Generalized quasiisometry on smooth riemannian manifolds

0.2 MB·English

by  E. Afanasieva

ОБОБЩЕННЫЕ КВАЗИИЗОМЕТРИИ НА ГЛАДКИХ
РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
Е.С. Афанасьева
Аннотация. В работе изучается граничное поведение конечно билипшицевых ото-
бражений на гладких римановых многообразиях.
Ключевыеслова: гладкиеримановымногообразия,конечнобилипшицевыотобра-
жения, модули, нижние Q-гомеоморфизмы.
AMS 2010 Subject Classification: 30L10, 30C65
5
1 Введение
1
0
2 Напомним некоторые определения из теории римановых многообразий,

n которые можно найти, например, в монографиях [6], [17], [15] и [19]. На-
a помним, что n-мерное топологическое многообразие Mn – этохаусдорфово
J
топологическое пространство со счетной базой, в котором каждая точка
1
2 имеетоткрытуюокрестность,гомеоморфнуюRn. Картой намногообразии
Mn называется пара (U,ϕ), где U – открытое подмножество пространства
]
V Mn, а ϕ – гомеоморфное отображение подмножества U на открытое под-
C множество координатного пространства Rn, с помощью которого каждой
. точке p ∈ U ставится во взаимно однозначное соответствие набор из n
h
t чисел, ее локальных координат. Полный набор всех карт многообразия
a
m называется его атласом. Гладкое многообразие – многообразие с картами
[ (U ,ϕ ), локальные координаты которых связаны гладким (C∞) образом.
α α

Римановым многообразием (Mn,g) называется гладкое многообразие с
1
v заданной на нем римановой метрикой, т.е. положительно определенным
3
симметричным тензорным полем g = g (x), которое определяется в
5 ij
0 координатных картах с правилом перехода:
5
0 ∂yk ∂yl
. ′g (x) = g (y(x)) ,
1 ij kl ∂xi ∂xj
0
5 где, как обычно, k и l = 1,...,n – так называемые связанные индексы, по
1
которымпроизводитсясуммирование. g (x)вдальнейшемподразумевает-
: ij
v
сягладким. Заметим,чтоdetg > 0всилуположительнойопределенности
i ij
X g , см., напр., [3, c. 277].
ij
r Элемент длины задается инвариантной дифференциальной формой
a
n
ds2 = g dxidxj := g dxidxj,
ij ij
iX,j=1
гдеg –метрическийтензор,xi –локальныекоординаты. Всоответствиис
ij
этим, если γ : [a,b] → Mn – кусочно-гладкая кривая и x(t) – ее параметри-
ческое задание в локальных координатах, то ее длина вычисляется по
формуле:
b
dxi dxj
s = g (x(t)) dt
γ Z r ij dt dt
a
1
Геодезическое расстояние d(p ,p ) определяется как инфимум длин кусо-
1 2
чно-гладких кривых, соединяющих точки p и p в (Mn,g). Любая кривая,
1 2
соединяющая p и p , на которой реализуется этот инфимум, называется
1 2
геодезической.
Напомним также, что элемент объема на (Mn,g) определяется инва-
риантной формой dV = detg dx1...dxn, а элемент площади гладкой
ij
поверхности H на (Mn,g)pdA = det g∗ du ...du – инвариантной фор-
αβ 1 n−1
мой, где g∗ – риманова метрикаpна H, порожденная исходной римановой
αβ
метрикой g по формуле:
ij
∂xi ∂xj
g∗ (u) = g (x(u))· · .
αβ ij ∂uα ∂uβ
Здесь x(u) – гладкая параметризация поверхности H с ∇ x 6= 0 всюду.
u
Таким образом, метрический тензор g на римановом многообразии по-
рождает соответствующий метрический тензор g∗ на произвольной регу-
лярной поверхности, см., напр., § 88 в [19].
Здесь под поверхностью на многообразии (Mn,g) понимается непре-
рывное отображение H : U → Mn, где U – область в (n − 1)-мерном
пространстве Rn−1 или, более общо, U – (n − 1)-мерное многообразие,
например, (n−1)-мерная сфера. Если отображение H является гладким
в локальных координатах, то поверхность называют гладкой. Например,
геодезическая сфера в достаточно малой окрестности произвольной точки
гладкого риманова многообразия – гладкая поверхность, см. монографию
[15, с. 106].
Длянасважныследующиефундаментальныефакты,см., напр., лемму
5.10 и следствие 6.11 в [15], а также [6, с. 260 - 261].
Предложение 1.1. Длякаждой точки римановамногообразия существу-
ют ее окрестности и соответствующие локальные координаты в них, в
которыхгеодезическим сферам сцентромвданнойточке соответствуют
евклидовы сферы стеми жерадиусами и сцентромв началекоординат, а
связкегеодезических, исходящих из данной точки, соответствуетсвязка
лучей, исходящих из начала координат.
Указанныеокрестностиикоординатыпринятоназыватьнормальными.
Замечание 1.2. В частности, в нормальных координатах геодезические
сферыимеютестественнуюгладкуюпараметризациючерезнаправляющие
косинусысоответствующихлучей, исходящихизначалакоординат. Кроме
того,метрическийтензорвначалекоординатвэтихкоординатахсовпадает
с единичной матрицей, см., напр., предложение 5.11 в [15].
2 О нижних Q-гомеоморфизмах на гладких римановых
многообразиях
В дальнейшем мы используем обозначения геодезических сфер S(P ,ε) =
0
{P ∈ Mn : d(P,P ) = ε}, геодезических шаров B(P ,ε) = {P ∈ Mn :
0 0
d(P,P ) < ε} и геодезических колец A(P ,ε,ε ) = {P ∈ Mn : ε < d(P,P ) <
0 0 0 0
ε }, где d – геодезическое расстояние на (Mn,g) и подразумеваем, что
0
S(P ,r), B(P ,r) и A = A(P ,ε,ε ) лежат в нормальной окрестности точки
0 0 0 0
P . Далеедля любыхмножеств A, B иC в(Mn,g),n ≥ 2, через △(A,B;C)
0
2
обозначаем семейство всех кривых γ : [a,b] → Mn, соединяющих A и B в
C, т.е. γ(a) ∈ A,γ(b) ∈ B и γ(t) ∈ C при a < t < b.
Борелевскую функцию ρ : Mn → [0,∞] называем допустимой для
семейства Γ поверхностей S в Mn, пишем ρ ∈ admΓ, если
ρn−1dA ≥ 1 ∀ S ∈ Γ. (2.1)
Z
S
p-модуль семейства поверхностей Γ при p ∈ (0,∞) есть величина
M (Γ) := inf ρp dV.
p
ρ ∈ adm ΓZ
Mn
При p = n получаем конформный модуль и в этом случае используем
обозначение M(Γ).
Аналогично статье [9], см. также монографию [16], борелеву функцию
ρ : Mn → [0,∞] называем обобщенно допустимой для семейства Γ поверх-
ностей S в Mn относительно p-модуля, пишем ρ ∈ ext admΓ, если условие
p
допустимости (2.1) выполнено для p-почти всех (p-п.в.) S ∈ Γ, т.е. за
исключением подсемейства Γ нулевого p-модуля. При p = n пишем ρ ∈
extadmΓ.
Следующеепонятие,мотивированноекольцевымопределениемГеринга
для квазиконформных отображений в [4], было впервые введено в Rn,
n ≥ 2, в [9].
ПустьвсюдудалееD иD –областинагладкихримановыхмногообрази-
∗
ях (Mn,g) и (Mn,g∗), n ≥ 2, соответственно, Q : Mn → (0,∞) – измеримая
∗
функция. Гомеоморфизм f : D → D будем называть нижним Q-гомео-
∗
морфизмом относительно p-модуля в точке P ∈ D, если существует
0
δ ∈ (0,d(P )), d := supd(P ,P), такое что для всякого ε < δ и любых
0 0 0 0 0 0
P∈D
геодезических колец A = A(P ,ε,ε ), ε ∈ (0,ε ), выполнено условие
0 0 0
ρp(P)
M (f(Σ )) ≥ inf dV, (2.2)
p ε
ρ ∈ extp admΣε Z Q(P)
A ∩D
где через Σ обозначено семейство пересечений всех геодезических сфер
ε
S(P ,r),r ∈ (ε,ε ),собластьюD. Будемтакжеговорить,чтогомеоморфизм
0 0
f : D → D являетсянижнимQ-гомеоморфизмом относительноp-модуля,
∗
если f является нижним Q-гомеоморфизмом относительно p-модуля в
каждой точке P ∈ D, ср. с [16].
0
Следующийкритерийнижних Q-гомеоморфизмов,см. теорему2.1в[9]
и теорему 9.2 в [16], впервые был доказан для конформного модуля в Rn
при n ≥ 2; при p 6= n в Rn, см. теорему 9.2 в [5], а также для гладких
римановых многообразий (Mn,g) при n ≥ 2 относительно конформного
модуля, см. теорему 4.1 в [1].
Теорема 2.1. Пусть D и D – области на гладких римановых много-
∗
образиях (Mn,g) и (Mn,g∗), n ≥ 2, соответственно, Q : Mn → (0,∞) –
∗
измеримая функция, и P ∈ D. Гомеоморфизм f : D → D является
0 ∗
нижним Q-гомеоморфизмом относительно p-модуля, p > n−1, в точке
P , тогда и только тогда, когда для любой нормальной окрестности
0
3
B(P ,ε ) точки P с 0 < ε < d := supd(P ,P)
0 0 0 0 0 0
P∈D
ε0
dr
M (f(Σ )) ≥ ∀ ε ∈ (0,ε ), (2.3)
p ε 0
Z ||Q|| (P ,r)
s 0
ε
гдеs = n−1 , Σ – семействовсехпересечений собластью D геодезических
p−n+1 ε
сфер S(P ,r), r ∈ (ε,ε ), и
0 0
1
s
||Q|| (P ,r) =  Qs(P) dA (2.4)
s 0
Z
D(P0,r) 
 
– Ls-норма Q по D(P ,r) = {P ∈ D : d(P,P ) = r} = D ∩S(P ,r).
0 0 0
Заметим, что инфимум в (2.2) достигается для функции
1
Q(P) p−n+1
ρ (P) = .
0
(cid:20)||Q|| (P ,d(P,P ))(cid:21)
s 0 0
Таким образом, неравенство (2.3) является точным для нижних Q-
гомеоморфизмов относительно p-модуля.
Proof. Отметим,чтов(2.2)потеоремеЛузина,предложению1.1изамечанию
1.2
ρp(P) ρp(P)
inf dV = inf dV.
ρ ∈ adm Σε Z Q(P) ρ ∈ extp adm Σε Z Q(P)
A ∩D A ∩D
Также для любого ρ ∈ ext adm Σ ,
p ε
A (r) := ρn−1(P) dA =6 0 п.в.
ρ
Z
e D(P0,r)
являетсяизмеримойфункциейпопараметруr,скажемпотеоремеФубини,
предложению 1.1 и замечанию 1.2. Таким образом, мы можем требовать
равенство A (r) = 1 п.в. вместо условия допустимости (2.1) и
ρ
e
ε0
ρp(P) αq(P)
inf dV =  inf dAdr,
ρ ∈ extp adm Σε Z Q(P) Z αe∈ I(r) Z Q(P)
A ∩D ε  D(P0,r) e 
 
где q = p/(n − 1) > 1, A = A(P ,ε,ε ), ε ∈ (0,ε ), и I(r) обозначает
0 0 0
множество всех борелевых функций α на поверхности D(x ,r), таких, что
0
e
α(P) dA = 1.
Z
D(P0,r) e
Поэтому теорема 1 следует из леммы 2.1 в [9], см. также лемму 9.2 в [16]
для X = D(P ,r) с мерой площади на D(P ,r) в качестве µ, ϕ = 1|
0 0 Q D(P0,r)
и q = p/(n−1) > 1.
4
Следующийрезультатсначалабылдоказаннагладкихримановыхмного-
образиях (Mn,g), n ≥ 2, относительно конформного модуля, см. лемму 4.1
в [1].
Лемма2.2. ПустьD и D – области нагладких римановых многообразиях
∗
(Mn,g) и (Mn,g ), n ≥ 2, Q : Mn → (0,∞) – измеримая функция и
∗ ∗
f : D → D – нижний Q-гомеоморфизм относительно p-модуля в точке
∗
P ∈ D, p > n−1. Тогда
0
M (∆(f(S ),f(S );D )) ≤ c/Is, (2.5)
α ε ε0 ∗
где α = p , s = n−1 , S = S(P ,ε) и S = S(P ,ε ), 0 < ε < ε ,
p−n+1 p−n+1 ε 0 ε0 0 0 0
B(P ,ε ) – нормальная окрестность точки x ,
0 0 0
ε0
dr
I = I(P ,ε,ε ) = , (2.6)
0 0
Z ||Q|| (P ,r)
s 0
ε
||Q|| (P ,r) определено в (2.4), а константа c произвольно близка к 1 в
s 0
достаточно малых окрестностях точки P .
0
Proof. Учитывая тот факт, что по замечанию 1.2 метрический тензор в
начале нормальных координат совпадает с единичной матрицей и, следо-
вательно, в достаточно малом шаре с центром в нуле равномерно близок
к единичной матрице, получаем, согласно равенствам Хессе и Циммера,
см. [22] и [23], что
c
M (∆(f(S ),f(S );D ))) ≤ , (2.7)
α ε ε0 ∗ Ms(f(Σ))
p
α = p ,1 < α < ∞,n−1 < p < ∞,посколькуf(Σ) ⊂ Σ(f(S ),f(S );D ),
p−n+1 ε ε0 ∗
где Σ обозначает совокупность всех геодезических сфер с центром в точке
P , расположенных между сферами S и S , а Σ(f(S ),f(S );D ) состоит
0 ε ε0 ε ε0 ∗
из всех замкнутых множеств в D , отделяющих f(S ) и f(S ), а c –
∗ ε ε0
постоянная,произвольноблизкаякединице вдостаточномалыхокрестно-
стях P . Таким образом, из теоремы 2.1 и соотношения (2.7) получаем
0
оценку (2.5), где интеграл I = I(P ,ε,ε ) определен в (2.6).
0 0
Аналог приведенной ниже леммы был ранее получен в (Mn,g), n ≥ 2,
относительно конформного модуля, см. лемму 3 в [2].
Лемма 2.3. Пусть D – область на гладком римановом многообразии
(Mn,g), n ≥ 2, P ∈ D, 0 < ε < ε < d := supd(P,P ), A = A(P ,ε,ε )
0 0 0 0 0 0
P∈D
– геодезическое кольцо, B(P ,ε ) – нормальная окрестность точки P и
0 0 0
пусть Q : Mn → (0,∞) – измеримая функция, которая интегрируема в
степени s, s = n−1 , где p > n−1 в B(P ,ε ). Пусть
p−n+1 0 0
1
η (t) = ,
0
I ·kQk (P ,t)
s 0
где kQk (P ,r), r ∈ (ε,ε ), и I = I(P ,ε,ε ) определены в (2.4) и (2.6),
s 0 0 0 0
соответственно. Тогда
1/Is = Qs(P)·ηα(d(P,P )) dV ≤ Qs(P)·ηα(d(P,P )) dV, (2.8)
0 0 0
Z Z
A ∩D A ∩D
5
где α = p для любой борелевой функции η : (ε,ε ) → [0,∞], такой,
p−n+1 0
что
ε0
η(r)dr = 1. (2.9)
Z
ε
Proof. Вдальнейшеммыпользуемсятемобстоятельством,чтопозамечанию
1.2 элементы объема и площадей на геодезических сферах в нормальных
окрестностях точки P эквивалентны евклидовым с коэффициентом экви-
0
валентности произвольно близким к единице в достаточно малых окрест-
ностях, а радиусы геодезических сфер S(P ,r) совпадают с евклидовыми.
0
ЕслиI = ∞,толеваячастьсоотношения(2.8)равнанулюинеравенство
в этом случае очевидно. Заметим, что если I = 0, то kQk (P ,r) = ∞ для
s 0
п.в. r ∈ (ε,ε ), что невозможно ввиду интегрируемости Qs в B(P ,ε ).
0 0 0
Поэтому можно считать, что 0 < I < ∞. Тогда η (r) 6= ∞ п.в. в (ε,ε ),
0 0
посколькуkQk (P ,r) 6= 0п.в. Крометого, kQk (P ,r) 6= ∞п.в. поскольку
s 0 s 0
Q ∈ Ls(B(P ,ε )). Полагая
0 0
β(r) = η(r)·kQk (P ,r)
s 0
и
ω(r) = [kQk (P ,r)]−1,
s 0
будем иметь, что η(r) = β(r)ω(r) п.в. в (ε,ε ) и что
0
ε0
C := Qs(P)·ηα(d(P,P )) dV = βα(r)ω(r)dr.
0
Z Z
A ∩D ε
Применяя неравенство Иенсена с весом, см., напр., теорему 2.6.2 в [18],
к выпуклой функции ϕ(t) = tα, заданной в интервале Ω = (ε,ε ), с
0
вероятностной мерой
1
ν(E) = ω(r) dr,
I Z
E
получаем что
1
ε0 α ε0
1 1 1
 βα(r)ω(r)dr ≥ β(r)ω(r) dr = ,
I Z I Z I
 ε  ε
где мы также использовали тот факт, что η(r) = β(r)ω(r) удовлетворяет
соотношению (2.9). Таким образом,
1
C ≥ ,
Is
что и доказывает (2.8).
Следствие 2.4. При условиях и обозначениях лемм 2.2 и 2.3,
M (∆(f(S ),f(S );D )) ≤ c Qs(P) ηα(d(P,P )) dV, (2.10)
α ε ε0 ∗ Z 0
A ∩D
где S = S(P ,ε) и S = S(P ,ε ).
ε 0 ε0 0 0
6
Другими словами, это означает, что нижний Q-гомеоморфизм отно-
сительноp-модулявRn, n ≥ 2,сQ ∈ Ls(B(P ,ε )),s = n−1 ,являетсяQ -
0 0 p−n+1 ∗
кольцевымгомеоморфизмомотносительноα-модулясQ = Qs,α = p .
∗ p−n+1
Ясно, что α > p при n ≥ 2, [5].
Отметим,чтотеориянижнихQ-отображенийприменимакотображениям
сконечнымискажениемклассаОрлича-CоболеваW1,ϕ приналичииусловия
loc
Кальдерона и, в частности, к классам Соболева W1,p при p > n − 1 (см.
loc
[1], [11]– [13]). В работах [8], [20] также приводятся приложения нижних
Q-гомеоморфизмов к исследованию локального и граничного поведения
гомеоморфныхрешенийсобобщеннымипроизводнымиикзадачеДирихле
для уравнений Бельтрами с вырождением.
3 Об обобщенных квазиизометриях
Говорим, что отображение f : Mn → Mn, n ≥ 2, называется липшицевым,
∗
еслидлянекоторогоL < ∞идлявсехP, T из(Mn,g),выполненонеравен-
ство
d (f(P),f(T)) ≤ Ld(P,T),
∗
гдеdиd –геодезические расстоянияна(Mn,g)и(Mn,g∗), соответственно.
∗ ∗
Наименьшая из таких констант называется константой Липшица и
обозначаетсяLip(f). ОднимизпримеровлипшицевойфункциивRn может
служить функция f(x) = dist(x,F), где F – замкнутое подмножество Rn,
причем, Lip(f) = 1.
Существует также и более узкий класс отображений, чем липшицевы,
а именно, билипшицевы отображения.
Говорим также, что отображение f : Mn → Mn, n ≥ 2, билипшицево,
∗
если оно, во-первых, липшицево, а во-вторых,
L∗d(P,T) ≤ d (f(P),f(T))
∗
для некоторого L∗ > 0 и для всех P и T из (Mn,g).
Пусть далее Ω – открытые множества на (Mn,g), n ≥ 2, f : Ω → Mn –
∗
непрерывное отображение. Аналогично [10], см. также [16] говорим, что
отображение f : Ω → Mn конечно липшицево, если L(P,f) < ∞ для всех
∗
P ∈ Ω, и конечно билипшицево, если
0 < l(P,f) ≤ L(P,f) < ∞
для всех P ∈ Ω, где
d (f(P),f(T))
∗
L(P,f) = limsup , (3.1)
d(P,T)
T→P
T ∈ Mn, и
d (f(P),f(T))
∗
l(P,f) = liminf .
T→P d(P,T)
Очевидно,чтокаждоелипшицевоотображениеявляетсяконечнолипши-
цевыми,соответственно,каждоебилипшицевоотображениеявляетсяконеч-
но билипшицевым.
7
ОбозначимдалеечерезK (P,f)внешнюю дилатациюна(Mn,g),n ≥ 2,
p
определяемую следующим образом:
Lp(P,f) при J(P,f) 6= 0,
J(P,f)
Kp(P,f) =  1 при L(P,f) = 0, , (3.2)

∞ в остальных точках
где 
V (f(B(P,r)))
∗
J(P,f) = lim п.в. (3.3)
r→0 V(B(P,r))
Напомним,чтоприp = nполучаемвнешнююдилатациюK(P,f)отобра-
жения f, определенную стандартным образом, см., напр., п. 3 в [1].
Напомнимтакже,чтоkf′(x)kвRn обозначаетматричнуюнормуякобиевой
матрицы f′ отображения f в точке x ∈ D, kf′(x)k = sup |f′(x) · h|,
h∈Rn,|h|=1
J (x) = det f′(x) – якобиан отображения f и K (x) = kf′(x)kn/J (x) –
f f f
внешнюю дилатацию отображения f в Rn.
Замечание 3.1. Переходя к локальным координатам, по замечанию 1
видим, что определения L(P,f) из (3.1) и kf′(x)k в Rn, внешней дилатации
K (P,f) из (3.2) и K (x) в Rn, а также обобщенного якобиана J(P,f) из
p f
(3.3) и J (x) из Rn, соответственно, согласованы в точках дифференци-
f
руемостиотображенияf. Заметимтакже,чтовеличинаK (x)инвариантна
f
относительно замен локальных координат. Таким образом, как видно из
нормальных координат, K (P,f) можно вычислять п.в. через K (x) и в
p f
любых локальных координатах для указанных отображений.
Следующее утверждение является ключевым для дальнейшего иссле-
дования.
ВпервыеаналогичныйрезультатбылполученвRn,n ≥ 2,см. следствие
5.15 в [10], см. также следствие 10.10 в [16].
Теорема 3.2. Пусть (Mn,g) и (Mn,g∗), n ≥ 2, – гладкие римановы много-
∗
образия, Ω – открытое множество из (Mn,g). Тогда любой конечно
билипшицевый гомеоморфизм f : Ω → Mn является нижним Q-гомео-
∗
морфизмом относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), с Q(x) = K (P,f).
p
Proof. Более того, покажем, что
̺p(P)
M (fΓ) ≥ inf dV
p
̺∈extpadmΓZ Kp(P,f)
Ω
для любого семейства Γ (n−1)-мерных поверхностей S в Ω.
Пусть далее B – (борелевское) множество всех точек P из Ω, где,
согласно замечаниям 1.2 и 3.1, f имеет дифференциал f′(P) и J(P,f) 6=
0. Известно, что B является объединением счетного набора борелевских
множеств B , l = 1,2,..., таких, что f = f| билипшицево, см., напр.,
l l Bl
пункт 3.2.2 в [21]. Не ограничивая общности, можно считать, что B
l
попарно не пересекаются. Отметим, что B = Ω\B и f(B ) имеет нулевую
0 0
меру в Mn и Mn, соответственно, ввиду билипшицевости отображения f,
∗
см. следствие 8.1 в [16] и замечание 1.2. Таким образом, по теореме 2.4
в [10], см. теорему 9.1 в [16], A (B ) = 0 для p-п.в. S ∈ Γ и, т.к. f –
S 0
конечно билипшицевый гомеоморфизм, A (f(B )) = 0 для p-п.в. S ∈ Γ,
S∗ 0
где S = f ◦S.
∗
8
Пусть ̺ ∈ admfΓ, ̺ ≡ 0 вне f(Ω), и пусть ̺ ≡ 0 вне Ω и
∗ ∗
̺(P) = ̺ (f(P))L(P,f)
∗
для п.в. P ∈ Ω.
Рассуждая на каждом B , по 3.2.20 и 1.7.6 в [21] получаем, что
l
̺n−1dA ≥ ̺n−1dA ≥ 1
∗ ∗
Z Z
S S∗
для p-п.в. S ∈ Γ и, таким образом, ̺ ∈ ext admΓ.
p
С помощью замены переменных для класса конечно билипшицевых
функций, см., напр., пункт 3.2.5 в [21], и теоремы Лебега получаем, что
̺p(P) ̺p(P)
dV = dV = ̺p(T) dV ,
Z K (P,f) Z K (P,f) Z ∗ ∗
Xl p p
Bl Ω f(Ω)
что и приводит к нужному неравенству.
4 О граничном поведении конечно билипшицевых го-
меоморфизмов
Далее, учитывая теоремы о граничном поведении нижних Q-гомеомор-
физмов из п. 6 статьи [1], в качестве следствий получаем ряд теорем о
граничномповеденииконечно билипшицевыхгомеоморфизмовнагладких
римановых многообразиях.
Аналогично [16] говорим, что граница области D – слабо плоская в
точке P ∈ ∂D, если для любого числа P > 0 и любой окрестности U
0
точки P найдется ее окрестность V ⊂ U, такая, что
0
M(∆(E,F;D)) ≥ P
для любых континуумов E и F в D, пересекающих ∂U и ∂V.
Также говорим, что граница области D сильно достижима в точке
P ∈ ∂D, если для любой окрестности U точки P , найдется компакт E ⊂
0 0
D, окрестность V ⊂ U точки P и число δ > 0, такие, что
0
M(∆(E,F;D)) ≥ δ
для любого континуума F в D, пересекающего ∂U и ∂V.
Наконецговорим, чтограницаобластиD называется сильно достижи-
мойислабо плоской,еслисоответствующиесвойстваимеютместовкаждой
точке границы.
Напомним также, что топологическое пространство связно, если его
нельзя разбить на два непустых открытых множества. Область D называ-
ется локально связной в точке P ∈ ∂D, если для любой окрестности U
0
точки P найдется окрестность V ⊆ U точки P , такая, что V ∩D связно,
0 0
ср. [14, c. 232].
По теореме 6.1 в [1] из теоремы 2 получаем следующее заключение.
Теорема 4.1. Пусть D локально связна на границе, D компактно, ∂D –
∗
слабо плоская. Если f : D → D – конечно билипшицевый гомеоморфизм
∗
с K(P,f) ∈ Ln−1(D), то f−1 имеет непрерывное продолжение на D .
∗
9
Замечание 4.2. Отметим, что здесь условие K(P,f) ∈ Ln−1(D) нельзя
заменить на условие K(P,f) ∈ Lp(D) ни при каком p < n−1, см., примеры
липшицевых отображений в доказательстве теоремы 5 в [7]. Однако,
здесь достаточно предполагать, что K(P,f) ∈ Ln−1(D∩U) для некоторой
окрестности U границы D.
По теореме 9.2 в [9] из теоремы 2 также имеем следующий результат.
Теорема 4.3. Пусть D локально связна на границе, D компактно, ∂D
∗
– слабо плоская и
δ(x0)
dr
= ∞ ∀ P ∈ ∂D (4.1)
0
Z kKk (P ,r)
n−1 0
0
для некоторого δ(P ) ∈ (0,d(P )), где d(P ) := supd(P,P ), такого, что
0 0 0 0
P∈D
B(P ,δ(P )) – нормальная окрестность точки P и
0 0 0
1
n−1
kKk (P ,r) =  Kn−1(P,f) dA .
n−1 0
Z
S(P0,r) 
 
Тогда, для любого конечно билипшицевого гомеоморфизма f : D → D , его
∗
обратное отображение f−1 допускает непрерывное продолжение на D .
∗
Приэтоммытакжевоспользовалисьнормальнымиокрестностями,пред-
ложением 1 и замечанием 1.
Аналогично по лемме 6.1 в [9] и теореме 2 имеем:
Лемма4.4. ПустьD локально связнав P ∈ ∂D, ∂D сильнодостижима
0 ∗
хотя бы в одной точке предельного множества C(P ,f) = {T ∈ Mn :
0 ∗
T = lim f(P ), P → P , P ∈ D} и D компактно, K(P,f) : Mn →
k k 0 k ∗
k→∞
(0,∞)–измеримая функцияипустьf : D → D – конечнобилипшицевый
∗
гомеоморфизм в точке P . Если условие (4.1) выполнено в точке P , то
0 0
f продолжим в P по непрерывности.
0
Следствие 4.5. Пусть D локально связна в точке P ∈ ∂D, ∂D сильно
0 ∗
достижима, D компактно и пусть f : D → D – конечно билипшицевый
∗ ∗
гомеоморфизм с
1
K(P,f) = O log при r := d(P,P ) → 0.
0
(cid:18) r(cid:19)
Тогдаf допускает продолжение вточку P по непрерывности на (Mn,g∗).
0 ∗
Наконец, на основе теоремы 4.3 и леммы 4.4, приходим к следующему
заключению.
Теорема 4.6. Пусть D локально связна на границе, D и D компактны,
∗
∂D – слабо плоская. Тогда любой конечно билипшицевый гомеоморфизм
∗
f : D → D с условием (4.1) допускает гомеоморфное продолжение f :
∗
D → D .
∗
10