Geometric Phase Atom Optics and Interferometry

6.9 MB·English

by  Bernard Zygelman

Geometric Phase Atom Optics and Interferometry
B. Zygelman∗
Department of Physics and Astronomy, University of Nevada, Las Vegas, Las Vegas NV 89154
(Dated: August 19, 2015)
We illustrate how geometric gauge forces and topological phase effects emerge in atomic and
molecular systems without employing assumptions that rely on adiabaticty. We show how geo-
metric magnetism may be harnessed to engineer novel quantum devices including a velocity sieve,
a component in mass spectrometers, for neutral atoms. We introduce and outline a possible ex-
perimental setup that demonstrates topological interferometry for neutral spin 1/2 systems. For
that 2-level system, we study the transition from Abelian to non-Abelian behavior and explore its
relation to the molecular Aharonov-Bohm (MAB) effect.
5
1 I. INTRODUCTION Consider the following Schroedinger equations
0
2 (cid:126)2 ∂ψ
g facBtoerr[r2y,’s3p],hpaslaey[1s],aanreimalpizoarttiaonntorfoalenoinn-idnetsecgrribabinlegpahdaisae- − 2m∇R2ψ+V(R)ψ =i(cid:126)∂t (1)
u
batic quantum evolution in a semi-classical setting. It and
A
is also known[4–8] that effective gauge potentials, that
8 give rise to such phases, emerge in fully quantal systems − (cid:126)2 (∇ −iA)2ψ(cid:48)+V(R)ψ(cid:48) =i(cid:126)∂ψ(cid:48) (2)
1 in which true adiabaticity is ill-defined. In addition to 2m R ∂t
generating phase holonomies[4], they may lead to effec-
for amplitudes ψ, ψ(cid:48) respectively. We take them to be
] tive Lorentz-like forces[6, 8, 9] acting on the quantum
h n dimensional column vectors and V(R) is a local n×n
system.
p matrix potential. The gauge potential
- Today, applications of geometric gauge forces in cold
nt many-body systems[10, 11] is an active and topical A≡iU†(R)∇ U(R) (3)
R
a area of research. Dressing atoms using lasers[12],
u researchers[13, 14] have been able to engineer Lorentz- where U(R) is a differentiable, single-valued, unitary
q like forces, an effect sometimes called geometric[9, 15], n×n matrix. According to definition (3) A is a pure
[
synthetic[11] or artificial magnetism[10], in ensembles of gauge[3,21]. Weposethequestion; dotheSchroedinger

2 cold atoms. It is hoped that the latter may allow re- equations (1) and (2) describe the same physics? If
v alization of novel quantum Hall physics in a quantum n=1theanswerisintheaffirmativesincethenU(R)=
8 degenerate gas. exp(−iΩ) and
2
Another possible application of geometric magnetism
9
is in the manipulation of individual neutral atoms or A≡i exp(iΩ)∇ exp(−iΩ)=∇ Ω (4)
1 R R
neutrons[15–17]. In Refs. [15, 16] we proposed how
0
. gauge forces could be exploited to construct “magnetic where Ω is a single-valued function of R. Therefore,
1 lenses”forneutralmatter. Inthispaperweelaborateon ψ(cid:48) = exp(iΩ)ψ and the physical content of Eqs (1) and
0
those observations by introducing two novel and striking (2) are identical[23], as the eigenvalues of physical op-
5
illustrations of the latter. In the first example we illus- erators, which transform in a covarient manner, are in-
1
: trate how this phenomenon allows realization of a veloc- varient under this gauge transformation. The same is
v ity sieve, a component in mass spectrometers, for beams trueforthenon-Abeliancasewheren>1,providedthat
Xi of neutral particles. In another example we consider a [U,V]=0 sincethen ψ(cid:48) =U(R)ψ. Soforthese caseswe
r quantum mechanical analog[15, 18, 19] of a field the- find that the minimal coupling of a pure gauge potential
a oretical model[18] to demonstrate topological quantum isfullyequivalenttoadescriptionwhereA=0. However
interferometry for neutral spin-1/2 systems. It’s labo- this is not the case if [A,V] (cid:54)= 0, as the amplitudes ψ,
ratory realization could have applications in topological andψ(cid:48) arenolongerrelatedbythe(single-valued)gauge
quantum computing protocols. transformation U. The conclusion follows from the fact
With some exceptions e.g. [15, 17, 20], most theoreti- that[U(R),V](cid:54)=0iftheaboveinequalityholds(seealso
cal studies, by necessity, have relied on some form of the Appendix C). The implications of this observation will
adiabatic assumption, i.e. the Born-Oppenheimer (BO) become apparent in the discussion below.
approximation. Gaugepotentialsareexplicitintheadia- Are non-trivial gauge forces an artifact of the adia-
baticpicturebutitalsoknown[21,22]thatthoseeffective batic approximation[20] ? Are singularities in the adi-
(non-Abelian) gauge potentials describe a pure gauge[3]. abatic Hamiltonian solely responsible for the emergence
of topological phases? Several interpretations[24–26] for
theoriginsofgeometricgaugeforceshavebeenadvanced.
However, compelling examples that offer fully quantum
∗ [email protected] solutions to systems in which such forces arise in the
2
adiabatic limit have largely been unavailable and, there- U(R)H U†(R),whereH (R)isann-dimensionaldi-
BO BO
fore, predictions are limited by the validity of assump- agonalmatrixwitheigenvalues(cid:15) (R),andU(R)isauni-
i
tions based on adiabaticity. tarymatrix. Inthisdiscussionweconsiderthecasewhere
In order to address questions and deficiencies in theo- n = 2, and R = (x,y) and limit H (R) to be time in-
ad
retical approaches that assume adiabaticity, we [15, 16] dependent. We require U(R) to be single-valued[30] and
introduced a wave packet propagation scheme that does express it
not require the assumptions and restrictions imposed by
U =exp(−iσ φ/2)exp(−iσ Ω/2)exp(iσ φ/2) (6)
it. The resulting time dependent solutions for the sys- 3 2 3
temsareexact, withintheboundsimposedbynumerical
where σ are the Pauli matrices, and φ,Ω are single-
i
error, and they are not compromised by issues relating
valued functions of the planar coordinates (x,y).
to the robustness of the adiabatic approximation. This
We choose, as in Ref. [15],
allows us to make definitive verdicts on the fidelity of
predictions informed by the latter, and the gauge theory π
Ω(x,y)= (1+tanh(βx))
interpretation that follows from it. 2
Inthediscussionbelowwefirstpresentthegeneralthe- φ(x,y)=LB0y (7)
oretical framework for the specific cases considered. We
where L,B ,β are constants.
introduce a 2-level system whose adiabatic Hamiltonian 0
In solving the Schroedinger equation i(cid:126)∂ψ/∂t = Hψ
is defined in such a way that there is a cancellation of
it is useful to expand ψ in the basis of the adiabatic
the effective Lorentz force with the gradient force in low
eigenstates of H . In that description we arrive at the
energy solutions to the coupled Schroedinger equation. ad
setofcoupled,Schroedinger-like,equationsforthemulti-
This cancellation is similar to that which occurs when
channelamplitudesthatareminimallycoupledtoapure,
appropriateexternalelectricandmagneticfields“select”
non-Abelian, gauge potential A(R) ≡ iU†(R)∇U(R),
the velocity of a charged particle beam. This theoret-
as well as the diagonal scalar potential matrix H
ical model illustrates how geometric magnetism could BO
whose entries are labeled by (cid:15) (R) and correspond to
be harnessed to entertain similar capabilities for neutral i
the Born-Oppenheimer energies of H . We now invoke
systems. We then focus our discussion on neutral spin- ad
the Born-Oppenheimer (BO) approximation and project
1/2 systems subjected to an external magnetic field. We
thesecoupledequationsunto,open,ground-stateBOam-
show, with the appropriate external field configuration,
plitude F(R). We get,
how such a system can exhibit topological Aharonov-
Bohm[27] (AB) behavior. Though it has been discussed
previously[15, 18, 19] within the framework of the BO
approximation, here we offer fully time dependent, cou-
pled channel, wave packet solutions without employing
assumptions based on adiabaticity. This capability al-
lows us extend the analysis to cases in which the BO ap-
proximation is no longer valid. We investigate how this
systems transitions at low energies, and one that allows
anAbeliandescriptioninwhichtheABgaugevectorpo-
tential emerges, to that in which non-Abelian features
arise. Finally, we explore the relationship of this system
to a phenomenon that occurs in molecular systems that
possess conical intersections[4, 20, 28, 29]. Atomic units
will be used throughout, unless otherwise indicated.
FIG. 1: (Color online) Classical trajectories (dotted
lines) obtained from solutions to Eq. (12) for various
II. THEORY initial velocities. Colored spheres correspond to, time
lapse, expectation values obtained from solutions of the
coupled channel quantum mechanical problem
A. Velocity sieve
generated by Hamiltonian Eq.(5). The black spheres
pass undeflected with their initial velocities.
Consider the model Hamiltonian for an atom, or n-
state, system
H =−2(cid:126)m2 ∇R2+Had(R). (5) −2(cid:126)m2 (cid:16)∇−iAP(cid:17)2F(R)+V˜BO(R)F(R)=EF(R).
R is the position operator for the atom and Had(R) is V˜BO(R)=(cid:15)2(R)+b(R)
theadiabaticHamiltonianthatgeneratesitsinternaldy- (cid:126)2
namics. Suppose it can be decomposed into the form b(R)≡ 2mA12·A12 (8)
3
where b(R) [6, 31] is related, but not equivalent, to the d2y dx
m =− H(x(t))+v H(x(t)). (12)
adiabatic[32] or Born-Huang correction[33]. Typically dt2 dt 0
the BO approximated is justified[33] if, for total (colli-
In the asymptotic region x → −∞ all forces vanish
sion) energy E, the inequalities (cid:15) (R) >> E > (cid:15) (R),
1 2 and if we take the initial condition y˙ = 0,x˙ = v ,
0
∆(cid:15) ≡ (cid:15) − (cid:15) >> b(R) are satisfied. A is a vector
1 2 P x(t) = v t + x ,y(t) = 0 is a solution to Eqs. (12).
0 0
potential and is obtained by projecting the non-Abelian
Forotherimpactparametersandvelocitiesnumericalso-
gauge potential so that A = TrPAP P ≡ |g(cid:105)(cid:104)g|,
P lution of Eq. (12) predict trajectories in which the in-
where |g(cid:105) is the ground eigenstate of H with eigen-
BO coming particle is scattered. This behavior is illustrated
value (cid:15) (R), and A is the off-diagonal component of
2 12 in Figure (1) where dashed lines represent classical tra-
A. Withthisparameterizationweobtain,fortheground
jectories superimposed on the BO potential surface (ig-
adiabatic state, an effective curvature
noring the energy gap ∆). The black line represents the
H = ∇×(cid:126)AP = solution in which an atom with initial velocity v0 propa-
(cid:126) π gates at constant velocity unimpeded. The blue and red
kˆ 4πB0Lβsech2(βx)cos(2tanh(βx)). (9) lines correspond to initial velocities slightly larger and
smaller, respectively, than v . Atoms with these veloc-
ThoughAdescribesapurenon-Abeliangaugeandsohas 0
ities are clearly scattered by the effective Lorentz and
vanishing curvature, A may have a non-trivial curva-
P gradient forces.
ture, which for a non-degenerate ground state discussed
Below we demonstrate that this behavior is shared
here has the Abelian form H ≡∇×A .
P with quantum evolution generated by Hamiltonian (5).
The classical limit for Eq. (8) corresponds to a situa-
The atom is initially in its ground state in the asymp-
tion in which the motion of the atom is governed by[6]
totic region and we propagate its amplitude using the
d2R(t) timedependentmethodgiveninRefs.[15,16]. Thepack-
m =v×H −∇V˜ (10)
dt2 BO ets are described by
where R(t) is the atom position coordinate. (cid:18) (cid:19)
f
In addition to the conventional scalar gradient force ψ ≡
g
−∇V˜ (R), (sometimes called the Hellmann-Feynman
BO
force), the atom experiences an effective velocity de- whose components obey the coupled Schroedinger equa-
pendent Lorentz force. We argued[15, 16] that such tions
forcescouldbeexploitedtoconstructeffective“magnetic
∂f (cid:126)2
lenses” for neutral atoms or neutrons. Here we under- i(cid:126) =− ∇2f +(V −b(R))f +V g
score that observation by demonstrating that both the ∂t 2m 12
induced scalar and vector forces could be used in con- ∂g (cid:126)2
i(cid:126) =− ∇2g+V∗f −(V +b(R))g (13)
junction to develop novel capabilities for the manipula- ∂t 2m 12
tionandcontrolofneutralparticlebeams. Inparticular,
where
wedescribeaneutralparticlevelocitysievethatexploits
boththevelocitydependentforcearisingfromgeometric
magnetism as well as the Hellmann-Feynman force.
V =(∆+(cid:15)(R))cos(Ω(x))
It is well know that for charged particles a velocity se-
V =exp(−iφ(y))(∆+(cid:15)(R))sin(Ω(x)).
lector can be realized by choosing a suitable geometry 12
in which a uniform magnetic field, H, induces a Lorentz (14)
forcethatcancelsthegradientforceproducedbyanelec-
In the remote past the packets have initial starting posi-
tric field, E, so that for a particle of charge q and veloc-
tions outside the interaction region with null impact pa-
ity v, vqH = qE. Pursuing this analogy we construct
rameters. InFigure(1)theblackspheresrepresentprop-
a Hamiltonian of the form given in Eq. (5) where the
agation of packets with initial velocity v . The centers
entries of the BO eigenenergies are given by, 0
of the packets track closely the classical trajectory. The
HBO =σ3((cid:15)(R)+∆)−b(R) blueandredsphereshaveinitialvelocitiesslightlygreater
(cid:15)(R)=v0yH(x) H(x)≡|H| (11) and smaller, respectively, than v0. The quantum simu-
lation illustrated in that figure clearly demonstrates the
and where ∆ is chosen to be a sufficiently large energy
proposedvelocityselectioneffectforthissystem. Though
gap so that the BO projection approximation into the
Hamiltonian(5)isasimple, timeindependent, two-state
ground state is justified. In definition Eq. (11) we have
(orqubit)system, it’sexperimentalrealizationmaypose
included a counter-term b(R) defined in Eq.(8). In the
challenges. Below we introduce another, more familiar,
BOapproximationit’spresencecancelstheadiabaticcor-
two-state system a neutral spin 1/2 system (eg. atom,
rection generated by the off-diagonal components of A.
neutron) subjected to a static external magnetic field.
With this choice, Eq. (10) becomes
In the geometry discussed below we show how geometric
d2x dy phase induced, Aharonov-Bohm like, interferometry can
mdt2 = dtH(x(t))+y(t)v0∂xH(x(t)) be realized by it.
4
B. Geometric phase, Aharonov-Bohm, 1 (cid:18) cosΩ(ρ)−1 ie−iφsinΩ(ρ)(cid:19)
A =
interferometry φ 2ρ −ieiφsinΩ(ρ) 1−cosΩ(ρ)
Ω(cid:48)(ρ)(cid:18) 0 e−iφ (cid:19)
A =− (20)
ρ 2 eiφ 0
and so,
1−cosΩ(ρ)
A =TrPAP =
P 2ρ
(cid:113)
V˜ =−µ B2+B2(ρ)+b(ρ)
BO B 0
(cid:126)2 (cid:16)sin2Ω(ρ)/2 Ω(cid:48)(ρ)(cid:17)
b(ρ)= + . (21)
2m ρ2 4
Theeffectivecurvatureforthegroundadiabaticstateis,
FIG. 2: (Color online) Time lapse illustration of a pair (cid:126)
of coherent Gaussian wave packets initially in the H ≡∇×(cid:126)AP =kˆ 2ρsin(Ω(ρ))Ω(cid:48)(ρ). (22)
ground state. At τ =0 the pair of coherent packets are
shown in the upper right and left sides of the figure. At The above analysis is relevant in studies of the motion
a later time, the packets coalesce thus creating the of cold atoms, that have a magnetic dipole moment, in
interference pattern. the vicinity of current carrying wire (or nanotube)[34].
Here we focus on a special case, that in which B(ρ) is a
constantB . Forthiscase,accordingtoEq. (22),H =0,
Consider the external magnetic field ρ
and because V (ρ) is also constant, and ignoring b(ρ)
BO
B =B(ρ)φˆ+B kˆ (15) (which is very small in the region ρ(cid:54)=0 traversed by the
0
packets), the atom does not experience either a velocity
whereφ,ρarethepolarandradialcoordinatesinacylin- dependentLorentz,orscalarforce. However,theinduced
drical coordinate system, and B0 is a constant, and we vector potential AP is not trivial and is given by
ignore motion in the z directions as it can be factored
Φ
from the planar motion. If B(ρ) = λ/ρ then Eq. (15) A =φˆ , (23)
P 2πρ
describesthefieldgeneratedbyawirewithcurrentalong
thez-axisaxissuperimposedwiththatofahomogeneous where
magnetic field B kˆ. The Hamiltonian of a neutral spin-
0 B
1/2 atom is then given by Φ=π(1−cosΩ)=π(1− 0 ). (24)
(cid:113)
B2+B2
(cid:126)2 0 ρ
H =− ∇2+µ σ·B (16)
2m B Packet propagation is again described as in Eq. (13) but
now
(alternatively, for a neutron µ is replaced by its mag-
B
netic moment). We can re-express the internal Hamilto- V =µ B
B 0
nian Had =µBσ·B as V12 =−iµBexp(−iφ)Bρ.
(cid:18) B −i exp(−iφ)B(ρ)(cid:19) (25)
H =µ 0 =
ad B i exp(iφ)B(ρ) −B
0 In order to demonstrate the proposed thesis we prop-
UH U† (17) agate two identical, coherent wave packets as shown in
BO
Figure 2. The packets are displaced from the origin and
where areallowedtopropagate,havingbeengiveninitialveloc-
(cid:18)(cid:112) (cid:19) itiesthatallowthemtocoalesce,attimeτ ,andformthe
B2+B2(ρ) 0 c
HBO =µB 0 0 −(cid:112)B2+B2(ρ) (18) interference pattern shown in that figure. In our simula-
0 tion we have first set B = 0 so that the packets prop-
ρ
and agate freely. In that case the horizontal line that passes
throughthecenterwherethetwopacketsmeet,thewave
U =exp(−iσ φ/2)exp(iσ Ω(ρ)/2)exp(iσ φ/2)(19) function has the analytic form (see Appendix A)
3 1 3
with φ, ρ, the azimuthal angle and radial distance, in a 8a2k2exp(− 2a2k2η2 )
cylindricalcoordinatesystem, respectivelyandtan(Ω)= 4a4k2+η02 cos2(kη) (26)
4a4k2π+πη2
B(ρ)/B . Thus, 0
0
where η is the horizontal coordinate, k is a scaled
A(R)≡iU†(R)∇U(R)=φˆAφ+ρˆAρ wavenumber,η0 aretheinitialdisplacementsofthepack-
ets from the origin and a is the initial width of each
5
packet. This function is plotted by the red line in Figure
(3). Inpanel(a)ofthatfigurewesuperimposethevalues,
shownbythebluecircles,obtainedinournumericalsim-
ulation. We find excellent agreement with the analytic
result Eq. (26) and validates the numerical procedure
used in this study. In panel (b) we plot the correspond
interference pattern when B ,B has the value so that
0 ρ
Ω=π/2. We notice a distinct shift in the calculated in-
terferencepatternfromthatgivenbyEq. (26). However,
a fit with the replacement in Eq. (26)
cos2(kη)→cos2(kη+Φ/4) (27)
provides an excellent approximation to the calculated
(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:72)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)a(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:76)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:72)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)b(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:76)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230) FpIaGc.k4et: p(CroopHloaargmaotniiloltionnneoi)afnFgrrgioniuvgneendshisntifatEtseqp.sro(ol1du6ut)icoendsbfoyrwthavee
(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:72)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)c(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:76)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:72)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)d(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:76)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230) mstihooniwsonafnbtyhinetthergeelearrit.givhTethmheariennf∆diomrηpeamatnbh=eeeltrw2oeΦkfeiesFniagtuhdreiespu(lp4ap)c,eeimrnaetnnhdtelloo(w3c0ear)-
FIG. 3: (Color online) (a) Cross section of the fringe patterns. It depends on the quantity Φ, which
interference pattern shown in Figure (2). Red dashed according to AB theory is given by
line represents the analytic form Eq. (26). Blue dots
(cid:90)
represent results from numerical solution for the case dr·A (31)
AB
Ω=0. (b) Blue dots represent interference cross section C
for the case Ω=π/2. (c) Same as above for Ω=π, (d)
whereC isacontourthatencirclesthepathadcbainFig-
Same as above for Ω=3π/2.
ure(4)andA isgivenbyEq.(23). Theconnectionwith
AB
ABtheory, andthetopologicalnatureofthefringeshift,
data given by the simulation. becomes evident when we shift the packet paths, so that
We now consider the propagation of the two initial adisplacedclosedcircuita(cid:48)d(cid:48)c(cid:48)b(cid:48)a(cid:48) nolongerincludesthe
packets,att=0,havingtheirverticalvelocitiesreversed fictitiousfluxtubelocatedattheorigin. Inthatcaseour
so that they propagate into the upper half plane and simulations show that the difference in the fringes at the
coalesceatapointthatisthereflectionofthecoalescence corresponding locations of b(cid:48),d(cid:48) disappear, in harmony
point shown in Figure (2). The resulting interference with the predictions of the gauge theory analysis.
pattern is illustrated in Figure (4). At the point d the In the discussion above we presented the full quantum
pattern is again well described by Eq. (26) but with the mechanicalsimulationofcoupledequations(13)inorder
replacement to derive the fringe patterns discussed above. However,
in order to gain additional insight it is useful to appeal
cos2(kη)→cos2(kη−Φ/4) (28)
to semiclassical analysis of this system. Below we show
Because Hamiltonian (16) is not invariant under reflec- how the results discussed above can be re-derived using
tionabouttheη (horizontal)axisitisnotsurprisingthat asemiclassicalframeworkintheadiabaticrepresentation
the interference pattern at point d differs from that at of Eqs. (13).
point b. It might not be as obvious that the difference is
topological in nature. According to the discussion above
the locations on the η axis where local minima occur is C. Semi-classical description of packet propagation
given by in an Abelian gauge potential
mπ Φ
η = ± (29) Consider the wave packet ψ (ξ,η,τ) defined by Eq.
m 2k 4k 1
(A1) and whose center, at τ =0, is located at point a in
where the ± sign identifies the points on the horizontal Figure(4). Weneedtopredictthepacketthatgrowsout
linespassingthroughthepointsbanddrespectivelyand of it and whose evolution is determined by the coupled
6
Schroedinger Eq.(13). Our calculation show that, under According to Eq. (A4) ψ(cid:48)(ξ,η,τ) = ψ (−ξ,η,τ) and
i i
(cid:113)
the adiabatic condition ∆/k2 >>1, ∆≡µ B2+B2, therefore,
B 0 ρ
and in the adiabatic gauge, a good approximation for it |ψ(cid:48)(d)|2 =|ψ (b)+U U(a,c)ψ (b)|2. (41)
2 W 1
at the time its center arrives at b is
So the interference pattern |ψ(cid:48)(d)|2 at the top panel in
U(a,b)ψ1(b) (32) Figure (4), differs from that at the lower panel by a,
gauge invariant, phase determined by the Wilson loop
where ψ is the free particle packet and the unitary op-
1 U , in harmony with the results obtained by the, fully
erator U(a,b) is given by W
quantal, numerical simulation.
(cid:90)
U(a,b)≈exp(i dr·A ). (33)
P
C1 (cid:72)a(cid:76) (cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230) (cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230) (cid:72)c(cid:76)
HsgtievaSrerietnmsCbial1yatrreaelyxp,aprnerasedespnseiatnocadnksep(taa2tt3ihn)b.iitnaiatneldlgyrAaclPeanlitosenrtgehdseegagmtauecgneattpao−τtbe=nthtiaa0tl, (cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)
translates along path c−b and arrives at b at τ . It can
c
be expressed (cid:72)b(cid:76) (cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230) (cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230) (cid:72)d(cid:76)
wthheesreeaψm2pilsituddefiesneadt τinU=E(cqτ,.cb)i(sψA2t1(h)be.)nTghiveencobhyertehnet esxupm(r3e4os)-f (cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)
sion
FIG. 5: (Color online) Interference fringes for energy
ψ(b)=U(a,b)ψ (b)+U(c,b)ψ (b)= defect ∆/k2 =0.1 and Ω=2π/3. Panels (a),(b) are
1 2
U(c,b)(U−1(c,b)U(a,b)ψ (b)+ψ (b))= fringes (blue points) at locations b,d (bottom,top) in
1 2
Figure (4) of text. Panels (c),(d) show fringes for
U(c,b)(U(b,c)U(a,b)ψ (b)+ψ (b))=
1 2 (excited) state selected measurements at the latter
U(c,b)(U(a,c)ψ1+ψ2(b)) (35) locations. The green vertical line is a reference line to
aid the eye in comparing fringes between the top an
where we made use of the unitary property of U and the
bottom panels. The dashed red lines correspond to
relation U(a,c)=U(b,c)U(a,b). Therefore
fringes predicted by the Abelian semiclassical theory
|ψ(b)|2 =|ψ2(b)+U(a,c)ψ1(b)|2 (36) .
Evaluating
(cid:90) Φ
U(a,c)=exp(i dr·A )=exp(−i ) (37) d d
P 2
abc
andinsertingthisintoEq. (35)weobtainexpressionEq.
(27). c a c a
We obtain an analogous relation for the case where
the momenta, along the ξ direction, of the initial wave
packetsata,carereversedsothatattimeτ thepackets C b C' b
c
meetatpointdinFigure4. Followingthestepsoutlined
above we find
FIG. 6: (Color online) Circuit C which encloses
|ψ(cid:48)(d)|2 =|ψ(cid:48)(d)+U(cid:48)(a,c)ψ(cid:48)(d)|2 (38)
2 1 fictitious flux tube (red disk), is translated to new
where ψ(cid:48) are the corresponding free-particle packets circuit C(cid:48) that does not enclose it.
i
whose ξ momenta are reversed, and
(cid:90)
U(cid:48)(a,c)=exp(i dr·A )=U U(a,c) (39)
P W
adc D. Semi-classical description of packet propagation
where U is a Wilson loop integral in a, pure, non-Abelian gauge potential
W
(cid:73)
U ≡exp(i dr·A )=exp(iΦ) (40) If the collision energy, (cid:126)2k2, is much larger than the
W P 2m
energy defect 2∆, between the Zeeman split spin states,
andtheclosed,counterclockwise,circuitenclosestheori- non-adiabatictransitionsbetweenthosestatescanoccur.
gin. Thus if the initial localized wavepacket, say at point a
7
(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)0112(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)....(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)5050(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:72)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)a(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:76)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)0000(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)....(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)2468(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:72)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)c(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:76)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230) (tn(fosh7uhr)el,olt.wdtohIipnffneedabprneyreedontdbhcb,aeeotbhtriitenilsoidtmfiydrsiiinrtsnehkgtge)eeiroccfslnaeharssiseefs(tn.ipsccI,oaenilenaApvtriaseBdndesethn,lhbstoew(roiaennrs)y.p,F(sTebiucg)hgtu,eigvroepeefslatFy(ts5)tigt)elh,urinnarieesst
650 700 750 600 650 700 750 up and no fringe shifts are evident. Panels (b),(d) of
(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)0112(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)....(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)5050(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:72)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)b(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:76)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)0000(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)....(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)2468(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:72)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)d(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:76)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230) ptfdtohhairffaenettelhralfiesetngt(eucebxerr)cse,(i(atwsderh)hdeoeiwnZnneeFtgechlmoiigegmauicbnproelarelerr(,eve5wdse)pel)top.nonroTodttbhihenaaeagbtsisiuflntioptrtriopeenrlrsofeg.eosrTsspeuihnopCnocpeurosgepfhhsaoestwfxitroceinnnirtngiaones-f
650 700 750 600 650 700 750 tionforloopC(cid:48)isclearlyanon-Abelian(ormultichannel)
feature.
FIG. 7: (Color online) Interference fringes for energy
Finally,weconsidertheextremenon-adiabaticregime.
defect ∆/k2 =0.1 and Ω=2π/3 for loop diagram C(cid:48) in In it the ratio ∆/k2 →0 and we can again employ semi-
Figure (6). Panels (a),(b) show fringes (blue points) at
classical methods[34] to predict the fringe patterns that
locations b,d (bottom,top) in Figure (6 )respectively.
aregeneratedbyourfullyquantalsimulationsandwhich
Panels (c),(d) show fringes for (excited) state selected
areshownbelow. InFigure(8)werepeatthecalculations
measurements at points b,d (bottom,top) in Figure (6)
for propagation along loop C in Figure (6) for the values
respectively. The green vertical line is a reference line to ∆/k2 = 0.007 and Ω = 2π/3. Unlike the case for the
aid the eye in comparing fringes between the top an
adiabatic and near adiabatic regimes, in which topologi-
bottom panels.
calfringeshiftsarise,panels(a),(b)ofFigure(8)clearly
demonstrate absence of the topological fringe shift. This
behavior can be explained using semiclassical methods.
in Figure (4), describes a particle in the ground Zeeman For, in that description[34] the total probability ampli-
level,itwillnotnecessarilystayinthatlevelasthepacket tude at point (b) in (4), that grows out of wave packet
evolves in time.
In the discussion above we considered the adiabatic (cid:72)a(cid:76) (cid:72)c(cid:76)
limit in which the ratio of energy defect to collision en-
etagrrrleagenycsshuiistapinolpannrreesglsesb(eoeid.rte.w.AeW∆benee/lkigsa2hrnoo>)uw>Snecddh1r.taohnIeanddti,tnehixgnaectrittlheeimdqisuiZtalitemsiepoimnitn,a(ntfl8hi)pelewpvsiiientnlhgs- (cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)
(cid:72)b(cid:76) (cid:72)d(cid:76)
gauge potential Eq. (23) and V = 0 accurately pre-
BO
wtdAiioescIntntashnbFwetriieaccgavioupkelrlsapeitsadei(coo5kntw)eh,tneapntdaaeyntnrnhdgeaeylsnmsio(isinncacsg-)Ar,laae(bnnbcedkh)leiatadwonnepnufoeppellaloso(tgotAuicrttbaehheslaelAitaairnBn2its∆)eefrde./fakeets2ruce≤rrniepcs1e-. (cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)(cid:230)
patterns, corresponding to the top and bottom regions
FIG. 8: (Color online) Interference fringes for energy
shown in Figure (4) for the collision energy correspond- defect ∆/k2 =0.007 and Ω=2π/3. Panels (a,b) fringes
ing to ∆/k2 = 0.1. Though the collision energy is suffi-
(blue points) at locations b,d (bottom,top) in Figure (4
cient to cause Zeeman level transitions, our results sug-
) respectively. Panels (c,d) fringes for (ground) state
gest that many of the Abelian features persist. First
selected measurements at points b,d (bottom,top) in
we note that there is a phase shift between the inter-
Figure (4 ) respectively. The green vertical line is a
ference patterns, for the top and bottom regions respec-
reference line to aid the eye in comparing fringes
tively, that is nearly, but not exactly, predicted by the
between the top an bottom panels. The dashed red
Abelian AB theory (which are shown in red in that fig-
lines correspond to fringes predicted by the
ure). Panels (c),(d) show the fringes, for the top and
semiclassical Abelian theory
bottom regions respectively for state-dependent proba-
.
bilities, inthiscaseforexcitationintotheupperZeeman
level. A distinct phase shift in the fringe patterns for ex- ψ (a) is approximated by the expression
1
citationisalsoseen,thoughitsstructureisnotpredicted
(cid:90)
by the Abelian theory. P exp(i dr·A)ψ (b) (42)
1
Inordertoinvestigatewhetherthesefeaturesaretopo- ab
logicalwetranslatetheloopC,showninFigure(6),into where P is a path-ordered integral, or Wilson line, along
the loop C(cid:48) and repeat the calculations described above. segment a−b, and A is the non-Abelian, pure, gauge
Because loop C(cid:48) does not enclose the fictitious flux tube potential (20). Repeating the argument outlined above
8
for the fringe shift in the adiabatic limit, we now find
that the shift depends on the Wilson loop integral
a
(cid:73)
U ≡P exp(−i dr·A) (43)
W
d b
where A is given by Eq.(20). Because A describes a
pure gauge we find that U = 1 (see Appendix C) and
W
so, unlike the case in the adiabatic regime, a fringe shift c
between the interference patterns at b,d in (4) does not
manifest. Interestingly, this is no longer true if we per-
form state dependent measurements at locations b, d in FIG. 9: (Color online) Standard, single loop, AB
thatfigure. Inpanels(c),(d)ofFigure(8)weplotthecal- inteferometry setup. Two coherent packets at origin a
culated interference patterns at those points for a state split and propagate to the mirrors at points b, d. The
selective measurement (in this case, the ground state). mirrors deflect the packets so they recombine at point c
Those fringe shifts are, again, accurately predicted by where the measurements are made.
theAbeliantheoryasillustratedbytheredlinesinthose .
panels. Furthermore, this shift is also topological, in
that the shifts vanish for loops that do not enclose the
above we find measurements at screen c are now propor-
fictitious flux tube. A detailed discussion of the origin
tional to the loop integral
and implications of this observation will be presented
elsewhere[34]. (cid:73)
P exp(i dr·A)=1. (46)
E. AB inteferometry for a single loop That is, regardless of the loop geometry, topological
fringepatternsdonotariseandthereisnotopologicalAB
shift. In summary, our calculations demonstrate that, in
Our discussions addressed AB inteferometry for se-
the adiabatic limit, solutions generated by the time evo-
tups in which interference patterns are compared follow-
lution operator Eq. (16) with the external field configu-
ingtwoindependentopen-loopmeasurements[35]. Inthe
ration Eq.(15) reproduces the standard AB fringe shift.
classical single loop AB setup, an interference pattern is
In the limit ∆/k →0, non-adiabatic transitions conspire
observed at a single screen (point c) as shown in Figure
to wash out topological AB fringes. This conclusion is
(9). In it, a wavepacket coherently splits at the origin,
consistent with that given in Ref. [18]. Neverthless, we
point a, and propagates toward the mirrors at points b,d
find here that if spin-state dependent measurements are
respectively, the packets are deflected and allowed to re-
made during traversal of the circuit, topological shifts
combineatpointcwhereameasurementistaken. Inthe
persist. This counter-intuitive observation will be dis-
calculations described above, and in the adiabatic limit
∆/k2 >> 1, we found that (i) the wave packets propa- cussed in more detail elsewhere[34].
gate as a free particle, (ii) in the journey along curve C
the packets acquire, in addition to the standard dynam-
III. AB SCATTERING
ical the phase factor, the phase
(cid:90)
Intheprevioussectionwepresentedanoutlineforelic-
exp(i dr·A ). (44)
P
itingAB-liketopologicaleffects,forneutralspin1/2par-
C
ticles,inaninterferometrysetup. Instandardtreatments
Using Eq. (44) for the paths a−b−c and a−d−c we
e.g. [36, 37], the AB effect is discussed in the context of
find that measurements at the screen will be a function
a scattering scenario and so it is instructive to analyze
of the path integral, along the closed loop,
the dynamics generated by Hamiltonian Eq.(16) in this
(cid:73) framework. In Ref.[18] a Born-Oppenheimer approxima-
exp(i dr·AP). (45) tion was used to obtain an equation for the ground state
amplitude(inafieldtheoreticanalogofthissystem),and
Ifthatloopenclosesthefictitiousfluxtubethenitsvalue in which, the vector potential A emerges. Standard
AB
is exp(iΦ), otherwise it has unit value. Therefore this time independent methods were applied to demonstrate
setup exhibits topological properties consistent with AB AB -like scattering. A BO approximation was also used
theory. In the extreme non-adiabatic limit ∆/k2 << 1 in Ref.[19] in order to suggest that AB -like scattering
our calculations again demonstrate the validity of prop- arises in systems described by Hamiltonian (16).
erties(i),(ii),withtheexceptionthat“freeparticle”evo- Here we apply time dependent wave propagation in
lution is that of a two-component wavefunction and the order to demonstrate AB scattering. However, there are
phasefactormultiplyingitisamulti-channelunitaryma- two obstacles that prevent us from simulating pure AB
trix Eq. (42). Therefore, repeating the analysis given scattering in the Frauenhofer region. The latter requires
9
propagation of a wave packet from the distant remote conditions that correspond to an incoming packet in the
past, to the distant future. This is numerically unten- asymptotic region in the remote past that subsequently
able. Inaddition,thewavepackettraversesaregionnear scatters off the cylinder. Typically this wave function is
the origin where singular couplings between the ground used to derive the scattering amplitude in the Frauen-
an excited adiabatic states arise[34]. We by-pass these hofer region, but here we use it to find the, time inde-
difficultiesbyplacinganimpenetrablehard-cylindersur- pendent,probabilityamplitudeattheobservationscreen
rounding the origin and introducing a diagonal counter shown in Fig. (10). In Figure (12) the dashed blue line
(cid:80)
term b (R)= A ·A , as shown in Eq. (13). represents the case Φ = 0 (i.e. no AB flux tube), and
ii i(cid:54)=j ij ji
At initial time t we introduce a finite slab-like wave the red line by the Φ = π case. The latter corresponds
0
packet shown by the illustration in Figure 10. It pro- to maximal AB scattering. As in Fig (12), differences in
ceeds with a mean initial velocity toward the impenetra- the probability distributions are most evident near the
blecylinderrepresentedinthatillustrationbytheorange η ≈0 line. Because the incident amplitude extends from
coloreddisk. Thewavepacketispropagatednumerically −∞<η <∞, Fresnel type interference patters at larger
solving coupled equations (13). The packet mean mo- η manifest here and which are not present in Fig. (12).
mentum is chosen so that the inequality ∆/k2 >> 1 is However, there is qualitative agreement between the two
satisfied. At a later time t Figure 10 illustrates how descriptions near the forward direction, in that a strong
1
the packet diffracts around the cylinder. Subsequently, suppression of the Poisson spot is evident when the AB
at t , the forward scattering probability density reaches flux tube has the value Φ=π.
2
a detector shown by the red dashed line in that figure. In summary we have demonstrated that solutions of
Eq. (13) do exhibit the features that arise in standard
In Figure 11 we present a high resolution plot for the
AB scattering for the collision energy range ∆/k2 >>1.
imaginary part of the wave packet amplitude, at time
t , for the two cases where Ω = 1/2 (left panel) and
2
Ω = 0 (right panel) respectively. With Ω = 0 Eqs.
(13) decouple,and the ground state amplitude satisfies
thefreeparticleSchroedingerequationinthepresenceof
aimpenetrablecylindercenteredattheorigin. Theright
t
0
handpanelofFigure11illustratesboththereflectedand
transmitted components, including interference between t
1
the two, of the packet as it is scattered by the cylinder.
Inthelefthandpanelweplotthesameamplitudeexcept
wesettheparameterΩ=1/2inEq. (14). Itcorresponds
t
2
to the case where Φ=π in Eq. (23). The plot is almost
identical to the one obtained for Ω = 0, except for the
striking phase dislocation[36], running along a line bi-
secting the cylinder in the forward scattering direction.
This phenomenon is well know in pure AB scattering[36]
FIG. 10: (Color online) Time series plot of the
and,forthecaseΦ=π,isamanifestationofanodalline
probability density for an initial wavepacket at t that
fortheamplitudealongthephasedislocationline. Berry 0
propagates toward the impenetrable cylinder (orange
et al.[36] argued that phase dislocation in pure AB scat-
disk) and is scatterd by it. The red dashed line
tering, though not a physical observable, is a topological
represents a detection screen.
invariant. In Figure (12) we plot the probability ampli-
tude at the observation panel at time t , shown by the
2
line in Fig. (10), for both cases Ω = 0, the blue dashed
line, and Ω = 1/2 by the solid red line. Both probabil-
ity distributions are similar except along the line near IV. RELATION TO THE MOLECULAR AB
η = 0 in that figure. Both cases exhibit the “shadow” EFFECT
cast in the forward direction by the cylinder, the Ω = 0
plot show a small enhancement directly ”downwind”, at A gauge potential equivalent to Eq. (23) (for Φ =
η =0,fromthecylinder. Itcorrespondstothe1Danalog π) was introduced by Mead and Truhlar [4] in order to
ofthecelebratedPoissonspot[38,39]thatoccurswhena describe molecular dynamics near a conical intersection.
wavefrontdiffractsaboutacircularobstacle. Theredline In this section we explore the relationship between that
in Fig. (12), which corresponds to the case where Φ=π phenomenon,oftencalledthemolecularAharonov-Bohm
in AB scattering and which shows a strong suppression (or MAB) effect, and AB-like scattering described in the
of this spot. previous section. It has long been taken for granted, in
Finally, we compare the results shown in Fig. (12) themolecularphysicscommunity,thatdegeneracyinthe
with those obtained in a time independent description. formofaconicalintersectionsisanessentialrequirement
In appendix B, we construct the wave functions used in for topological effects induced by a vector potential to
astandardscatteringtheoryscenario. Itobeysboundary arise. However, no degeneracy in the physical parameter
10
FIG. 11: (Color online) Plots of the imaginary part of
the ground state amplitude at time t2 shown in Figure (cid:45)6 (cid:45)4 (cid:45)2 Η0 2 4 6
(10). Right panel corresponds to case Φ=0, scattering
by an impenetrable cylinder. The left panel corresponds FIG. 13: (Color online) Dashed blue line is a plot of
to the case Φ=π, maximal AB scattering by an |ψ|2 along the η axis, corresponding to the detection
impenetrable cylinder. screen shown in figure (10), for solution to Eq. (B1)
with Φ=0. It corresponds to time independent
scattering from an impenetrable cylinder at the origin.
The red solid line corresponds to the case Φ=π,
maximal AB scattering by an impenetrable cylinder.
Hilbertspaceoperator,whichinthevicinityoftheinter-
section is given by[28]
(cid:18) (cid:19)
x y
H = . (47)
ad y −x
(cid:112)
The eigenvalues of H are ± x2+y2 and correspond
ad
to first excited and ground states, respectively, of the
electronicHamiltonian. Weapproximatethevibronicki-
(cid:45)6 (cid:45)4 (cid:45)2 Η0 2 4 6 (cid:16) (cid:17)
netic energy operator H =−(cid:126)2 ∂2 + ∂2 where µ
KE 2µ ∂x2 ∂y2
FIG. 12: (Color online) Dashed blue line is a plot of is a reduced atomic mass. Therefore,
the time dependent probability density, at t2 and for (cid:126)2(cid:16) ∂2 ∂2 (cid:17)
Φ=0, along the η axis corresponding to the red dashed H =− + +H (48)
2µ ∂x2 ∂y2 ad
line shown in Figure (10). The red solid line
corresponds to the case Φ=π, maximal AB scattering and has the form given by Eq. (5).
by an impenetrable cylinder. BecauseH isreal,Longuet-HigginsandHerzberg[29]
ad
constrained its eigenstates to be real-valued and found
(cid:18) (cid:19)
−sinφ/2
spaceR isevidentintheBOHamiltoniandefinedinEq. |Φg(cid:105)= cosφ/2 =U˜(φ)|g(cid:105)
(18) as B ,B are taken to be constant. This dichotomy
0 ρ (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
presents a certain amount of cognitive dissonance and so U˜(φ)= cosφ/2 −sinφ/2 |g(cid:105)= 0 , (49)
deserves closer examination. sinφ/2 cosφ/2 1
Consider a tri-atomic system that possesses a conical
where|Φ (cid:105)isthegroundadiabaticelectronicstate. They
intersection at the origin of a parameter space that is g
noted that it is multivalued, as its value changes sign in
spanned by a set of nuclear internal coordinates x,y.
traversing a circuit from φ=0 to φ=2π. The total sys-
Typically they represent various linear combinations of
temamplitudeψ mustbesinglevaluedandsoinaBorn-
the squares of internuclear distances between the three
Oppenheimer approximation in which ψ = F(x,y)|Φ (cid:105),
nuclei[4] in a planar configuration. In this coordinate g
the vibronic amplitude F(x,y) must undergo a compen-
system the azimuthal angle φ is called the pseudorota-
sating sign change. That argument was used by Mead
(cid:112)
tion and ρ = x2+y2 measures distortions from an
and Truhlar to invoke the minimal coupling of the vi-
equilateral triangle configuration of nuclei. We describe
bronic motion, in Eq. (48), with a vector potential given
the system by an amplitude ψ(x,y,r) where r are elec-
by
tronic coordinates. If the electronic, or fast, coordinates
areintegratedoutonecanapproximatetheadiabatic, or φˆ
A = . (50)
electronic, Hamiltonian as a truncated two-dimensional MAB 2ρ