Geometria Analitica: Una introduccion a la geometria

349 Pages·2012·2.38 MB·Spanish

by  Ana Irene Ramirez Galarza

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Otrostítulosdeesta
colección: Elpoderdelmétodoanalíticoparaestudiargeometríaradicaenlaposibilidadde za AnaIreneRamírezGalarza
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utilizarresultadosdeálgebraocálculopararesolverunproblemageométrico,y l
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Álgebrasuperior laventajademanejarloesquepermiteinterpretargeométricamenteresultadosalge- G EstudiólacarreradematemáticasenlaFacultadde
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AlejandroBravo braicosodecálculo,ofreciendoasíotraformadeabordarproblemasdemuydiversas ez CienciasdelaUNAMylaMaestríaenCiencias(Ma-
CésarRincón r
í temáticas)enelCentrodeInvestigaciónydeEstu-
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HugoRincón áreas. Geometría
a diosAvanzadosdelIPN.
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Estelibropretendesernosólounapoyoaloscursosdelascarrerascientíficas,
Álgebralineal e Haescritomásdediezlibrosdetextotantode
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HugoAlbertoRincónMejía sinotambiénunaintroducciónalestudiodelageometríamisma.Paraelloseincluyen e posgradocomodelicenciaturaybachillerato,ade-
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ilustraciones,sedesarrollanunbuennúmerodeejemplosyseplanteanejerciciosy aI analítica másdediversosartículosdedivulgacióneinvesti-
Introducciónala n
preguntasquepermitiránallectorponerenprácticasusconocimientosysucapacidad. A gación.Tambiénhadesarrolladoelsoftwarelibre
geometríaavanzada
Enestanuevaediciónsehanincorporadoelementosqueactualizanaúnmásla interactivo Un paseoporelespaciotridimensio-
AnaIreneRamírez-Galarza
JoséSeadeKuri obra. nal quecomplementaelpresentelibro.
Una introducción
a SucampodeinteréseslaGeometríaDiferen-
TeoremasdeGreen,Gaussy metrí a la geometría cial y considera que los primeros cursos de geo-
Stokesparafuncionescontinuas
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e metría son fundamentales para desarrollar la
ydiscontinuas g
GuillermoMonsivais la intuicióngeométrica.
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GEOMETRÍA ANALÍTICA
Una introducción a la geometría
FACULTADDECIENCIAS,UNAM
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Geometría analítica. Una introducción a la geometría
1ª edición electrónica, 25 de julio de 2011
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Diseño de portada: Laura Uribe
Formación: Juan Pablo Romero
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©D.R.2011. Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ciencias. Ciudad Universitaria. Delegación Coyoacán,
C.P.04510, México Distrito Federal.
[email protected]
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ISBN: 978-60(cid:26)(cid:16)(cid:19)(cid:21)(cid:16)(cid:21)(cid:24)(cid:19)(cid:23)(cid:16)(cid:27)(cid:3)
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Prohibida la reproducción parcial o total de la obra por cualquier medio(cid:3)
Sin la autorización por escrito del titular de los derechos patrimoniales. (cid:3)
Hecho en México.
Introduccio´n
Este libro tiene un doble prop´osito. Por un lado, pretende mostrar la utili-
dad y la belleza del ´area de las matem´aticas llamada Geometr´ıa; por otro, se
propone facilitar el desarrollo de los cursos de Geometr´ıa Anal´ıtica de nivel
universitario presentando un programa concreto para un curso de 2 semestres
y una forma de desarrollarlo.
Para cumplir el primer prop´osito hemos tenido en mente ideas centrales en
Geometr´ıa, como la de grupo de transformaciones y sus invariantes asociados
introducida por F´elix Klein y en la cual subyace el concepto de simetr´ıa; o
la de dimensi´on de un espacio geom´etrico debida a Bernhard Riemann. Para
ilustrar esas ideas utilizamos ejemplos concretos, sencillos pero interesantes,
que ser´an la mejor referencia para fijar los conceptos y los resultados y para
generalizaciones futuras.
El segundo prop´osito nos ha hecho incluir muchos dibujos y consignar la
mayor parte de los c´alculos, adem´as de proponer suficientes ejercicios y pre-
guntas que muestran los rumbos a seguir. La mayor parte del material es
indispensable en los cursos de C´alculo de Varias Variables, Ecuaciones Dife-
renciales, A´lgebra Lineal y Geometr´ıa Diferencial. S´olo algunos incisos del
final de ciertos cap´ıtulos contienen material que puede omitirse aunque tienen
el valor de mostrar aplicaciones de los resultados expuestos.
El m´etodo de estudio que utilizaremos es el anal´ıtico, cuyo creador es Ren´e
Descartes. Consiste en asignar coordenadas a los puntos, ecuaciones a los
lugares geom´etricos y funciones a las transformaciones, lo cual tiene la ventaja
de permitir el uso de las herramientas del A´lgebra y el C´alculo.
En los primeros cursos de Geometr´ıa, los dibujos juegan un papel esen-
cial: un dibujo correcto, que no es lo mismo que perfecto, es fuente de ideas
y muchas veces da la clave para resolver el problema. El m´etodo anal´ıtico
permite traducir f´acilmente esas ideas en una demostraci´on.
Sin embargo, no eludiremos utilizar conocimientos adquiridos mediante el
i
ii
m´etodo sint´etico debido a Euclides, y que consiste en deducir l´ogicamente los
resultados de un conjunto de postulados. M´as au´n, enfatizaremos el car´acter
esencialmente integrador de la Geometr´ıa al mencionar, y si es posible utilizar,
conocimientos de otras ´areas, como el C´alculo Diferencial o la F´ısica.
Al presentar muchos ejemplos, dibujos y c´alculos hemos pretendido poner
elejemplo, pueseldominiodecualquier conocimiento nuevo s´oloselograconla
pr´actica. Por ello ser´a indispensable que el lector vaya realizando los c´alculos y
los dibujos por su cuenta; comprobar´a que la “lectura” de los dibujos facilita la
comprensi´on de losconceptos y viceversa, ya que en la medida que unconcepto
se entiende mejor es m´as f´acil lograr un dibujo correcto.
Hemos tenido presente la dificultad para visualizar formas geom´etricas en
el espacio tridimensional debida a los muchos a nos de estudio en el plano,
por eso desde el principio introducimos regiones tridimensionales y, en co-
laboraci´on con el Mat. Juan Pablo Romero M´endez, elaboramos el video
interactivo Un paseo por el espacio tridimensional accesible desde la p´agina
www.matematicas.unam.mx
Para el lector interesado en profundizar o ampliar el panorama aqu´ı ex-
puesto, hemos incluido bibliograf´ıa suficiente y asequible pues, como el t´ıtulo
lo indica, el material del libro es s´olo el principio de uno de los campos m´as
vastos y ricos de las matem´aticas.
Finalmente, queremos hacer notar que la introducci´on y el uso de un
´
m´ınimo de conceptos y resultados del Algebra Lineal simplifica la obtenci´on
de los resultados, mostrando as´ı el contenido esencialmente geom´etrico de
esta rama de las matem´aticas que est´a presente en muchas de las materias
de cualquier carrera cient´ıfica.
Los comentarios, dudas y sugerencias ser´an bienvenidos en la direcci´on
siguiente:
Departamento de Matem´aticas, cub´ıculo 204
Facultad de Ciencias, U.N.A.M. Circuito Exterior, C.U.
M´exico, D.F., C.P. 04510.
e-mail: [email protected]
iii
Agradecimientos
A los estudiantes participativos; ellos hicieron posible este libro.
Al Dr. Hugo Alberto Rinc´on Mej´ıa; su profesionalismo y bonhom´ıa modi-
ficaron sustancialmente el contenido.
Fueron muy valiosos los comentarios a la primera versi´on de los colegas
siguientes: Dr. JuanManuel LozanoMej´ıa, Dr. Oscar AlfredoPalmasVelasco,
Dr. Javier P´aez C´ardenas, Dr. Jos´e Antonio Zapata Ram´ırez, Mat. Pablo
Rosenblueth Laguette, Mat. Guillermo Ruiz Galv´an, Dr. Guillermo Sienra
Loera, M. en I. Leda Espeziale San Vicente, Mat. Renato Leriche V´azquez,
Profr. Alfonso Escoto, Mat. Noel Jaramillo Arce, y de los alumnos Mariana
del Castillo Borja, Juan Jos´e L´opez Badillo, Zdenek Palecek y Max Ortega del
Vecchyo.
Al Dr. Andr´es Pedroza y al Mat. Juan Pablo Romero; su cuidado y
paciencia en la elaboraci´on de los dibujos son parte fundamental del libro.
iv
SUGERENCIAS PARA EL USO DE ESTE LIBRO
Hemos intentado que ´este sea un libro cuya lectura cuidadosa, junto con la
resoluci´on de los ejercicios planteados, permita al lector dominar por s´ı mismo
el material. Con ese fin, hemos decidido incluir temas que tal vez ya fueron
mencionados en el bachillerato.
Un planteamiento fundamental de este libro es que el estudiante debe ir
familiariz´andose desde el principio con figuras y coordenadas en el espacio;
el tratamiento simult´aneo y cuidadoso de figuras en el plano y en el espacio
permite observar analog´ıas y ver en qu´e radican las diferencias. E´sa es la
intenci´on del primer cap´ıtulo.
Tambi´en hay que dedicarle tiempo a otros dos puntos que dif´ıcilmente son
familiaresparaunestudiantedeprimeran˜odefacultad: 2 y 3 comoespacios
R R
vectoriales con sus productos escalar, vectorial y triple producto escalar; y a
los grupos de transformaciones y sus invariantes.
Para un curso de dos semestres, sugerimos llegar en el primero hasta
C´onicas (inclusive), y comenzar el segundo semestre retomando estas curvas
para generar las superficies cu´adricas: primero los cilindros, despu´es las super-
ficies de revoluci´on y, finalmente, el paraboloide hiperb´olico. Tanto en el caso
de las c´onicas como en el de las superficies cu´adricas, basamos el estudio en
las ecuaciones can´onicas, y dejamos para el u´ltimo cap´ıtulo la demostraci´on
de que los t´erminos mixtos pueden eliminarse con una rotaci´on adecuada.
En el primer semestre debe lograrse el manejo por el alumno del lenguaje
vectorial y de su significado geom´etrico; es indispensable en C´alculo de Varias
Variables y en el resto de los cursos de Geometr´ıa.
El segundo semestre debe enfatizar la visualizaci´on de superficies y su ubi-
caci´on en el espacio coordenado, adem´as de lograr la comprensi´on de los con-
ceptos de subespacio invariante de una transformaci´on lineal y el de grupo de
transformaciones. En la secci´on de transformaciones es fundamental resolver
todos los ejercicios.
Algunassecciones, marcadasconunasterisco, utilizanconceptosdeC´alculo
que no pueden considerarse un requisito. El prop´osito ha sido mostrar su
contenido geom´etrico y su utilidad al abreviar los c´alculos.
Es importante recalcar que no necesariamente todo el material incluido en
el texto debe estar sujeto a evaluaci´on, eso debe fijarse de acuerdo al curso y
programa espec´ıficos.
Contenido
1 Conceptos b´asicos 1
1.1 Plano y espacio cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Subconjuntos del plano
y del espacio cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Simetr´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Funciones y sus gr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Funciones trigonom´etricas y coordenadas polares 35
2.1 Razones trigonom´etricas
y algunas relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Resoluci´on de tri´angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Funciones e identidades
trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 Funciones trigonom´etricas
inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.6 Curvas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.7 Curvas param´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.8 Coordenadas esf´ericas
y cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.9 Un comentario sobre series de Fourier (*) . . . . . . . . . . . . . 79
3 Espacios vectoriales b´asicos 81
3.1 Fuerzas; funciones;
plano y espacio cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2 Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.3 Base y dimensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
v
vi
3.4 Determinantes
y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.5 Productos: escalar, vectorial
y triple escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4 Rectas, planos, semiplanos y semiespacios 137
4.1 Rectas y semiplanos de 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
R
4.2 Rectas en 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
R
4.3 Planos y semiespacios en 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
R
4.4 Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.5 Sistemas de desigualdades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.6 Ap´endice: Rectas y puntos
notables de un tri´angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5 C´onicas 175
5.1 Definici´on, trazado y
nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.2 Ecuaciones can´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.3 C´onicas con ejes paralelos a los coordenados . . . . . . . . . . . 188
5.4 Discriminante, simetr´ıas,
extensi´on y as´ıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.5 Excentricidad.
Secciones de un cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.6 Propiedad focal de las c´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.7 Algunos resultados
sobre la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.8 C´onicas en coordenadas polares. O´rbitas de los planetas(*) . . . 219
6 Superficies Cu´adricas 225
6.1 Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
6.2 Superficies de revoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.3 Las posibles superficies cu´adricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.4 Simetr´ıas y extensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
6.5 Cu´adricas con ejes paralelos a los coordenados . . . . . . . . . . 257
6.6 Superficies regladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
6.7 Plano tangente a una cu´adrica (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
6.8 Algunas propiedades de la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
vii
7 Transformaciones lineales
y transformaciones r´ıgidas 275
7.1 Definici´on y ejemplos de
transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
7.2 Matrices
y transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
7.3 Subespacios invariantes
bajo transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
7.4 Transformaciones r´ıgidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
7.5 Eliminaci´on de t´erminos mixtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
7.6 Nu´meros Complejos y
Transformaciones Conformes(*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
Ep´ılogo 329
Bibliograf´ıa 331