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GEOMETRIE AFFINE
ET EUCLIDIENNE
AU CAPES
Claude De/ode
DU NOD
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GEOMETRIE AFFINE
ET EUCLIDIENNE
AU CAPES
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GEOMETRIE AFFINE
ET EUCLIDIENNE
AU CAPES
Claude De/ode
Maître de conférences
à l'université de Pau et des pays de l'Adour
DU NOD
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© Dunod, Paris, 2006 pour la nouvelle présentation
© Dunod, Paris, 2000
ISBN 2 10 0050587 4
LeC oded el ap ropriinétteél lectuellaeu xtn em'reasud teol r'iasratnitc,l e
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réservlé'euss pargiedv uéc opiestnt oedn e stinuéneuest ilisation collective
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Coddee l ap ropriinétteél lectuelle.
Table des matières
PARTIE 1 LES ESPACES AFFINES
:
ESPACES AFFINES, GÉNÉRALITÉS
CHAPITRE 1 •
3
1.1 Définition, relation de Chasles
3
1.2 Barycentres, propriétés des barycentres, fonction de Leibniz
6
EXERCICES
7
LES VARIÉTÉS LINÉAIRES AFFINES
CHAPITRE 2 •
17
2.1 Généralités
17
2.2 engendrée
VLA 19
2.3 Coordonnées barycentriques et cartésiennes, repères
22
2.4 Invariants affines
27
2.5 Représentation analytique des
VLA 29
EXERCICES
33
LES APPLICATIONS AFFINES
CHAPITRE 3 •
45
3.1 Définitions, propriétés
45
3.2 Représentation analytique
48
3.3 Principales applications affines
51
VI Table des matières
3.4 Formes affines et hyperplans affines
54
3.5 Quelques résultats de géométrie, théorèmes de Thalès, Ménélaüs et Céva
55
EXERCICES
59
STRUCTURES
CHAPITRE 4 • 71
4.1 Structure affine de l'ensemble des applications affines
71
4.2 Le groupe GA(X)
72
4.3 Les sous-groupes de GA(X)
73
EXERCICES
74
PLONGEMENT D'UN ESPACE AFFINE DANS UN ESPACE VECTORIEL
CHAPITRE 5 •
83
5.1 Le théorème fondamental de la géométrie affine
83
5.2 Conséquences liées au théorème fondamental de la géométrie affine
85
5.3 Une application des résultats précédents, le théorème de Desargues
87
PARTIE 2 : ESPACES AFFINES EUCLIDIENS
ESPACES AFFINES EUCLIDIENS -GÉNÉRALITÉS
CHAPITRE 6 •
95
6.1 Définitions
95
6.2 Un espace affine euclidien est un espace métrique
96
6.3 Écart angulaire
97
6.4 Angles orientés
99
6.5 Projections et symétries orthogonales
103
EXERCICES
105
LE GROUPE DES ISOMÉTRIES
CHAPITRE 7 •
115
7 .1 Définitions et propriétés
115
7.2 Le groupe des isométries
117
7.3 Étude des générateurs de ls(E)
ll7
7.4 Le groupe des isométries en dimension 2 ou 3
119
EXERCICES
122
LE GROUPE DES SIMILITUDES
CHAPITRE 8 •
141
8.1 Définitions et propriétés
141
Table des matières VII
8.2 Le groupe des similitudes
143
EXERCICES
144
LES QUADRIQUES AFFINES
CHAPITRE 9 •
157
9.1 Les formes 2-affines
157
9.2 Les quadriques affines de
X 158
9.3 Simplification de l'équation
158
9.4 Étude des quadriques en dimension 2 et 3
162
EXERCICES
166
ÉTUDE GÉOMÉTRIQUE DES CONIQUES
CHAPITRE 10 • 175
10.1 Introduction, étude des coniques centre
à
175
10.2 L'ellipse
176
10.3 L'hyperbole
179
10.4 La parabole
181
10.5 Le théorème de Pascal
184
EXERCICES
186
SPHÈRE ET !:INVERSION
CHAPITRE 11 • LA 201
11.1 La sphère
201
11.2 L'inversion
207
EXERCICES
210
CONVEXITÉ
CHAPITRE 12 • LA 223
12.1 Généralités
223
12.2 Projection sur un convexe fermé
226
12.3 Séparation
227
EXERCICES
232
BIBLIOGRAPHIE
243
INDEX
245
