Geometria Analítica I

287 Pages·2012·6.76 MB·Portuguese

(cid:49)
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Geometria Analítica I
Volume único - Módulo 1 Jorge J. Delgado Gómez (IMUFF)
3ª edição
Kátia Rosenvald Frensel (IMUFF)
Nedir do Espírito Santo (IMUFRJ)
Apoio:
Fundação Cecierj / Consórcio Cederj
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira – Rio de Janeiro, RJ – CEP 20943-001
Tel.: [phone] Fax: [phone]
Presidente
Masako Oya Masuda
Vice-presidente
Mirian Crapez
Coordenação do Curso de Matemática
UFF - Regina Moreth
UNIRIO - Luiz Pedro San Gil Jutuca
Material Didático
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO Departamento de Produção
Jorge J. Delgado Gómez
Kátia Rosenvald Frensel EDITORA ILUSTRAÇÃO
Nedir do Espírito Santo Tereza Queiroz Equipe CEDERJ
COORDENAÇÃO DE DESENVOLVIMENTO REVISÃO TIPOGRÁFICA CAPA
INSTRUCIONAL Equipe CEDERJ Eduardo Bordoni
Cristine Costa Barreto Fábio Muniz
COORDENAÇÃO DE
DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL PRODUÇÃO PRODUÇÃO GRÁFICA
E REVISÃO Jorge Moura Patricia Seabra
Ana Tereza de Andrade
PROGRAMAÇÃO VISUAL
Gláucia Guarany
Marcelo Freitas
Marcia Pinheiro
COORDENAÇÃO DE AVALIAÇÃO
DO MATERIAL DIDÁTICO
Débora Barreiros
Copyright © 2007, Fundação Cecierj / Consórcio Cederj
Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio
eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Fundação.
D352g
Delgado Gómez, Jorge J.
Geometria analítica I. v.único / Jorge J. Delgado Gómez. – 3.ed.
Rio de Janeiro : Fundação CECIERJ, 2010.
284p.;21 x 29,7 cm.
ISBN: 978-85-7648-373-1
1. Vetores. 2. Cônicas. 3. Seções cônicas. I. Frensel, Katia
Rosenvald. II. Santo, Nedir do Espírito. III. Título.
CDD: 516.3
2010/1
Referências Bibliográfi cas e catalogação na fonte, de acordo com as normas da ABNT.
Governo do Estado do Rio de Janeiro
Governador
Sérgio Cabral Filho
Secretário de Estado de Ciência e Tecnologia
Alexandre Cardoso
Universidades Consorciadas
UENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO UFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO
NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO RIO DE JANEIRO
Reitor: Almy Junior Cordeiro de Carvalho Reitor: Aloísio Teixeira
UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO UFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL
RIO DE JANEIRO DO RIO DE JANEIRO
Reitor: Ricardo Vieiralves Reitor: Ricardo Motta Miranda
UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE UNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO
Reitor: Roberto de Souza Salles DO RIO DE JANEIRO
Reitora: Malvina Tania Tuttman

Geometria Analítica I
Volume único
SUMÁRIO
Módulo 1 – Geometria Analítica Plana__________________________________ 7
Aula 1 – Vetores no Plano – Segmentos Orientados ________________________ 9
Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo
Aula 2 – Vetores no Plano – Operações _______________________________ 19
Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo
Aula 3 – A Reta e a Dependência Linear _______________________________ 33
Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo
Aula 4 – Produto Interno ___________________________________________ 49
Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo
Aula 5 – Produto interno – Aplicações _________________________________ 69
Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo
Aula 6 – Produto interno – Aplicações (continuação) ______________________ 79
Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo
Aula 7 – Simetrias e simetrias das cônicas ______________________________ 97
Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo
Aula 8 – Cônicas – Translação de sistemas de coordenadas ________________ 111
Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo
Aula 9 – Cônicas – Rotação de sistemas de coordenadas __________________ 123
Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo
Aula 10 – Regiões e inequações no plano _____________________________ 143
Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo
Aula 11 – Coordenadas polares ____________________________________ 161
Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo
Aula 12 – Equações paramétricas das cônicas __________________________ 181
Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo
Aula 13 – Apêndice: Parametrizações de curvas planas ___________________ 191
Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo
Aula 14 – Círculo _______________________________________________ 207
Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo
Aula 15 – Parábola ______________________________________________ 217
Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo
Aula 16 – Parábola – continuação __________________________________ 225
Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo
Aula 17 – Parábola – aplicações ____________________________________ 233
Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo
Aula 18 – Elipse ________________________________________________ 243
Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo
Aula 19 – Elipse – continuação _____________________________________ 253
Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo
Aula 20 – Hipérbole _____________________________________________ 263
Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo
Aula 21 – Hipérbole – continuação __________________________________ 273
Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo
Mo´dulo 1
Geometria Anal´ıtica Plana
Pr´e-requisitos.
Geometria unaetaeterna estinmenteDeirefulgens.
•Pr´e-Ca´lculo.
AGeometria´eu´nica eeterna, brilhandonamentedeDeus.
•GeometriaBa´sica.
ConversationwiththeSiderealMessenger: cartaabertaaGalileoGalilei.
Johannes Kepler
Bibliografia.
Ageometriacartesiana descobertaporPierre de FermateRen´e Descar- [1]Lehman,C.,Geometria
Anal´ıtica. EditoraGlobo.
tes, por volta de 1636, foi de grande importaˆncia na Matema´tica, permitindo [2]Lima,E.,Coordenadas
estudar problemas da Geometria Cla´ssica por meio de m´etodos alg´ebricos e noPlano. SBM.
reciprocamente, interpretar eresolvergeometricamente problemasalg´ebricos.
Noentanto, emmeadosdos´eculo XIX,comec¸ouabusca porumm´etodo
maissimples, quepermitisseobterinforma¸co˜esgeom´etricasapartirdeequac¸o˜es
alg´ebricas, e obter as equa¸co˜es alg´ebricas de conceitos geom´etricos, de uma
forma mais direta. Para isso foi fundamental o desenvolvimento da noc¸a˜o de
vetor.
Segundo os historiadores, os vetores surgiram informalmente no in´ıcio
Bernard Placidus Johann
dos´eculoXIX,naspublicac¸o˜es deBernard Bolzano. Em1804,Bolzanopubli- Nepomuk Bolzano
1781 - 1848,
cou o livro Betrachtungen u¨ber einige Gegenst¨ande der Elementargoemetrie
Praga, A´ustria
(Reflexo˜es sobre algumas id´eias relativas a` Geometria Elementar). Nesse (HojeRepu´blicaTcheca).
Filo´sofo,matem´aticoe
livro, ele considera pontos, retas e planos como sendo noc¸o˜es primitivas e
teo´logo, fezcontribui¸co˜es
define operac¸o˜es entre eles. Este foi um grande progresso no sentido de abs- significativas a`Matema´tica.
Asuateoriasobreoinfinito
trair as propriedades inerentes a`s noc¸o˜es primitivas, que originaram a` noc¸a˜o
matem´aticoantecipou-se `a
de vetor. Neste Mo´dulo aprenderemos os fundamentos da geometria vetorial TeoriadeConjuntos
Infinitos deGeorgeCantor.
e veremos como utilizar o conceito de vetor no estudo da Geometria do plano
http://www-groups.dcs.
e do espac¸o. st-and.ac.uk/~history/
Mathematicians/Bolzano.
html
7 CEDERJ

Vetores no Plano - Segmentos Orientados
MO´DULO1 - AULA1
Aula 1 – Vetores no Plano - Segmentos
Orientados
Objetivos
• Definir os conceitos de orienta¸ca˜o, direc¸a˜o e mo´dulo de um segmento.
Parasabermais...
• Analisar a noc¸a˜o de equipolˆencia entre segmentos orientados.
Sobreano¸ca˜odevetor eas
• Apresentar a no¸ca˜o de vetor no plano. suasimplica¸co˜esno
desenvolvimento da
Matema´tica, consulte:
http://www-groups.dcs.
Em 1832, Giusto Bellavitis publicou uma obra sobre Geometria onde st-and.ac.uk/~history/
HistTopics/Abstract_
apareceu explicitamente a noc¸a˜o de vetor.
linear_spaces.html
Dados dois pontos A e B do plano, Bellavitis considerou os segmentos
AB e BA, de extremidades A e B, como objetos distintos. Ele adotou esta
convenc¸a˜o porque o segmento de reta limitado pelos pontos A e B, pode ser
percorrido de duas maneiras distintas: partindo de A para chegar at´e B, ou
partindo de B para chegar at´e A.
Bellavitis classificou os segmentos orientados por meio de uma rela¸ca˜o
que chamou equipolˆencia. Essa relac¸a˜o deu origem a` noc¸a˜o de vetor. Giusto Bellavitis
1803 - 1880, It´alia
Nesta aula caracterizaremos a noc¸a˜o de equipolˆencia. Matema´ticoautodidata.
Refinouoc´alculo
Segmentos orientados baricˆentricodeM¨obiusesua
teoriadevetores foimuito
Daqui em diante, todos os elementos considerados (pontos, retas etc.), importanteno
desenvolvimento da
pertencem a um plano fixo.
Geometria.
http://www-groups.dcs.
Designamos por AB o segmento de reta orientado percorrido de A para
st-and.ac.uk/~history/
B. No segmento AB, o ponto A ´e chamado origem e o ponto B extremidade. Mathematicians/
Bellavitis.html
Mesmo que os segmentos AB e BA representem o mesmo conjunto de
pontos do plano (os pontos da reta que passa por A e B que est˜ao entre A
e B, incluindo A e B), a sua orientac¸a˜o (isto ´e, o sentido de percurso) ´e
contra´ria (ou oposta). Veja as figuras abaixo.
Figura 1.1: Segmento de extremida- Figura 1.2: Percurso de A at´e B: Figura 1.3: Percurso de B at´e A:
des A e B. segmento AB. segmento BA.
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