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rROFX>RCIONALIIX*E> &EMEMN&A M>E TRIÁNGULOS
~ < P j Ü Q D Q >
AB
Si en una recta se tiene los puntos consecutivos A, B y C, entonces la fracción es denominada
BC
razón de los segmentos AB y BC.
Dados los puntos A - B - C, en una recta, y los puntos M - N - R en otra recta, si las rectas
AM, BN y CP son paralelas, entonces la razón de los segmentos AB y BC es igual a la razón
de los segmentos MN y NR
H
En el gráfico: AM / / BN / / CP
Entonces:
C orolarios:
i ) B
Si: D E //A C
Entonces:
E0 V
4 ?
BO LETIN D E GEOM ETRIA - OS < P jR O D O >
2>
D
Si: A B //C D
Entonces:
n i iliYíííiVi ii.
T eorem a:
La razón de los lados AB y BC de un triángulo ABC es igual a la razón de los
segmentos AM y MC determinados en el lado AC por la bisectriz interior BM de dicho
triángulo.
B
En el gráfico:
a f e .1/a» 1*” , —
< /
A ni n c
m
T eorem a:
La razón entre los lados AB y BC de un triángulo ABC, siendo AB > BC, es igual a la razón
de los segmentos AN y NC determinados en la recta AC por la bisectriz exterior BN de dicho
triángulo.
S p ED%
W O T O /fC /O /M / . / /A 4 D - SEM EJANZA D E THIA /V G U LO S P j R O D c f c
T eorem a:
La razón entre la suma de las longitudes de dos lados de un triángulo y la longitud del tercer lado es
igual, a la razón del mayor y el menor de los segmentos determinados por el incentro en la bisectriz
interior relativa al tercer lado.
En el gráfico:
I: Incentro de triángulo ABC
M
m * -
^
' t i
y. v
• ......
? 0 f f n¡nn^ni(nj» ... a
TV
?p" -
En una bisectriz interior, la parte que está entre el vértice y el incentro es mayor que la otra,
que está entre el incentro y el pie de la bisectriz interior.
...... Tr*“ TH» M m a r
T eorem a:
La razón entre la diferencia de longitudes de dos lados de un triángulo y el tercero, es igual a la
razón del menor y el mayor de los segmentos determinados por el excentro en la bisectriz exterior
relativa al tercer lado.
A C
h
H
En el gráfico:
E: Excentro del triángulo ABC
B
ir**
....................
• . .
En una bisectriz exterior, la parte comprendida entre el vértice y el excentro es menor que la
otra parte, que se encuentra entre el excentro y el pie de la bisectriz exterior.
............................ « a
f l ED' \
BO LETIN D E GEOMETRIA - OS ’J R O D O T
Es una hilera de puntos A - B - C - D, tal que se cumple
fvm
AL
UOA1» 3 £ m ii.i»
Teorem a:
Si se trazan, desde un vértice de un triángulo, la bisectriz interior y la bisectriz exterior, los pies de
estas bisectrices y los otros dos vértices del triángulo forman una cuaterna armónica.
N
En el gráfico:
BM : Bisectriz interior
BN : Bisectriz exterior
Se cumple que:
A - M - C - N: Forman una cuaterna armónica
Es decir:
i a m
m .
♦ __
Toda recta que corte a dos lados de un triángulo y a la prolongación del otro determina en cada
lado 2 segmentos, si tomamos tres de estos seis segmentos con la condición que no tengan extremos
comunes, el producto de estos segmentos es igual al producto de los otros tres.
ED,Jpp
P’KOEOKCJO/VAEMDAD ~ SEM EJAnZA D E TKiÁJVGUJLOS ‘P jm o o c fc
B
En el gráfico:
L : Recta secante a AB, BC y a la prolongación de AC
m, n, p, q, r y s : Longitudes de los segmentos determinados en los lados del triángulo ABC.
Se cumple:
o s v a
m o m m m
4
Al trazar tres cevianas interiores en un triángulo de tal manera que sean concurrentes se
determinan dos segmentos en cada lado, si tomamos tres de estos segmentos con la condición que no
tengan extremos comunes, el producto de éstos es igual al producto de los otros tres.
B
En el gráfico:
AM, BN y CP : Cevianas interiores del AABC, concurrentes en Q.
m, n, p, q, r y s: Longitudes de los segmentos determinados en los lados del AABC.
Se cumple:
¿ P ÍD' \
4
BO LETÍN D E GEOMETRÍA - 0 3 P jK lO D O r -
C orolario
Si de las tres cevianas interiores concurrentes, una de ellas es mediana, entonces la recta que pasa
por los píes de las otras dos es paralela al lado al cual es relativa la mediana.
B
Si: BM es mediana
Entonces:
Al trazar tres cevianas interiores en un triángulo que sean concurrentes se cumple que el punto de
concurrencia divide a cada ceviana en dos segmentos cuya razón es igual a la suma de las razones en que
las otras dos cevianas dividen a sus correspondientes lados relativos.
B
En el gráfico:
AM, BN y CP : Cevianas interiores del AABC concurrentes en Q.
Se cumple:
P ÍD,\
j
P-KOrORCiOrVUsinAD - SEMEMMZA JOE TK1ÁJVGUL&S
Dos triángulos semejantes son tales, que a uno podemos denotarlo con ABC y al otro con
MNR de tal forma que entre ellos se puede establecer una correspondencia biunívoca del modo
siguiente.
Á ngulo s Lados
mZA = mZM
AB BC = CA
mZB = mZN = k
MN " NP “ PM
mZC « mZP
El valor de k, conocido como constante de proporcionalidad, es llamado en este contexto, “razón
de semejanza de los triángulos ABC y MNP”
Sim bología:
%
El %símbolo a usar para representar la semejanza es el cual se lee “es semejante a” y lo
utilizaremos para la notación de la semejanza entre dos triángulos, así por ejemplo, para los triángulos
antes mencionados podemos usar la siguiente notación.
Esto puede representarse gráficamente de la siguiente manera:
B N
tk
. ' > ♦ ♦ . . . A* ♦ *
T eorem a:
Si las medidas de dos ángulos de un triángulo, son iguales a las medidas de dos ángulos de otro
triángulo, estos son semejantes.
N
B
Observe que mZA = mZM y mZC = mZP
Entonces:
..-A-c.x-v. . .x .— ^
s p ED%
BO LETIN D E GEOMETRIA - OS £ ^
j r o d o
T eorem a:
Si dos lados de un triángulo son proporcionales a dos lados de otro y los ángulos que
respectivamente ellos determinan tienen medidas iguales; entonces dichos triángulos son
semejantes.
N
B
C
AB MN
Observe que y m Z A = mZM
AC ~ MP
Entonces: « n c -
am np
T eorem a:
AB _ BC CA
Dados los triángulos ABC y MN£ si: = k ; entonces dichos triángulos son
MN ~ NP ~ PM
semejantes.
N
B
AB BC CA
= k
Observe que:
MN NP PM
Entonces: | AABC - AMNP
}
• V
4
**r*\ ■■■
Cuando dos triángulos son semejantes, se verifica que sus elementos lineales homólogos son
proporcionales. B
<P° ED% ,
RROEORCIONALMDAD - SEM EJANZA DE TRIANGULOS £ >
j r o d o
TEOREMAS
En el gráfico:
B
1)
mZABN = mZC
Se cumple:
:Z
a2 = m . n
•?
n
B
2
)
Si: L / / AC
Entonces:
m
■¿ á « « A« « v. .X A
3)
En el gráfico:
R: Circunradio del AABC
Se cumple:
ac 2hR
E
4)
Si: A B //C D //E F
Se cumple:
ab
X
a * b
Si:
5)
V-
t
BC / / EF / / AD
Se cumple:
7T--X-
h* ♦ .. * * • * •
D í v » / ♦ 1 *y ♦ 'y !!;«• *• •
