Table Of ContentGEOMETRÍA DUAL INVOLUTIVA EN
ESPACIOS MULTIDIMENSIONALES
Pablo Rubio Pérez
Cubierta
Miguel Ángel Rodríguez Roselló
Diseño de Portada con aplicación de un programa
de su creación para la generación de mandalas
Composición y Edición
María Rubio Arévalo
ÍNDICE
Pág
INTRODUCCIÓN 1
CAPÍTULO I: GEOMETRÍA DUAL INVOLUTIVA MULTIDIMENSIONAL
I.1.- ELEMENTOS Y CONSTRUCCIONES BÁSICAS 8
I.2.- LA TRANSFORMACIÓN POLAR GENERALIZADA 11
I.3.- DEFINICIÓN DEL HAZ C 15
P,P′
I.4.- SINGULARIDADES EN C 17
P,P′
I.5.- PROPIEDADES POLARES EN C 23
P,P′
I.6.- CASOS DEGENERADOS EN C 29
P,P′
I.7.- EL ESPACIO UNIDIMENSIONAL 31
I.8.- PROPIEDADES DE LA RAZÓN DOBLE EN C 35
P,P′
I.9.- APLICACIONES DE LA RAZÓN DOBLE 38
CAPÍTULO II: GEOMETRÍA DUAL INVOLUTIVA DEL TRIÁNGULO
II.1.- DEFINICIONES Y ELEMENTOS FUNDAMENTALES 42
II.2.- EL HAZ DE CÓNICAS C 44
P,P′
II.3.- EL TRIÁNGULO AUTOCONJUGADO EN C 46
P,P′
II.4.- LA TRANSFORMACIÓN CUADRÁTICA INVOLUTIVA T 48
P,P′
II.5.- SINGULARIDADES EN CASOS DEGENERADOS 51
II.6.- PROPIEDADES HOMOGRÁFICAS Y REFERENCIAS EXTENSIONALES 53
CAPÍTULO III: TRIPLE GEOMETRÍA DUAL INVOLUTIVA DEL TRIÁNGULO
III.1.- CONSIDERACIONES GENERALES 55
III.2.- BASES DE LA GEOMETRÍA TRIPLE INVOLUTIVA 56
III.3.- TERNA DE PARES DE PUNTOS BÁSICOS SIMÉTRICAMENTE ASOCIADOS 59
III.4.- CASOS DUALES DEGENERADOS DE C 67
P,P′
III.5.- EL CASO k =1 70
III.6.- APLICACIÓN A LA GEOMETRÍA CLÁSICA DEL TRIÁNGULO 74
CAPÍTULO IV: GEOMETRÍA DUAL INVOLUTIVA MULTIDIMENSIONAL EN
ESPACIOS ORTONORMALES
IV.1.- EL ESQUEMA MULTIDIMENSIONAL ORTOCÉNTRICO 90
IV.2.- GENERALIDADES SOBRE EL SISTEMA BASE DE COORDENADAS 91
IV.3.- DEFINICIÓN DEL SISTEMA BASE ORTONORMAL 93
IV.4.- PROPIEDADES MÉTRICAS EN EL SISTEMA ORTONORMAL 95
IV.5.- LA PROPIEDAD AUTOPOLAR 98
IV.6.- SINGULARIDAD CON ARISTAS ORTOGONALES 101
IV.7.- LA INVOLUCIÓN UNIDIMENSIONAL 103
IV.8.- LOS HACES DE HIPERESFERAS Γ Y C 105
P,P′ P,P′
IV.9.- ELEMENTOS SINGULARES EN Γ Y C 112
P,P′ P,P′
IV.10.- CONSTRUCCIONES ASOCIADAS AL PUNTO DE BRIANCHON 114
IV.11.- CONSTRUCCIONES PARTICULARIZADAS EN EL CASO ORTOCÉNTRICO 119
CAPÍTULO V: GEOMETRÍA CORRELATIVA DUAL
V.I.- GEOMETRÍA CORRELATIVA DUAL PLANA
V.I.1.- DEFINICIONES Y ELEMENTOS BÁSICOS 125
V.I.2.- EL HAZ TANGENCIAL Γ 126
r,r′
V.I.3.- EL TRIÁNGULO AUTOCONJUGADO DEL HAZ Γ 131
r,r′
V.I.4.- CASOS ESPECIALES 133
V.I.5.- TRIPLE GEOMETRÍA CORRELATIVA DUAL DEL TRIÁNGULO 136
V.I.6.- EL HAZ TANGENCIAL CORRELATIVO DE C 139
GH
V.II.- GEOMETRÍA CORRELATIVA DUAL MULTIDIMENSIONAL
V.II.1.- GENERALIDADES Y DEFINICIONES BÁSICAS 142
V.II.2.- EL HAZ TANGENCIAL GENERALIZADO Γ 143
r,r′
V.II.3.- SINGULARIDADES Y CASOS DEGENERADOS EN Γ 144
r,r′
V.II.4.- LAS RELACIONES Γ ⇔C Y Γ ⇔C 147
φ ϕ φ ϕ′
V.II.5.- EL HAZ TANGENCIAL DEL N-SIMPLEX ORTOCÉNTRICO 151
V.II.6.- APLICACIONES AL TETRAEDRO ORTOCÉNTRICO 154
APÉNDICE: CUÁDRICAS ASOCIADAS A UN TETRAEDRO
A.0.- INTRODUCCIÓN 159
A.I .- LA CUÁDRICA DE LAS ALTURAS DE UN TETRAEDRO
A.I.1.- LA CUÁDRICA DE STEINER 160
A.I.2.- EL PUNTO DE MONGE 165
A.I.3.- CASOS DEGENERADOS 168
A.II .- CUÁDRICAS ASOCIADAS A UN TETRAEDRO Y A UNA CUÁDRICA
CIRCUNSCRITA/INSCRITA
A.II.1.- CUÁDRICA DE LOS EJES POLARES 170
A.II.2.- CUÁDRICA DE LOS EJES DE BRIANCHON 171
A.II.3.- CUÁDRICAS CORRELATIVAS DUALES 173
REFERENCIAS 175
INTRODUCCIÓN
En la Ref.[1] se presentó la noción de la geometría dual involutiva, referida a dos puntos bási-
cos y un triángulo de referencia, en el espacio bidimensional. El concepto de esta geometría es-
taba basado en la idea de hacer que dos puntos cualesquiera del plano, P y P′, con determina-
das restricciones, representen un papel similar al del centroide y el ortocentro en relación con
propiedades clásicas del triángulo muy conocidas, como son la recta de Euler y el círculo de los
nueve puntos de Euler/Feuerbach. El comportamiento proyectivo simétrico de uno y otro punto
se puso de manifiesto a partir de la denominada operación de duplicación, esto es, la considera-
ción simultánea de dos construcciones paralelas basadas en la sustitución mutua recíproca de
los puntos P y P′, y, en particular, en su caso, en la identificación de ambas construcciones re-
sultantes finales, que llamamos autoduplicadas. La contribución principal obtenida fue la cons-
trucción de un haz especial de cónicas asociadas con el triángulo de referencia y el par (P,P′).
Mediante el análisis del haz, se generalizaron algunas construcciones usuales de la geometría
métrica ordinaria tradicional y se obtuvieron diversos resultados adicionales.
El presente texto es la extensión de aquel mismo enfoque en espacios proyectivos N-dimensio-
nales, para cualquier dimensión N ≥2. El mismo concepto se aplica, inclusive, en el espacio u-
nidimensional, siendo así consistente con propiedades homográficas elementales y, en particu-
lar, de la involución, relativas a una serie rectilínea de puntos, lo que ha constituído realmente
el germen del desarrollo bastante más generalizado que aquí se formula.
A partir de las ideas fundamentales citadas y su, en cierta medida, obvia simplicidad de partida,
el libro se estructura en cinco Capítulos, con adición de un Apéndice relacionado, que no co-
rresponde ya, sin embargo, al contexto de la geometría dual, que es el objeto principal de este
texto. En base a la publicación antecedente citada, el autor se ha planteado algunas dudas sobre
la ordenación más adecuada de estos Capítulos: si empezar con una recopilación simplificada
de [1], que pudiera considerarse como la metodología de introducción al estudio multidimensio-
nal más didáctica, o bien, dada la disponibilidad editorial de dicha publicación, su limitación, en
principio, a la referencia que hacemos aquí, para abordar ya en el Capítulo I, sin otra demora, la
generalización multidimensional. El criterio finalmente adoptado ha sido el segundo, reservan-
do el tratamiento bidimensional para el Capítulo II, como aplicación particularizada del estudio
más general llevado a cabo directamente en el Capítulo I. La elección ha estado motivada en la
extensión novedosa que se hace aquí, a continuación, en el siguiente Capítulo III, de los resul-
tados presentados en [1] y de los que se hace una síntesis en el Capítulo II, extensión que supo-
ne ahora la noción y el desarrollo de una triple simetría específica de la geometría dual anterior
en el plano, que no es ya transferible a espacios de dimensión N ≠ 2. En el siguiente Capítulo
IV retomamos el planteamiento generalizado del Capítulo I, con su desarrollo, en especial, en
espacios cartesianos ortonormales multidimensionales, y partiendo de una elección determinada
de los dos puntos básicos, que serán aquí el centro de gravedad y el ortocentro del hiperpoliedro
de referencia, análogo del triángulo en [1], con una condición adicional impuesta, que es su pro-
piedad ortocéntrica. Esta generalización multidimensional particularizada es sólo completa, por
ello, en espacios de dimensiones 1 y/o 2, pues implica, como decimos, una restricción exigida
para dimensiones superiores a dos. El Capítulo V se refiere a la consideración de una geometría
correlativa paralela, basada en la sustitución mutatis mutandis de los términos punto/recta en el
espacio bidimensional, y la sustitución paralela equivalente punto/(N −1)-hiperplano en el es-
pacio N-dimensional. Se añade, finalmente, un Apéndice relativo a propiedades de un tetraedro
cualquiera en el espacio tridimensional que, aunque fuera del planteamiento dual en el texto
principal, complementan el análisis restringido a la clase particular de un politopo ortocéntrico,
efectuado en el Capítulo IV, aplicable, así pues, específicamente, a un tetraedro ortocéntrico.
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