Geometric Complexity Theory, Tensor Rank, and Littlewood-Richardson Coefficients

213 Pages·2013·2.104 MB·English

by  Christian Ikenmeyer

Fakult¨at fu¨r Elektrotechnik, Informatik und Mathematik
Institut fu¨r Mathematik
33098 Paderborn
Geometric Complexity Theory, Tensor Rank,
and Littlewood-Richardson Coefficients
Dissertation
zur Erlangung des Doktorgrades
der Fakult¨at fu¨r Elektrotechnik, Informatik und Mathematik
der Universit¨at Paderborn
vorgelegt von
Christian Ikenmeyer
Paderborn, den 18. Oktober 2012
u¨berarbeitete Version vom 7. Januar 2013
Betreuer: Prof. Dr. Peter Bu¨rgisser
Gutachter: Prof. Dr. Johannes Bl¨omer
Prof. Dr. Peter Bu¨rgisser
Prof. Dr. Joseph M. Landsberg

iii
Abstract
WeprovideathoroughintroductiontoGeometricComplexityTheory,anapproach
towards computational complexity lower bounds via methods from algebraic ge-
ometry and representation theory. Then we focus on the relevant representation
theoretic multiplicities, namely plethysm coefficients, Kronecker coefficients, and
Littlewood-Richardsoncoefficients. Thesemultiplicitiescanbedescribedasdimen-
sions of highest weight vector spaces for which explicit bases are known only in the
Littlewood-Richardson case.
By explicit construction of highest weight vectors we can show that the border
rankof𝑚×𝑚matrixmultiplicationisaleast 3𝑚2−2andtheborderrankof2×2
2
matrix multiplication is exactly seven. The latter gives a new proof of a result by
Landsberg (J. Amer. Math. Soc., 19:447–459, 2005).
Moreover, we obtain new nonvanishing results for rectangular Kronecker coeffi-
cientsandweproveaconjecturebyWeintraub(J.Algebra,129(1): 103–114,1990)
about the nonvanishing of plethysm coefficients of even partitions.
Ourin-depthstudyofLittlewood-Richardsoncoefficients𝑐𝜈 yieldsapolynomial
𝜆𝜇
timealgorithmfordeciding𝑐𝜈 ≥𝑡intimepolynomialin𝑛andquadraticin𝑡,where
𝜆𝜇
𝑛 denotes the number of parts of 𝜈. For 𝑡 = 1, i.e., for checking positivity of 𝑐𝜈 ,
𝜆𝜇
we even obtain a running time of 𝑛3log𝜈 .
1
Moreover, our insights lead to a proof of a conjecture by King, Tollu, and
Toumazet (CRM Proc. Lecture Notes, 34, Symmetry in Physics: 99–112), stat-
ing that 𝑐𝜈 =2 implies 𝑐𝑀𝜈 =𝑀 +1 for all 𝑀 ∈N.
𝜆𝜇 𝑀𝜆𝑀𝜇
Zusammenfassung
Diese Arbeit fu¨hrt gru¨ndlich in die Geometrische Komplexit¨atstheorie ein, ein
Ansatz, um untere Berechnungskomplexit¨atsschranken mittels Methoden aus der
algebraischen Geometrie und Darstellungstheorie zu finden. Danach konzentrie-
ren wir uns auf die relevanten darstellungstheoretischen Multiplizit¨aten, und zwar
auf Plethysmenkoeffizienten, Kronecker-Koeffizienten und Littlewood-Richardson-
Koeffizienten. Diese Multiplizit¨aten haben eine Beschreibung als Dimensionen
von H¨ochstgewichtsvektorr¨aumen, fu¨r welche konkrete Basen nur im Littlewood-
Richardson-Fall bekannt sind.
Durch explizite Konstruktion von H¨ochstgewichtsvektoren k¨onnen wir zeigen,
dass der Grenzrang der 𝑚×𝑚 Matrixmultiplikation mindestens 3𝑚2−2 ist, und
2
der Grenzrang der 2×2 Matrixmultiplikation genau sieben ist. Dies liefert einen
neuen Beweis fu¨r ein Ergebnis von Landsberg (J. Amer. Math. Soc., 19:447–459,
2005).
Desweiteren erhalten wir Nichtverschwindungsresultate fu¨r rechteckige
Kronecker-Koeffizienten und wir beweisen eine Vermutung von Weintraub
(J.Algebra,129(1):103–114,1990)u¨berdasNicht-VerschwindenvonPlethysmen-
koeffizienten von geraden Partitionen.
Unsere eingehenden Untersuchungen zu Littlewood-Richardson-Koeffizien-
ten 𝑐𝜈 ergeben einen Polynomialzeitalgorithmus zum Entscheiden von 𝑐𝜈 ≥ 𝑡
𝜆𝜇 𝜆𝜇
mit Laufzeit polynomiell in 𝑛 und quadratisch in 𝑡, wobei 𝑛 die Anzahl der Teile
von 𝜈 ist. Fu¨r 𝑡=1, also zum Testen der Positivit¨at von 𝑐𝜈 , bekommen wir sogar
𝜆𝜇
eine Laufzeit von 𝑛3log𝜈 .
1
Daru¨berhinausfu¨hrenunsereEinsichtenzueinemBeweiseinerVermutungvon
King, Tollu und Toumazet (CRM Proc. Lecture Notes, 34, Symmetry in Physics:
99–112), welche besagt, dass aus 𝑐𝜈 = 2 immer 𝑐𝑀𝜈 = 𝑀 +1 fu¨r alle 𝑀 ∈ N
𝜆𝜇 𝑀𝜆𝑀𝜇
folgt.

v
2010MathematicsSubjectClassification. 05C21,20C30,20G05,68Q17,14L24.
ACM Categories and Subject Descriptors F.2.1 [Analysis of Algorithms and
Problem Complexity]: Numerical Algorithms and Problems – Computations on polyno-
mials; F.1.3 [Computation by abstract devices]: Complexity Measures and Classes
Key words and phrases. Geometric Complexity Theory, permanent versus deter-
minant,tensorrank,matrixmultiplication,Kroneckercoefficients,Littlewood-Richardson
coefficients, plethysm coefficients
Acknowledgments
First and foremost, I would like to express my deepest gratitude to my advisor
Prof. Dr. Peter Bu¨rgisser without whose enduring support and constant advice
this work would never have been possible. I benefitted tremendously from our
long, intense, and invaluable discussions. I also want to thank Prof. Dr. Matthias
Christandl very much, a quantum information theorist from whose pragmatic view
on representation theory I benefitted greatly and with whom I had many very
fruitfuldiscussions,whichresultedinjointpublications. Furthermore,IthankProf.
Dr.JosephM.LandsbergandProf.Dr.EikeLaufortheircarefulreadingandtheir
useful suggestions regarding Part I.
I thank the Center for Computational Intractability in Princeton for organizing
theworkshopinGeometricComplexityTheoryinthesummerof2010. Ialsothank
the National Science Foundation for inviting me to participate in the Mathematics
ResearchCommunity“GeometryandRepresentationTheoryRelatedtoGeometric
ComplexityandOtherVariantsofPv.NP”inthesummerof2012. Bothworkshops
were extremely stimulating and some of the results of this thesis were discussed
there.
I am also indebted to my colleagues Dr. Dennis Amelunxen, Jesko Hu¨ttenhain,
and Stefan Mengel, not only for their enjoyable moral support, but also for all the
long, deep and interesting mathematical discussions we shared.
This work would not have been possible without the generous financial support
(DFG-grants BU 1371/3-1 and BU 1371/3-2) of the Deutsche Forschungsgemein-
schaft, to which I hereby express my gratitude.
Last, but certainly not least, I want to say thank you to my parents, for their
loving support in all areas of life.
Eidesstattliche Erkl¨arung Hiermit versichere ich, dass ich die folgende Arbeit
selbstst¨andigverfasstundkeineanderenalsdieangegebenenQuellenalsHilfsmittel
benutzt sowie Zitate kenntlich gemacht habe.
Paderborn, den 7.1.2013
Christian Ikenmeyer

vii
Wenn nicht der Herr das Haus baut,
mu¨ht sich jeder umsonst, der daran baut.
Ps. 127, 1

Contents
1 Introduction 1
1.1 Main Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Outline and Further Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2(A) Part I: Geometric Complexity Theory . . . . . . . . . . . . 4
1.2(B) Part II: Littlewood-Richardson Coefficients . . . . . . . . . 5
I Geometric Complexity Theory 7
2 Preliminaries: Geometric Complexity Measures 9
2.1 Circuits and Algebraic Complexity Theory. . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Completeness and Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Approximating Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Complexity of Bilinear Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Tensor Rank and Border Rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6 Summary and Unifying Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Preliminaries: The Flip via Obstructions 23
3.1 Classical Algebraic Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Linear Algebraic Groups and Polynomial Obstructions . . . . . . . . 25
3.3 Representation Theoretic Obstructions . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Coordinate Rings of Orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4(A) Geometric Invariant Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4(B) Peter-Weyl Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Preliminaries: Classical Representation Theory 33
4.1 Young Tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Explicit Highest Weight Vectors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2(A) Polarization, Restitution, and Projections . . . . . . . . . . 39
4.2(B) Schur-Weyl Duality and Highest Weight Vectors . . . . . . 40
4.3 Plethysm Coefficients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3(A) Plethysm Coefficients and Weight Spaces . . . . . . . . . . 44
4.4 Kronecker Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.5 Littlewood-Richardson Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 Coordinate Rings of Orbits 55
5.1 Stabilizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1(A) Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1(B) Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2 Branching Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2(A) Unit Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2(B) Determinant, Permanent and Matrix Multiplication . . . . 59
5.3 Inheritance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
ix
x CONTENTS
5.3(A) Generic Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4 Stability and Exponent of Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6 Representation Theoretic Results 65
6.1 Kernel of the Foulkes-Howe Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 Even Partitions in Plethysms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.3 Nonvanishing of Symmetric Kronecker Coefficients . . . . . . . . . . 70
6.3(A) Moment Polytopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.3(B) Asymptotic Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7 Obstruction Designs 75
7.1 Set Partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.2 Obstruction Designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.3 Symmetric Obstruction Designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.4 Reduced Kronecker Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8 Explicit Obstructions 89
8.1 Some Computations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.1(A) Orbit-wise Upper Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.1(B) Regular Determinant Function . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.2 𝑚×𝑚 Matrix Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.2(A) Vanishing on the Unit Tensor Orbit . . . . . . . . . . . . . 93
8.2(B) Evaluation at the Matrix Multiplication Tensor . . . . . . . 94
8.3 Further Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.3(A) Orbit-wise Upper Bound Proof . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.3(B) 2×2 Matrix Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9 Some Negative Results 105
9.1 SL-obstructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.2 Cones and Saturated Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
II Littlewood-Richardson coefficients 109
10 Hive Flows 113
10.1 Flow Description of LR Coefficients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
10.1(A) Flows on Digraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
10.1(B) Flows on the Honeycomb Graph 𝐺 . . . . . . . . . . . . . . 114
10.1(C) Hives and Hive Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
10.2 Properties of Hive Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
10.2(A) The Support of Flows on 𝐺 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
10.2(B) The Graph of Capacity Achieving Integral Hive Flows . . . 120
10.3 The Residual Digraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10.3(A) Turnpaths and Turncycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10.3(B) Flatspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
10.3(C) The Rerouting Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11 Algorithms 133
11.1 A First Max-flow Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
11.2 A Polynomial Time Decision Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . 134
11.3 Enumerating Hive Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
11.4 The Neighbourhood Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
11.4(A) A First Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11.4(B) Bypassing the Secure Extension Problem . . . . . . . . . . 140