, würde dann aber auch das Medium Äther mit der entsprechenden Geschwindig
keit strömen und dadurch die Lichtgeschwindigkeit so beeinflussen, daß in diesem beweg
ten Bezugssystem die Lichtgeschwindigkeit in verschiedenen Richtungen unterschiedliche
Beträge hätte. Dieser Effekt konnte aber experimentell nicht bestätigt werden. In Versu
chen, die seit 1881 wiederholt und mit wachsender Meßgenauigkeit durchgeführt wurden,
hat sich der Betrag der Lichtgeschwindigkeit als unabhängig von der Richtung und dem
Betrag der Eigengeschwindigkeit des Bezugssystems erwiesen.
Die Newtonsehe Mechanik beruht auf der Grundgleichung Kraft gleich Masse mal Be
schleunigung bzw. Kraft gleich zeitliche Änderung des Impulses. Das gilt für die Bahnglei
chungen x(t),y(t),z(t) in Inertialsystemen; das sind die Koordinatensysteme, in denen
Körper, auf die keine Kräfte wirken, sich in Ruhe oder in gleichförmiger Bewegung befin
den. Ein anderes Koordinatensystem x' ,y' ,z', das mit dem Inertialsystem x,y,z durch die
= = =
Galileo-Thansformation x' x - vt, y' y, z' z verbunden ist, ist ebenfalls inertial.
Zur Galileo-Transformation gehört auch die Gleichung t' = t, die man bei entsprechender
Synchronisation der Uhren für selbstverständlich hält.
Die Gültigkeit der Newtonschen Grundgleichung in allen Inertialsystemen führt zu dem
Galileischen Relativitätsprinzip, daß Relativgeschwindigkeiten zwischen Inertialsystemen
durch mechanische Experimente nicht bestimmt werden können. In seiner im Jahre 1905
veröffentlichten Speziellen Relativitätstheorie formulierte A.EINSTEIN das sogenannte
spezielle Relativitätsprinzip, das besagt, daß alle Inertialsysteme gleichwertig sind,
d.h. in allen Inertialsystemen gelten die gleichen physikalischen Gesetze. Zusammen mit
dem Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit c zeigte er, daß sich die Koordina
ten x',y',z' eines Bezugssystems, dessen Nullpunkt sich im Inertialsystem x,y,z mit der
Geschwindigkeit (v,O,O) auf der x-Achse bewegt, gemäß den Gleichungen
x - vt
x'
/1 -
(v/c)2
y' y
z' z
t - vx/c2
t'
/1 -
(V/C)2
berechnen ([R] Seite 49). Diese Umrechnung von x,y,z,t zu x',y',z',t' heißt Lorentz
Thansformation. Sie wurde schon 1895 von H.A.LoRENTZ aus anderen Erwägungen
heraus formuliert. Bemerkenswert ist bei dieser Transformation die Vermischung von
Raum und Zeit. Zu erwähnen sind noch zwei besonders spektakuläre Folgerungen ([Schr]
R. Oloff, Geometrie der Raumzeit
© Springer Fachmedien Wiesbaden 1999
