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Y A R T E
DAVID WADE
Influencias matemáticas durante el Renacimiento
Librero
Título original: Geometrj &Art INDICE
© 3017 Librero b.v. (edición española),
Postbus 73, 533o AB Kerkdriel,
Nota del autor 6
Países Bajos
© Alexian Limited 2015 LA BELLEZA DIVINA DE LA GEOMETRÍA 9
©Texto: DavidWade 3015
Los orígenes clásicos de una idea irresistible 10
Diseño del interior: Roger Walton El continuo platónico en el mundo clásico tardío 14,
Studio La custodia bizantina e islámica del conocimiento
Producción de la edición española: griego clásico 17
DeliveringiBooks & Design, Barcelona Pérdida y recuperación parcial 33
Traducción: Montserrat Ribas para
Los primeros traductores 24
DeliveringiBooks & Design
El neoplatonismo y su influencia en el arte
Distribución exclusiva de la edición medieval europeo 2,6
española:
Ediciones Librero S. L. El neoplatonismo y su influencia
Paseo del Pintor Rosales, 3? en el arte islámico ?8
38008 Madrid
España
Printed in Slovenia /Impreso en
EL RESURGIMIENTO DEL OCCIDENTE
Eslovenia
LATINO 35
ISBN 978-90-8998-499-9
Florencia en el Quattrocento 36
Todos los derechos reservados. Ninguna
La medición del mundo: cosmografía renacentista 41
parte de esta obra se puede reproducir,
almacenar o transmitir de forma o por Florencia y la invención de la perspectiva 46
medio alguno, sea este electrónico, Nuevas maneras de ver: lentes y cámara oscura 50
mecánico, por fotocopia, grabación o
El cosmos geométrico 52
cualquier otro, sin la previa autorización
escrita de los titulares de los derechos. Piero della Francesca 61
Paolo Uccello 65
Página %: detalle de un armario
taraceado, Núremberg, Alemania, Geometría, proporción e «Istoria»
siglo XVI. en el Quattrocento 68
Luca Pacioli 74
De Divina Proportione 76
Leonardo daVinciy la geometría 78
Proporción armónica de la figura humana 84
Geometría y proporción en la forma de las letras 88
Ciudades ideales del Benacimiento 92
Andrea Palladio y las proporciones armónicas 98
Geometríay las artes liberales 103 La Kunstkammer de Dresde 172
Motivos geométricos de la taracea italiana 104 Contribuidores alemanes tardíos 174
Paul Pfmzing 176
Peter Halt (fl. 1629-1653) 182
LA GEOMETRÍAY EL RENACIMIENTO Johannes Kepler: matemático celestial 184
NÓRDICO 109 Motivos geométricos de la taracea alemana 190
Matemáticas, geometría y perspectiva al norte
de los Alpes 110
LA CONTINUA INFLUENCIA
Alberto Durero: artista, humanista y geómetra 116
DE LA GEOMETRÍA i93
Los patrones de nudos de Durero y Leonardo 124
Las formas geométricas de la figura humana 126 Tratados tardíos sobre geometría y perspectiva
Núremberg: primer centro moderno de en Italia 194
iniciativas y cultura 138 El mazzocchio 200
Impresión y edición en el Renacimiento i3o Geometría esotérica, arcana y oculta 202
La versión de Ratdolt de los Elementos De Vries, el barroco y el declive del uso imaginativo
de Euclides i33 de la geometría 208
Tratados sobre geometría en la Alemania Geometría y simetría en el diseño de jardines
de la década de 1500 185 renacentistas 212
Los popularizadores: Rodler, Hirschvogel La forma y la estructura de los cristales 216
y Lautensack i38 Conclusión 219
Tratados de geometríay perspectiva
LOS POLIEDROS Y LA IMAGINACIÓN de los siglos xv-xvii 220
CREATIVA i39 Lecturas adicionales 221
índice analítico 222
Los geómetras creativos alemanes 142
Créditos fotográñcos 224
Wenzel Jamnitzer 144
Lorenz Stoer 152
Anónimo (h. 1565-1600): Geometrische und
perspektivische 160
Johannes Lencker 164
Letras y perspectiva: Perspectiva literaria 168
I
L a
BELLEZA DIVINA
de hi
GEOMETRÍA
«Platón admiró tanto la geometría básica
de los poliedros, que era incapaz de imaginar
que Dios no los utilizara».
Morris Kline, Mathematics in Western Culture
IZQUIERDA: Occidental y árabe realizando prácticas matemáticas,
manuscrito del siglo XIV.
LOS ORIGENES CLASICOS
DE UNA IDEA IRRESISTIBLE
PITÁGORAS, PLATÓN YSU LEGADO llegaron a creer que los números y las proporciones
La irresistible idea de que «el número lo es todo», constituían los elementos primordiales de la natura
que las matemáticas son el fundamento y que, leza, y por ello se centraban en los casos donde estos
por tanto, constituyen la clave para comprender en eran más evidentes, como en las proporciones de las
profundidad el mundo, se suele atribuir al ñlósofo escalas musicales. También estaban muy interesa
presocrático Pitágoras. Aunque constituye una figura dos en las ñguras geométricas, alas que atribuían
legendaria y en cierto modo misteriosa, con tenden propiedades místicas, así como en los números y las
cia a acumular mitos, no hay duda de que existió. Se proporciones. Al parecer, creían que los números y
cree que nació en la isla de Samos y que se estableció la forma tenían un tipo de vida y existencia propias,
sobre el año ^31 a. G. en el sur de Italia, donde fundó separadas del mundo, y desarrollaron una compleja
una escuela de filosofía cuasi religiosa. Aunque se cosmología en la que algunos de ellos se identifica
desconocen los detalles de las tempranas creencias ban con dioses. Sus especulaciones en el campo de la
de los pitagóricos, parece ser que se aplicaban en geometría estaban por tanto ligadas a la contempla
el estudio de la músicaylas matemáticas. Sulegado ción de lo trascendente, lo que bajo su punto de vista
más duradero son sin duda alguna los descubrimien constituía una forma de plegaria. Más trascendental
tos que realizaron en esos campos. Según Aristóteles, aún para el futuro pensamiento europeo: sus ideas
conservaron su atractivo. La escuela fundada por
Pitágoras perduró durante más de un milenio, y mu
chos de sus preceptos fueron adoptados por Platón e
incorporados a su visión filosófica.
La influencia de esta corriente de pensamiento
queda manifiesta en uno de los diálogos más nota
bles de Platón, el Timeo, escrito en el año 36o a. C.
Siguiendo la enseñanza pitagórica, Platón diferencia
lo físico, sujeto al cambio y la descomposición, de lo
ARRIBA: Pitágoras y Platón en el fresco de Rafael represen eterno, que consiste en formas puras e inmutables.
tando a los filósofos griegos, Palacio Apostólico Vaticano.
Sin embargo, el mundo físico deriva de lo eterno
Platón sostiene su diálogo Timeo, la fuente primordial de
sus especulaciones sobre la naturaleza del mundo físico. —aunque los detalles de cómo eso ocurre son algo
10 LA BELLEZA DIVINA DE LA GEOMETRÍA
imprecisos—, y en última instancia se compone de resultaba difícil distinguir entre ellos. Pero la noción
partículas elementales. Estas son de cuatro tipos, de la importancia de ciertos valores proporcionales y
que corresponden a los cuatro elementos del mundo la creencia de que las formas geométricas poseían una
clásico: tierra, aire, fuego y agua. Los elementos, perfección atemporal perduraron, y fueron fuente de
a su vez, se identificaban con los cuatro primeros inspiración tanto para las artes como para las cien
sólidos regulares: tierra = cubo, aire = octaedro, cias. De hecho, la idea de que las formas aritméticas
fuego = tetraedro y agua = icosaedro. La quinta de y geométricas podían ofrecer la vía para una com
esas figuras regulares —que se denominaron sólidos prensión de la auténtica naturaleza del cosmos, se
platónicos—, el dodecaedro, se asociaba con el convirtió en un principio fundamental de la cultura
propio cosmos. Con el tiempo, las teorías de Platón occidental. Esta es, al fmy al cabo, la asunción básica
quedaron tan ligadas a los preceptos pitagóricos que de la ciencia.
FIGURAS PITAGORICAS
Los pitagóricos interpretábanlos números como patro consideraba muchas de sus explicaciones en exceso
nes de puntos compuestos por «figuras» características. rebuscadas. Al igual que muchos numerólogos a lo largo
La más importante era la tetmktys, la ñgura triangular de de los tiempos, eran propensos a modiñcar los hechos
cuatro ñlas cuyos componentes suman el número per para que encajaran con sus ideas: «Si faltaba algo para
fecto de diez, sobre el que se hacían juramentos. Apartir completar sus teorías, rápidamente lo encontraban».
de ahí y de otros grupos de polígonos simples, fueron Pero a pesar de las excentricidades de algunas de sus
progresando hacia otras series tridimensionales como la visiones cosmológicas, sus teorías tenían un peso consi
cúbica, la tetraédricay la piramidal. derable, en especial su afirmación fundamental de que
Posteriormente Aristóteles criticó a los pitagóri las matemáticas son la base de todo, y que la geometría
cos por su obsesión por los números, y está claro que es la expresión más elevada de las matemáticas.
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LOS ORIGENES CLASICOS DE UNA IDEA IRRESISTIBLE
PLATONISMO Y GEOMETRÍA Los escritos de Platón tienen un carácter lúdico
El platonismo se basa en primer lugar en los propios y están formados por diálogos (básicamente deba
escritos de Platón, la mayoría de los cuales han so tes), que le permitían presentar una variedad de
brevivido, y en sus enseñanzas y las de sus seguido propuestas que no son del todo sistemáticas. Aunque
res de las numerosas escuelas de filosofía sucesivas. las ideas presentadas son examinadas y cuestionadas
Esto significa que, aunque sin duda existía una a fondo, se comunican de forma indirecta median
tradición «platónica», con el tiempo el término ya te varios interlocutores. A pesar de ello, su gran
no equivalía a un conjunto consecuente y coherente preocupación por la poca fiabilidad de los sentidos,
de ideas. De hecho, el platonismo y el neoplatonismo la transitoriedad del mundo observable y la nece
llegaron a significar cosas distintas en diferentes sidad de establecer definiciones exactas e hipótesis
épocas (véase el recuadro de la pág. i3). claras para ello, contribuyeron en gran manera a la
De todos modos, el núcleo esencial del pensa tradición occidental del pensamiento matemático y
miento de Platón persistió. Se basaba en la noción al método científico.
de la existencia independiente de conceptos abstrac *
tos, y de que el mundo fenoménico tan solo constitu En La República Platón asevera que «la geometría
ye una pobre imitación o una ligera aproximación al atrae el alma hacia la verdad y crea el espíritu de la
mundo de las ideas, que es eterno y perfecto. Platón filosofía», y en el Filebo aparece su maestro Sócrates
sentía que esas Ideas o Formas no se podían apre explicando la relación particular entre geometría
hender directamente con los sentidos, sino que solo y belleza: «Por belleza de las figuras no entiendo
se podían determinar alejándose del «mundo de las lo que muchos se imaginan, por ejemplo, cuerpos
sombras» de las impresiones sensoriales y acer hermosos, bellas pinturas; sino que entiendo por
cándose a una conciencia interior, y que ese proceso aquella lo que es recto y circular, y las obras de este
podía desvelar los secretos del universo. La geo género, planas y sólidas, así como las hechas con
metría ocupaba un lugar en dicho proceso. Platón, compás, regla y escuadra. Porque sostengo que
como Pitágoras antes que él, sentía fascinación por estas figuras no son como las otras, bellas por
las relaciones puras y precisas entre figuras geomé comparación, sino que son siempre bellas en sí
tricas, especialmente los sólidos, y llegó a identificar por su naturaleza».
esas figuras con conceptos de perfección espiritual.
Es bien conocido que en su escuela, la Academia,
se exhibía un rótulo que proclamaba «Que ningún
ignorante de la geometría cruce esta puerta», y en su
diálogo Timeo, donde expone sus especulaciones cos
mológicas, declara que «Dios siempre geometriza»
y «la geometría existía antes de la Creación».
12 LA BELLEZA DIVINA DE LA GEOMETRÍA
LA ACADEMIA ATENIENSE
En el año 387 a. G. Entre los seguidores posteriores podemos citar al
Platón fundó su matemático y astrónomo Eudoxo y a los ñlósofos Arcesi-
Academia en Atenas. laoy Garnéades.
Es probable que en la Tras la muerte de Platón, la Academia y el «platonis
época de Platón dicha mo» se vieron dominados por teorías filosóficas inno
sociedad no propu vadoras y más evolucionadas, primero el escepticismo
siera un conjunto de y a continuación el estoicismo. Al ñnal prevaleció una
doctrinas en especial forma de eclecticismo que adoptó lo que se considera
o que no tuviera un ban los aspectos más razonables de las diversas filosofías
programa predeterminado, sino que más bien se daban rivales, y así es como se siguió enseñando el platonismo
charlas sobre una variedad de temas que después se hasta y durante la época romana.
debatían haciendo hincapié en el método dialéctico de Aunque logró sobrevivir a la conquista romana y a
la argumentación lógica. A juzgar por el contenido y la la revuelta ateniense del año 88 a. C., el destino de la
extensión de los diálogos platónicos, en la Academia Academia quedó sellado por los eventos políticos que
ateniense se enseñaban matemáticas, ñlosofía natural afectaban a Atenas. Los diádocos o sucesores de Platónla
(protociencia) y política. Entre los más ilustres de sus revitalizaron hasta cierto punto, pero por ñn el empera
primeros alumnos se encuentran Aristóteles y Herácli- dor cristiano bizantino Justiniano la clausuró en el año
des Póntico-, luego el primero pasó a fundar su propia 529, en un acto de represión que se ha descrito como
institución educativa, el Liceo. «el ñnal de la Antigüedad».
ARRIBA: en su diálogo Timeo, Platón identiñcó los cuatro triángulos rectángulos «básicos». El quinto y último
elementos de aire, tierra, fuego y tierra con cuatro de sus sólido de este esquema, el dodecaedro, representaba
cinco «sólidos básicos», que a su vez se derivaban de dos el propio cosmos.
LOS ORÍGENES CLÁSICOS DE UNA IDEA IRRESISTIBLE i3
EL CONTINUO PLATONICO
EN EL MUNDO CLÁSICO TARDÍO
Gomo hemos visto, el platonismo y la geometría yendo de la propia Grecia hasta la India y pasando
se siguieron enseñando en Atenás tras la muerte por el norte de Africa y Oriente Medio.
de Platón, y allí se continuaron haciendo grandes Las matemáticas, y en especial la geometría,
descubrimientos. Pero después de Alejandro Magno continuaron siendo tema de investigación entre los
en el siglo rv a. C., tanto Grecia como la propia Atenas estudiosos de ese mundo cosmopolita, y sus princi
perdieron su influencia. Las ciudades de Alejandría pales ñguras siguieron realizando avances signifi
en el Egipto ptolemaico y de Antioquía en la Siria cativos. En el año 3?o a. G., Aristeo de Crotona, un
seléucida, que se habían convertido en importantes matemático que había asistido a la Academia, escri
centros del nuevo y más extenso mundo helenísti bió Comparación de los cinco sólidos regulares, donde
co, emergieron como centros rivales de erudicióny estableció que «el mismo círculo circunscribe tanto
produjeron ñguras tan destacadas como Euclides y al pentágono del dodecaedro como al triángulo del
Ptolomeo. Aunque todos ellos hablaban griego y su icosaedro cuando ambos están inscritos en la misma
educación había seguido la tradición griega, muchos esfera». Esta obra inspiró a Euclides, que vivió casi
de estos eruditos posteriores no eran de etnia griega. en la misma época, y que pasaría la mayor parte de su
El mundo helénico era ahora mucho más extenso, vida en la ciudad egipcia de Alejandría.
DERECHA: los sólidos arquimedianos
(de arriba abajo y de izquierda a dere
cha: cubo truncado, octaedro truncado,
tetraedro truncado, icosaedro truncado,
dodecaedro truncado, cuboctaedro,
cubo chato, icosidodecaedro, dode
caedro chato, rombicuboctaedro, gran
rombicuboctaedro, rombicosidodecae-
dro, gran icosidodecaedro.
14 LA BELLEZA DIVINA DE LA GEOMETRÍA
Euclides, que había sido estudiante de un dis do clásico realizaron correcciones y nuevos avances
cípulo de Platón, siguió investigando toda la gama basándose en el mismo.
de geometría plana y sólida de la misma manera El tema de los poliedros poseía un interés
sistemática y platónica, una empresa que culminó en especial para otra ñgura sobresaliente de este pe
sus Elementos, el primer sistema completo y lógico de ríodo clásico tardío: Arquímedes de Siracusa. Este
geometría. En el libro ñnal de los Elementos Euclides estudioso investigó a fondo las versiones truncadas
explica, en dieciocho proposiciones, cómo inscribir de los sólidos regulares, y durante dicho proceso
los cinco sólidos regulares en una esfera. Para algu descubrió y dio nombre a los trece sólidos semirregu-
nos comentadores posteriores esto prueba su inten lares. Apolonio de Pérgamo (263-180 a. C.), residen
ción de que su obra fuera una especie de testimonio te en Alejandría desde hacía tiempo, era famoso por
de su trascendencia cosmológica. Los Elementos fue su estudio de los conos, pero también escribió un
sin duda uno de los libros de texto más influyentes tratado sobre las razones entre las dimensiones del
jamás escritos; muchos de los matemáticos del mun icosaedro y del dodecaedro.
ALEJANDRO MAGNO, HELENISMO E IMPERIO ROMANO
Hacía el siglo rv el mundo clásico se acercaba a una seguidas por un prolongado período de colonización
grave crisis de confianza. De hecho, la Edad de Oro de griega. Fue así como, incluso a pesar de la división
Atenas llegó a su ñn tras el caótico período que siguió a del imperio de Alejandro, surgió una nueva civiliza
la guerra del Peloponeso, cuando Filipo de Macedonia ción panhelénica. La sociedad y la lengua griegas se
obtuvo la supremacía sobre todas las ciudades-estado impusieron en todas esas regiones, en especial en las
griegas antes independientes. Su hijo Alejandro, tras ciudades, donde surgieron nuevas y pujantes culturas
consolidar las conquistas de su padre, se enfrentó al híbridas: Alejandría, situada en el norte de Egipto,
poderoso imperio persa, y tras una campaña de diez fue la más importante de todas.
años consiguió agregar este inmenso territorio a su La conquista gradual de territorios griegos por
hegemonía macedónica. Esas conquistas incluyeron parte de Roma en los siglos 11 y 1 a. C. llevó a la situa
la mayor parte de Oriente Medio, el norte de Africa ción de «cultura griega, gobierno romano» en el
oriental, Babilonia y Persia, incluso áreas de la India. imperio romano oriental. La lengua predominante
Las conquistas de Alejandro Magno son legendarias, siguió siendo el griego, que se hablaba en muchos
si bien no pudo disfrutarlas poque murió muy joven, lugares, incluyendo la propia Roma. Esta, que era un
a los 3% años. estado sumamente militarizado, adoptó una política
A su muerte esos territorios se dividieron entre los de distanciamiento hacia sus dominios griegos, pero
diádocos o sucesores (sus amigos, familiares y genera siempre mantuvo el respeto por la cultura helénica.
les). Como es fácil imaginar, el proceso fue polémico La filosofía, el arte, la literatura e incluso la religión
y muy reñido, pero el resultado fue la fundación de seguían patrones griegos; la mayoría de los romanos
una serie de nuevos reinos helenísticos, incluyendo la cultos eran bilingües. El resultado final de esta fusión
Persia seléucida, el reino de Pérgamo y el reino ptole- fue un continuo cultural unificado en el Mediterráneo,
maico de Egipto. Esas adquisiciones, a su vez, fueron en el que la creatividad intelectual siguió floreciendo.
EL CONTINUO PLATÓNICO EN EL MUNDO CLÁSICO TARDÍO i5
